精品解析：河南唐河县第一高级中学2025-2026学年高一下学期第二次月考数学试题

2026年春期高一第二次月考 数学试题 一、选择题（共6小题） 1. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值求得答案. 【详解】. 故选：A 2. 向量，化简后等于（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的加减运算法则计算即可求得结果. 【详解】， 故选：C 3. 在中，若，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理得，再由余弦定理求得，得到，即可得到答案. 【详解】解：因为在中，满足， 由正弦定理知，代入上式得， 又由余弦定理可得，因为是三角形的内角，所以， 所以为钝角三角形， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状，其中解答中合理利用正、余弦定理，求得角的范围是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 4. 已知向量，满足，，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】将向量的模的运算转化为数量积运算即可求解. 【详解】由，，， 两边平方可得， 即， 解得，则. 故选：A. 5. 在三角形ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一个解的是 A. b=7，c=3，C=300 B. b=5，c= ，B=450 C. a=6，b= ，B=600 D. a=20，b=30，A=300 【答案】C 【解析】 【详解】三角形ABC中已知（ 为锐角），若 或 则三角形有一个解.A选项已知， 且；B选项已知， 且；C选项已知，所以有一个解；D选项已知， 且；故选C. 【点睛】 已知两边和其中一边的对角，解三角形，要注意对解的个数的讨论．可按如下步骤和方法进行： 例如已知 ， （一）若 为钝角或直角，当 时，则无解；当 时，有只有一个解；  （二）若 为锐角，结合下图理解. ①若 或 ，则只有一个解. ②若 ，则有两解. ③若 ，则无解. 无解 一解 两解 一解 也可根据 的关系及 与 的大小关系来确定. 6. 以下变换中，能将函数的图象变为函数的图象的是（ ） A. 每个点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度 B. 每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的 D. 向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍 【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数伸缩变换，平移变换知识结合诱导公式，可判断选项正误. 【详解】对于A，变换后的函数为 ，故A错误； 对于B，变换后的函数为 ，故B正确； 对于C，变换后的函数为 ，故C错误； 对于D，变换后的函数为 ，故D错误. 故选：B 7. 若函数（，）的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象关于坐标原点对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得函数的最小正周期为，再结合 【详解】由函数（，）的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为， 则得函数的最小正周期为，所以， 由向右平移个单位长度后得为奇函数， 则，，又，所以当时，有最小值，故B正确. 故选：B. 8. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】作出图形如图所示，扇形，设半径为1，， 设，，由图可知， 又， 所以，所以， 由，，得．， ，故． 故选：A. 二、多选题（共2小题） 9. 下列说法中错误的为（ ） A. 终边经过点的角的集合是 B. 若一扇形的圆心角为4，圆心角所对应的弦长为2，则此扇形的面积为 C. 若与平行，则在方向上的投影数量为 D. 若非零，满足，则与的夹角是 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A：分和两种情况，根据任意角三角函数的定义集合求角；选项B：根据弦心距及扇形面积公式求解即可；选项C：分与同向或反向讨论即可；选项D：根据向量数量积的运算率及向量夹角的坐标运算计算即可. 【详解】选项A：当时，终边经过点的角的集合是； 当时，终边经过点的角的集合是，A错误. 选项B：由题意知，扇形半径， 所以扇形面积为，B正确. 选项C：若与同向，在方向上的投影数量为；若与反向，在方向上的投影数量为，C错误. 选项D：已知，设，则，即， 所以，所以. 设与的夹角为， 则， 又，所以，D错误. 10. 在中，，，与交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【详解】因为，， 所以，如图， 对于A，，正确； 设，则， 设，又， 所以， 又， 所以，解得， 可知，， ， 故BC正确，D错误. 11. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）.若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图3中点）开始计时，经过t秒后点P距离水面的高度为h米，下列结论正确的有（ ） A. h关于t的函数解析式为 B. 点P第一次到达最高点需用时5秒 C. P再次接触水面需用时10秒 D. 当点P运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据函数模型的定义与性质，求出A、B和T、ω、φ，写出函数解析式，再判断选项中的命题是否正确． 【详解】函数中，所以， 时，，解得，因为，所以， 所以，A正确； 令得，则，解得， 所以x的最小值为5，即点P第一次到达最高点需用时5秒，B正确； 由题意知，点P再次接触水面需用时（秒），C正确； 当时，，点P距水面的高度为2米，D错误． 故选：ABC 三、填空题（共5小题） 12. 设，是平面内不共线的一组基底，，，，若，，三点共线，则实数______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据平面向量共线定理，结合平面向量线性运算的性质进行求解即可. 【详解】， ， 由，，三点共线， 则有，解得， 故答案为：. 13. 在△ABC中，，则角B的大小是________；若，则△ABC的面积的最大值是________. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】根据条件，结合余弦定理得，再由基本不等式变形求出的最大值，最后利用三角形面积公式表示出，代入的最大值即可求三角形的面积最大值. 【详解】因为，由余弦定理得，所以. 因为，所以，当且仅当时取等号，所以， 面积，所以三角形面积的最大值为. 故答案为：； 14. 如图，在中，P为线段AB上一点，则，若，，，且与的夹角为，则的值为_______. 【答案】-3 【解析】 【分析】利用向量线性运算及平面向量基本定理，用表示与，然后利用数量积的运算律求解即可 【详解】因为，所以， 所以 ， 即， 故答案为：-3 四、解答题（共5小题） 15. 已知角的始边与轴的正半轴重合，终边过定点． （1）求的值． （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据任意角的三角函数定义求出，，根据诱导公式进行化简，代入求值即可. （2）根据诱导公式求解即可. 【小问1详解】 角的始边与轴的正半轴重合，终边过定点，则， 所以，． 所以 ． 【小问2详解】 由于， ， 所以． 16. 已知向量，． （1）若，求x； （2）若在方向上的投影向量为，且与的夹角是锐角，求实数λ的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直的充要条件及向量坐标的数量积运算即可得解； （2）先根据投影向量的计算公式求出x，然后根据向量夹角为锐角即可得出，且与不共线，然后列出关于λ的不等式组，解出范围即可． 【小问1详解】 ∵，，， ∴， 解得； 【小问2详解】 ∵在方向上的投影向量为， ∴，解得， ∴，，， ∵与的夹角为锐角， ∴，且与不共线， ∴，解得且， ∴λ的取值范围为：． 17. 某同学用“五点作图法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表： （1）请将上表数据补充完整，并求出函数的解析式； （2）若在上有两根，求的取值范围. 【答案】（1）表格见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）根据表格数据可得A和周期，然后可得，带点可得； （2）令，将问题转化为在上有两个根，然后根据正弦函数的性质求解可得. 【小问1详解】 补充表格: 由最大值为最小值为可知 又，故 再根据五点作图法，可得，得 故 【小问2详解】 令，则 所以=有两个根，转化为在上有两个根. 即在上有两个根. 由在的图像和性质可得：, 所以 故实数的取值范围为 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，，. （1）求外接圆的面积； （2）若，，求的周长. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）先利用诱导公式将原式化简，再运用正弦定理进行边角互化，得出角的大小，然后运用正弦定理求解外接圆的半径，从而得出外接圆的面积. （2）由及可解出，的大小，得出角的大小，进而得出角，然后在中，由余弦定理可解得的值，得出的周长. 【详解】（1）∵ ， ∴ ，由正弦定理得：， 因为 ，所以，得， 又，故 ， ∴外接圆的半径， ∴外接圆的面积为. （2）由及得：，， ∵，则为锐角， ∴，故. 如图所示，在中，由余弦定理得， ， 解得， 则的周长为. 【点睛】解三角形时，若题目所给式子中含有角的余弦或边的二次式，则考虑用余弦定理；若式子中含有角的正弦或者边的一次式时，则考虑用正弦定理；若以上特征不明显，则两个定理都有可能用到. 19. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）求关于的方程在上所有的实数根之和； （3）当时，关于的方程恰有3个不同实根，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由图可得最大值及其周期，即可得、，再利用点，代入计算即可得，即可得函数的解析式； （2）借助整体思想结合正弦函数图象可得有四个不同的根，再利用正弦函数对称性计算即可得； （3）借助整体思想结合正弦函数图象可得值域，并可得其取不同值时解的个数，再对原方程因式分解后即可得的取值范围. 【小问1详解】 由图可得最大值为，，则，， 令，则有，解得， 又，故，即； 【小问2详解】 令，则， 当时，， 由，则，则有四个不同的根， 设这四个根从小到大分别为，由有对称轴与， 则，， 即有，，故实数根之和为； 【小问3详解】 当时，，则， 故，其中及有且仅有一根， 有且有两个不同的根， 令，则， 则或， 若，即时，有且仅有一根， 则需要有两根， 则，解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春期高一第二次月考 数学试题 一、选择题（共6小题） 1. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 2. 向量，化简后等于（ ） A. B. 0 C. D. 3. 在中，若，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 4. 已知向量，满足，，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 5. 在三角形ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一个解的是 A. b=7，c=3，C=300 B. b=5，c= ，B=450 C. a=6，b= ，B=600 D. a=20，b=30，A=300 6. 以下变换中，能将函数的图象变为函数的图象的是（ ） A. 每个点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度 B. 每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的 D. 向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍 7. 若函数（，）的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象关于坐标原点对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共2小题） 9. 下列说法中错误的为（ ） A. 终边经过点的角的集合是 B. 若一扇形的圆心角为4，圆心角所对应的弦长为2，则此扇形的面积为 C. 若与平行，则在方向上的投影数量为 D. 若非零，满足，则与的夹角是 10. 在中，，，与交于点，则（ ） A. B. C. D. 11. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）.若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图3中点）开始计时，经过t秒后点P距离水面的高度为h米，下列结论正确的有（ ） A. h关于t的函数解析式为 B. 点P第一次到达最高点需用时5秒 C. P再次接触水面需用时10秒 D. 当点P运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米 三、填空题（共5小题） 12. 设，是平面内不共线的一组基底，，，，若，，三点共线，则实数______. 13. 在△ABC中，，则角B的大小是________；若，则△ABC的面积的最大值是________. 14. 如图，在中，P为线段AB上一点，则，若，，，且与的夹角为，则的值为_______. 四、解答题（共5小题） 15. 已知角的始边与轴的正半轴重合，终边过定点． （1）求的值． （2）若，求的值． 16. 已知向量，． （1）若，求x； （2）若在方向上的投影向量为，且与的夹角是锐角，求实数λ的取值范围． 17. 某同学用“五点作图法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表： （1）请将上表数据补充完整，并求出函数的解析式； （2）若在上有两根，求的取值范围. 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，，. （1）求外接圆的面积； （2）若，，求的周长. 19. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）求关于的方程在上所有的实数根之和； （3）当时，关于的方程恰有3个不同实根，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $