四川省遂宁市第二中学校2025--2026学年中考数学强化训练一

**基本信息** 融合科技前沿（如DeepSeek大模型）与文化传承（《孙子算经》问题），梯度设计基础题与创新题，全面考查抽象能力、推理能力及应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|实数、轴对称、整式运算、方程组等|以AI大模型标识考轴对称，《孙子算经》问题考方程组建模，体现数学眼光| |填空题|5/20|因式分解、方程根与系数、概率、矩形与坐标|等边三角形曲边三角形概率题，融合几何直观与数据意识| |解答题|10/90|几何证明、函数综合、新定义等|第25题“雁点”新定义结合二次函数，考查创新意识；第19题测量建筑物高度，强化应用意识；第24题圆综合证明比例线段，突出推理能力|

强化训练（一）参考答案 一、选择题 1~5 CCBBB 6~10DCCBC 二、填空题 11、； 12、 1； 13 . m＞﹣1且m≠0； 14、； 15、①②③⑤。 三、解答题 16、（1）解： ； (2) 解：， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴原不等式组的解集为． 17、原式= 。∴当时，原式=1；或当时，原式=3； 18、（1）如图所示，连接BD， 由题意可知，AE是BD的垂直平分线， ∴AB=AD，BE=DE，BO=OD， ∵AD∥BC， ∴∠OAD=∠OEB，∠ODA=∠OBE， 在△OAD和△OEB中， ， ∴△OAD≌△OEB（AAS）， ∴AD=BE， ∴AD=AB=BE=ED， ∴四边形ABCD是菱形； （2）由（1）得AD=AB=BE=ED， ∴∠DBE=∠EDB， ∵， ∴， ∴， ∴三角形DEC是等边三角形， ∴∠C=∠DEC=∠CDE=60°， ∵∠BDE+∠EBD=∠DEC， ∴∠BDE=30°， ∴∠BDC=90° ∴ 19、解：如图，延长交于点， 由题意得：，，设，则． 在中，， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴，解得：， ∴， 故建筑物的高度约是． 20.解：九（1）班学生共有（人）， 扇形统计图中，“洗衣”对应扇形的圆心角度数为； 【小问2详解】 解：九（1）班参与“做饭”的人数为（人）， （人）； 答：估计该校初中学生中参与“做饭”的人数约有人； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中所选同学中有男生的结果有种， 所选同学中有男生的概率为． 21、解：设型设备的单价为元，则型设备的单价为元，根据题意得， ， 解得， 经检验是原方程的解， 型设备的单价为元； 答：，型设备单价分别是元． (2)设购买台型设备，则购买型设备台，依题意， ， 解得， 的最小整数解为， 购买总费用为元，， ， ，随的增大而增大， 时，取得最小值，最小值为． 答：最少购买费用为元． 22、（1）把 点A(a,−2)代入y=x，得a=−6所以A(−6,−2)。 又把A(−6,−2)在反比例函数y=上， 得 k=12因此反比例函数的表达式为y=​。 23、（1）解：∵矩形、正方形的对角线相等， ∴矩形和正方形是“等角线四边形”， 故答案为：②④； （2）证明：连接AE，BF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝90°， ∵EC＝DF， ∴BE＝CF， ∴△ABE≌△BCF（SAS）， ∴AE＝BF， ∴四边形ABEF是等角线四边形； （3）当点D在AB的上方时，如图， ∵DE是AB的中垂线， ∴AE＝BE＝2， ∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3， ∴AC＝5， ∵四边形ABCD为等角线四边形， ∴AC＝BD＝5， ∴DE＝＝＝， ∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝×AB×DE+×BC×BE＝2+3； 当点D在AB的下方时，如图，过点D作DF⊥BC，交CB的延长线于F， ∵四边形ACBD为等角线四边形， ∴BA＝CD＝4， ∵DE⊥AB，∠ABF＝90°，DF⊥CF， ∴四边形DEBF是矩形， ∴BE＝DF＝2，DE＝BF， ∴CF＝＝＝2， ∴BF＝2﹣3， ∴S四边形ADBC＝S△ABC+S△ABD＝×4×（2﹣3）+×4×3＝4， 综上所述：这个等角线四边形的面积为4或2+3． 24、（1）证明：如图，连接并延长交于点， ∵， ∴，即点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴，，，， 由（2）可知，， ∴， 在中，， ∴． 25、解：（1）联立，解得或 即：函数上的雁点坐标为和． （2）① 联立得 ∵ 这样的雁点E只有一个，即该一元二次方程有两个相等的实根， ∴ ∴ ∵ ∴ ② 将代入，得 解得，∴ 对于，令 有 解得 ∴ 过E点向x轴作垂线，垂足为H点， EH=，MH= ∴ ∴ 为等腰直角三角形， （3）存在，理由如下： 如图所示：过P作直线l垂直于x轴于点k，过C作CH⊥PK于点H 设C（m，m），P（x，y） ∵ △CPB为等腰三角形，∴PC=PB，∠CPB=90°，∴∠KPB+∠HPC=90°， ∵∠HPC+∠HCP=90°，∴∠KPB=∠HCP， ∵∠H=∠PKB=90°，∴△CHP≌△PKB，∴CH=PK，HP=KB， 即∴ 当时， ∴ 如图2所示，同理可得：△KCP≌△JPB∴ KP=JB，KC=JP 设P（x，y），C（m，m） ∴KP=x-m，KC=y-m，JB=y，JP=3-x， 即 解得 令解得 ∴或 如图3所示， ∵△RCP≌△TPB∴RC=TP，RP=TB 设P（x，y），C（m，m） 即 解得 令 解得 ∴ 此时P与第②种情况重合 综上所述，符合题意P的坐标为或或 学科网（北京）股份有限公司 $ 遂 宁 二 中 初 2023 级2025-2026学年中考强化训练（一） 一、选择题（每题 4 分，共 40 分） 1 、实数a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则a + b 的值可能是 ( ). 第 1 题图 第 5 题图 A. -3.2 B. -2.1 C. -0.8 D. 0.1 2 、国产人工智能大模型 DeepSeek 横空出世，其以低成本、高性能的显著特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款人工智能大模型的标识，其中文字上方的图案为轴对称图形的是 ( ) A ． B ． C ． D． 3 、下列运算中，正确的是 ( ) A. a2 + a3 = a5 B. (-2a2)3 = -8a6 C. (a -1)2 = a2 -1 D. a8 ÷ a4 = a2 4 、如图是正方体的表面展开图，与“共 ”字相对的字是 ( ) A ．安 B ．全 C ．校 D ． 园 5 、中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车九人步，问人与车各几何？其大意是：今有若干人乘车，每三人共乘一车，剩余 2 辆车；若每 2 人共乘一车，剩余 9 个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？设共有 x 人，有y 辆车，根据题意，可列方程组为 ( ) 6 、下列说法正确的是 ( ) A. 将 580000 用科学记数法表示为：5.8 × 104 ； B. 在8 ，6 ，3 ，5 ，8 ，8 这组数据中，中位数和众数都是 8； C. 甲乙两组同学参加“环保知识竞赛 ”，若甲乙两组同学的平均成绩相同，甲组同学成绩的方差 S甲 (2) = 1.2 ，乙组同学成绩的方差S乙 (2) = 0.05 ，则甲组同学的成绩较稳定 D. “五边形的内角和是540。”是必然事件 7 、如图，AB＝AE ，下列条件中，添加后仍不能判定△ABC≌△AED 的是 ( ) 1 学科网（北京）股份有限公司 第 7 题图 第 8 题图 第 9 题图 A．AC＝AD B ． ∠B = ∠E C．BC＝ED D．BD＝EC 8 、 如图，已知O 的半径为 2，在O 上顺次取A，B，C，D 四点，连接AB ，BC ，CD ，AD ．若LABC = 100O ，则 的长为 ( ) 8π 10π 16π 20π A. B. C. D. 9 9 9 9 9 、如图， 在平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 点A是 反 比 例 函 数 y 图 象 上 一 动 点 ， 点B是第 一 象 限 内 一 点，且 ∠AOB ＝ 90 ° , ∠ABO ＝ 30° , 则点B的轨迹满足的函数解析式为（ ）. A ．y B ． y B ．C ． y = 12x (x > 0) D ． y = 4/3x (x > 0) 10 、 如图，抛物线y = ax2 + bx + c(a < 0) 的图象交 x 轴于点A(-3, 0) 、B (1, 0) ，交y 轴于点 C．以下结论：① a + b + c = 0 ；② a + 3b + 2c < 0 ；③当以点A、B、C 为顶点的三角形是等腰三角形时，c = 7· ; ④当c = 3 时，在△AOC 内有一动点 P ，若OP = 2 ，则CP +AP 的最小值为 其中正确结论有 ( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 二、填空题 （每题 4 分，共 20 分） 11 、 分解因式：a3 - 9a = 12 、 若 “, β 是方程x2 - 3x - 4 = 0 的两个根，则 “ 2 - 4“ - β 的值为 13 、关于x 的分式方程 =__ 1的解是负数，则m 的取值范围是 。 2 学科网（北京）股份有限公司 14 、如图，VABC 是等边三角形，分别以点A，B ，C 为圆心，以AB 的长为半径作 ， ， ，三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形．现随机向该曲边三角形内掷一枚小针，则针尖落在VABC区域内的概率为 (π 取 3） 第 14 题图 第 15 题图 15 、如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的顶点 A 在第一象限，B ，D 分别在y 轴上，AB 交 x轴于点 E，AF⊥x 轴，垂足为 F．若 OE ＝3 ，EF＝1 ．以下结论： ①OA ＝3AF； ②AE 平分∠OAF； ③点 C 的坐标为 ( ﹣4 ，﹣); ④BD ＝6； ⑤矩形 ABCD 的面积为 24．其中正确的结论是 （填序号） 三、解答题 16、（9分）（1）计算： cos 45o ；（2）解不等式组： 17、（6分）先化简，再从-2，-1，0 ，1 ，2 中选取一个适合的数代入求值． 18、（8分）如图，四边形 ABCD 中，AD/ / BC，AB＝AD ＝CDBC ．分别以 B 、D 为圆心，大于 BD 长为半径画弧，两弧交于点 M ．画射线 AM 交 BC 于 E ，连接 DE． （1）求证：四边形 ABED 为菱形； （2）连接 BD ，当 CE ＝5 时，求 BD 的长． 3 学科网（北京）股份有限公司 19、（8分）小晨所在数学兴趣小组开展实践活动，记录如下： 项目 测量建筑物AB 的高度 工具 卷尺，测角仪等 测量示意图 测量数据 7AEF = 30o, 7ACB = 58o, CG = 10m ，EG = 30m 说明 水平地面EF 上方有一水平的平台CD ，AB T CD ，所有点均在同一竖直平面内 问题 求出建筑物AB 的高度．（结果保留两位小数；参考数据： sin58o ≈ 0.85, cos58o ≈ 0.53, tan58o ≈ 1.6, 3 ≈ 1.73 ） 20、（8分）某校开展了“做好一件家务”主题活动（家务类型为：洗衣、刷碗、做饭、拖地），要求人人参与且只做一件家务．九（1）班劳动委员将本班同学做家务的信息绘制成了如图两幅尚不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）九（1）班学生共有 人；在扇形统计图中，“洗衣 ”对应的扇形圆心角度数为 ； （2）若该校共有初中学生 1500 人，请估计该校初中学生中参与“做饭 ”的人数； （3）九（1）班评选出了近期做家务表现优秀的一男三女共四名同学，准备从这四名同学中随机选取两名同学分享体会，请用画树状图或列表的方法求所选同学中有男生的概率． 4 学科网（北京）股份有限公司 21、（8分）遵义市开展信息技术与教学深度融合的精准化教学某实验学校计划购买A ，B 两种型号教学设备，已知A 型设备价格比B 型设备价格每台高 20%，用 30000 元购买A 型设备的数量比用 15000元购买B 型设备的数量多 4 台． (1)求A ，B 型设备单价分别是多少元？ ( 3 )(2)该校计划购买两种设备共 50 台，要求A 型设备数量不少于B 型设备数量的 1 ．设购买a 台A 型设备， 购买总费用为w 元，求w 与a 的函数关系式，并求出最少购买费用． 22、（8分）定义：我们把对角线相等的凸四边形叫做“等角线四边形 ”． （1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形； ③菱形；④正方形“ 中，一定是“等角线四边形 ”的是 （填序号）； （2）如图 1 ，在正方形 ABCD 中，点 E ，F 分别在边 BC，CD 上，且 EC＝DF，连接 EF，AF，求证：四边形 ABEF 是等角线四边形； （3）如图 2 ，△ABC 中，∠ABC ＝90 ° , AB ＝4，BC ＝3，D 为线段 AB 的垂直平分线上一点，若以点A ，B ，C，D 为顶点的四边形是等角线四边形，求这个等角线四边形的面积． 5 学科网（北京）股份有限公司 23、（12分）在平面直角坐标系中，直线 y x 与反比例函数 y 的图象交于 A（a ，﹣2），B 两点． （1）求反比例函数的表达式． （2）如图 1 ，将直线 y x 向上平移 m 个单位，与反比例函数在第一象限内的图象交于点 C，连接 AC，BC，如果△ABC 的面积为 32 ，求 m 的值． （3）在（2）的条件下，过点 A 作∠ABC 的平分线的垂线，垂足为 E，求点 E 的坐标． 6 学科网（北京）股份有限公司 24、（12分）如图，四边形ABCD 内接于O ，连接AC 、BD 交于点P ，AB = AC ，过点A 作AE∥ BC 交CD的延长线于点E ． （1）求证：AE 是O 的切线； （2）求证：AB2 = BD . CE ； （3）若AC 丄 BD ，AD = 6 ，BC = 8 ，求DE 的长． 7 学科网（北京）股份有限公司 25、（12分）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点” ．例如(1,1), (2021, 2021) 都是“雁点”． （1）求函数y 图象上的“雁点”坐标； （2）若抛物线y = ax2 + 5x + c 上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与 x 轴交于 M 、N 两点（点 M 在点 N 的左侧）．当a > 1 时． ①求 c 的取值范围； ②求LEMN的度数； （3）如图，抛物线y = _x2 + 2x + 3 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），P 是抛物线y = _x2 + 2x + 3上一点，连接BP ，以点P 为直角顶点，构造等腰Rt△BPC ，是否存在点 P ，使点 C 恰好为“雁点” ？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 8 学科网（北京）股份有限公司 $