数列单调性与最值问题复习讲义-2026届高三数学二轮复习

数列单调性与最值问题复习讲义 数列单调性与最值问题复习讲义 知识点解析 一、核心原理 将数列视作定义域为正整数集的特殊函数，通过作差/作商判定相邻项的大小关系，确定数列单调性；再结合单调性（单调增/减/先增后减/先减后增），或通过配方法、基本不等式、导数（延拓为连续函数），求解数列的最大/最小值，核心是先判单调性，再定最值点。 二、通用解题思路（两步核心法：判单调性→求最值） 步骤1：判定数列的单调性（3大核心方法，按需选择） 设数列，核心判定与的大小关系，优先选作差法，分式/正项数列可选作商法，复杂通项可延拓用导数法。 方法1：作差法（万能通用，首选） 1. 计算差值：； 2. 判符号： - 若，则单调递增； - 若，则单调递减； - 若，则为常数列； - 若差值符号随变化，则数列先增后减/先减后增（存在极值点）。 关键：差值化简为最简形式（如整式、分式、指数式），结合分析符号。 方法2：作商法（适用于各项同号的数列，如正项数列） 1. 计算比值：（）； 1. 比大小（以正项数列为例）： · 若，则单调递增； · 若，则单调递减； · 若，则为常数列。 关键：仅适用于无零项、同号的数列，避免正负项比值判定错误。 方法3：导数法（适用于通项可延拓为连续函数的数列，如） 1. 延拓：将数列通项延拓为连续函数（，）； 1. 求导：计算，分析在上的单调性； 1. 还原：根据连续函数的单调性，还原数列的单调性（时的函数值变化）。 关键：导数法判定的是“连续趋势”，需验证正整数点的实际大小，避免极值点非整数的情况。 步骤2：根据单调性求数列的最值（4类情况，精准对应） 数列最值由单调性+项的有界性决定，无界单调数列仅有单侧最值（如单调递增无最大值），有界/非单调数列存在唯一/多个最值，核心是找“最值点”（，）。 情况1：单调递增数列 - 最小值：（首项）； - 无最大值（若数列无界）；若有上界，则最大值为极限值（仅无限数列）。 情况2：单调递减数列 · 最大值：（首项）； · 无最小值（若数列无界）；若有下界，则最小值为极限值（仅无限数列）。 情况3：先增后减数列 1. 找极值点：令且，解不等式得的取值范围； 1. 定最值点：极值点附近的正整数（如解为，则），为最大值； 1. 验证：若极值点为小数（如），则最值为（靠近极值点的正整数项）。 情况4：先减后增数列 1. 找极值点：令且，解不等式得的取值范围； 1. 定最值点：极值点附近的正整数，为最小值； 1. 验证：极值点为小数时，取靠近的正整数项验证大小。 补充方法：非单调数列的直接求解法 若数列单调性不易判定，可通过配方法、基本不等式直接化简通项，求最值： - 二次型通项（如）：配方法找对称轴，取附近正整数项； - 分式型通项（如）：基本不等式（），结合正整数验证等号成立条件。 三、高频考向及专属解法 考向1：判定数列单调性（基础考向） · 正项/分式数列：作商法（简捷）； · 整式/指数/对数数列：作差法（万能）； · 复杂函数型通项（如）：导数法（延拓分析）。 考向2：求单调数列的最值 · 直接取首项（单调增取为最小，单调减取为最大），无需额外计算。 考向3：求非单调数列的最值（核心考向，如） · 解法：作差法找极值点→解得（极值点）→验证，，→数列先增后减，最大值为，最小值无（单调递减至0）。 考向4：含参数数列的单调性与最值（如） · 解法：① 作差法得；② 按参数临界值分类（时，差值恒正，数列递增；时，差值先负后正，数列先减后增）；③ 分别求各类情况下的最值（如时，最小值为对称轴附近的正整数项）。 四、注意事项 1. 定义域限定：所有判定均在（正整数）范围内，导数法延拓后需还原正整数点，避免用实数范围的单调性替代数列单调性； 1. 极值点验证：解不等式得到的极值点若为小数，需取相邻正整数项验证大小，确定真正的最值点（如，验证和）； 1. 含参数分类：参数出现在通项中时，按差值/比值为0的临界值分类（如作差得，临界值），确保分类不重不漏； 1. 常数列判定：若，则数列所有项相等，任意项均为最大/最小值； 1. 无界数列注意：单调递增无界数列无最大值，单调递减无界数列无最小值，切勿错误求解。 例题分析 例1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）正项数列满足：，对一切，有其中为数列的前项和. (1)证明是等差数列，并求出的通项公式； (2)若数列前项和，求数列的通项公式； (3)若，数列的前项和为，求的最大值和最小值. 【答案】(1)证明见解析， (2) (3)最大值为3，最小值为 【详解】（1）因，则当时，， 两式作差得，即， 因，则， 当时，，又解得，则满足上式， 故数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 其通项公式为； （2）由（1）得， 当时，， 因，满足上式，所以其通项公式为； （3）， 则 ， 当为奇数时，，为递减数列， 又，则； 当为偶数时，，为递增数列， 又，则； 则的最大值为，最小值为. 例2．（25-26高二下·江西九江·月考）记是公差不为0的等差数列的前项和，已知，，数列满足，且 (1)求的通项公式. (2)证明：数列是等比数列. (3)若数列满足，求的前项和的最大值、最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)最大值为，最小值为 【详解】（1）解：设等差数列的公差为, 由得，即，解得 所以. （2）解：由（1）可知，则 由，可得， 所以，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. （3）解：由（1）可得 设的前项和为，则 所以，当为奇数时，，随着的增大而减小，可得. 当为偶数时，，随着的增大而增大，可得. 所以的最大值为，最小值为. 例3．（25-26高三上·湖南·期中）已知为数列的前项和，且. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求的表达式及最大值. 【答案】(1)； (2)，20. 【详解】（1）在数列中，，则，两式相减得， 而，，则，因此数列是首项为1，公比为3的等比数列， 所以的通项公式是. （2）由（1）得， 所以， ，当时，；当时，， 即，所以当时，取得最大值. 例4．（25-26高三上·天津·期中）设数列是等差数列，是等比数列.已知，，. (1)求和的通项公式； (2)设（），求数列的前项和； (3)设（），数列的前项积为，求的最大值. 【答案】(1)，. (2) (3) 【详解】（1）设的公差为，的公比为（）， ，，又，， ， （2）当为奇数时， ， 数列的前项中所有奇数项之和 ， 当为偶数时，， 数列的前项中所有偶数项之和 ，① ，② ①－②得 . . . （3），， 当和时，； 当时，，即 又，，，，， ，，当时，， 的最大值为. 变式训练 变式1．（2025·云南红河·三模）已知为数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)若，求取得最大值时的值. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）当时，，解得； 当时，，即. 因为也满足，所以. （2）由（1）得，所以， 所以当时，，即； 当时，，即； 当时，，即， 所以， 故当或时，取得最大值. 变式2．（24-25高三上·江西南昌·月考）已知数列的前项和为，，. (1)证明：数列是等比数列； (2)若，求数列的前项和； (3)若，求使取得最大值时的的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【详解】（1）由得，则， 整理得， 当时，，的， 所以数列是等比数列，公比为. （2）由（1）得，则， . （3）， 当时，令，解得， 所以当时，，当时，， 当时，，当时，， 所以，即， 综上可得，当或时，取得最大值. 变式3．（24-25高三上·辽宁沈阳·月考）已知是等差数列，，，数列的前项和为且满足． (1)求数列和的通项公式； (2)设数列满足，求的最大值． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为， 当时，则，与矛盾，不合题意； 当时， ， 解，所以，即． 当时，，得. 当时，①，②， ①－②得，即，即， 数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以．即. （2）由（1）知：，则， 当时，；时，. 所以. 所以当时，有最大值． 变式4．（25-26高二上·宁夏·月考）已知数列的前项和满足． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，记数列的前项和为． ①求； ②若对，都有恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1) (2)①，② 【详解】（1）当时，，∴， 当时，，∴， ∴，∴，即， ∴数列是，的等比数列，所以. （2）①， ， ∴， 则 即， 即. ②由①知， 恒成立，即恒成立， 令函数，则， 令，则，∴ ∴当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. ∵，∴，即， 又∵，故的最小值在或时取得， ∴取时，，取时，， 即， ∴实数的最大值为. 实战演练 1．（25-26高三上·河北沧州·期中）已知数列，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)设函数，若，，求λ的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，所以当时，． 因为，所以． 当时，，所以， 所以是首项为1，公差为2的等差数列， 所以，即． 是首项为2，公差为2的等差数列，所以，即， 故． （2）因为， 所以． （3）因为， 所以． 因为， 所以 ， 所以． 不等式可化为． 令，， 则． 当时，，所以； 当时，，所以， 所以，故λ的最大值为． 2．（25-26高三上·辽宁·月考）已知数列满足，， 其中为的前n项和，等比数列满足：，且，，成等差数列． (1)求数列、的通项公式； (2)设，的前项和为，若恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1)，． (2)． 【详解】（1）由，则， 故数列为等差数列，设其公差为， 则有，解得，则， 设等比数列公比为， 则有，即，则， 解得或（舍去），故； （2）由（1）可知，， 则， 则， 由恒成立，即恒成立， 即恒成立， 由单调递增，故当时，， 故，即，所以的最大值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $数列单调性与最值问题复习讲义 数列单调性与最值问题复习讲义 知识点解析 一、核心原理 将数列视作定义域为正整数集的特殊函数，通过作差/作商判定相邻项的大小关系，确定数列单调性；再结合单调性（单调增/减/先增后减/先减后增），或通过配方法、基本不等式、导数（延拓为连续函数），求解数列的最大/最小值，核心是先判单调性，再定最值点。 二、通用解题思路（两步核心法：判单调性→求最值） 步骤1：判定数列的单调性（3大核心方法，按需选择） 设数列，核心判定与的大小关系，优先选作差法，分式/正项数列可选作商法，复杂通项可延拓用导数法。 方法1：作差法（万能通用，首选） 1. 计算差值：； 2. 判符号： - 若，则单调递增； - 若，则单调递减； - 若，则为常数列； - 若差值符号随变化，则数列先增后减/先减后增（存在极值点）。 关键：差值化简为最简形式（如整式、分式、指数式），结合分析符号。 方法2：作商法（适用于各项同号的数列，如正项数列） 1. 计算比值：（）； 1. 比大小（以正项数列为例）： · 若，则单调递增； · 若，则单调递减； · 若，则为常数列。 关键：仅适用于无零项、同号的数列，避免正负项比值判定错误。 方法3：导数法（适用于通项可延拓为连续函数的数列，如） 1. 延拓：将数列通项延拓为连续函数（，）； 1. 求导：计算，分析在上的单调性； 1. 还原：根据连续函数的单调性，还原数列的单调性（时的函数值变化）。 关键：导数法判定的是“连续趋势”，需验证正整数点的实际大小，避免极值点非整数的情况。 步骤2：根据单调性求数列的最值（4类情况，精准对应） 数列最值由单调性+项的有界性决定，无界单调数列仅有单侧最值（如单调递增无最大值），有界/非单调数列存在唯一/多个最值，核心是找“最值点”（，）。 情况1：单调递增数列 - 最小值：（首项）； - 无最大值（若数列无界）；若有上界，则最大值为极限值（仅无限数列）。 情况2：单调递减数列 · 最大值：（首项）； · 无最小值（若数列无界）；若有下界，则最小值为极限值（仅无限数列）。 情况3：先增后减数列 1. 找极值点：令且，解不等式得的取值范围； 1. 定最值点：极值点附近的正整数（如解为，则），为最大值； 1. 验证：若极值点为小数（如），则最值为（靠近极值点的正整数项）。 情况4：先减后增数列 1. 找极值点：令且，解不等式得的取值范围； 1. 定最值点：极值点附近的正整数，为最小值； 1. 验证：极值点为小数时，取靠近的正整数项验证大小。 补充方法：非单调数列的直接求解法 若数列单调性不易判定，可通过配方法、基本不等式直接化简通项，求最值： - 二次型通项（如）：配方法找对称轴，取附近正整数项； - 分式型通项（如）：基本不等式（），结合正整数验证等号成立条件。 三、高频考向及专属解法 考向1：判定数列单调性（基础考向） · 正项/分式数列：作商法（简捷）； · 整式/指数/对数数列：作差法（万能）； · 复杂函数型通项（如）：导数法（延拓分析）。 考向2：求单调数列的最值 · 直接取首项（单调增取为最小，单调减取为最大），无需额外计算。 考向3：求非单调数列的最值（核心考向，如） · 解法：作差法找极值点→解得（极值点）→验证，，→数列先增后减，最大值为，最小值无（单调递减至0）。 考向4：含参数数列的单调性与最值（如） · 解法：① 作差法得；② 按参数临界值分类（时，差值恒正，数列递增；时，差值先负后正，数列先减后增）；③ 分别求各类情况下的最值（如时，最小值为对称轴附近的正整数项）。 四、注意事项 1. 定义域限定：所有判定均在（正整数）范围内，导数法延拓后需还原正整数点，避免用实数范围的单调性替代数列单调性； 1. 极值点验证：解不等式得到的极值点若为小数，需取相邻正整数项验证大小，确定真正的最值点（如，验证和）； 1. 含参数分类：参数出现在通项中时，按差值/比值为0的临界值分类（如作差得，临界值），确保分类不重不漏； 1. 常数列判定：若，则数列所有项相等，任意项均为最大/最小值； 1. 无界数列注意：单调递增无界数列无最大值，单调递减无界数列无最小值，切勿错误求解。 例题分析 例1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）正项数列满足：，对一切，有其中为数列的前项和. (1)证明是等差数列，并求出的通项公式； (2)若数列前项和，求数列的通项公式； (3)若，数列的前项和为，求的最大值和最小值. 例2．（25-26高二下·江西九江·月考）记是公差不为0的等差数列的前项和，已知，，数列满足，且 (1)求的通项公式. (2)证明：数列是等比数列. (3)若数列满足，求的前项和的最大值、最小值. 例3．（25-26高三上·湖南·期中）已知为数列的前项和，且. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求的表达式及最大值. 例4．（25-26高三上·天津·期中）设数列是等差数列，是等比数列.已知，，. (1)求和的通项公式； (2)设（），求数列的前项和； (3)设（），数列的前项积为，求的最大值. 变式训练 变式1．（2025·云南红河·三模）已知为数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)若，求取得最大值时的值. 变式2．（24-25高三上·江西南昌·月考）已知数列的前项和为，，. (1)证明：数列是等比数列； (2)若，求数列的前项和； (3)若，求使取得最大值时的的值. 变式3．（24-25高三上·辽宁沈阳·月考）已知是等差数列，，，数列的前项和为且满足． (1)求数列和的通项公式； (2)设数列满足，求的最大值． 变式4．（25-26高二上·宁夏·月考）已知数列的前项和满足． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，记数列的前项和为． ①求； ②若对，都有恒成立，求实数的最大值． 实战演练 1．（25-26高三上·河北沧州·期中）已知数列，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)设函数，若，，求λ的最大值． 2．（25-26高三上·辽宁·月考）已知数列满足，， 其中为的前n项和，等比数列满足：，且，，成等差数列． (1)求数列、的通项公式； (2)设，的前项和为，若恒成立，求实数的最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $