第十五讲 数列大题：奇偶数列、单调数列 讲义-2026届高三数学二轮复习

第15讲数列大题 奇偶数列、单调数列 知识核心、求和公式 1、公式法求和 (1)等差Sn=nal+an2=na十nn-12d; (2)等比Sm=a11-qn1-q=al-anq1-q. 2、裂项相消求和【对称保留】 (1) 1-111 n(n+1)nn+1i n(n+k)k nn+k (2)，1 n2+可=（点-点）：【平方差】 1 4方= d+k-同：2-2可N-2可【有理】 2” 11 4(2-02-可2”-12- 【配凑法】 3 111 3”-103-)23”-i3-} n21 1 1+ 4n2-14(2n+10(2n-) 3、倒序相加法：如果数列与首末两端等距离的两项的和等于同一个常数，可用倒序相加法求解 4、一些常见的数列的前n项和 ①∑k=1+2+3+…+n=n(n+1) ②k2=P+22+32+…+m2=n(n+1(2m+) = ③k=1+22+3+…+n=+] 2 6、等差、等比数列奇偶项和的性质（证明) (1)等差数列中 ①若项数为偶数2，则5.=a+a)=a,+a:5a5。d13a S奇=am, 1 ②若项数为奇数20-，则52n-0,:SS。0,之=光一 (2)等比数列中，若项数为2m,则9：若项数为2n+1,则S,-4q ”S S偶 7、含奇偶项的数列求和问题 1、项数问题 ①数列项数是2n项，那么奇数和偶数分别是n项； ②数列项数是2n+1项，那么奇数为n+1项，偶数为n项； 2、常见类型 公州为偶数，求，的值：则工=0+a+…+a2+6+,+…+ ①cn= an,n为奇数 ②Cn= b,n为偶数’求的值 ①n为奇数时，有”空个奇致项有”受个偶数项，则=但+8+…+a小+低++…+6 (2)n为偶数时，有号个奇数项，有号个偶数项，则7，=a+a,++a小++++6】 8、常见放缩公式（分母大的，反而小） 方宁京可 (1)↓<111 (2)人22 Gg以e:g阿i可 => << 2=2(-n-) 3)2n+1-n)E+i+五+ 数列：真题 错位相减法求和 1.(2025全国一卷高考真题)设数列{a,满足a,=3,a出=0+ 1 nn+1n(n+1) (1)证明：{nan}为等差数列： (2)设f(x)=ax+a2x2+…+anmx"，求f'(-2). 2 2.（2024全国甲卷高考真题)记Sn为数列{an}的前n项和，已知4Sn=3a,+4. (1)求{an}的通项公式： (2)设b。=(-1)-nan,求数列{bn}的前n项和Tn· 3.（2022天津.高考真题)设{an}是等差数列，{b}是等比数列，且a=b=a2-b2=a-b=1. (1)求{an}与{b}的通项公式： (2)设{an}的前n项和为Sn,求证：(Sn1+a+1)b,=S+bn1-Sbn; 6慷2[awra]A. 2021浙江高考真题)已知数列Q的前n项和为S,4=-号，且4S,3S (1)求数列{an}的通项： (2)设数列{bn}满足3bn+(n-4)am=0(n∈N),记{bn}的前n项和为Tn,若Tn≤元bn对任意n∈N恒成立，求实数 入的取值范围. 分组求和法 5.2023新浅标老古考民恩》已圳a为特发数点=侣南变数，记义，乙分%数列a,的 前n项和，S4=32,T=16. (1)求{an}的通项公式： (2)证明：当n>5时，Tn>Sn. 6.(2021新高考全国I卷高考真题)已知数列(an}满足4=1，am+1= an+1,n为奇数， an+2,n为偶数. (1)记b.=a2n,写出b,b2,并求数列b.}的通项公式； (2)求{an}的前20项和. 数列：2年模拟 单调性与最值综合（求数列最大、小项） 1.(25-26高三上安徽合肥月考)已知数列an}中，a,=1,a,+a+1=5×4“. (1)证明：数列{a.-4是等比数列； (2)求{an}的前n项和Sn; 3)令6=n a,-3-少，求数列b}的最大项 2.(25-26高三上山东临沂期中)己知数列{an}中，a1=1,an+a+1=6×5”. (1)证明：数列{an-5”}是等比数列； (②)求{an}的前n项和Sn; n (3)令b,= 0。-4-1，求数列b,}的最大项 数列奇偶项和性质问题 方法点拨：等差数列：项数为2n时，S偶一S奇=nd:项数为2n-1时，S奇一S偶=an(中闻项)。等比 数列：项数为2n时，=g:项数为2如+1时，=g优先判断项数奇侧性，直接套用性质简化计算， S奇 S名 避免复杂通项推导。 3.(25-26高三上新疆昌吉·月考)己知数列{an}是等差数列. 0者4=2,4-求4： (2)若a1=7,as0=101,求S5o; (3)若数列{α，}的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261，求此数列的项数 4.(2025山东威海一模)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，且2Sn=an2+an (I)求数列{an}的通项公式 (2)记cn=(-1)anan1,求数列{cn}的前n项和T, 6 5.(2425高三上云南明道月考)设数列4的前吸和为8，已知4=，=21，且{月} 为等差数列 (I)求数列{an}的通项公式； an,n为奇数 (2)若bn= _1,为偶数’求b,}的前2n项和7 a an+2 6.(2025山西临汾·三模)己知正项数列{an}中，a,=2,满足a,+an+1a,-6a=0. (1)求数列{an}的通项公式： an,n为偶数， (2)己知数列b}满足b,= oo,4,+2内奇数求数列6的前2n项和7 2 插入项构造新数列问题 7.(25-26高三上·天津滨海新·期中)已知数列{an}是等差数列，{bn}是公比不为1的等比数列，a2=6, a4+a5=22,3a1=4b,且2b2是3b与b的等差中项 (1)求数列{a},{b,}的通项公式； -空为奇数 (2)设dn= 4n-1b ,n为偶数 an-an+ (3)若对于数列an},{bn},在a和a1之间插入b个2(k∈N)组成一个新的数列cn},记数列cn}的前项和为Tn, 求T2026 含（一）”的奇偶项并项求和问题 8.(2025高三上湖北孝感.专题练习)数列an}满足：a1=2,am+1=3am+2n-1,n∈N. (1)求数列{an}的通项公式 (2)数列cn}满足：cn=(-l)”an,求数列cn}的前2n项和T2m· 6 9.(23-24高三上辽宁)已知{a,是各项均为正数的数列，Sn为{√a,}前n项和，且Va,S,a,-2成等差数列. (I)求{an}的通项公式： a证古… 13 (3)已知b,=（-1)”an,求数列{bn}的前n项和T. 裂项求和：三项积型 10.(2025山东模拟》数列a,}中、a=2u+1na,a+a-a,=0aeN),设数列42的前n项和为 1 n+2 Sn,则Sn= 180 1.(24-25高二下河南南阳期中)已知数列a,}的通项公式为a,n+1”+2+3,函数 f(x)=ax+a2x2+ax3+…+anx”在x=1处的导数为f'(1),则使得f'1≥14的正整数n的最小值为 引领风向-最新模考新颖题(4题) 12.(2026·河北沧州·一模)记Sn,Tn分别为数列an},bn}的前项和，其中{an}满足 an-4,n为奇数 2an=an+am2,bn= 20,+2,n为偶数’且S,=24,I=14. (1)求an及Sn; (2)当n为正奇数时，比较Sn与Tn的大小. 13.(2025·江苏淮安·模拟预测)已知数列an}的前n项和为Sn,且an∈N. (1)若{an}为等差数列，且m,n∈N,Smm=SmSn,求数列{an}的通项公式： (2)若对任意m,neN,都有 2Snn_2Sn=ann-am· m+n m ①求证：{an}是等差数列； 2025 ②设b,=2，S25=20252,4049≤1og <4050,求{an}的公差d的值. 10 第15讲 数列大题 奇偶数列、单调数列 知识核心、求和公式 1、公式法求和 （1）等差Sn＝＝na1＋d； （2）等比Sn＝＝. 2、裂项相消求和【对称保留】 （1）； （2）；【平方差】 （3） ；【有理化】 （4）【配凑法】 3、倒序相加法：如果数列与首末两端等距离的两项的和等于同一个常数，可用倒序相加法求解 4、一些常见的数列的前n项和 ① ② ③ 6、等差、等比数列奇偶项和的性质（证明） （1）等差数列中 ①若项数为偶数，则；；． ②若项数为奇数，则；；． （2）等比数列中，若项数为，则；若项数为，则． 7、含奇偶项的数列求和问题 1、项数问题 ①数列项数是2n项，那么奇数和偶数分别是n项； ②数列项数是2n+1项，那么奇数为n+1项，偶数为n项； 2、常见类型 ①，求的值；则 ②，求的值 （1）n为奇数时，有个奇数项，有个偶数项，则 （2）n为偶数时，有个奇数项，有个偶数项，则 8、常见放缩公式 （分母大的，反而小） （1）； ； （2）； （3） 数列：真题 错位相减法求和 1．（2025·全国一卷·高考真题）设数列满足， (1)证明：为等差数列； (2)设，求． 【详解】（1）由题意证明如下，，在数列中，，， ∴，即，∴是以为首项，1为公差的等差数列. （2）由题意及（1）得，，在数列中，首项为3，公差为1， ∴，即，在中， ，∴， 当且时，∴， ∴；∴ . 2．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【详解】（1）当时，，解得． 当时，，所以即，而，故，故，∴数列是以4为首项，为公比的等比数列，所以. （2）, 所以；故 所以 ，. 3．（2022·天津·高考真题）设是等差数列，是等比数列，且． (1)求与的通项公式； (2)设的前n项和为，求证：； (3)求． 【详解】（1）设公差为d，公比为，则， 由可得（舍去），所以； （2）证明：因为所以要证， 即证，即证，即证， 而显然成立，所以； （3）因为， 所以， 设所以，则， 作差得，所以，所以. 4．（2021·浙江·高考真题）已知数列的前n项和为，，且. （1）求数列的通项； （2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，， 当时，由①，得②，①②得 ，又是首项为，公比为的等比数列， ； （2）由，得， 所以，， 两式相减得 ，所以，由得恒成立，即恒成立，时不等式恒成立；时，，得； 时，，得；所以. 分组求和法 5．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 【详解】（1）设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得，，所以数列的通项公式是. （2）方法1：由（1）知，，， 当为偶数时，，， 当时，，因此， 当为奇数时，， 当时，，因此，所以当时，. 6．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知数列满足， （1）记，写出，，并求数列的通项公式； （2）求的前20项和. 【详解】解：（1）[方法一]【最优解】：显然为偶数，则， 所以，即，且，所以是以2为首项，3为公差的等差数列， 于是． [方法二]：奇偶分类讨论由题意知，所以． 由（为奇数）及（为偶数）可知，数列从第一项起， 若为奇数，则其后一项减去该项的差为1，若为偶数，则其后一项减去该项的差为2． 所以，则． （2）[方法一]：奇偶分类讨论 ． 数列：2年模拟 单调性与最值综合（求数列最大、小项） 1.（25-26高三上·安徽合肥·月考）已知数列中，. (1)证明：数列是等比数列； (2)求的前项和； (3)令，求数列的最大项. 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）得， 所以，化简得； （3）由（2）得，所以， 令，易得，又单调递减，当时，即， 又当时，，所以数列的最大项为. 2.（25-26高三上·山东临沂·期中）已知数列中，，. (1)证明：数列是等比数列； (2)求的前项和； (3)令，求数列的最大项. 【详解】（1）因为，，所以， 所以，数列是以为首项为公比的等比数列. （2）由（1）得所以 化简得. （3）由（2）得，所以， ，令易得，又 单调递减，当时，即，，又当时，所以数列的最大项为. 数列奇偶项和性质问题 方法点拨：等差数列：项数为 2n 时，；项数为 2n-1 时，（中间项）。等比数列：项数为 2n 时，；项数为 2n+1 时，。优先判断项数奇偶性，直接套用性质简化计算，避免复杂通项推导。 3.（25-26高三上·新疆昌吉·月考）已知数列是等差数列. (1)若，，求； (2)若，，求； (3)若数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261，求此数列的项数. 【详解】（1）在等差数列中，，，公差，所以. （2）在等差数列中，，， 所以. （3）设项数为，，数列公差为， 则， 所以， 而.∴此数列共有19项. 4.（2025·山东威海·一模）已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前n项和. 【详解】（1）由得时， 两式相减得,整理得 因为，所以,所以数列是以为公差的等差数列 在中令解得；所以. （2）当时；， 又，，...，是首项为2，公差为2的等差数列，所以， 故．所以；当时； ， 又，，...，是首项为2，公差为2的等差数列， 所以， 故．所以；当为偶数时, ; 当为奇数时, ; 5．（24-25高三上·云南昭通·月考）设数列的前项和为，已知，且为等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求的前项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为，因为， 所以，即，所以，即， 当时，，当时，，满足上式，所以. （2）由（1）知则 ， 所以数列的前项和为. 6．（2025·山西临汾·三模）已知正项数列中，，满足． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足求数列的前项和． 【详解】（1）由，得， 因为，所以，则， 所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以． （2）方法一：由（1）知 插入项构造新数列问题 7.（25-26高三上·天津滨海新·期中）已知数列是等差数列，是公比不为1的等比数列，，，且是与的等差中项. (1)求数列的通项公式； (2)设，求； (3)若对于数列，在和之间插入个组成一个新的数列，记数列的前项和为，求 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，则，故， 所以， 则，由，则， 又由是与的等差中项，所以，则，即， 解得或（舍去），故； （2）由（1）可得，， ， 令， ， 两式相减得，，， 则，因， 则 ；则； （3）根据题意可得，， 之前共有个，与之间共有个， 所以共有7项，共有个2，则. 含的奇偶项并项求和问题 8.（2025高三上·湖北孝感·专题练习）数列满足：，，． (1)求数列的通项公式. (2)数列满足：，求数列的前项和． 【详解】（1）因为，所以， 又，故数列是以3为首项，公比是的等比数列；所以 ，； （2）由（1）得 ， 则 ． 9．（23-24高三上·辽宁）已知是各项均为正数的数列，为前n项和，且，，成等差数列. (1)求的通项公式； (2)求证：； (3)已知，求数列的前项和. 【详解】（1）由，，成等差数列，得，① 当时，，∴，得（舍去）， 当时，，② ①-②得，，∴， 又，∴，∴是首项为2，公差为1的等差数列， ∴，故； （2）， 故 （3）由（1）知， 当是奇数时， ， 当是偶数时， ，综上. 裂项求和：三项积型 10.（2025·山东·模拟）数列中，，，设数列的前项和为，则 . 【详解】由递推关系可得：，即：，且：， 据此可得数列是首项为，公差为的等差数列，则，， 据此可得：， 所以 .故答案为： 11.（24-25高二下·河南南阳·期中）已知数列的通项公式为，函数在处的导数为，则使得的正整数的最小值为 . 【详解】由， 则， 因为，所以 ， ，即，化简整理得，解得或，又， ，则的最小值为7. 引领风向--最新模考新颖题（4题） 12．（2026·河北沧州·一模）记分别为数列的前项和，其中满足，且． (1)求及； (2)当为正奇数时，比较与的大小． 【详解】（1）因为，所以为等差数列．设等差数列的公差为，而， 则，于是，解得， 所以， （2）由（1）知，， 当为正偶数时，， ，则当为正奇数时， ， 则在时单调递增， ．所以； ，所以， ，所以， 由的单调性可知，当取大于5的奇数时，， 综上所述，当为小于5的正奇数时，；当为不小于5的正奇数时，． 13．（2025·江苏淮安·模拟预测）已知数列的前项和为，且． (1)若为等差数列，且，，求数列的通项公式； (2)若对任意，都有． ①求证：是等差数列； ②设，，，求的公差的值． 【详解】（1）因为是等差数列，设公差为，因为， 则令得，即，因为，所以． 令得，则，即， 化简得，则或0．当时，满足； 当时，．所以，或． （2）①令时，，即，∴，． 化简得：，即， ∴．化简得：，即． 又，∴.∴为等差数列． ②因为，所以． ，所以．， ．因为，所以， 又，所以． 14．（2025·河南信阳·模拟预测）若数列满足：当为奇数时，；当为偶数时，.则称数列为和积交替数列. (1)若数列1，a，b，6为和积交替数列，分别求实数a，b的值； (2)若数列为和积交替数列，且，. （i）若3是数列中的项，求实数的值； （ii）若，证明：. 【详解】（1）由题知，，解得，或； （2）（i）由题知，则，， 由，则；， 由，则；，但，， 所以；而，…以此类推，当，时，. 所以若3是数列中的项，则或或，解得或. （ii）易知数列中的项均为正整数，由题知，且， 所以，同取以2为底的对数，得， 即.又，所以， 则，累乘整理，得， 所以时，.当时，符合上述不等式，所以，结论得证. 15．（2025·云南·模拟预测）在足球训练中，甲、乙、丙三人进行传球训练．每次传球按以下规则转移：当球在甲脚下时，他有的概率继续控球（不传给别人），的概率传给乙；当球在乙脚下时，他有的概率回传给甲，的概率传给丙；当球在丙脚下时，他有的概率传给甲，的概率传给乙．初始时球在甲处，每次传球是相互独立的． (1)求两次传球后球在乙处的概率，以及三次传球后球在丙处的概率； (2)记次传球后，球在甲处的概率为，在乙处的概率为． （i）证明：数列是等比数列； （ii）求和的通项公式． 【详解】（1）两次传球后球在乙处：只有“甲→甲→乙”这一种情况.第一次甲传给甲概率是，第二次甲传给乙概率是，分步用乘法，所以概率为. 三次传球后球在丙处：只有“甲→甲→乙→丙”这一种情况.第一次甲传给甲概率，第二次甲传给乙概率，第三次乙传给丙概率，分步用乘法，概率为. （2）（i）表示次传球后球在乙处的概率，它有两种情况： 第次球在甲处，第次甲传给乙，概率为； 第次球在丙处，第次丙传给乙，概率为. 所以.则. 又，.所以数列是以为首项，为公比的等比数列.   （i i）由（i）可知，所以. 因为，则， 所以，符合上式，所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $