精品解析：北京十一晋元中学2025-2026学年下学期九年级第十一学段数学II课程周诊断

北京十一晋元中学2025-2026学年下学期九年级年级第十一学段数学II课程周诊断 2026.4 考试时间：120分钟 满分：100分 注意事项： 1．本试卷共4页，共三道大题，28道小题． 2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 一、选择题（本题共16分，每题2分） 1. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A. 五棱柱 B. 圆柱 C. 长方体 D. 五棱锥 【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图可知正视图是一个正五边形，左视图是一个大长方形，里面有两个小长方形，俯视图是一个大长方形，竖着分成两个小长方形且有两条线看不见，由此即可得到答案． 【详解】解：由三视图可知正视图是一个正五边形，左视图是一个大长方形，里面有两个小长方形，俯视图是一个大长方形，竖着分成两个小长方形且有两条线看不见，由此可知这个几何体是五棱柱， 故选A． 【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体，解题的关键在于能够正确理解图中的三视图． 2. 科研人员利用人工智能设计出一种新型的“纳米笼”．这种“纳米笼”的直径为75纳米，1纳米等于米．若将这种新型“纳米笼”的直径记作米，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为负整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：∵这种“纳米笼”的直径为75纳米，1纳米等于米． ∴75纳米， 故选：C 3. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负，观察数轴判断a，b的大小和绝对值的大小关系，然后根据有理数的乘法法则、加法法则、不等式的基本性质和绝对值的性质对各个选项进行判断即可． 【详解】解：观察数轴可知：，，，， ∴， ∴，，，， ∴A，B，C选项均错误，D选项正确， 故选：D． 4. 如图，经过多边形一个角的两边剪掉这个角，则新多边形的内角和（　　） A. 比原多边形多180° B. 比原多边形多360° C. 与原多边形相等 D. 比原多边形少180° 【答案】A 【解析】 【分析】根据多边形内角和公式，可得新多边形的边数，根据新多边形比原多边形多1条边，可得答案． 【详解】因为n边形的内角和是：（n-2）180° 由图可知，新图形多了一边， 所以，新多边形的内角和比原多边形多180°. 【点睛】本题考查了多边形内角与外角，掌握多边形的内角和公式是解题关键． 5. 如图，一把遮阳伞撑开时，母线长为，底面半径为，制作这把遮阳伞至少需要用布料（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据侧面积公式，进行计算即可． 【详解】解：由题意，制作这把遮阳伞至少需要用布料； 故选B． 6. 有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁，随机取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次打开锁的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列出表格，得出所有等可能的情况数，找出随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的情况数，即可求出所求的概率． 【详解】解：列表得： 锁1 锁2 钥匙1 （锁1，钥匙1） （锁2，钥匙1） 钥匙2 （锁1，钥匙2） （锁2，钥匙2） 钥匙3 （锁1，钥匙3） （锁2，钥匙3） 由表可知，所有等可能的情况有6种，其中随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的2种， 则P（一次打开锁）． 故选：B. 【点睛】本题考查列表法与树状图法求概率，注意掌握概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 7. 如图，点为外一定点，连接，作以为直径的，与交于两点和，根据切线的判断，直线和是的两条切线．由得，，，即切线长定理．上述过程中，可以判定的依据是（ ） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 D. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，圆的切线的性质与判定，切线长定理，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键．题中已判定出直线和是的两条切线，可得，则在与，利用，，即可判定，其判定依据为：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，即可解决． 【详解】解：∵题中判定出直线和是的两条切线， ∴， 在与， ， ∴， 判定依据为：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等， 故选：D． 8. 如图，在正方形中，、交于点，为延长线上的一点，且，连接，分别交于点，连接，给出下面三个结论： ①平分； ②； ③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】由正方形的性质可得垂直平分，，可得，由角的数量关系可求，即平分，故正确；由，故正确；通过证明，可得，根据勾股定理可得故正确，即可求解． 【详解】解：设， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 四边形是正方形， 垂直平分，， ， ， ， 平分，故①正确； ，故②正确； ，， ， ， ， ， ，故③正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，解直角三角形的知识，角平分线的定义，平行线的性质，垂直平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 二、填空题（本题共16分，每题2分） 9. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解不等式等知识，利用二次根式的被开方数是非负数得出关于x的不等式求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 10. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 先提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 11. 分式方程的解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先将分式方程化为整式方程，解整式方程后检验，排除增根即可得到原方程的解． 【详解】解：， 方程两边同乘公分母，得， 整理得， 因式分解得， 解得 或 ， 检验：当时，，故是增根，舍去； 当时，，满足方程要求； 因此原分式方程的解为． 12. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程有实数根，结合根的判别式即可得出关于的一元一次不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴根的判别式，其中，，， 即， 整理得 ， 解得 ． 13. 某校对八年级学生进行体能测试，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个班学生成绩的合格率与该班参加测试人数的情况，如图所示，其中描述甲、丁两个班情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四个班合格人数最多的班级是_____________班． 【答案】丙 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象与性质的实际应用题，读懂题意，并熟练掌握反比例函数的图象与性质是解决问题的关键．根据反比例函数图象与性质求解即可得到结论． 【详解】解：∵甲、丁两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴设反比例函数表达式为， 则甲、乙、丙、丁， 过乙点作y轴平行线交反比例函数于点，过丙点作y轴平行线交反比例函数于点，如图所示： 由图可知， ∴、乙、丙、丁在反比例函数图象上， 根据题意可知合格人数，则： ①，即甲、丁两个班级合格人数相同； ②，即乙班级合格人数比甲、丁两个班级合格人数少； ③，即丙班级合格人数比甲、丁两个班级合格人数多； 综上所述：乙班级合格人数甲班级合格人数丁班级合格人数丙班级合格人数， ∴这四个班合格人数最多的是丙， 故答案为：丙． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限内，经过坐标原点，并与两坐标轴分别相交于，两点，点在上，已知，点的坐标为，则圆心的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点分别作，，点，分别是垂足，根据垂径定理得，，由圆周角定理可得，则，然后证明是的直径，所以，求得，，从而求解． 【详解】解：连接，过点分别作，，点，分别是垂足，根据垂径定理得，， ∵， ∴ ∴， ∵点的坐标为，， ∴是的直径， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴圆心的坐标是． 15. 如图，点为正方形上边上点，于点，于点，若，为中点，则长度应是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的综合，涉及三角形全等，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．先判定，求出的值，再求，最后利用列式求解即可． 【详解】解：正方形中，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵为中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， 故答案为：． 16. 甲、乙、丙三个同学做游戏，他们同时从写有整数（）的三张卡片中各拿一张，获得与卡片上的数字相同数量的糖果后完成一次游戏，然后再按照此方式继续进行这个游戏．如果他们做了次游戏后，甲共获得颗糖果，乙共获得颗糖果，丙共获得颗糖果，并且知道在最后一次游戏中，丙拿到的是写有整数的卡片，那么的值为____________；第一次游戏时，乙拿到的卡片上写有的整数是____________．（填“”，“”或“”） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式的混合运算，理解数量关系，掌握整式的运用方法是解题的关键． 根据题意可得，，结合均为正整数，可确定的取值范围，再根据每次游戏可能得结果进行推测即可求解． 【详解】解：根据题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴，且为正整数， 当时，，不符合题意； 当时，， ∵是正整数， ∴为正整数， ∴当时，， ∵丙共获得11颗糖果，且 设丙在三次游戏中拿到的卡片值分别为，则， ∴，则 甲共获得 颗糖果，最大可能和为  ∴，且为正整数， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴， ∴ ∴, ∴丙在三次游戏中拿到的卡片值分别为，， 共 甲的糖果总和为：则至少两次拿到 因为乙共获得颗糖果，所以乙不可能拿到写有整数的卡片， 则乙在第1次游戏中拿到的卡片上写的整数只能是； 故答案为：，． 三、解答题（共68分，第题，每题5分，第20题6分，第21题4分，第22题6分，第23题5分，第24－26题，每题6分，第27－28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂和实数的混合计算法则求解即可． 【详解】解： 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 所以不等式组的解集为． 19. 已知：，求代数式的值． 【答案】1 【解析】 【分析】先把小括号内的式子通分化简，再约分化简，接着求出的值，最后代入求值即可． 【详解】解： ， ， ∴原式． 20. 如图，的对角线，相交于点O，E是边的中点，连接．过点O，E作直线的垂线，垂足分别为F，G． （1）求证：四边形是矩形； （2）若四边形是菱形，，，则矩形的面积为______． 【答案】（1） 证明：，， ，， 四边形是平行四边形， ， E是边的中点， ， 是的中位线， ，即， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形； （2）6 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质、矩形的判定及性质、菱形的性质、勾股定理、三角形的面积计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，由E是边的中点可得，根据三角形中位线定理得到，即，进而推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理得到结论； （2）根据菱形的性质得到，求得，，，由勾股定理求出，根据三角形面积公式得到，根据矩形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 四边形是菱形，，， ， ，，， ， E是边的中点， ， ， ， ， 矩形的面积． 21. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于x轴的直线交于点C． （1）求该函数的表达式及点C的坐标； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值且大于，直接写出a的值． 【答案】（1）； （2）1 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． （1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点的纵坐标为，代入函数解析式求出点的横坐标即可； （2）根据函数图象得出当过点时满足题意，代入求出的值即可． 【小问1详解】 把点和代入得：， 解得， ∴该函数的解析式为， 由题意知点的纵坐标为， 当时， 解得：， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 由（1）知：当时，， 因为当时，的值小于函数的值且大于， 所以当过点时满足题意， ∴， 解得：． 22. 羽毛球运动深受大众喜爱，该运动的场地是一块中间设有球网的矩形区域，它既可以进行单打比赛也可以进行双打比赛，如图是羽毛球场地的平面示意图，已知场地上各条分界线宽均为，场地的长比宽的倍还多（包含分界线宽），单、双打后发球线（球网同侧）间的距离与单、双打边线（中线同侧）间的距离之比是．根据图中所给数据，求单、双打后发球线间的距离． 【答案】球网同侧的单、双打后发球线间的距离是 【解析】 【分析】设球网同侧的单、双打后发球线间的距离是，则中线同侧的单、双打边线间的距离是，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设球网同侧的单、双打后发球线间的距离是，则中线同侧的单、双打边线间的距离是， 由题意可得， 解得， ∴， ∴球网同侧的单、双打后发球线间的距离是． 23. 某校开展“天文知识竞赛”活动，并从全校学生中抽取了若干学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩用x表示，总分为100分，共分成五个等级：A：；B：；C：；D：；E：）．并绘制了如下尚不完整的统计图． a．抽取学生成绩等级人数统计表 等级 A B C D E 人数 m 9 10 4 2 其中扇形图中C等级区域所对应的扇形的圆心角的度数是． c．抽取学生中等级C的成绩数据从小到大排列： 70，71，72，73，74，76，76，77，78，79 根据以上信息，回答下列问题： （1）该抽样的样本容量为 ，抽取学生成绩的平均数是否一定满足 （填“是”或“否”）； （2）全校1200名学生中，A等级的人数可以估计为 ； （3）将抽取学生中等级为C的10人按分数分为两个天文知识学习小组：75分以上的同学组成甲组，75分以下的同学组成乙组．若从甲乙两组中分别随机抽取一人代表小组，他们的分数之差不低于8分的概率是 ；若有两位同学成绩均为75分，他们分别加入这两个小组后甲乙两小组成绩的方差分别记为，，则，的大小关系为： （填写或）． 【答案】（1）30、否 （2）200名 （3）， 【解析】 【分析】（1）由组频数及其圆心角所占比例可得样本容量，再根据加权平均数求解即可； （2）总人数乘以样本中等级人数所占比例即可； （3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可；依据方差的定义计算即可． 【小问1详解】 解：该抽样的样本容量为， ， 抽取学生成绩的平均数， 所以抽取学生成绩的平均数可能位于，但不能确定一定位于该组， 故答案为：30、否； 【小问2详解】 解：全校1200名学生中，等级的人数可以估计为（名， 故答案为：200名； 【小问3详解】 列表如下： 70 71 72 73 74 76 6 5 4 3 2 76 6 5 4 3 2 77 7 6 5 4 3 78 8 7 6 5 4 79 9 8 7 6 5 由表知，共有25种等可能结果，其中他们的分数之差不低于8分的只有3种结果， 所以他们的分数之差不低于8分的概率为； 甲组数据为75、76、76、77、78、79， 其平均数为， 方差， 乙组数据为70、71、72、73、74、75， 其平均数为， 方差； ， ， 故答案为：，． 【点睛】本题考查扇形统计图、加权平均数、用样本估计总体及方差，能够读懂统计图，掌握用样本估计总体是解答本题的关键． 24. 如图，是的直径，． （1）求证：是的切线； （2）若点是的中点，连接交于点，当，时，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了切线的判定、相似三角形的判定和性质、正切三角函数、勾股定理等知识，证明是解题的关键． （1）证明，得到，根据切线的判定即可得到结论； （2）求出，得到，根据即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又是的半径， ∴是的切线． 【小问2详解】 在中，， ∴， ∴， ∵点是弧的中点， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， 在中，． 25. 不同香料香气的强烈程度（简称香气强度）随时间呈现不同的变化规律，调香师利用这些规律调制出各具特色的香水．某小组计划利用函数研究甲、乙、丙三种香料的香气强度变化情况，将等质量的三种香料分别放置在相同条件的外部环境中，设实验过程中，香料放置时间为时，甲、乙、丙香料的香气强度分别为，记录部分实验数据如下： 0 20 40 60 80 100 120 … 5 2.03 1.14 0.53 0.27 0.09 0.06 … 3 2.03 1.44 1.05 0.76 0.54 0.38 … 1 0.94 0.88 0.82 0.76 0.70 0.64 … （1）在平面直角坐标系中，函数的图象如图所示，已描出表中所对应的部分点，请画出函数的图象： （2）根据函数图象，当放置时，甲香料的香气强度约为___________，丙香料的香气强度约为___________；（结果均保留一位小数） （3）查阅文献可知，用多种香料调制成的香水，多数人可以识别出当前时刻香气强度最大的香料，而对其他香料的香气感受不明显，称可以识别出的香料在当前时刻起主要作用．用等质量的甲、乙、丙三种香料共同调制为一款香水放置，忽略香料互相之间的影响，结合函数图象，解决问题： ①当放置时，该时刻起主要作用的香料为___________；（填“甲”“乙”或“丙”） ②若总共放置时间为，则起主要作用时间最长的香料为___________（填“甲”“乙”或“丙”），该香料起主要作用的时长为___________． 【答案】（1） 函数的图象： （2） （3）①丙；②乙，60 【解析】 【分析】（1）描点，连线，画出函数图象即可； （2）直接根据图象作答即可； （3）①根据图象直接作答即可；②根据图象可知，甲香料的香气强度下降的最快，乙香料的作用较强，消散较慢，丙香料的香气强度较弱，持续作用久，进行作答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可知： 当放置时，甲香料的香气强度约为；丙香料的香气强度约为； 【小问3详解】 解：①由图象可知，当放置时，该时刻起主要作用的香料为丙； ②由图象可知，总共放置时间为，则起主要作用时间最长的香料是乙，该香料起主要作用的时长为． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，且． （1）求抛物线的解析式； （2）点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小．当时，求线段与二次函数的图象交点个数及对应的的取值范围． 【答案】（1） （2）时，线段PQ与抛物线只有一个交点；时，线段PQ与抛物线有两个交点 【解析】 【分析】（1）求出点坐标，再将代入进行求解即可； （2）将坐标表示出来，得到，求出，得到与对应的函数值相等，再分两种情况进行讨论从而得到答案． 【小问1详解】 解：∵点的坐标为， ①， 令，则， ， ， ， ， ， 由①②可得， ； 【小问2详解】 解：由题意可知， 当点在点右侧时，， 此时的长度随的增大而增大，与题意不符； 当点在点左侧时，， 此时的长度随的增大而减小， ， ； ， ， 可得， 当P、Q重合时，， 解得， 的对称轴为直线， 与对应的函数值相等， ∴当点在对称轴上或右边时，即时，线段与抛物线只有一个交点（交点即点）； 当点在对称轴左边时，如图， 则， ， ∴当时，线段与抛物线有两个交点， 综上，时，线段与抛物线只有一个交点；时，线段与抛物线有两个交点． 27. 在中，为线段上一点．在边上截取，过点作交于点，连接． （1）如图1，若平分，过点作交BC于点，连接．求证：； （2）如图2，猜想线段之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 【解析】 【分析】（1）过点作于，设交于，先证是等腰直角三角形，进而可证，再利用三角形全等的性质求解； （2）作正方形，取中点，连接交于，延长交于，先证，进而得到四边形是平行四边形，再证，继而可得． 【小问1详解】 证明：如图，过点作于，设交于， 平分， 设，则， ， 是等腰直角三角形， 又 【小问2详解】 解：，证明如下： 如图，作正方形，取中点，连接交于，延长交于， 由正方形的性质可得， 是中点，， ， ， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形， 即， 28. 在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和外一点C给出如下定义： 若直线，中一条经过点O，另一条是的切线，则称点C是弦的“关联点”． （1）如图，点，， ①在点，，中，弦的“关联点”是______． ②若点C是弦的“关联点”，直接写出的长； （2）已知点，．对于线段上一点S，存在的弦，使得点S是弦的“关联点”，记的长为t，当点S在线段上运动时，直接写出t的取值范围． 【答案】（1），； （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据题目中关联点的定义并分情况讨论计算即可； （2）根据，两点来求最值情况，S共有2种情况，分别位于点M和经过点O的的垂线上，运用相似三角形计算即可． 【小问1详解】 解：①由关联点的定义可知，若直线中一经过点O，另一条是的切线，则称点C是弦的“关联点”， ∵点，，，，， ∴直线经过点O，且与相切， ∴是弦的“关联点”， 又∵和横坐标相等，与都位于直线上， ∴与相切，经过点O， ∴是弦的“关联点”． ②∵，， 设，如下图所示，共有两种情况， a、若与相切，经过点O， 则、所在直线为： ， 解得：， ∴， b、若与相切，经过点O， 则、所在直线为：， 解得：， ∴， 综上，． 【小问2详解】 解：∵线段上一点S，存在的弦，使得点S是弦的“关联点”， 又∵弦随着S的变动在一定范围内变动，且，，， ∴S共有2种情况，分别位于点M和经过点O的的垂线上，如图所示， ①当S位于点时，为的切线，作， ∵，的半径为1，且为的切线， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴根据勾股定理得，， 根据勾股定理，，同理，， ∴当S位于点时，的临界值为和． ②当S位于经过点O的的垂线上即点K时， ∵点，， ∴， ∴， 又∵的半径为1，∴， ∴三角形为等边三角形， ∴在此情况下，，， ∴当S位于经过点O的的垂线上即点K时，的临界值为和， ∴在两种情况下，的最小值在内，最大值在， 综上所述，t的取值范围为或， 【点睛】本题主要考查最值问题，题目较为新颖，要灵活运用知识点，明确新概念时解答此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京十一晋元中学2025-2026学年下学期九年级年级第十一学段数学II课程周诊断 2026.4 考试时间：120分钟 满分：100分 注意事项： 1．本试卷共4页，共三道大题，28道小题． 2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 一、选择题（本题共16分，每题2分） 1. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A. 五棱柱 B. 圆柱 C. 长方体 D. 五棱锥 2. 科研人员利用人工智能设计出一种新型的“纳米笼”．这种“纳米笼”的直径为75纳米，1纳米等于米．若将这种新型“纳米笼”的直径记作米，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，经过多边形一个角的两边剪掉这个角，则新多边形的内角和（　　） A. 比原多边形多180° B. 比原多边形多360° C. 与原多边形相等 D. 比原多边形少180° 5. 如图，一把遮阳伞撑开时，母线长为，底面半径为，制作这把遮阳伞至少需要用布料（ ） A. B. C. D. 6. 有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁，随机取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次打开锁的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点为外一定点，连接，作以为直径的，与交于两点和，根据切线的判断，直线和是的两条切线．由得，，，即切线长定理．上述过程中，可以判定的依据是（ ） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 D. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 8. 如图，在正方形中，、交于点，为延长线上的一点，且，连接，分别交于点，连接，给出下面三个结论： ①平分； ②； ③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（本题共16分，每题2分） 9. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 10. 因式分解：___________． 11. 分式方程的解为__________． 12. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是__________． 13. 某校对八年级学生进行体能测试，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个班学生成绩的合格率与该班参加测试人数的情况，如图所示，其中描述甲、丁两个班情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四个班合格人数最多的班级是_____________班． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限内，经过坐标原点，并与两坐标轴分别相交于，两点，点在上，已知，点的坐标为，则圆心的坐标是______． 15. 如图，点为正方形上边上点，于点，于点，若，为中点，则长度应是______． 16. 甲、乙、丙三个同学做游戏，他们同时从写有整数（）的三张卡片中各拿一张，获得与卡片上的数字相同数量的糖果后完成一次游戏，然后再按照此方式继续进行这个游戏．如果他们做了次游戏后，甲共获得颗糖果，乙共获得颗糖果，丙共获得颗糖果，并且知道在最后一次游戏中，丙拿到的是写有整数的卡片，那么的值为____________；第一次游戏时，乙拿到的卡片上写有的整数是____________．（填“”，“”或“”） 三、解答题（共68分，第题，每题5分，第20题6分，第21题4分，第22题6分，第23题5分，第24－26题，每题6分，第27－28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算： 18. 解不等式组：． 19. 已知：，求代数式的值． 20. 如图，的对角线，相交于点O，E是边的中点，连接．过点O，E作直线的垂线，垂足分别为F，G． （1）求证：四边形是矩形； （2）若四边形是菱形，，，则矩形的面积为______． 21. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于x轴的直线交于点C． （1）求该函数的表达式及点C的坐标； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值且大于，直接写出a的值． 22. 羽毛球运动深受大众喜爱，该运动的场地是一块中间设有球网的矩形区域，它既可以进行单打比赛也可以进行双打比赛，如图是羽毛球场地的平面示意图，已知场地上各条分界线宽均为，场地的长比宽的倍还多（包含分界线宽），单、双打后发球线（球网同侧）间的距离与单、双打边线（中线同侧）间的距离之比是．根据图中所给数据，求单、双打后发球线间的距离． 23. 某校开展“天文知识竞赛”活动，并从全校学生中抽取了若干学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩用x表示，总分为100分，共分成五个等级：A：；B：；C：；D：；E：）．并绘制了如下尚不完整的统计图． a．抽取学生成绩等级人数统计表 等级 A B C D E 人数 m 9 10 4 2 其中扇形图中C等级区域所对应的扇形的圆心角的度数是． c．抽取学生中等级C的成绩数据从小到大排列： 70，71，72，73，74，76，76，77，78，79 根据以上信息，回答下列问题： （1）该抽样的样本容量为 ，抽取学生成绩的平均数是否一定满足 （填“是”或“否”）； （2）全校1200名学生中，A等级的人数可以估计为 ； （3）将抽取学生中等级为C的10人按分数分为两个天文知识学习小组：75分以上的同学组成甲组，75分以下的同学组成乙组．若从甲乙两组中分别随机抽取一人代表小组，他们的分数之差不低于8分的概率是 ；若有两位同学成绩均为75分，他们分别加入这两个小组后甲乙两小组成绩的方差分别记为，，则，的大小关系为： （填写或）． 24. 如图，是的直径，． （1）求证：是的切线； （2）若点是的中点，连接交于点，当，时，求的值． 25. 不同香料香气的强烈程度（简称香气强度）随时间呈现不同的变化规律，调香师利用这些规律调制出各具特色的香水．某小组计划利用函数研究甲、乙、丙三种香料的香气强度变化情况，将等质量的三种香料分别放置在相同条件的外部环境中，设实验过程中，香料放置时间为时，甲、乙、丙香料的香气强度分别为，记录部分实验数据如下： 0 20 40 60 80 100 120 … 5 2.03 1.14 0.53 0.27 0.09 0.06 … 3 2.03 1.44 1.05 0.76 0.54 0.38 … 1 0.94 0.88 0.82 0.76 0.70 0.64 … （1）在平面直角坐标系中，函数的图象如图所示，已描出表中所对应的部分点，请画出函数的图象： （2）根据函数图象，当放置时，甲香料的香气强度约为___________，丙香料的香气强度约为___________；（结果均保留一位小数） （3）查阅文献可知，用多种香料调制成的香水，多数人可以识别出当前时刻香气强度最大的香料，而对其他香料的香气感受不明显，称可以识别出的香料在当前时刻起主要作用．用等质量的甲、乙、丙三种香料共同调制为一款香水放置，忽略香料互相之间的影响，结合函数图象，解决问题： ①当放置时，该时刻起主要作用的香料为___________；（填“甲”“乙”或“丙”） ②若总共放置时间为，则起主要作用时间最长的香料为___________（填“甲”“乙”或“丙”），该香料起主要作用的时长为___________． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，且． （1）求抛物线的解析式； （2）点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小．当时，求线段与二次函数的图象交点个数及对应的的取值范围． 27. 在中，为线段上一点．在边上截取，过点作交于点，连接． （1）如图1，若平分，过点作交BC于点，连接．求证：； （2）如图2，猜想线段之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和外一点C给出如下定义： 若直线，中一条经过点O，另一条是的切线，则称点C是弦的“关联点”． （1）如图，点，， ①在点，，中，弦的“关联点”是______． ②若点C是弦的“关联点”，直接写出的长； （2）已知点，．对于线段上一点S，存在的弦，使得点S是弦的“关联点”，记的长为t，当点S在线段上运动时，直接写出t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $