精品解析：黑龙江齐齐哈尔市龙江县2025-2026学年度下学期八年级数学第一次教学质量抽测

龙江县2025—2026学年度下学期第一次月考教学质量抽测 八年级数学试题 考生注意： 1．考试时间120分钟． 2．全卷共五道大题，总分120分． 3．请各位考生将答案填写在答题卡的指定位置，答案写在题签上的无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列各式中一定有意义的是（ ） A. B. C. D. 2. 能判断是直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. D. ， 3. 下列二次根式与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 《四元玉鉴》是我国传统数学中重要的著作之一，《四元玉鉴》中记载：“池方一丈，葭生中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭各几何？”大意：有一边长为一丈的正方形池塘，一棵芦苇（“葭”）生长在池塘的正中央，露出水面一尺．将芦苇的顶端拉向岸边，顶端刚好和岸边的水面平齐．问池塘的水深和芦苇的总长度各是多少？利用方程思想，设水深为尺，则依题意所列方程为（1丈尺，1尺寸）（ ） A. B. C. D. 5. 下列等式从左到右的变形过程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，长方形的边长为2，长为1，点A在数轴上对应的数是，以A点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点E，点E表示的实数是（ ） A. B. C. D. 7. 已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（ ） A. 3 B. 5 C. 15 D. 45 8. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若．则图中阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. 9 C. D. 9. 如图，在长方形中，，，将沿折叠，点B落在处，与交于E，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ） A. 1012 B. 2023 C. 2024 D. 2025 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 若代数式有意义，则x的取值范围是____________． 12. 比较大小：______6． 13. 如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为米，小狗的高米，小狗与小方的距离米．（绳子一直是直的）牵狗绳的长 __________． 14. 如果的整数部分为，的小数部分为，求____． 15. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则__________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作，交x轴于点；过点作轴，交直线于；过点作，交x轴于点；过点作轴，交直线l于点；…，按此作法进行下去，则点的坐标为________． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简． 19. 先化简，再求值：，其中，． 20. 如图，在△ABC中，，，． （1）求证：△ABC是直角三角形； （2）若AD平分∠BAC，求AD的长． 21. 在学校组织的研学活动中，辰星小组合作搭建帐篷．图是他们搭建帐篷的支架示意图．在中，两根支架从帐篷顶点支撑在水平的支架上，一根支架于点，另一根支架的端点在线段上，且．经测量，知，，．根据测量结果，解答下列问题： （1）求的长； （2）按照要求，当帐篷支架与所夹的角度为直角时，帐篷最为稳定．请通过计算说明辰星小组搭建的帐篷是否符合要求． 22. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降，实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是，物体C到定滑轮A的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 23. 观察下列等式，归纳等式规律，解决下列问题： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ．．．．．． （1）根据上述等式规律，直接写出第5个等式：___________； （2）用含的式子表示出第个等式：___________； （3）计算：． 24. 如图，已知中，，，点D为直线上的一动点（点D不与点B、C重合），以为边作，使，，连接． 发现问题：如图1，当点D在边上时， （1）请写出和之间的位置关系为______，并猜想和、之间的数量关系：______； （2）如图2，当点D在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中和之间的位置关系，和、之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由； （3）当点D在射线上且其他条件不变时，若，，求出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙江县2025—2026学年度下学期第一次月考教学质量抽测 八年级数学试题 考生注意： 1．考试时间120分钟． 2．全卷共五道大题，总分120分． 3．请各位考生将答案填写在答题卡的指定位置，答案写在题签上的无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列各式中一定有意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义，关键是掌握二次根式的被开方数为非负数．根据二次根式有意义，二次根式中的被开方数是非负数进行分析即可． 【详解】A．当时，无意义，故此选项错误； B．当时，无意义，故此选项错误； C．a是任意实数，都有意义，故此选项正确； D．当或时，无意义，故此选项错误． 故选：C． 2. 能判断是直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的判定等知识，分别根据勾股定理逆定理，三角形内角和定理等知识逐项判断即可求解． 【详解】解：A. ∵，∴不是直角三角形，故原选项不合题意； B. ∵，∴，∴不是直角三角形，故原选项不合题意； C. 设，则，∵，∴是直角三角形，故原选项符合题意； D. ∵，，∴，∴不是直角三角形，故原选项不合题意． 故选：C 3. 下列二次根式与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将各选项化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断，同类二次根式是化简后被开方数相同的二次根式． 【详解】解：∵同类二次根式的定义为：化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式， ∴、，与被开方数不同，不是同类二次根式； 、，与被开方数不同，不是同类二次根式； 、，化简后被开方数为，与被开方数相同，是同类二次根式； 、，与被开方数不同，不是同类二次根式． 4. 《四元玉鉴》是我国传统数学中重要的著作之一，《四元玉鉴》中记载：“池方一丈，葭生中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭各几何？”大意：有一边长为一丈的正方形池塘，一棵芦苇（“葭”）生长在池塘的正中央，露出水面一尺．将芦苇的顶端拉向岸边，顶端刚好和岸边的水面平齐．问池塘的水深和芦苇的总长度各是多少？利用方程思想，设水深为尺，则依题意所列方程为（1丈尺，1尺寸）（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，理解题意，掌握勾股定理的计算是关键． 设水深为x尺，则芦苇长为尺，将芦苇顶端拉向岸边时，形成直角三角形，其中直角边为水深x尺和池中心到岸边的距离5尺（边长一丈尺，半边长5尺），斜边为芦苇长尺，根据勾股定理列方程． 【详解】解：∵水深为x尺，则芦苇长为尺， ∵池塘边长为10尺，中心到岸边的距离为5尺， ∴由勾股定理，得：， 故所列方程为． 故选：B． 5. 下列等式从左到右的变形过程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的性质进行判断即可． 【详解】解：A、，只有a、b均为非负数时才成立，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、若，，则不成立，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 6. 如图，长方形的边长为2，长为1，点A在数轴上对应的数是，以A点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点E，点E表示的实数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，用数轴上的点表示实数等知识．先根据勾股定理求出，进而得到，根据点A在数轴上对应的数是，即可得到点E表示的实数是． 【详解】解：在中，， 由题意得， ∵点A在数轴上对应的数是， ∴点E表示的实数是，即， 故选：B． 7. 已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（ ） A. 3 B. 5 C. 15 D. 45 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知45n是一个完全平方数，从而可求得答案． 【详解】解：， ∵n是正整数，也是一个正整数， ∴n的最小值为5． 故选：B． 【点睛】此题考查二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键． 8. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若．则图中阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. 9 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查勾股树，熟练掌握勾股树是解题的关键；由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴，即， 由图可知； 故选C． 9. 如图，在长方形中，，，将沿折叠，点B落在处，与交于E，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据翻折变换的性质得出，，再由得出，则，，设，则，再利用勾股定理求出x的值即可． 【详解】解：∵长方形中，，， ∴， ∵将沿折叠，点B落在处，与交于E， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查的是翻折变换，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟知以上知识是解题的关键． 10. 有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ） A. 1012 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用以及规律型等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．生长“”次正方形的面积和为，生长“”次正方形的面积和为，找到规律即可得到答案． 【详解】解：设直角三角形的两条直角边为，斜边为， ， 正方形的边长为， 生长“”次正方形的面积和为，生长“”次正方形的面积和为， 故“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是， 故选D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 若代数式有意义，则x的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数和分母是解题的关键． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴，解得， 故答案为：． 12. 比较大小：______6． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，通过比较平方的方法判断两个正数的大小即可． 【详解】解：∵，，且， ∴． 故答案为：． 13. 如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为米，小狗的高米，小狗与小方的距离米．（绳子一直是直的）牵狗绳的长 __________． 【答案】2.6米 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解并掌握勾股定理是解决问题的关键．过点作于点，可得，，，再根据勾股定理求解即可 【详解】解：如图，过点作于点， 则米，米， 米， （米． 所以此时牵狗绳的长为2.6米． 故答案为：2.6米． 14. 如果的整数部分为，的小数部分为，求____． 【答案】6 【解析】 【分析】先估算的取值范围，从而求出a，b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴，， ∴． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分． 15. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则__________． 【答案】73 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，然后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在和中，根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴. 故答案为：73． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作，交x轴于点；过点作轴，交直线于；过点作，交x轴于点；过点作轴，交直线l于点；…，按此作法进行下去，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质和判定，点的坐标规律．根据题目所给的解析式，求出对应的坐标，然后根据规律求出的坐标，最后根据题目要求求出最后答案即可． 【详解】解：如图，过点作轴于， 将代入直线解析式中得， ，， ， ， ， ， 的坐标为， 同理可以求出的坐标为， 同理可以求出的坐标为， 同理可以求出的坐标为， ∴的坐标为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据分母有理化，二次根式的性质分别运算，然后合并即可； （）根据二次根式的性质进行化简，然后通过二次根式乘除法进行求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】 【解析】 【分析】依据数轴即可得到，，，再根据二次根式的性质和绝对值的性质即可化简． 【详解】解：由题可得，，， ，，， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解决问题的关键是掌握二次根式的性质以及绝对值的性质． 19. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的混合运算； 先利用分式的运算法则对原式进行化简，再对进行分母有理化，然后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ∵，， ∴当，时， 原式 ． 20. 如图，在△ABC中，，，． （1）求证：△ABC是直角三角形； （2）若AD平分∠BAC，求AD的长． 【答案】 （1）证明：∵， ∴， ∴△ABC是直角三角形； （2）． 【解析】 【分析】（1）只需要利用勾股定理的逆定理验证即可； （2）过D作于E，由角平分线的性质可得，即可利用勾股定理推出，则，设，则，，在Rt△DEC中，，则，由此求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）过D作于E． ∵AD平分∠BAC，， ∴， 在Rt△ABD中，， 同理， ∴， ∴， 设，则，， 在Rt△DEC中，， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，角平分线的性质，解题的关键在于能够根据题意判断出∠B=90°． 21. 在学校组织的研学活动中，辰星小组合作搭建帐篷．图是他们搭建帐篷的支架示意图．在中，两根支架从帐篷顶点支撑在水平的支架上，一根支架于点，另一根支架的端点在线段上，且．经测量，知，，．根据测量结果，解答下列问题： （1）求的长； （2）按照要求，当帐篷支架与所夹的角度为直角时，帐篷最为稳定．请通过计算说明辰星小组搭建的帐篷是否符合要求． 【答案】（1） （2）符合要求 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理，利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，是解题的关键． （1）设，则，，在中，利用勾股定理即可求解； （2）利用勾股定理求出与的长，从而得出的长，再利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，，进而得出结论． 【小问1详解】 解：设，则，， ， ， 在中，， ，解得． 的长为； 【小问2详解】 帐篷符合要求． 理由如下： 在中，，， ， 在中，，， ， ， ，， ． 是直角三角形，． 帐篷符合要求． 22. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降，实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是，物体C到定滑轮A的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 【答案】（1）绳子的总长度为 （2）此时物体C升高了 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合题意得，运用勾股定理算出，即可求出绳子的总长度； （2）理解题意得，然后算出，再结合勾股定理得，因为绳子的总长度为，即可作答． 【小问1详解】 解：根据题意得． ， ， 答：绳子的总长度为； 【小问2详解】 解：∵滑块B向左滑动了， 即， ， 在中，， 由（1）得绳子的总长度为， ， ∴物体C升高的高度 答：此时物体C升高了． 23. 观察下列等式，归纳等式规律，解决下列问题： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ．．．．．． （1）根据上述等式规律，直接写出第5个等式：___________； （2）用含的式子表示出第个等式：___________； （3）计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了数字的变化规律，实数的简便计算，找出分数的分母与n的关系是解题关键． （1）根据分数的分母变化规律即可解答； （2）根据分数的分母变化规律即可解答； （3）根据前后两项相加后抵消的规律，利用（2）的结论计算求值即可． 【小问1详解】 解：∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ∴第5个等式为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由上规律可得，第个等式为：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：原式 ． 24. 如图，已知中，，，点D为直线上的一动点（点D不与点B、C重合），以为边作，使，，连接． 发现问题：如图1，当点D在边上时， （1）请写出和之间的位置关系为______，并猜想和、之间的数量关系：______； （2）如图2，当点D在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中和之间的位置关系，和、之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由； （3）当点D在射线上且其他条件不变时，若，，求出线段的长． 【答案】（1）， （2） 当点D在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中和之间的位置关系，和、之间的数量关系仍然成立，理由如下： ∵， ∴，即， 又，， ∴， ∴，， 又， ∴，即， ∴在中，， ∵， ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得，证明，根据证明得，，结合可证明，运用勾股定理可得出； （2）方法同（1）； （3）分点在上和在的延长线上两种情况，结合勾股定理可得结论． 【小问1详解】 解：∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴在中，， ∵， ∴； 综上，和之间的位置关系为，和、之间的数量关系为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当点在上时，如图， 由（1）得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴； ②当点在的延长线上时，如图， 同理可得，， ∴， ∵在中，， ∴； 综上，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $