精品解析：山东青岛第一中学2025-2026学年高二下学期第一次单元检测数学试题

2024级青岛第一中学高二下学期第一次单元检测数学 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 的展开式中的系数为（ ） A. 30 B. 10 C. D. 3. 已知函数在区间上单调递减，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 4. 子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让．现有分别印有这5个字的卡片各2张（同字卡片颜色不同），同学甲从中抽取4张卡片分给另外4位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有（ ） A. 120种 B. 210种 C. 1440种 D. 2880种 5. 已知函数，则的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 6. 已知（，且），则（ ） A. 28 B. 42 C. 43 D. 56 7. 已知函数在内有最小值，则实数的取值可以是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，若，则当取得最小值时，所在区间是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分． 9. 关于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 二项式系数之和为32 B. 最高次项系数为32 C. 所有项系数之和为 D. 项的系数为40 10. 某电影中太乙真人作为哪吒的授业恩师，送给了哪吒七件法宝，乾坤圈、混天绫、火尖枪、金砖、阴阳剑、九龙神火罩和风火轮．哪吒使用这七件法宝对阵敌人，则下列说法正确的是（ ） A. 若哪吒每次使用两种法宝，对阵3次，可以重复使用，则不同的使用法宝的方法有 B. 若哪吒与敌人对阵3次，每次至少使用两件法宝，法宝不可以重复使用，则不同的使用法宝的方法有 C. 若哪吒每次使用一件法宝，对阵7次，法宝不可以重复使用，且乾坤圈和风火轮不能相邻使用，则不同的使用法宝的方法有种 D. 若哪吒每次使用一件法宝，对阵7次，法宝不可以重复使用，且乾坤圈比风火轮更早使用，风火轮比火尖枪更早使用，则不同的使用法宝的方法有种 11. 已知函数，下列判断正确的是（ ） A. 的单调减区间是， B. 的定义域是 C. 的值域是 D. 与有一个公共点，则或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则______． 13. 已知函数在处取得极大值，则______________. 14. 已知，则___________（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 有名男生和甲、乙名女生排成一排，求下列情况各有多少种不同的排法？ （1）女生甲排在正中间； （2）名女生不相邻； （3）女生甲必须排在女生乙的左边（不一定相邻）； （4）名女生中间恰有名男生． 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若时，，求的取值范围. 17. 我们曾用组合模型发现了组合恒等式，这里所使用的方法，实际上是将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同来得到等式，这是一种非常有用的思想方法，叫做“算两次”，对此，我们并不陌生，例如列方程时就要从不同的侧面列出表示同一个量的代数式． （1）某医院有内科医生8名，外科医生（）名，现要派3名医生参加赈灾医疗队，已知某内科医生必须参加的选法有66种，求的值； （2）化简：． 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，证明：． 19. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若，恒成立，求的值； （3）若在区间上存在零点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级青岛第一中学高二下学期第一次单元检测数学 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的定义即可转化为求导数值来判断选项. 【详解】由于等价于函数在处的导数. 因为，所以在处的导数为. 故选：D. 2. 的展开式中的系数为（ ） A. 30 B. 10 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式定理，先求出的展开式中和的系数，再分别与相乘即可求解. 【详解】由题意知的展开式的通项为. 令，得的展开式中的系数为； 令，得的展开式中的系数为， 所以的展开式中的系数为. 故选：A. 3. 已知函数在区间上单调递减，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数在区间上单调递减，可得在区间上恒成立， 参变分离可得恒成立，令，通过求导判断单调性，求得其最小值即可. 【详解】由函数，得， 因为函数在区间上单调递减， 所以在区间上恒成立， 即，等价于恒成立， 令，则， 当时，恒成立，所以在区间上单调递增， 所以. 故选：B. 4. 子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让．现有分别印有这5个字的卡片各2张（同字卡片颜色不同），同学甲从中抽取4张卡片分给另外4位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有（ ） A. 120种 B. 210种 C. 1440种 D. 2880种 【答案】D 【解析】 【详解】先把字相同的卡片看成一组， 第一步：从这5组中选出一组有种选法. 第二步：再从余下的4组中选2组，这2组中，每组各选一张卡片有. 第三步：把选出的4张卡片，分给4位同学有. 所以不同的分配方案有种. 5. 已知函数，则的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对求导，得到，再解不等式，即可求解. 【详解】易知函数定义域为，因为， 所以，令，得， 所以，即，所以的单调递增区间为， 故选：A. 6. 已知（，且），则（ ） A. 28 B. 42 C. 43 D. 56 【答案】A 【解析】 【分析】先根据排列数得出n,再计算组合数即可. 【详解】, . 故选:A. 7. 已知函数在内有最小值，则实数的取值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，求出函数的极小值点，进而求出的范围即可. 【详解】函数定义域为，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，函数在处取得极小值，即最小值， 又函数在内有最小值，则，解得， 所以实数的取值可以是. 故选：D 8. 已知，，若，则当取得最小值时，所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件构造函数，利用导数求出最值，由零点存在性定理验证的根的范围即可. 【详解】令，即， ∴，， ∴， 令，则， 令，则， ∴在上单调递增，且， ∴存在唯一使得， 当时，， ，当时，， ， ∴， 即取得最小值时，， 由零点的存在定理验证的根的范围， 当时，，当时，， 故， 故选：． 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分． 9. 关于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 二项式系数之和为32 B. 最高次项系数为32 C. 所有项系数之和为 D. 项的系数为40 【答案】AB 【解析】 【分析】直接利用二项式定理的应用求出结果即可． 【详解】对于选项A：二项式系数之和为，故A正确； 对于选项B：设展开式第项为，最高次项的系数为，故B正确； 对于选项C：令得各项系数之和为，故C错误； 对于选项D：项的系数为，故D错误. 故选:AB. 10. 某电影中太乙真人作为哪吒的授业恩师，送给了哪吒七件法宝，乾坤圈、混天绫、火尖枪、金砖、阴阳剑、九龙神火罩和风火轮．哪吒使用这七件法宝对阵敌人，则下列说法正确的是（ ） A. 若哪吒每次使用两种法宝，对阵3次，可以重复使用，则不同的使用法宝的方法有 B. 若哪吒与敌人对阵3次，每次至少使用两件法宝，法宝不可以重复使用，则不同的使用法宝的方法有 C. 若哪吒每次使用一件法宝，对阵7次，法宝不可以重复使用，且乾坤圈和风火轮不能相邻使用，则不同的使用法宝的方法有种 D. 若哪吒每次使用一件法宝，对阵7次，法宝不可以重复使用，且乾坤圈比风火轮更早使用，风火轮比火尖枪更早使用，则不同的使用法宝的方法有种 【答案】ACD 【解析】 【分析】A计算每次使用法宝的种数，再利用分步乘法计数原理计算；B先将7件法宝分成3组，每组至少2件，再进行分配；C先排列其余5件法宝，再利用插空法排列即可；D利用倍缩法解决定序问题即可． 【详解】已知太乙真人送给了哪吒七件法宝， 对于A，每次使用法宝有种， 因可以重复使用，则对阵3次､不同的使用法宝的方法有种，故A正确； 对于B，将7件法宝分成3组，每组至少2件，共有种， 则对阵3次､不同的使用法宝的方法有种，故B错误； 对于C，先将除乾坤圈､风火轮以外的5种法宝排列，共有种， 再利用插空法将乾坤圈､风火轮插入6个空位置中， 则不同的使用法宝的方法有种，故C正确； 对于D，先将7件法宝排列共有种， 再利用倍缩法解决定序问题即可得，不同的使用法宝的方法有种，故D正确. 故选：ACD． 11. 已知函数，下列判断正确的是（ ） A. 的单调减区间是， B. 的定义域是 C. 的值域是 D. 与有一个公共点，则或 【答案】ABD 【解析】 【分析】先判断函数定义域，再求导分析函数的单调性与最值作出简图，进而可判断各选项. 【详解】对B，函数定义域满足，解得，故B正确； 对A，，令可得和， 解得和，故的单调减区间是，，故A正确； 对C，由A可得当和时单调递减， 当时单调递增，且， 作出简图，可得的值域是，故C错误； 对D，由图象可得，与有一个公共点，则或，故D正确； 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【详解】， 设，则， 解得， 设，则， 解得， 则. 13. 已知函数在处取得极大值，则______________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据极值与极值点的定义可得解. 【详解】由， 得， 则， 解得或， 当时，，， 此时函数在，上单调递增，在上单调递减， 即函数在处取极小值，不成立； 当时，，， 此时函数在，上单调递增，在上单调递减， 即函数在处取极大值，成立； 综上所述， 故答案为：. 14. 已知，则___________（用数字作答） 【答案】1 【解析】 【分析】利用赋值法，先求得，再求得的值，即可得答案. 【详解】令 ，则 ， 令 ，则， 即， 故， 故答案为：1 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 有名男生和甲、乙名女生排成一排，求下列情况各有多少种不同的排法？ （1）女生甲排在正中间； （2）名女生不相邻； （3）女生甲必须排在女生乙的左边（不一定相邻）； （4）名女生中间恰有名男生． 【答案】（1）种； （2）种； （3）种； （4）种. 【解析】 【分析】（1）根据特殊元素优先排，其余元素再利用全排列即可求解； （2）不相邻问题利用“插空法”即可求解； （3）固定顺序问题即是所有元素全排列种类数的一半； （4）相邻问题用“捆绑法”，其余元素再利用全排列即可. 【小问1详解】 女生甲排在正中间，其余人有种排法，因此不同排法种数为种； 【小问2详解】 将名男生排成一排，有种排法，2名女生可以在 每2名男生之间及两端共6个位置中选出2个排，有种排法， 因此不同排法种数为种； 【小问3详解】 对7名学生全排列有种排法，因此不同排法种数为种； 【小问4详解】 选1名男生排在2名女生中间，有种排法，将3人看成1个元素， 与4名男生共5个元素排成一排，不同的排法有种， 又因为2名女生有种排法， 因此不同排法种数为种. 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若时，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题可得切线斜率及所过点，据此可得切线方程； （2）由题可得当时，可得，据此可得答案. 【小问1详解】 当时，，， 则，， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 由，得. 当时，，所以当，即时，，单调递增， 所以在区间上的最小值为. 令，得，所以. 当，即时，若，则，单调递减； 若，则，单调递增， 所以在区间上的最小值为. 令， 解得.综上，的取值范围为. 17. 我们曾用组合模型发现了组合恒等式，这里所使用的方法，实际上是将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同来得到等式，这是一种非常有用的思想方法，叫做“算两次”，对此，我们并不陌生，例如列方程时就要从不同的侧面列出表示同一个量的代数式． （1）某医院有内科医生8名，外科医生（）名，现要派3名医生参加赈灾医疗队，已知某内科医生必须参加的选法有66种，求的值； （2）化简：． 【答案】(1)5;(2) 【解析】 【分析】（1）将原事件转化为从剩下7名内科医生，外科医生名，派2名医生参加赈灾医疗队，即可求解. （2）结合二项式定理，将原式看作展开式中的系数减，即可求解. 【详解】（1）内科医生8名，外科医生名，现要派3名医生参加赈灾医疗队，某内科医生必须参加，该事件等同于从剩下7名内科医生，外科医生名，派2名医生参加赈灾医疗队，即即解得. （2）, 的系数 原式可以看作展开式中的系数减，即 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，证明：． 【答案】（1）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导函数，按照和分类讨论，利用导函数的正负情况即可得解； （2）结合（1）得到的最大值，即证，然后构造函数，利用导数法证明即可. 【小问1详解】 由题函数定义域为，， 则当时，在上恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，得， 所以时单调递增，时单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 【小问2详解】 当时，由（1）可知有最大值为， 故要证，只需证，即证， 设，则， 所以时单调递增，时单调递减； 所以对任意恒成立，因为， 所以，故原不等式得证. 19. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若，恒成立，求的值； （3）若在区间上存在零点，求的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间为，无单调递减区间. （2）-1 （3）. 【解析】 【分析】（1）由题可得，令，通过研究单调性可得的单调区间； （2）由题可得是在区间上的最小值，据此可得，随后验证 满足题意即可； （3），结合（1）分析，可得时，在区间上无零点；当时，结合单调性与零点存在性定理可判断零点情况. 【小问1详解】 当时，，，则. 令，则. 当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以， 所以当时，恒成立， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间. 【小问2详解】 由，得，. 因为当时，恒成立， 所以是在区间上的最小值， 即当时，是的极小值点， 所以，解得. 当时，. 令，则. 由（1）知， 所以当时， 恒成立， 所以在区间上单调递增，即在区间上单调递增. 又，所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以是的极小值点，符合题意. 故. 【小问3详解】 因为，所以， 由（1）知. 又当时，， 所以当时，， 所以当时，在区间上恒成立， 所以在区间上单调递增， 故当时，， 此时在区间上无零点，不符合题意，舍去. 当时，令， 则. 当时，，单调递增. 又，当时，，所以存在，使. 当时，，即，单调递减； 当时，，即，单调递增. 因为，当时，， 所以当时，在区间上有唯一零点. 综上，若在区间上存在零点，则的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：对于单次求导无法判断单调性的函数，可通过多次求导，判断函数单调性；对于恒成立问题，常转化为求解函数最值；对于零点问题，常由函数单调性结合零点存在性定理解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $