精品解析：陕西西安市长安区第一中学2025-2026学年高一第二学期第一次月考数学试题

2025-2026学年度第二学期第一次月考 高一年级 数学试题 （总分150分 用时120分钟） 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是虚数单位，若复数z满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先利用复数的除法，求出复数，再求共轭复数，然后判定所在象限. 【详解】由题意知，，则， 故复数在复平面内对应的点为，在第四象限. 2. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量平行的坐标公式和充分条件及必要条件求解. 【详解】充分性分析：，，， ，，故充分性成立； 必要性分析：，， ，， ，，，故必要性不成立. 故“”是“”的充分不必要条件 3. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则外接圆的半径为（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【详解】由于，且，所以． 设外接圆的半径为， 因为，所以，可得． 4. 已知向量满足，，且与的夹角为 ，则为（ ） A. B. C. 7 D. 21 【答案】A 【解析】 【详解】由向量，可得， 因为，且与夹角为，所以， 则，所以. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出函数的定义域和奇偶性，再根据指定区间函数值的符号即可求出结果. 【详解】， ，则，即定义域为， 设，则， 故为偶函数，图象关于轴对称，排除BC， 当时，，，，，排除A， 所以选项D正确. 6. 若复数（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据虚数单位的周期性和复数的除法可得. 【详解】因为，所以， 所以. 7. 设是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以，所以， 又周期为2，故，所以， 又，所以， 所以，所以. 8. 已知是函数的图象上的任意一点，过分别向直线和轴作垂线，垂足分别为，则（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，利用向量垂直的坐标表示求出点的坐标，即可求出的值． 【详解】设，，由， 即，解得， 所以， 则， 所以． 二、多选题：大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.若正确答案有2个，则每对一个得3分；若正确答案有3个，则每对一个得2分；有错误答案得0分. 9. 下列各组向量中，能作为它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）（多选） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】选项A，设（为实数），则， ，则无解，所以不共线， 所以能作为它们所在平面内所有向量的基底，故A正确； 选项B，因为，所以共线， 所以不能作为它们所在平面内所有向量的基底，故B不正确； 选项C，设（为实数），则， ，则无解，所以不共线， 所以能作为它们所在平面内所有向量的基底，故C正确； 选项D，是零向量，与任何向量都共线， 所以不能作为它们所在平面内所有向量的基底，故D不正确. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若复数满足，则 B. 若复数与在复平面内分别对应向量与，则向量对应的复数为 C. 若复数在复平面内对应的点为，则复数 在复平面内对应的点在第一象限 D. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，也满足，A错误． 对于B，因为，，所以，B正确． 对于C，复数对应的点为，则复数对应的点为，该点在第一象限，C正确． 对于D，复数对应的点构成的图形为圆环，它的面积为，D正确． 11. 在中，所对的边分别为，已知，则（ ） A. 若，则外接圆半径为 B. 若，则 C. 若为锐角三角形，且，则 D. 面积的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】确定三角形形状并求出外接圆半径判断A；利用余弦定理求出的范围选项B；建立不等式组求出范围判断C；利用余弦定理及三角形面积公式列式，结合二次函数求出最大值判断D. 【详解】对于A，因为，由正弦定理可知， 设，则，即为直角三角形， 结合，得，则， 外接圆半径为，A正确； 对于B，若，则由，可得， 则，而，即，仅当时取等号， 故，结合，得，B正确； 对于C，，， 为锐角三角形，则，且， 即，解得，即，C错误； 对于D，由，得， 由于，故，即； 而, 而，故 ， 由于时，取最大值， 故的最大值为，即面积的最大值为，D正确. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ____________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据两角差的正切公式求解即可. 【详解】. 故答案为：. 13. 若复数满足，则|z|的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】设，由可得，然后由复数模长公式结合两点间距离公式可得答案. 【详解】设，， 即在以为圆心，半径为的圆上. 又表示到的距离， 则由图可知. 14. 已知为圆心，点是圆上一点，点是圆内部一点．若，且，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点是圆内部一点及，结合向量数量积公式求出的范围，再根据模长公式求出的表达式，进而求解即可. 【详解】因为点是圆上一点，，所以， 因为， 所以， 设与的夹角为，， 则，所以， 又，所以， 又点是圆内部一点，所以， 综上； ， 因为，所以，则， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求角的值； （2）设边的中点为，若，求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由三角形中，结合已知整理得，即可得角的大小； （2）作，垂足为，设，再用表示出、，应用勾股定理构建方程求参数，进而求相关边长，即可求面积. 【小问1详解】 在中，代入 所以，即，又，则； 【小问2详解】 如图，作，垂足为，， 为中点，设，因为为中点，所以， 在中，，所以， 在中，，， 由勾股定理得， ，，则. 16. 计算： （1）求值： （2）解方程：； （3）解关于x的不等式 【答案】（1） （2） （3）时，该不等式解集为； 当时，该不等式解集为； 当时，该不等式解集为； 当时，该不等式解集为； 当时，该不等式解集为. 【解析】 【分析】（1）根据对数的运算法则计算即可求解； （2）根据复数的概念结合一元二次方程求根公式计算即可求解； （3）根据二次不等式分析讨论根的大小求解即可. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 由题意，判别式：， 所以方程无实数解，有两个共轭虚根. 利用求根公式：； 【小问3详解】 易知即为； 当时，该不等式解集为； 当时，该不等式解集为 当时，该不等式解集为 当时，该不等式解集为 当时，该不等式解集为 17. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）求单调递减区间； （3）当时，求函数的最大值以及取得最大值时的值. 【答案】（1） （2）， （3）当时，取得最大值 【解析】 【分析】（1）化简得，根据周期公式求解即可； （2）令，，求解即可； （3）令，结合三角函数的性质求解即可. 【小问1详解】 因为 ， ∴最小正周期为. 【小问2详解】 令，， 解得，， 所以函数的单调递减区间为，. 【小问3详解】 因为， 令， ，则， 因为， 的单调递增区间是，单调递减区间是 所以当时，即时， 取到最大值， 所以. 18. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积为S，且.已知向量，，函数， （1）求角A的大小； （2）在中，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理和面积公式即可得到角的值. （2）先利用数量积公式得到的解析式，进而得到边的值.利用正弦定理将边换成角，然后利用三角函数知识求解的取值范围. 【小问1详解】 由已知，可以得到 再利用面积公式可以得到， 由余弦定理知，所以有 即. 因为，所以. 【小问2详解】 由数量积公式可知 由二倍角公式和辅助角公式可得. 所以. 由正弦定理可得， 所以,，因为,所以， 所以 ， 因为，所以. 所以， 所以的取值范围为. 19. 我们知道函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.事实上该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. （1）证明：函数的图象关于点成中心对称图形； （2）若函数的图象关于点成中心对称图形． （i）证明：； （ii）已知函数的图象过点，下面含有实数k的不等式对任意非零实数x都成立，求k的取值范围． 【答案】（1）证明见解析； （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的判定方法证得为奇函数，根据对称中心的定义即可判断出函数的图象关于点成中心对称图形. （2）（i）由题所给推广结论可知，是奇函数，利用奇函数的定义求证即可. （ii）由（i）可知，，求解，再由对任意非零实数x恒成立，通过基本不等式求解即可. 【小问1详解】 令，定义域为，关于原点对称， 且，故为奇函数， 根据题中所给推广结论，可知的图象关于点成中心对称图形. 【小问2详解】 （i）证明：由题所给推广结论可知，是奇函数， 令，则有， 即，即， 令，则，则， 故，得证； （ii）由（i）可知，， 故. ，解得，故，. 当时，， 故对任意非零实数x恒成立， 即对任意非零实数x恒成立，即， ， ，当且仅当，即时，等号成立，又因为， ，故， 因此，故， 即k的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期第一次月考 高一年级 数学试题 （总分150分 用时120分钟） 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是虚数单位，若复数z满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则外接圆的半径为（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 6 4. 已知向量满足，，且与的夹角为 ，则为（ ） A. B. C. 7 D. 21 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 若复数（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 7. 设是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 8. 已知是函数的图象上的任意一点，过分别向直线和轴作垂线，垂足分别为，则（ ） A. B. C. 0 D. 二、多选题：大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.若正确答案有2个，则每对一个得3分；若正确答案有3个，则每对一个得2分；有错误答案得0分. 9. 下列各组向量中，能作为它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）（多选） A. B. C. D. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若复数满足，则 B. 若复数与在复平面内分别对应向量与，则向量对应的复数为 C. 若复数在复平面内对应的点为，则复数 在复平面内对应的点在第一象限 D. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 11. 在中，所对的边分别为，已知，则（ ） A. 若，则外接圆半径为 B. 若，则 C. 若为锐角三角形，且，则 D. 面积的最大值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ____________． 13. 若复数满足，则|z|的最大值为______． 14. 已知为圆心，点是圆上一点，点是圆内部一点．若，且，则的取值范围是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求角的值； （2）设边的中点为，若，求的面积. 16. 计算： （1）求值： （2）解方程：； （3）解关于x的不等式 17. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）求单调递减区间； （3）当时，求函数的最大值以及取得最大值时的值. 18. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积为S，且.已知向量，，函数， （1）求角A的大小； （2）在中，，求的取值范围. 19. 我们知道函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.事实上该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. （1）证明：函数的图象关于点成中心对称图形； （2）若函数的图象关于点成中心对称图形． （i）证明：； （ii）已知函数的图象过点，下面含有实数k的不等式对任意非零实数x都成立，求k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $