精品解析：浙江省台州市2025届高三第二次教学质量评估数学试题

台州市2025届高三第二次教学质量评估试题 数学 2025.4 命题：叶挺（三门县教师发展中心） 闫大贵（温岭中学） 审题：范伟峰（天台中学） 本试题卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 选择题部分（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知圆M：，则圆心坐标和半径分别为（ ） A. ，4 B. ，4 C. ，2 D. ，2 2. 已知等差数列的公差，，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 若随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知复数，（，i为虚数单位），则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知一个盒子里有4个大小形状完全相同的小球，其中2个红球，2个黑球，现从中任取两球，若已知一个是红球，则另一个也是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，若函数既有极大值又有极小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知某个正三棱台的上、下底面面积分别为和，高为6，则该正三棱台的外接球半径为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 8. 已知，为双曲线C：的左、右焦点，过作直线l与双曲线的右支交于A，B两点，且，，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是定义域为R且周期为2的函数，其部分图象如图所示，则下列选项对恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，，则下列选项正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. 的最大值为30 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 如图，是由两个平行平面截半径为2cm且足够高的圆柱体所得的几何体，截面与圆柱体的轴成45°，上、下截面间的距离为.某高中数学兴趣小组对该几何体进行了探究，得出下列四个结论，其中正确的是（ ） A. 截口曲线的离心率为 B. 该几何体的体积为 C. 该几何体的侧面积为 D. 该几何体的上截面面积为 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则=______． 13. 如图，已知在中，，，，是线段上的动点，、是线段上的动点（在的右侧），且四边形是正方形，则线段长度的最小值是______． 14. 已知集合，含两个元素的集合． （1）若，则满足条件的集合A的个数为______； （2）若，则满足条件的不同的有序数对的个数为______．（结果均要化简） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某市为了推广垃圾分类，在全市范围内开展了一系列宣传活动.为了评估宣传效果，市环保部门随机抽取了1000名市民进行调查.假设该市成年人口为100万，且调查结果可以代表全市成年人口的情况.调查结果如右： 了解情况 非常了解 一般了解 不了解 人数（名） 580 320 100 （1）从该市成年人口中随机抽取1人，求其对垃圾分类知识“不了解”的概率； （2）该市环保部门计划对“不了解”垃圾分类知识的市民进行重点宣传.假设经过重点宣传后，“不了解”的市民中有50%转变为“一般了解”，有20%转变为“非常了解”，其余保持不变.经过重点宣传后，从该市成年人口中随机抽取3人，记X为其中对垃圾分类知识“非常了解”的人数，求X的分布列及数学期望. 16. 已知四棱锥，底面ABCD是直角梯形，侧面PAD是等边三角形，，，AD=2，BC=1，，M是PD的中点. （1）求证：直线平面； （2）当二面角的大小为时，求直线CM与平面ABCD所成角的正弦值． 17. 已知数列和满足，，且，． （1）求数列和的通项公式； （2）求的值.（其中表示不大于的最大整数，如） 18. 已知抛物线：的焦点为，直线l与抛物线交于A，B两点，且为线段AB的中点． （1）求抛物线的标准方程； （2）求直线l的方程； （3）过点作抛物线的两条切线，分别交l于C，D两点，求面积的最小值. 19. 函数的定义域为，记的图象在点处的切线方程为．定义集合；集合． （1）若，求； （2）若，为自然对数底数（下同），求证：； （3）若，求，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 台州市2025届高三第二次教学质量评估试题 数学 2025.4 命题：叶挺（三门县教师发展中心） 闫大贵（温岭中学） 审题：范伟峰（天台中学） 本试题卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 选择题部分（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知圆M：，则圆心坐标和半径分别为（ ） A. ，4 B. ，4 C. ，2 D. ，2 【答案】D 【解析】 【分析】利用给定圆的方程直接求出圆心坐标及半径即得. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为. 故选：D 2. 已知等差数列的公差，，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，用公差表示，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】等差数列的公差，由，得，解得， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 故选：B 3. 若随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得结果. 【详解】由可得，即， 因为随机变量，且， 故. 故选：B. 4. 已知复数，（，i为虚数单位），则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数模的意义，结合充分条件、必要条件的定义判断得解. 【详解】复数，，则 ，解得， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 5. 已知一个盒子里有4个大小形状完全相同的小球，其中2个红球，2个黑球，现从中任取两球，若已知一个是红球，则另一个也是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设事件A表示：在所取的球中有一个是红球，事件B表示：另一个也是红球，分别求出和，利用条件概率能求出在所取的球中有一个是红球的情况下，另一个也是红球的概率. 【详解】设事件A表示：在所取的球中有一个是红球，事件B表示：另一个也是红球， 则，， 已知一个是红球的情况下，另一个也是红球的概率为： . 故选：A. 6. 已知，若函数既有极大值又有极小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得，分析可知，关于的方程有两个不等的正根，根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，由此可得出实数的取值范围. 【详解】因为函数的定义域为， 所以， 因为函数既有极大值，又有极小值， 则关于的方程有两个不等的正根、， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：C. 7. 已知某个正三棱台的上、下底面面积分别为和，高为6，则该正三棱台的外接球半径为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求得上下底面所在平面截球所得圆的半径，找到球心，求得半径，再由球的表面积公式可得结果. 【详解】如图所示，分别为上下底面的外心，则外接球球心在线段上， 连接并延长交于，连接并延长交AB于D， 设等边三角形的边长为，根据正三角形面积公式， ∴，， 设等边三角形的边长为，根据正三角形面积公式， ∴，C=CD=，则， 设正三棱台的外接球的半径, 得，解得，即. 故选：B. 8. 已知，为双曲线C：的左、右焦点，过作直线l与双曲线的右支交于A，B两点，且，，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据双曲线定义表示，在中利用余弦定理可得，在中利用余弦定理可得的关系，即可得到双曲线离心率. 【详解】由双曲线定义得，，， 设，则由图，， 在中，由余弦定理得，解得， ∴. 在中，由余弦定理得， ∴，故离心率. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是定义域为R且周期为2的函数，其部分图象如图所示，则下列选项对恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合周期为2，可知函数在R上的图象，可判断A选项；由图象结合对称轴知识，可以判断B选项；C结合单调性可判断；D选项，结合函数构造，最值关系及周期、对称关系可判别. 【详解】A选项：由已知，函数是定义域为R且周期为2，则将的图象往左和往右复制延伸可得的图象， 可知函数关于y轴对称，为偶函数，A选项正确； B选项：由图象可知为函数图象的对称轴，故，B选项正确； C选项：令，则，又， 则恒成立，即单调递增， 当时，，即， 由图象可知，在时，单调递增，， 时，单调递减，，C选项错误； D选项：由图象可知，在时，，， 令，则，在该区间单调递增， 且，则，满足， 则当时，，单调递减，， 当时，，单调递增，， 则，，即，即， 令，该函数周期，且关于轴对称，则在R上恒成立，D选项正确. 故选： 10. 已知，，，则下列选项正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. 的最大值为30 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用向量模的三角不等式（当且仅当同向时时取等号）用该不等式求解的最大值，把首尾顺次连接构成封闭三角形时，是最小值，利用向量数量积化简分析最值，利用向量同向时数量积取得最大值，反向或特殊位置时即可求得最小值. 【详解】对于选项A：由向量模长的三角不等式， 当且仅当同向时，取得最大值9； 当这三个向量当首尾顺次连接构成封闭三角形时，，模长为0， 由于长度为2，3，4满足任意两边之和大于第三边，所以这样的三角形是存在的， 故的取值范围是[0，9]，故选项A正确. 对于选项B， ， 当同向时，， 的最大值为，B选项正确. 对于选项C，D， ， 设，则上式为①， 当与反向时， ， 所以代入①式得， 所以当时，取得最小值为，此时， 所以，这种可能性是存在的，故选项C是正确的，选项D是错误的. 故选：ABC 11. 如图，是由两个平行平面截半径为2cm且足够高的圆柱体所得的几何体，截面与圆柱体的轴成45°，上、下截面间的距离为.某高中数学兴趣小组对该几何体进行了探究，得出下列四个结论，其中正确的是（ ） A. 截口曲线的离心率为 B. 该几何体的体积为 C. 该几何体的侧面积为 D. 该几何体的上截面面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：求出长轴短轴长即可求得结果；对于选项B，C利用割补法将图形等价于底面半径为，高为的圆柱即可求得结果，对于选项D：利用椭圆的面积公式即可求得结果. 【详解】对于A：因为截面与圆柱体的轴成45°，且圆柱体底面半径为， 故截面椭圆长轴长为，短轴长为，故， 故，故A错误； 对于选项B：因为上、下截面间的距离为，所以， 将该几何体沿A点平行于圆柱底面切割补到以沿点B平行于圆柱底面的位置， 则正好是以底面半径为，高为的圆柱，则，故B正确； 对于选项C：同样以选项B的方法割补，侧面积即为以底面半径为2， 高为2的圆柱的侧面，,故选项C正确； 对于选项D：利用椭圆的面积公式：，故选项D正确， 故选：BCD 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则=______． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方关系，结合余弦的两角差公式即可求解. 【详解】由，平方可得， ， 两式相加得：， 故答案为：. 13. 如图，已知在中，，，，是线段上的动点，、是线段上的动点（在的右侧），且四边形是正方形，则线段长度的最小值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用余弦定理可求得，设，则，，，然后在中，利用余弦定理结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】在中，，，， 由余弦定理可得， 因为，则， 设，则，，， 由题意可得，即，可得， 因为，则， 在中，由余弦定理可得 ， 即，当且仅当时，等号成立，即的最小值为. 故答案为：. 14. 已知集合，含两个元素的集合． （1）若，则满足条件的集合A的个数为______； （2）若，则满足条件的不同的有序数对的个数为______．（结果均要化简） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可得出.根据集合元素的性质设，则.依次列举可得出取不同值时取值的情况，观察可得出构成一个等差数列，根据等差数列前项和公式计算即可得出答案； （2）根据已知可得可知为4的整数倍.然后分为奇数、为2的奇数倍、为2的偶数倍，三种情况，分别求出满足条件的个数，求和即可得出答案. 【详解】（1）由可得， . 因为，所以. 又，所以有. 根据集合元素的无序性以及互异性，不妨设，则. 当时，可取2，3，4，……，，共种可能； 当时，可取3，4，……，，共种可能； 当时，可取4，……，，共种可能； …… 当时，可取，，，，，共5种可能； 当时，可取，，，共种可能； 当时，可取，共种可能. 易知1，3，5，……，，，构成了一个以1为首项，2为公差的等差数列，项数为项， 和为. （2）由（1）知，. 因为，可知为4的整数倍. ①当为奇数时，应取2的奇数倍， 显然在，满足条件的有2，6，……，，有个. 在，满足条件的有1，3，5，……，，有个. 此时满足条件的不同的有序数对的个数为； ②当为2的奇数倍时，应取4的整数倍， 显然在，满足条件的有4，8，……，，有个. 在，满足条件的有2，6，……，，有个. 此时满足条件的不同的有序数对的个数为； ③当为2的偶数倍，即4的整数倍时，应取4的整数倍，且， 显然在，满足条件的有4，8，……，，有个. 在，满足条件的有4，8，……，，且，有个. 此时满足条件的不同的有序数对的个数为. 综上所述，满足条件的不同的有序数对的个数为. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：对于参数较多的时候，常采用分类讨论固定一个参数的取值，结合已知分析另外参数的取值情况. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某市为了推广垃圾分类，在全市范围内开展了一系列宣传活动.为了评估宣传效果，市环保部门随机抽取了1000名市民进行调查.假设该市成年人口为100万，且调查结果可以代表全市成年人口的情况.调查结果如右： 了解情况 非常了解 一般了解 不了解 人数（名） 580 320 100 （1）从该市成年人口中随机抽取1人，求其对垃圾分类知识“不了解”的概率； （2）该市环保部门计划对“不了解”垃圾分类知识的市民进行重点宣传.假设经过重点宣传后，“不了解”的市民中有50%转变为“一般了解”，有20%转变为“非常了解”，其余保持不变.经过重点宣传后，从该市成年人口中随机抽取3人，记X为其中对垃圾分类知识“非常了解”的人数，求X的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 0.064 0.288 0.432 0.216 . 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算即可得出结果； （2）先求出重点宣传后 “非常了解” 的概率，再根据二项分布的性质确定X的分布列和数学期望，即可求得结果. 【小问1详解】 已知随机抽取了1000名市民进行调查，其中 “不了解” 的人数为100名， 根据古典概型概率公式可得， 所以从该市成年人口中随机抽取1人，对垃圾分类知识 “不了解” 的概率. 【小问2详解】 原来 “不了解” 的市民占比为0.1，“非常了解” 的市民占比为，“一般了解” 的市民占比为， 经过重点宣传后，“不了解” 的市民中有转变为 “一般了解”，有转变为 “非常了解”，其余保持不变， 所以重点宣传后 “非常了解” 的概率为. 从该市成年人口中随机抽取3人，记X为其中对垃圾分类知识 “非常了解” 的人数，因为每次抽取是相互独立的，且抽取到 “非常了解” 的概率都为0.6，所以， 根据二项分布的概率公式. ， ， ， . 所以X的分布列为： 0 1 2 3 0.064 0.288 0.432 0.216 因为，根据二项分布的数学期望公式可得. 16. 已知四棱锥，底面ABCD是直角梯形，侧面PAD是等边三角形，，，AD=2，BC=1，，M是PD的中点. （1）求证：直线平面； （2）当二面角的大小为时，求直线CM与平面ABCD所成角的正弦值． 【答案】（1）如图，取的中点N，连接，又M是PD的中点， 则且，又因为，AD=2，BC=1， 所以且，所以四边形为平行四边形，故, 因为平面,平面,所以直线平面 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明； （2）取的中点E，连接得到为二面角的平面角，再建立空间直角坐标系利用向量法即可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点E，连接,因为三角形为等边三角形， 所以,且 且，所以四边形为平行四边形，, 因为，所以，所以为二面角的平面角， 所以,，所以三角形为等边三角形， 因为平面,平面， 所以平面,作于点O，因为平面，所以, 又因为平面,平面， 所以平面，如上图所示，以O为坐标原点，以OC为x轴， 以平行于AD为y轴，以OP为z轴建立空间直角坐标系， 则,, 显然平面的法向量为，设直线CM与平面ABCD所成角为， 则， 故直线CM与平面ABCD所成角的正弦值为. 17. 已知数列和满足，，且，． （1）求数列和的通项公式； （2）求的值.（其中表示不大于的最大整数，如） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件得出，可知数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，可求出数列的通项公式，进而得出，利用前项和与通项的关系可求出数列的通项公式； （2）由放缩法得出，当时，，结合放缩法得出的范围，进而可得出的值. 【小问1详解】 由可得，且， 所以，数列是首项和公比都为的等比数列， 所以，，故， 由已知， 可得①， 当时，则有②， ①②得，解得， 也满足， 故对任意的，. 【小问2详解】 因为 ， 所以，， 另一方面，当时， ， 所以，， 所以，， 又因为，因此，. 18. 已知抛物线：的焦点为，直线l与抛物线交于A，B两点，且为线段AB的中点． （1）求抛物线的标准方程； （2）求直线l的方程； （3）过点作抛物线的两条切线，分别交l于C，D两点，求面积的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的焦点坐标求得，即可求解； （2）根据点差法，结合斜率公式即可求解直线的斜率，进而可判断直线过焦点，由焦点弦公式即可求解； （3）设设抛物线的切线方程为，联立直线与抛物线得交点坐标关系，设的方程为，联立，求出、，进而求得，利用点到直线的距离公式求出点到直线线的距离，根据三角形面积公式列关系利用导数求出最值即可. 【小问1详解】 因为抛物线：的焦点为， 所以， 所以抛物线. 【小问2详解】 由题易知直线的斜率存在．设，则可得． 因为线段的中点为，所以， 所以，则的方程为，即． 【小问3详解】 设抛物线的切线方程为， ，即，由，可得， ，设的方程为， 联立， ，同理， ， 点到直线线的距离，所以， 令， 因为，则，，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，此时. 19. 函数的定义域为，记的图象在点处的切线方程为．定义集合；集合． （1）若，求； （2）若，为自然对数底数（下同），求证：； （3）若，求，并说明理由． 【答案】（1） （2） 假设，则存在，使得对任意的，则有， 因为，则，所以， 所以，函数在处的切线方程为， 所以，所以， 当时，，与假设矛盾， 因此，假设不成立，即. （3），理由： 因为，则， 所以，，， 所以，在处的切线方程为， 所以，， 令， 当时，，可知当时，，因此， ，，且时，， ， 令，则， ①若，则当时，，则在上单调递增， 所以，，即函数在上单调递减， 此时，矛盾； ②若，则当时，，即函数在上单调递增， 所以，即函数在上单调递减， 此时，矛盾； ③若，则当时，， 即函数在上单调递减，则， 所以函数在上单调递减，此时，矛盾； ④若，则矛盾； ⑤若，当时，，则函数在上单调递增， 所以，，则函数在上单调递增， 此时， 当时，，则函数在上单调递减， 所以，则函数在上单调递增， 此时， 当时，，而， 所以，，则函数在上单调递增， 此时，. 综上所述，. 【解析】 【分析】（1）利用导数求出函数在处的切线方程，即可得出的表达式； （2）利用导数求出，利用反证法，取，证明出，推出矛盾，从而可证得结论成立； （3）利用导数的几何意义求出，令，推导出，分析可知，，，且时，，对的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，分析的符号变化，结合集合中的元素特征进行验证，综合得出结果. 【小问1详解】 因为，则，所以，，， 所以，函数在处的切线方程为，故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $