奇偶数列问题、数列插项问题 讲义-2026届高三数学二轮复习

数列：奇偶数列问题、数列插项问题复习讲义 数列：奇偶数列问题、数列插项问题复习讲义 考点目录 奇偶数列问题 数列插项问题 知识点解析 一、奇偶数列问题 1.核心特征：数列的奇数项、偶数项分别成有规律的子数列（等差/等比/其他规律），通项、求和需分奇偶讨论。 2.解题思路：分拆子列，定各自规律，按项数奇偶分类求解 （1）拆分奇偶子列：将原数列拆为（奇数项）、（偶数项）两个独立子列； （2）求子列规律：根据原数列递推/通项公式，推导两个子列的首项、公差/公比（等差证为定值，等比证为定值）； （3）分类求通项/求和：① 求：判断n为奇/偶，代入对应子列的通项公式；② 求：分n为奇/偶，分别计算奇数项和+偶数项和。 3.方法技能 ① 关键变形：利用（奇）、（偶，）实现项数转化； ② 求和技巧：n为偶数时，奇偶项数相等，直接求和；n为奇数时，奇数项数比偶数项多1，单独加最后一个奇数项； ③ 递推型奇偶数列，常利用的关系推导子列递推式。 二、 数列插项问题 1.核心特征：在已知数列（等差/等比为主）的相邻项之间插入新项，构成新数列，求新数列的通项、指定项或前n项和。 2.解题思路：分析插项规律，定新数列的项数关联，拆分原项+插项分别求解 （1）明确插项规则：确定“原数列每相邻两项间插入的项数、新项的规律”（如插入k个等差项/等比项、插入项为定值等）； （2） 找项数对应关系：计算新数列中，前m个原项及中间插项共占新数列的总项数，建立原数列项数与新数列项数的联系； （3）定位/拆分求解 ① 求新数列指定项：先判断该位置属于“原数列项”还是“插项”，再分别计算； ② 求新数列前n项和：拆分和为原数列项的和 + 所有插项的和，分别按各自规律求和后相加。 3.方法技能 ① 插项核心是“数项数”：若原数列相邻两项插t个项，则每一组（原项+插项）占个新项，记准分组规律； ② 插入等差/等比项时，快速求插项的首末项、项数，再用求和公式； ③ 新数列通项无统一式时，无需硬求，直接按“定位法”求指定项即可，避免复杂推导。 考点一 奇偶数列问题 【例题分析】 例1．（2026·黑龙江·一模）数列是各项均为正数的等比数列，其前n项和为，满足____．数列满足，且．从下面三个条件中任选一个，补充在上面横线中. ①，； ②，，，成等差数列； ③，； (1)分别求出数列与的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前10项和． （注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分） 例2．（25-26高三下·天津河西·开学考试）已知等差数列的前项和为，是公比大于0的等比数列，，，，且，，成等差数列. (1)求数列与的通项公式； (2)设，求； (3)设（），求. 例3．（25-26高二上·河南郑州·期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2． 反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1． 这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．若取正整数，根据上述运算法则得出7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1，共需经过16个步骤变成1（简称为16步“雹程”）现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），． (1)当时，试确定使得需要多少步雹程？ (2)记数列的前项和为．当时，求； (3)若，求所有可能的取值集合． 例4．（25-26高三下·四川成都·开学考试）已知和是各项均为整数的数列，若为等差数列，满足，记，分别为数列，的前项和，且，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【变式训练】 变式1．（2026·天津·一模）已知数列满足． (1)证明：求的值，并证明数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求证：． 变式2．（25-26高二上·江苏南通·期末）已知数列满足： (1)求的值； (2)若，证明：是等比数列； (3)若，数列的前项和为，求不等式的解集. 变式3．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）已知正项数列的前项和为，数列满足. (1)求数列和的通项公式； (2)设，证明：数列的前2n项和. 变式4．（24-25高二下·四川成都·期中）已知数列满足：，正项数列满足：，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项的和； (3)记为数列的前项积，证明： 考点二 数列插项问题 【例题分析】 例1．（25-26高二上·天津·期末）已知等差数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式以及； (2)记数列的前n项和为，若集合中恰好有3个元素，求的取值范围； (3)在任意相邻两项与之间插入个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列，求． 例2．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）已知数列是等差数列，是正项等比数列，且，，， (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若对恒成立，求实数的取值范围. 例3．（25-26高三上·山东青岛·期中）在正项等比数列中已知，. (1)求数列的通项公式； (2)令，若，若在数列任意相邻两项与之间插入一个实数（），从而形成一个新的数列，求数列的前项和. 【变式训练】 变式1．（24-25高二下·广东广州·期末）已知数列的前项和为，且． (1)求，及数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， ①设（），求； ②若都有不等式成立，求的取值范围． 变式2．（2025·天津河西·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列． （ⅰ）求数列的通项公式及； （ⅱ）在数列中是否存在3项（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． 变式3．（25-26高三上·上海黄浦·月考）数列满足为正整数. (1)试确定实数的值，使得数列为等差数列； (2)当数列为等差数列时，等比数列的通项公式为，对每个正整数，在和之间插入个2，得到一个新数列，设是数列的前项和，试求满足的所有正整数. 2 学科网（北京）股份有限公司 $数列：奇偶数列问题、数列插项问题复习讲义 数列：奇偶数列问题、数列插项问题复习讲义 考点目录 奇偶数列问题 数列插项问题 知识点解析 一、奇偶数列问题 1.核心特征：数列的奇数项、偶数项分别成有规律的子数列（等差/等比/其他规律），通项、求和需分奇偶讨论。 2.解题思路：分拆子列，定各自规律，按项数奇偶分类求解 （1）拆分奇偶子列：将原数列拆为（奇数项）、（偶数项）两个独立子列； （2）求子列规律：根据原数列递推/通项公式，推导两个子列的首项、公差/公比（等差证为定值，等比证为定值）； （3）分类求通项/求和：① 求：判断n为奇/偶，代入对应子列的通项公式；② 求：分n为奇/偶，分别计算奇数项和+偶数项和。 3.方法技能 ① 关键变形：利用（奇）、（偶，）实现项数转化； ② 求和技巧：n为偶数时，奇偶项数相等，直接求和；n为奇数时，奇数项数比偶数项多1，单独加最后一个奇数项； ③ 递推型奇偶数列，常利用的关系推导子列递推式。 二、 数列插项问题 1.核心特征：在已知数列（等差/等比为主）的相邻项之间插入新项，构成新数列，求新数列的通项、指定项或前n项和。 2.解题思路：分析插项规律，定新数列的项数关联，拆分原项+插项分别求解 （1）明确插项规则：确定“原数列每相邻两项间插入的项数、新项的规律”（如插入k个等差项/等比项、插入项为定值等）； （2） 找项数对应关系：计算新数列中，前m个原项及中间插项共占新数列的总项数，建立原数列项数与新数列项数的联系； （3）定位/拆分求解 ① 求新数列指定项：先判断该位置属于“原数列项”还是“插项”，再分别计算； ② 求新数列前n项和：拆分和为原数列项的和 + 所有插项的和，分别按各自规律求和后相加。 3.方法技能 ① 插项核心是“数项数”：若原数列相邻两项插t个项，则每一组（原项+插项）占个新项，记准分组规律； ② 插入等差/等比项时，快速求插项的首末项、项数，再用求和公式； ③ 新数列通项无统一式时，无需硬求，直接按“定位法”求指定项即可，避免复杂推导。 考点一 奇偶数列问题 【例题分析】 例1．（2026·黑龙江·一模）数列是各项均为正数的等比数列，其前n项和为，满足____．数列满足，且．从下面三个条件中任选一个，补充在上面横线中. ①，； ②，，，成等差数列； ③，； (1)分别求出数列与的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前10项和． （注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分） 【答案】(1)选择任一条件都有， (2) 【详解】（1）若选①，设的公比为，则，且， 解得，，因此， 由，得，而， 则数列是以2为首项，2为公差的等差数列， 所以． 若选②，设的公比为，由成等差数列，得，解得，因此 由，得，而， 则数列是以2为首项，2为公差的等差数列， 所以． 若选③，设的公比为，则，解得，因此， 由，得，而， 则数列是以2为首项，2为公差的等差数列， 所以． （2）数列满足，则， 所以 ． 例2．（25-26高三下·天津河西·开学考试）已知等差数列的前项和为，是公比大于0的等比数列，，，，且，，成等差数列. (1)求数列与的通项公式； (2)设，求； (3)设（），求. 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）设等差数列的公差为，由已知条件得 ，，整理得，代入得， 即，故， 设等比数列的公比为，，故， 由成等差数列得，即， 解得（舍去），故. （2）由题设有 故 . 故 . （3）由题设可得，且为等差数列，且公差为，首项为， 故 ， 故 . 例3．（25-26高二上·河南郑州·期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2． 反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1． 这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．若取正整数，根据上述运算法则得出7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1，共需经过16个步骤变成1（简称为16步“雹程”）现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），． (1)当时，试确定使得需要多少步雹程？ (2)记数列的前项和为．当时，求； (3)若，求所有可能的取值集合． 【答案】(1)19步雹程 (2) (3) 【详解】（1）根据递推关系式，当时，，，， 结合题干中信息，当时还需要16个步骤使得， 故使得需要3+16=19步雹程. （2）由题意得，， 从第21项开始，数列进入4→2→1循环节，周期，一个循环节之和为4+2+1=7 从第21项到第2026项共有2026-20=2006项，包含668个完整周期剩余2项 因此 所以 （3）因为， 若为偶数，则，若为奇数，则不成立，所以； 若为偶数，则，若为奇数，则不成立，所以； 若为偶数，则，若为奇数，则，所以或；   ①当时， 若为偶数，则，若为奇数，则不成立，所以； 若为偶数，则，若为奇数，则，所以或；    ②当时， 若为偶数，则，若为奇数，则不成立，所以； 若为偶数，则，若为奇数，则不成立，所以；             综上：或或 所以. 例4．（25-26高三下·四川成都·开学考试）已知和是各项均为整数的数列，若为等差数列，满足，记，分别为数列，的前项和，且，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为d， 由，得， 化简得， 又， 因为为等差数列，故，代入得， 即① 结合各项为整数，则为满足题意的一个解， 又函数在上单调递增，所以，当且仅当，即② 联立和，解得， 所以的通项公式为． （2）由（1）得， 情形1：当， 设前项和分为奇数项和与偶数项和， 奇数项和（共项）：首项，末项，公差为4的等差数列，其和为， 偶数项和（共项）：首项，公比为16的等比数列，其和为， 将代入，化简得； 情形2：当时，设前项和，其中． 由情形1得，代入得， 将代入，化简得， 即， 综上所述（或） 【变式训练】 变式1．（2026·天津·一模）已知数列满足． (1)证明：求的值，并证明数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求证：． 【答案】(1)，，证明见解析 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）当时，可得， 当时，可得， 因为，， 所以 ， 所以数列为首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）得， 则， 所以 ， 所以， 则， 所以 ， 即； （3）因为 ， 所以 ，即命题得证. 变式2．（25-26高二上·江苏南通·期末）已知数列满足： (1)求的值； (2)若，证明：是等比数列； (3)若，数列的前项和为，求不等式的解集. 【答案】(1)；； (2)证明见解析； (3). 【详解】（1）因为，所以， ，所以. （2）因为，所以. 所以，所以，又因为， 所以，，故是等比数列是以2为公比，以4为首项的等比数列. （3）由（2）知是等比数列是以2为公比，以4为首项的等比数列. 所以，即，所以， ， . 所以. 代入不等式得， 即，，， 所以，因为，所以，即， 由指数函数的单调性可得，即，又因为，所以或. 故不等式的解集为. 变式3．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）已知正项数列的前项和为，数列满足. (1)求数列和的通项公式； (2)设，证明：数列的前2n项和. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【详解】（1）由可得， 两式作差得， 整理得， 因为 ，所以，所以， 令可得，解得或（舍去）， 故数列是以首项为，公差为的等差数列， 所以. 由可得， 所以数列是以首项为，公比为的等比数列， 所以， 即. （2）由（1）可知，， 所以 . 变式4．（24-25高二下·四川成都·期中）已知数列满足：，正项数列满足：，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项的和； (3)记为数列的前项积，证明： 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）， 当时，，即， ， 等式两边同除以得①， 当时，②， 两式相减有：， ， 经检验，也满足上式，故. 因为， 则当时，， 累加可得：， 且， . 经检验，也满足上式，又因为是正项数列，故. （2）， ， 令，则， 两式相减可以得到：， . 令， 当为偶数时：； 当为奇数时：； 故当为偶数时，， 当为奇数时：， . （3）因为，所以， 证明不等式左边： ， 证明不等式右边： ，得证. 考点二 数列插项问题 【例题分析】 例1．（25-26高二上·天津·期末）已知等差数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式以及； (2)记数列的前n项和为，若集合中恰好有3个元素，求的取值范围； (3)在任意相邻两项与之间插入个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列，求． 【答案】(1)，. (2) (3) 【详解】（1）由题意知， 解得, 可得， 所以, 可得数列的通项公式，. （2）易知 , 所以 , 显然随着的增大逐渐变大， 又， 因集合中恰好有3个元素，可得. （3）依题意可知在项之前共插入了个2， 易知； 当时，新数列从至共有项 当时，新数列从至共有项， 易知，所以数列的前2026项中除了其余全部为2， 所以. 例2．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）已知数列是等差数列，是正项等比数列，且，，， (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) (3) 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为，，， 则，解得或（舍去）， 所以；. （2）依题意， 设， ， 两式相减得 ， 所以， 设， 所以. （3）由题意可得， 由，得，所以对恒成立， 令，则 当时，，当时，，当时，， 所以最大，所以. 例3．（25-26高三上·山东青岛·期中）在正项等比数列中已知，. (1)求数列的通项公式； (2)令，若，若在数列任意相邻两项与之间插入一个实数（），从而形成一个新的数列，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等比数列的公比为， 则，且，所以； （2），则， ， ， ， 设， 设， 则，         ， ， ， ， 所以， 所以. 【变式训练】 变式1．（24-25高二下·广东广州·期末）已知数列的前项和为，且． (1)求，及数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， ①设（），求； ②若都有不等式成立，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)①；② 【详解】（1）由得，，时，，两式相减得， 即，又，所以数列为公比为2的等比数列， 所以； （2）①由（1）得，， 在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，则，即，则，所以， 则，， 两式相减可得 ，所以； ②因为都有不等式成立， 所以恒成立， ， 当时，，即， 当时，，即， 所以，所以. 变式2．（2025·天津河西·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列． （ⅰ）求数列的通项公式及； （ⅱ）在数列中是否存在3项（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ），；（ⅱ）不存在，理由见解析 【详解】（1）（1）方法一： 当时，， 则， 为等比数列，等比数列的公比为3， 当时， 解得：． 方法二： 设公比为为等比数列 解得或3 ，，， （2）（2）（ⅰ） 设 两式相减得 方法二： 设 两式相减得 （ⅱ）假设存在满足题意的3项， 成等比数列，，即 成等差数列，， 整理可得：，又， 即，解得：，则，与题设矛盾。 假设错误，即不存在满足题意的3项． 变式3．（25-26高三上·上海黄浦·月考）数列满足为正整数. (1)试确定实数的值，使得数列为等差数列； (2)当数列为等差数列时，等比数列的通项公式为，对每个正整数，在和之间插入个2，得到一个新数列，设是数列的前项和，试求满足的所有正整数. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由，得，于是， 由，可得，此时， 由知：此时数列为等差数列. （2）由（2）及题设知：为， 则，显然不合题意，适合题意， 当时，若后添入，则，不合题意， 从而必是数列中的某一项，则， 则 即，整理， 显然k=1，2，3，4不是该方程的解，而当时，成立，证明如下： 当n = 5时，，左边大于右边，不等式成立； 假设时，成立， 当时， 因此当时，不等式成立， 所以恒成立，即无正整数解． 所以满足题意的正整数仅有. 2 学科网（北京）股份有限公司 $