精品解析：浙江省杭州市临平区2021-2022学年九年级上学期10月月考数学试题

九年级数学期初检测试题卷 （本卷满分120分） 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求． 1. 化简的结果是（ ） A. 2 B. －2 C. 4 D. ±2 【答案】A 【解析】 【分析】，即可得出答案． 【详解】 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次根式的化简求值，属于基础题型． 2. 下面四个手机应用图标，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 故选：． 3. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程需满足的三个条件：整式方程、只含一个未知数、未知数的最高次数为2，逐一判断选项即可． 【详解】解：一元二次方程需同时满足三个条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2． ∵选项A：同时满足上述三个条件， ∴选项A是一元二次方程，符合要求． ∵选项B：中未知数的最高次数为1， ∴选项B是一元一次方程，不符合要求． ∵选项C：中含有和两个未知数， ∴选项C不符合一元二次方程的定义，不符合要求． ∵选项D：分母含有未知数，不是整式方程，， ∴选项D不符合要求． 4. 测试五位学生的“一分钟跳绳”成绩，得到五个各不相同的数据，在统计时出现了一处错误：将最高成绩写得更高了，计算结果不受影响的是（ ）． A. 方差 B. 中位数 C. 标准差 D. 平均数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求平均数，中位数，方差和标准差，根据平均数受极端值影响，方差受平均数的影响，标准差是方差的算术平方根，受方差影响，中位数与数据个数和排序有关，进行判断即可． 【详解】解：∵平均数受极端值影响，方差受平均数的影响，标准差是方差的算术平方根，受方差影响， ∴当将最高成绩写得更高了时，平均数，方差，标准差均会受到影响， ∵中位数与数据个数和排序有关，当将最高成绩写得更高了时，数据个数不变，排序不变， ∴中位数不受影响； 故选B． 5. 用反证法证明“若，，则”时，应假设（ ） A. a不垂直于c B. a，b都不垂直于c C. D. a与b相交 【答案】D 【解析】 【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，即可解答． 【详解】解：用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”， 应假设：a不平行b或a与b相交． 故选D． 【点睛】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 6. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图像和性质． 根据反比例函数的性质，当时，函数图象分布在第一、三象限，进而可判断各点值的大小关系． 【详解】解：∵， ∴函数图象分布在第一、三象限， 点的横坐标，位于第三象限，故． 点和的横坐标均大于0，位于第一象限，故，． ∵在第一象限内，随的增大而减小， ∴． 综上，， 故选：A． 7. 四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形．当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形ABC′D′．若∠D′AB＝30°，则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是（　　） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，连接DD＇，延长交AD于E，由菱形，可得,进一步说明,得到菱形AE=AD；又由正方形ABCD，得到AB=AD,即菱形的高为AB的一半，然后分别求出菱形和正方形ABCD的面积，最后求比即可． 【详解】解：如图：延长交AD于E ∵菱形 ∴ ∵ ∴ ∴AE=AD 又∵正方形ABCD ∴AB=AD,即菱形的高为AB的一半 ∴菱形ABC′D′的面积为，正方形ABCD的面积为AB2． ∴菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是． 故答案为B． 【点睛】本题主要考出了正方形的性质、菱形的性质以及含30°直角三角形的性质，其中表示出菱形ABC′D′的面积是解答本题的关键． 8. 天猫某店铺第2季度的总销售额为331万元，其中4月份的销售额是100万元，设5，6月份的平均月增长率为x，则可列方程为（ ） A. 100（1＋x）2＝331 B. 100＋100（1＋x）2＝331 C. 100＋100（1＋x）＋100（1＋x）2＝331 D. 100＋100x＋100（1＋x）2＝331 【答案】C 【解析】 【分析】设5，6月份的平均月增长率为x，则5月、5月的销售额分别为100（1＋x）和100（1＋x）2，最后根据第2季度的总销售额为331万元即可列出方程． 【详解】解：设5，6月份的平均月增长率为x，则5月、6月的销售额分别为100（1＋x）和100（1＋x）2 则根据题意有：100＋100（1＋x）＋100（1＋x）2＝331． 故答案为C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用-增长率问题，根据题意表示出5、6两月的销售额是解答本题的关键． 9. 一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数图象和反比例函数图象经过的象限分别求出一次函数的解析式中k的符号和反比例函数的解析式中k的符号，看是否一致即可得到答案． 【详解】解：A、一次函数的图象经过第一、二、三象限，则，即，反比例函数的图象经过第二、四象限，则，即，二者不一致，不符合题意； B、一次函数的图象经过第一、二、四象限，则，此种情况不成立，不符合题意； C、一次函数的图象经过第一、二、四象限，则，此种情况不成立，不符合题意； D、一次函数的图象经过第一、三、四象限，则，即，反比例函数的图象经过第二、四象限，则，即，二者一致，符合题意； 10. 如图，在平行四边形中，点是对角线的中点，过点作线段，使点，点分别在边，上（不与四边形顶点重合），连结，．设，下列结论：①若，则；②若，则与面积相等；③若，则．其中正确的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ②③ 【答案】B 【解析】 【分析】由，则有，分别是，的中点，进而可判定①，当时，则有的面积=，的面积=，然后可判定②；若⊥成立，则必须，因为前提≌，，进而可判定③． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∴∠EDO=∠FBO，∠DEO=∠BFO， ∵点是对角线的中点， ∴BO=DO， ∴△DEO≌△BFO（AAS）， ∴DE=BF， ∵， ∴，分别是，的中点， ∴，故①错； 连接EC，如图所示： ∵， ∴的面积=， ∵点O是EF的中点， ∴的面积=，所以与面积相等，故②对； 若⊥成立，则必须，因为前提≌，，得不到，故③错； 故选B． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分． 11. 若代数式 有意义，则实数x 的取值范围是_______ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解不等式，掌握被开方数为非负数是解题的关键． 根据二次根式中被开方数为非负数列不等式求解即可． 【详解】解：代数式有意义， ∴， 解得，， 故答案为： ． 12. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次，射击成绩的平均数都是8.6环，方差分别是S甲2＝0.45，S乙2＝0.50，S丙2＝0.55，S丁2＝0.60，则射击成绩最稳定的是___． 【答案】甲 【解析】 【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定；由此进行判断即可. 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴成绩最稳定的为甲． 故答案为：甲． 【点睛】本题主要考查了方差的相关知识，解题的关键在于能够熟练掌握方差的大小与数据稳定性之间的关系. 13. 在平行四边形中，若，则___________°． 【答案】135 【解析】 【分析】利用平行四边形对边平行，邻角互补，对角相等的性质求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ∴，， ， 设，则， 列方程得 ， 解得 ， ， ， ． 14. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为___________． 【答案】 3 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的定义，得到满足的关系式，再将所求代数式变形后，整体代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴把代入方程，得，整理，得， ∴． 15. 如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由勾股定理求出的长，再证明四边形是矩形，可得，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题． 【详解】解：∵，且，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形． 如图，连接AD，则， ∴当时，的值最小，此时，的面积， ∴， ∴的最小值为； 故答案为． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，本题属于中考常考题型． 16. 若反比例函数y＝，当xa或xa时，函数值y范围内的整数有k个；当xa＋1或x－a－1时，函数值y范围内的整数有k－2个，则正整数a＝______． 【答案】2或4 【解析】 【分析】根据的性质，以及y为整数，得到y的取值范围，然后得到正整数a只能取1、2、3、4，分别代入进行判断，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，反比例函数y＝中， 当xa或xa时， ∴，且， 同理当xa＋1或x－a－1时， ∴，且， ∴正整数a只能为1、2、3、4， ∴当时，有 ∴，则，且，则； ∴，则且，则； ∴当时不符合题意； 同理可求， 当时，符合题意； 当时不符合题意； 当时符合题意； ∴综合上述，正整数a为：2或4； 故答案为：2或4． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一元一次不等式组的解法，解题的关键是掌握反比例函数的性质，以及掌握不等式组的方法进行解题． 三、解答题：本题有7小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算与化简求值 （1）计算：； （2）先化简再求值：，其中，． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】（1）利用二次根式乘法运算法则化简即可； （2）利用二次根式乘法运算法则化简，进而将已知数据代入求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ， 当，时， 原式． 18. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 或 ∴； 【小问2详解】 解： ， ∴． 19. 为了了解八年级学生的课外阅读情况，学校随机调查了该年级部分学生在一周内的课外阅读时间，绘制成如下统计表根据表中信息，回答下列问题： 八年级学生一周内的课外阅读时间统计表 时间（小时） 1 2 3 4 5 人数 12 17 13 5 3 （1）求被抽查学生在一周内的课外阅读时间的平均数，并直接写出中位数和众数 （2）若该校共有300名八年级学生，请你估算该校一周内课外阅读时间不少于3小时的学生人数？ 【答案】（1）平均数为2.4小时；中位数为2小时；众数为2小时；（2）126人． 【解析】 【分析】（1）利用平均数、众数及中位数的定义分别确定答案即可； （2）用样本的平均数估计总体的平均数即可． 【详解】解：（1）平均数为：小时； 共50名学生，中位数应为第25和第26名学生的平均数，为2小时； 课外阅读时间为2小时的有17人，最多， ∴众数为2小时； （2）300×人， ∴估算该校一周内课外阅读时间不少于3小时的学生有126人． 【点睛】考查了众数、中位数及平均数的知识，解题的关键是了解有关定义及公式，难度不大． 20. 如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，O是AC的中点，AB//DC，AC=10，BD=8． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若AC⊥BD，求平行四边形ABCD的面积． 【答案】(1)证明见解析；(2)40． 【解析】 【分析】（1）先证明△AOB≌△COD，可得OD=OB，从而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可证结论； （2）先根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形证明四边形ABCD是菱形，然后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可． 【详解】解：（1）∵AB//DC， ∴∠1=∠2 ， ∠3=∠4 又∵AO=CO， ∴△AOB≌△COD， ∴OD=OB， ∴四边形ABCD是平行四边形 （2）∵AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形， ∴平行四边形ABCD的面积为S=AC×BD=40． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法和菱形的判定方法是解答本题的关键． 21. 在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为时，它的另一边长为． （1）设矩形的相邻两边长分别为，，求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （2）圆圆说其中有一个矩形的周长为，方方说有一个矩形的周长为，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？ 【答案】（1）； （2）方方的说法对，圆圆的说法不对． 【解析】 【分析】（）先利用矩形面积公式得到与的数量关系，进而求出关于的函数解析式和自变量取值范围； （）根据矩形周长公式得到与的和，代入反比例函数解析式整理得到一元二次方程，利用一元二次方程根的判别式判断方程是否存在正实数根，即可判断两人的说法是否正确． 【小问1详解】 解：由题意得，所有矩形的面积相等， ∴矩形面积为， ∵矩形相邻两边长分别为，， ∴，整理得， ∵是矩形的边长， ∴自变量的取值范围是， ∴关于的函数解析式为； 【小问2详解】 解：若矩形周长为， 根据矩形周长公式得，即， 把代入上式得， 整理得一元二次方程， ∵， ∴该方程没有实数根，不存在周长为的符合要求的矩形，圆圆说法不对； 若矩形周长为， 根据矩形周长公式得，即， 把代入上式得， 整理得一元二次方程， ∵， ∴该方程有两个不相等的正实数根，存在周长为的符合要求的矩形，方方说法对． 22. 已知常数a（a为整数）满足下面两个条件： ①关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根； ②反比例函数的图象在二、四象限． （1）求a的值； （2）根据自己所画的图象直接写出： ①当时，y的取值范围； ②当时，x的取值范围． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式以及反比例函数的性质得出关于的不等式组，解不等式组求得的取值范围，即可求得整数的值； （2）画出反比例函数的图象，根据函数图象即可得． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且， 解得且， ∵反比例函数的图象在二、四象限， ， 解得， ， 又为整数， ． 【小问2详解】 解：由（1）可知，反比例函数的解析式为，画出图象如下： 当时，， 当时，， 则由函数图象可知，①当时，， ②当时，或． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键． 23. 定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形为垂等四边形． （1）写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是_____________． （2）如图1，在方格纸中，，，在格点上，请画出两个符合条件的不全等的垂等四边形，使，是对角线，点在格点上． （3）如图2，在正方形中，点，，分别在，，上，且，求证：四边形是垂等四边形． （4）如图3，已知Rt，，，，以的右上方作等腰三角形，使四边形是垂等四边形，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1）矩形 （2）见解析 （3）见解析 （4）或或 【解析】 【分析】（1）根据定义求解即可； （2）根据定义画出图形； （3）根据正方形的性质得出相等的边和角，证明，得出相等的边和角，根据等边对等角即可得出结论； （4）根据等腰三角形的定义，分三种情况进行讨论求解． 【小问1详解】 解：已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是矩形； 【小问2详解】 解：如图，垂等四边形即为所求； 【小问3详解】 证明：在正方形中， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是垂等四边形； 【小问4详解】 解：①如图4﹣1中，当时，连接，过点D作于H． ∵， ∴， ∵四边形是垂等四边形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图4﹣2中，当时，连接，过点D作交的延长线于H，于T． 同法可得，； ③如图4﹣3中，当DA＝DC时，取AC的中点H，连接DH，BH，过点D作DT⊥BH交BH的延长线于T． 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， 解得， ∴； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学期初检测试题卷 （本卷满分120分） 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求． 1. 化简的结果是（ ） A. 2 B. －2 C. 4 D. ±2 2. 下面四个手机应用图标，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 测试五位学生的“一分钟跳绳”成绩，得到五个各不相同的数据，在统计时出现了一处错误：将最高成绩写得更高了，计算结果不受影响的是（ ）． A. 方差 B. 中位数 C. 标准差 D. 平均数 5. 用反证法证明“若，，则”时，应假设（ ） A. a不垂直于c B. a，b都不垂直于c C. D. a与b相交 6. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形．当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形ABC′D′．若∠D′AB＝30°，则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是（　　） A. 1 B. C. D. 8. 天猫某店铺第2季度的总销售额为331万元，其中4月份的销售额是100万元，设5，6月份的平均月增长率为x，则可列方程为（ ） A. 100（1＋x）2＝331 B. 100＋100（1＋x）2＝331 C. 100＋100（1＋x）＋100（1＋x）2＝331 D. 100＋100x＋100（1＋x）2＝331 9. 一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平行四边形中，点是对角线的中点，过点作线段，使点，点分别在边，上（不与四边形顶点重合），连结，．设，下列结论：①若，则；②若，则与面积相等；③若，则．其中正确的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ②③ 二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分． 11. 若代数式 有意义，则实数x 的取值范围是_______ 12. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次，射击成绩的平均数都是8.6环，方差分别是S甲2＝0.45，S乙2＝0.50，S丙2＝0.55，S丁2＝0.60，则射击成绩最稳定的是___． 13. 在平行四边形中，若，则___________°． 14. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为___________． 15. 如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为________． 16. 若反比例函数y＝，当xa或xa时，函数值y范围内的整数有k个；当xa＋1或x－a－1时，函数值y范围内的整数有k－2个，则正整数a＝______． 三、解答题：本题有7小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算与化简求值 （1）计算：； （2）先化简再求值：，其中，． 18. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2） 19. 为了了解八年级学生的课外阅读情况，学校随机调查了该年级部分学生在一周内的课外阅读时间，绘制成如下统计表根据表中信息，回答下列问题： 八年级学生一周内的课外阅读时间统计表 时间（小时） 1 2 3 4 5 人数 12 17 13 5 3 （1）求被抽查学生在一周内的课外阅读时间的平均数，并直接写出中位数和众数 （2）若该校共有300名八年级学生，请你估算该校一周内课外阅读时间不少于3小时的学生人数？ 20. 如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，O是AC的中点，AB//DC，AC=10，BD=8． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若AC⊥BD，求平行四边形ABCD的面积． 21. 在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为时，它的另一边长为． （1）设矩形的相邻两边长分别为，，求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （2）圆圆说其中有一个矩形的周长为，方方说有一个矩形的周长为，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？ 22. 已知常数a（a为整数）满足下面两个条件： ①关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根； ②反比例函数的图象在二、四象限． （1）求a的值； （2）根据自己所画的图象直接写出： ①当时，y的取值范围； ②当时，x的取值范围． 23. 定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形为垂等四边形． （1）写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是_____________． （2）如图1，在方格纸中，，，在格点上，请画出两个符合条件的不全等的垂等四边形，使，是对角线，点在格点上． （3）如图2，在正方形中，点，，分别在，，上，且，求证：四边形是垂等四边形． （4）如图3，已知Rt，，，，以的右上方作等腰三角形，使四边形是垂等四边形，请直接写出四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $