精品解析：浙江宁波市镇海蛟川书院（甬江校区）2025-2026学年第二学期学科素养大比拼 七年级数学试卷

蛟川书院（甬江校区）2025学年第二学期学科素养大比拼 初一数学试卷 （满分100分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是利用平移设计图案，熟练掌握图形平移不变性的性质是解答此题的关键．由题意根据图形平移的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：由图可知B不是平移得到，C不是平移得到，D不是平移得到， A是利用图形的平移得到． 故选：A． 2. 红细胞有运输氧气和二氧化碳，输送营养物质等作用，它的平均直径为米，将该数用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，关键要正确确定的值以及的值，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：， 故选：C． 3. 下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了二元一次方程的概念．二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程． 【详解】解：A、未知数的最高次项的次数是2，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； B、不是整式方程，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； C、不是等式，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； D、含有2个未知数，未知数的最高次项的次数是1，是二元一次方程，故此选项符合题意； 故选：D． 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂相乘、同底数幂相乘、幂的乘方，据相关运算法则进行逐项分析计算，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D 5. 下列各式从左向右的变形中，是因式分解的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解的定义以及利用公式法进行因式分解，掌握完全平方公式的形式是解决此题的关键．把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解． 【详解】解：A、，是整式乘法，不符合题意； B、，错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，不是几个整式的积的形式，故错误，不符合题意； 故选：C． 6. 如图，已知，与相交于点，与相交于点，则下列说法正确的是（ ） ①若，则； ②若，则； ③； ④． A. ②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质逐一判断即可． 【详解】解：①若，则， ∵， ∴， ∴，故①正确； ②如图，延长交于点G， ∵， ∴， 若， 则， ∴，故②正确； ③分别过点作，则， ∴， ∴ ， ∵ ∴，故③正确； ④由③知， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 则当且仅当时，，故④错误． 故选：B． 7. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“现在拿30斗谷子，共换了5斗酒”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：依题意，得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组和数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 8. 计算的值是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平方差公式对每个因式分解，分解后通过约分消去中间项，即可计算得到最终结果． 【详解】解：∵ ， ∴原式可变形为： ． 9. 已知a、b、c是正整数，且，，则等于（ ） A. 1 B. 1或7 C. －1 D. －1或－7 【答案】B 【解析】 【分析】此题先把a2−ab−ac+bc=7因式分解，再结合a、b、c都是正整数和a>b，探究它们的可能值，从而求解． 【详解】解：根据已知a2−ab−ac+bc=7， 即a(a−b)−c(a−b)=7， (a−b)(a−c)=7， ∵a>b， ∴a−b>0， ∴a−c>0， ∵a、b、c都是正整数， ∴a−c=1或a−c=7， 故选：B． 【点睛】此题考查了因式分解；能够借助因式分解分析字母的取值范围是解决问题的关键． 10. 把两张正方形纸片按如图1所示分别裁剪成A和B两部分（B为长方形），再将裁好的四张纸片不重叠地放入图2所示的正方形中，记一张A纸片的面积为，一张B纸片的面积为，若，则图2中阴影部分面积为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式混合运算的顺序和法则是解题的关键． 设图1正方形纸片边长为a，B部分的宽为b，长为c，根据图1和图2得出和，再利用得到，再表示出，代入计算即可． 【详解】解：将B向左推，可得如图， 设图1正方形纸片边长为a，B部分的宽为b，长为c， 根据图2是正方形，得， 即， 由图（2）两个A的位置，可得即， ∴图2正方形边长为 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 已知是方程的一个解，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程、一元一次方程的知识．结合题意，根据二元一次方程的性质，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 若多项式是一个完全平方式，则常数的值是______． 【答案】5或 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的计算，根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值． 【详解】解∶∵ 是一个完全平方式， ∴， ∴或， 故答案为∶5或． 13. 已知，则代数式值是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】先根据同底数幂的乘除法求出，得到，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 两式相减，可得， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法，求出a、b、c之间的关系是解题的关键． 14. 已知多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少6，则k的值是________． 【答案】5 【解析】 【分析】设多项式除以所得的商为A，余数为m，该多项式除以所得的商为B，余数为n，，，分别令和，得到，，根据题意，由列出方程求解即可． 【详解】解：设多项式除以所得的商为A，余数为m，该多项式除以所得的商为B，余数为n， 则，， 当时，，即， 当时，，即， ∵多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少6， ∴，则， 解得． 15. 如图，已知，为直线上的一点，为直线上的一点，连结，过点作的垂线分别交、的平分线于点、，在点整个运动过程中，当时，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，垂直的定义，过F作，过G作，根据平行线的传递性得出，根据平行线的性质得出，，，，则可得出，，设，，则，，根据角平分线的定义以及邻补角的定义可得出，，进而得出，结合，可得出，根据平行线的性质，垂直的定义可得出，求出，，即可求解． 【详解】解∶如图，过F作，过G作， ∵， ∴， ∴，，，， ∴， ， 设，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴，， ∴， 故答案为：． 16. 已知正数a，b，c，满足，． （1）__________； （2）图是三张叠放的正方形纸片，其边长分别为，，，若这三张正方形纸片的面积之和为S，则S的值为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）由等式，得出比大，比大，由此得出比大； （2）根据，得出，，将其代入，得出，通过计算三张正方形纸片的面积之和，化简后得出，用整体代入法把代入，即可得出的值． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）由（1）可知：，， 把，代入，得： ， 即：， 整理，得：， 这三张正方形纸片的面积之和为： ， 把代入，得： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等式的性质，整式的加减运算，去括号，整式的混合运算，合并同类项，列代数式，完全平方公式，代数式求值等知识点，读懂题意，正确列式计算是解题的关键． 三、解答题（共52分） 17. 计算及解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据零指数幂的意义，负整数指数幂的意义，积的乘方的逆用等计算即可； （2）先化简原方程组，然后根据加减消元法求解即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原方程可化为， ，得， 解得， 把代入②，得， 解得， ∴原方程组的解为． 18. 分解因式： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接提取公因式即可； （2）提取公因式，再用平方差公式分解即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式 ． 19. 先化简再求值：其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式去括号，然后合并同类项，再计算多项式除以单项式化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 根据题意解答下列问题： （1）将平移后得到，图中标出了点B的对应点，请补全； （2）点P为格点，且（点P与点A不重合），满足这样条件的P点有______个． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； ； （2）4 【解析】 【分析】（1）根据题意找到平移后点的对应点，顺次连接即可求解； （2）根据网格的特点，找到过A点与平行的直线，根据平行线间的距离相等，可得等底同高的三角形面积相等，据此即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，符合题意的点有个， 21. 把完全平方公式适当的变形，如：等，这些变形可解决很多数学问题． （1）若，，且，则______； （2）如图，C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，，两个正方形的面积和为15，设，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）1 （2）5 【解析】 【分析】（1）由即可求解； （2）由题意得，求，由完全平方公式变形即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由题意得：， ∵， ∴， 即阴影部分的面积为5． 22. 如图，已知直线相交于点O，，点O为垂足，平分． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直的定义，角平分线的定义以及角的和差倍分计算，解决此题的关键是熟练运用以上知识点． （1）先根据邻补角的定义求出，再根据垂直的定义得到，进而根据角度的和差即可得到答案； （2）现在根据角度的比例设出未知数，再根据角平分线的定义和垂直的性质即可得到答案． 【小问1详解】 解： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 【小问2详解】 解：∵， ∴可设 ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴ 即的度数为． 23. 解决问题：解决挖掘机的租用和保养问题 素材1：我校现准备对学校南门的主干道进行改造，为了尽快完成施工任务，计划每小时挖掘土方，现租用甲、乙两种型号的挖掘机，租赁公司提供的挖掘机有关信息如表： 素材2：制定租用计划：为使得挖掘机正常运行，应注重对自锁机构的维修与保养，对失去定位效能的弹簧、钢球应及时更换．现预估保养费用为w元，若购买20根弹簧和15颗钢球，则保养费用w还差25元；若购买19根弹簧和13颗钢球，则保养费用w还剩15元． 型号 挖掘土石方量（单位： /台·时） 租金（单位：元/台·时） 甲型 18 120 乙型 24 150 （1）任务1：制定租用计划，若租用甲、乙两种型号的挖掘机共9台，恰好完成每小时的挖掘量，甲、乙两种型号的挖掘机各需租用多少台？ （2）任务2：探究租用方案，若租用的挖掘机不限台数，又恰好完成每小时的挖掘量，请问有哪几种租用方案，哪种方案租金最省，最省租金为多少？ （3）任务3：确定保养费用，基于任务2中租金最少的方案，现为每台挖掘机分别配备2根弹簧和1颗钢球，并额外购买1根弹簧和1颗钢球作为备用，则实际保养费用为________元（用含w代数式表示）． 【答案】（1）甲型挖掘机需租用6台，乙型挖掘机需租用3台. （2）共有3种租用方案：方案1：租用甲型挖掘机10台，乙型挖掘机0台；方案2：租用甲型挖掘机6台，乙型挖掘机3台；方案3：租用甲型挖掘机2台，乙型挖掘机6台. 租金最少的方案为租用甲型挖掘机2台，乙型挖掘机6台，最省租金为1140元； （3） 【解析】 【分析】（1）设租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台，根据题意列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台，根据租用的两种挖掘机恰好完成每小时的挖掘量，可得出关于，的二元一次方程，结合，均为非负整数，即可得出各租用方案； （3）求出各租用方案所需租金，比较后可得出租金最少的租用方案，设弹簧的单价为元，钢球的单价为元，根据题意列出关于，的二元一次方程组与w的关系，解之可得出，将其代入中，即可求出结论． 【小问1详解】 解：设租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台， 根据题意得：， 解得：． 答：租用甲型挖掘机6台，乙型挖掘机3台； 【小问2详解】 解：设租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台， 根据题意得：， 又，均非负整数， 或或， ∴共有3种租用方案： 方案1：租用甲型挖掘机10台，乙型挖掘机0台，所需租金为（元）； 方案2：租用甲型挖掘机6台，乙型挖掘机3台，所需租金为（元）； 方案3：租用甲型挖掘机2台，乙型挖掘机6台，所需租金为（元）． ， ∴租金最少的方案为租用甲型挖掘机2台，乙型挖掘机6台，最省租金为1140元； 【小问3详解】 解：由（2）得，所需弹簧数量为根， 所需钢球数量为颗． 设弹簧的单价为元，钢球的单价为元， 根据题意得：， ， ， （元）． 故实际保养费用为元． 24. 如图，已知，P是直线间的一点，于点F，交于点E，． （1）求的度数； （2）如图2，射线从出发，以每秒的速度绕P点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按原速返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕E点按逆时针方向旋转至后停止运动．若射线，射线同时开始运动，设运动时间为t秒． ①当为角平分线时，求的度数； ②当时，求t的值． 【答案】（1） （2）①的度数为或；②t的值是或或 【解析】 【分析】（1）过点P作，则，根据平行线的判定和性质以及垂直的定义可得，再利用角的和差即可求解； （2）①当为角平分线时，则，再分两种情况：当和时，分别求解即可； ②分四种情况：当、、与，根据平行线的性质列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：过点P作，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； ； 【小问2详解】 解：当为角平分线时，则， 分两种情况：当时，此时的运动时间秒， ∴，这时； 当时，此时的运动时间秒， ∴，这时； ∴的度数为或； ②当即时，若，如图， 则，即， 解得：，不合题意，舍去； 当时，若，如图， 则，即， 解得：； 当垂直时，立刻按原速返回到时， 则，即， 解得； 当时，若，如图， 则，即， 解得：； 当时，不存在互相平行的情况； 综上，当时，t的值是或或． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质以及一元一次方程的应用，正确理解题意、熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蛟川书院（甬江校区）2025学年第二学期学科素养大比拼 初一数学试卷 （满分100分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（ ） A. B. C. D. 2. 红细胞有运输氧气和二氧化碳，输送营养物质等作用，它的平均直径为米，将该数用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 3. 下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式从左向右的变形中，是因式分解的为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知，与相交于点，与相交于点，则下列说法正确的是（ ） ①若，则； ②若，则； ③； ④． A. ②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①③④ 7. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 计算的值是（） A. B. C. D. 9. 已知a、b、c是正整数，且，，则等于（ ） A. 1 B. 1或7 C. －1 D. －1或－7 10. 把两张正方形纸片按如图1所示分别裁剪成A和B两部分（B为长方形），再将裁好的四张纸片不重叠地放入图2所示的正方形中，记一张A纸片的面积为，一张B纸片的面积为，若，则图2中阴影部分面积为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 已知是方程的一个解，则______． 12. 若多项式是一个完全平方式，则常数的值是______． 13. 已知，则代数式值是_____． 14. 已知多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少6，则k的值是________． 15. 如图，已知，为直线上的一点，为直线上的一点，连结，过点作的垂线分别交、的平分线于点、，在点整个运动过程中，当时，则______． 16. 已知正数a，b，c，满足，． （1）__________； （2）图是三张叠放的正方形纸片，其边长分别为，，，若这三张正方形纸片的面积之和为S，则S的值为__________． 三、解答题（共52分） 17. 计算及解方程： （1） （2） 18. 分解因式： （1） （2） 19. 先化简再求值：其中． 20. 根据题意解答下列问题： （1）将平移后得到，图中标出了点B的对应点，请补全； （2）点P为格点，且（点P与点A不重合），满足这样条件的P点有______个． 21. 把完全平方公式适当的变形，如：等，这些变形可解决很多数学问题． （1）若，，且，则______； （2）如图，C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，，两个正方形的面积和为15，设，，求图中阴影部分的面积． 22. 如图，已知直线相交于点O，，点O为垂足，平分． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 23. 解决问题：解决挖掘机的租用和保养问题 素材1：我校现准备对学校南门的主干道进行改造，为了尽快完成施工任务，计划每小时挖掘土方，现租用甲、乙两种型号的挖掘机，租赁公司提供的挖掘机有关信息如表： 素材2：制定租用计划：为使得挖掘机正常运行，应注重对自锁机构的维修与保养，对失去定位效能的弹簧、钢球应及时更换．现预估保养费用为w元，若购买20根弹簧和15颗钢球，则保养费用w还差25元；若购买19根弹簧和13颗钢球，则保养费用w还剩15元． 型号 挖掘土石方量（单位： /台·时） 租金（单位：元/台·时） 甲型 18 120 乙型 24 150 （1）任务1：制定租用计划，若租用甲、乙两种型号的挖掘机共9台，恰好完成每小时的挖掘量，甲、乙两种型号的挖掘机各需租用多少台？ （2）任务2：探究租用方案，若租用的挖掘机不限台数，又恰好完成每小时的挖掘量，请问有哪几种租用方案，哪种方案租金最省，最省租金为多少？ （3）任务3：确定保养费用，基于任务2中租金最少的方案，现为每台挖掘机分别配备2根弹簧和1颗钢球，并额外购买1根弹簧和1颗钢球作为备用，则实际保养费用为________元（用含w代数式表示）． 24. 如图，已知，P是直线间的一点，于点F，交于点E，． （1）求的度数； （2）如图2，射线从出发，以每秒的速度绕P点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按原速返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕E点按逆时针方向旋转至后停止运动．若射线，射线同时开始运动，设运动时间为t秒． ①当为角平分线时，求的度数； ②当时，求t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $