精品解析：浙江台州市2026届高三第二次教学质量评估数学试题

台州市2026届高三第二次教学质量评估试题 数学 2026.04 本试题卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 选择题部分（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为等比数列，，，则（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 17 【答案】A 【解析】 【详解】由等比中项的性质知， 若该数列的公比为，则，显然， 所以. 2. 已知为第二象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由为第二象限角，知， 而，故. 3. 设一个随机事件的样本空间为，事件，则下列结论中不一定成立的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，任意事件的概率都满足，故成立； 对于B，因是事件的对立事件，则，所以，故成立； 对于C，因为，则事件包含事件所有的样本点，所以，故成立； 对于D，由，仅能说明事件和事件的并集为样本空间，但并未说明事件和事件是否互斥， 由概率的加法公式，因此，只有当，即时，才成立，故不一定成立. 4. 已知实数，，若，，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】，故，， ，故，所以， 因为，所以，， 所以. 5. 已知一个圆锥的底面半径为，高为1，则下列对该圆锥的表述正确的是（ ） A. 体积为 B. 表面积为 C. 两条母线的夹角的最大值为 D. 过顶点的截面面积的最大值为2 【答案】D 【解析】 【分析】先算出母线长，结合体积公式、表面积公式计算后可判断AB的正误，求出轴截面的顶角值后可判断CD的正误. 【详解】对于A，圆锥的体积为，故A错误； 对于B，圆锥的母线长为， 故圆锥的表面积为，故B错误； 对于C，设圆锥轴截面顶角为，则， 而为锐角，故，故，故两条母线的夹角的最大值为，故C错误； 对于D，设两条母线的夹角为，则过顶点的截面面积为 而，故当，，故D正确. 6. 已知点，，点P是抛物线上的动点（异于A，B两点），记直线AP的斜率为，直线BP的斜率为，则下列结论正确的是（ ） A. 为定值 B. 为定值 C. 为定值 D. 为定值 【答案】C 【解析】 【分析】设（），利用两点斜率公式求，再分别求即可判断. 【详解】因为点是抛物线上异于的动点， 故设（）， 则，， 对于选项A，，不是定值，A错误； 对于选项B，，不是定值，B错误； 对于选项C，，为定值，C正确； 对于选项D，，不是定值，D错误. 7. 设复数，是关于x的方程的两个根，，在复平面内所对应的点分别为，，O为坐标原点，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 为纯虚数 【答案】B 【解析】 【详解】由题知，方程无实数根，则两个复数根，必为共轭复数，，故C错误； 又，故为实数，故A，D错误； 又，则方程的根为， 即， ， 由 得，， 故，故B正确. 8. 已知数列共有5项，各项均为正整数，且对，满足，若为数列中的项，记满足题意的数列的个数为，则（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】时，分数列仅有一个1、仅有两个1、仅有三个1讨论求出；同理求出即可． 【详解】解：时，把数列的5项依次排列， 数列只有一个1时，时，共3种，同理也有3种； 时，共2种，同理也有2种； 时，共1种； 数列仅有两个1时， 共4种； 数列仅有三个1时，共1种， 综上，； 时， 数列只有一个2时，时，共3种，同理也有3种； 时，共4种，同理也有4种； 时，一种； 数列仅有两个2时，时，共2种， 同理时也有2种； 时，共8种； 时，共1种； 数列仅有三个2时，共4种， 综上， ． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 的值域为 D. 是图象的一个对称中心 【答案】BC 【解析】 【分析】由最小正周期的公式计算判断选项A；计算函数值判断选项B；计算正弦型函数的值域判断选项C；代入检验函数的对称中心判断选项D. 【详解】函数，最小正周期为，A选项错误； ，，B选项正确； ，，所以的值域为，C选项正确； 时，，又， 则是图象的一个对称中心，D选项错误. 10. 设，为常数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由，利用两个二项式乘积及其展开式通项求对应项系数判断A、B，应用赋值法求奇偶数项的和判断C、D. 【详解】由， 对于，展开式通项为，， 对于，展开式通项为，， 所以，A对， ，B对， 令，则， 令，则， 所以，则，C错， ，D对. 11. 已知正四面体的棱长为4，顶点在平面的同侧，点，顶点到平面的距离分别为1，2，直线与平面交于点，则（ ） A. 直线与平面所成角为 B. 平面与平面所成角为 C. D. 点到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据线面角的定义可求其正弦值，故可判断其正误，对于B，求出的面积，进而求出面面角的余弦值判断其正误，对于C，利用空间垂直关系的转化可判断其正误，对于D，利用向量法可求点到平面的距离，从而可判断其正误. 【详解】 设在平面内的射影为，在平面内的射影为，连接， 则， 对于A，因为，所以为直线与平面所成的角， 而，而为锐角，故，故A正确； 对于B，因为，故，故四边形为梯形， 而，，故，故四边形为直角梯形， 同理 而，故. 在中，， 故， 而，设平面与平面所成角为， 则，故平面与平面所成角不为，故B错误； 对于C，由题设平面，而，故平面平面， 故三点共线，而，故为的中点， 故，故， 连接，则，而，，故， 而平面，故平面，而平面， 故，故C正确； 对于D，由C的分析可得，故. 由可得为的中点，故， 连接，则，故. 过作平面的垂线，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，故， 设，则， 故，消元可得，故， 故D正确. 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量，，，若，则的最小值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量平行坐标表示可得之间的关系，将问题转化为二次函数最小值的求解即可. 【详解】，，即， ， ，当时，取得最小值. 13. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C上，O为坐标原点，，，则双曲线C的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据双曲线的定义求出，然后利用余弦定理分别表示出及，再根据两个角的关系列出方程求出，即可求出双曲线的离心率. 【详解】 因为，所以， 所以，即. 因为，，所以 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得. 因为，所以， 即，解得，所以. 所以. 14. 已知一个不透明的袋子里装有除颜色外没有其他差异的2个白球和4个黑球，现操作如下：从袋子中随机取出一个球，若取出的是白球，则放进一个黑球，白球不放回；若取出的是黑球，则放进一个白球，黑球不放回（其中放进去的白球或黑球与原来袋子里的相应颜色的球没有差异），依此规则操作2次，记袋中的白球个数为，则的数学期望为_______. 【答案】## 【解析】 【详解】由题设可取， 又，， ， 故. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足. （1）求角A的大小； （2）若，，求的周长. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【小问1详解】 已知， 由正弦边角关系得，化简得， 应用辅助角公式可得，而，所以. 【小问2详解】 由余弦定理，得，解得， 所以，故的周长为. 16. 如图，在四棱台中，上、下底面均为正方形，底面，，，，点为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线性质以及线面平行的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系求出相应的向量坐标，再求出两个面的法向量，用平面夹角的向量公式即可求出余弦值，进而求得正弦值. 【小问1详解】 证明：连接交于点，如图所示： 由是正方形得为的中点， 因为为的中点，所以为的中位线， 于是，又因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 由已知，平面，， 所以以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 如图所示， 因为， 所以， 因为点为棱的中点，所以， 设平面的一个法向量为， 又， 则，即， 令，则，则， 设平面的一个法向量为， 又， 则，即， 令，则， 记平面与平面的夹角的大小为，则： ， 由图可知平面与平面的夹角为锐角， 故. 17. 2016-2024年我国的国内生产总值（GDP）的数据（摘自《中国统计年鉴-2025》）如下： 年份（x） 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 GDP/万亿元（y） 74.64 83.20 91.93 98.65 101.36 114.92 120.47 129.43 134.91 由以上数据，得到x与y的9对样本数据为，，…，，有关计算结果如下：，，. （1）证明：； （2）请根据最小二乘法，求出一元线性回归方程，并计算出2025年的GDP预测值与实际值的误差.（注：从《中国统计年鉴-2025》中查得2025年的GDP为140.19万亿元.） 附：一元线性回归方程，其中. 【答案】（1）证明见解析 （2）；3.07（万亿元） 【解析】 【分析】（1）先将原式左侧展开，再根据平均数的计算公式变形即可得证； （2）由条件求出，即可得一元线性回归方程，将代入回归方程求出预测值，预测值与实际值差的绝对值即为误差. 【小问1详解】 左边 =右边，故等式成立； 【小问2详解】 设一元线性回归方程为， 则， 将代入回归方程可得，解得， 所以一元线性回归方程为. 当时，求得，即2025年的GDP预测值为143.26万亿元， 而2025年GDP的实际值为140.19万亿元， 故误差为（万亿元）. 18. 已知椭圆的离心率为，右焦点为，点，点T是椭圆C上位于第四象限内的任意一点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点P作椭圆C的两条切线，，过点T作椭圆C的切线l，l与，的交点分别为M，N， （ⅰ）求切线，的方程： （ⅱ）问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由. 【答案】（1） （2）（ⅰ），；（ⅱ）为定值，定值为90°. 【解析】 【分析】（1）根据离心率、焦点坐标确定椭圆的参数，即可得； （2）（i）设过点P的直线方程为，联立椭圆并结合相切关系得求直线的斜率，即可得；（ii）利用相切关系求得，结合（2）所得，求交点坐标，再应用向量数量积的坐标运算求得，即可得. 【小问1详解】 由题意得，，解得，，所以椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）由题意，设过点P的直线方程为，联立， 消去y并整理得， 由，即，解得，. 所以切线方程分别为，. （ⅱ）设且，则且，联立， 所以，则， 由相切关系知，则， 所以，则， 由，则， 所以，则，得， 所以，即， 由，联立直线得，则， 由，联立直线得，，则， 因为，，， 所以，即， 故为定值，且定值为90°. 19. 已知，函数. （1）当时，求函数的极小值； （2）证明：当时，对任意，，都有； （3）若存在，，，使得成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数研究函数的极小值，即可得； （2）首先应用导数确定为增函数，再得到为增函数，利用单调性即可证明； （3）设，，从而得到能成立，利用导数及分析法求右侧的最小值，即可得. 【小问1详解】 由，得. 令，解得，， 当时，；当时，； 当时，. 所以在、上单调递增，在上单调递减， 因此，的极小值为； 【小问2详解】 当时，，其中时取等号， 所以为增函数， 对任意的，，不妨设，则， 又， 所以为增函数，得，即， 故； 【小问3详解】 由题意，不妨设，， 因为，所以， 整理得，， 令，，. ①当时，， 此时. ②当时，令，解得， 因此，在上单调递减，在上单调递增，故， 法一：因为， 又因为，得，即 所以， 记，， 则， 因为，所以， 即， 因此，当时，， 又， 综上，， 法二：求最小值的第二种解法. 令，因为，，所以， 下证：， 因为 ， 只需证：， 只需证：， 令，则， 因为， 所以，即恒成立， 因此，， 令，则，对于，， 所以，当且仅当时，. 所以a的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 台州市2026届高三第二次教学质量评估试题 数学 2026.04 本试题卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 选择题部分（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为等比数列，，，则（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 17 2. 已知为第二象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 设一个随机事件的样本空间为，事件，则下列结论中不一定成立的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 4. 已知实数，，若，，则（ ） A. B. C. D. 1 5. 已知一个圆锥的底面半径为，高为1，则下列对该圆锥的表述正确的是（ ） A. 体积为 B. 表面积为 C. 两条母线的夹角的最大值为 D. 过顶点的截面面积的最大值为2 6. 已知点，，点P是抛物线上的动点（异于A，B两点），记直线AP的斜率为，直线BP的斜率为，则下列结论正确的是（ ） A. 为定值 B. 为定值 C. 为定值 D. 为定值 7. 设复数，是关于x的方程的两个根，，在复平面内所对应的点分别为，，O为坐标原点，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 为纯虚数 8. 已知数列共有5项，各项均为正整数，且对，满足，若为数列中的项，记满足题意的数列的个数为，则（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 的值域为 D. 是图象的一个对称中心 10. 设，为常数，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知正四面体的棱长为4，顶点在平面的同侧，点，顶点到平面的距离分别为1，2，直线与平面交于点，则（ ） A. 直线与平面所成角为 B. 平面与平面所成角为 C. D. 点到平面的距离为 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量，，，若，则的最小值为_______. 13. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C上，O为坐标原点，，，则双曲线C的离心率为______. 14. 已知一个不透明的袋子里装有除颜色外没有其他差异的2个白球和4个黑球，现操作如下：从袋子中随机取出一个球，若取出的是白球，则放进一个黑球，白球不放回；若取出的是黑球，则放进一个白球，黑球不放回（其中放进去的白球或黑球与原来袋子里的相应颜色的球没有差异），依此规则操作2次，记袋中的白球个数为，则的数学期望为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足. （1）求角A的大小； （2）若，，求的周长. 16. 如图，在四棱台中，上、下底面均为正方形，底面，，，，点为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值. 17. 2016-2024年我国的国内生产总值（GDP）的数据（摘自《中国统计年鉴-2025》）如下： 年份（x） 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 GDP/万亿元（y） 74.64 83.20 91.93 98.65 101.36 114.92 120.47 129.43 134.91 由以上数据，得到x与y的9对样本数据为，，…，，有关计算结果如下：，，. （1）证明：； （2）请根据最小二乘法，求出一元线性回归方程，并计算出2025年的GDP预测值与实际值的误差.（注：从《中国统计年鉴-2025》中查得2025年的GDP为140.19万亿元.） 附：一元线性回归方程，其中. 18. 已知椭圆的离心率为，右焦点为，点，点T是椭圆C上位于第四象限内的任意一点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点P作椭圆C的两条切线，，过点T作椭圆C的切线l，l与，的交点分别为M，N， （ⅰ）求切线，的方程： （ⅱ）问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由. 19. 已知，函数. （1）当时，求函数的极小值； （2）证明：当时，对任意，，都有； （3）若存在，，，使得成立，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $