专题21.3.1矩形【九大考点+九大题型】-2025-2026学年八年级下册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

本初中数学讲义聚焦矩形核心知识点，系统梳理从平行四边形到矩形的特殊性质，包括四个角为直角、对角线相等，结合直角三角形斜边上的中线性质，构建定义、性质、判定的完整知识支架。 资料通过九类考点的典例与变式题设计，如折叠问题、添加条件判定矩形等，培养学生几何直观与推理能力，综合题结合坐标与面积计算提升应用意识，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺。

专题21.3.1矩形 · 考点一：矩形性质的理解 · 考点二：矩形的性质求角度 · 考点三：矩形的性质求线段 · 考点四：矩形的性质求面积和坐标 · 考点五：矩形的折叠问题 · 考点六：添加一个条件成为矩形问题 · 考点七：矩形的判定证明问题 · 考点八：直角三角形斜边上的中线问题 · 考点九：矩形的性质和判定综合性问题 知识点一：矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形,也就是长方形.如图,在□ABCD中,如果∠A=90°,那么□ABCD就是矩形。 知识点二：矩形的性质 性质 数学语言 图形 角 矩形的四个角都是直角 四边形是矩形， 对角线 矩形的对角线相等 四边形是矩形， 对称性 矩形是轴对称图形，它有两条对称轴 技巧归纳： (1)矩形首先是一个平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质，上述两条性质是它所具有的特殊性质。 (2)矩形的性质是证明线段相等或倍分、角相等以及线段平行、垂直的重要依据。 (3)由于矩形的角都是直角，故常把其相关问题转化为直角三角形的问题来解决。 (4)矩形的两条对角线将矩形分割成4个等腰三角形,所以也常用等腰三角形的性质解决问题。 知识点三：直角三角形的一条重要性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 几何语言：如图,在Rt△ABC中,BD是斜边AC上的中线, ∴BD=1/2 AC 知识点四：矩形的判定方法 1: 有一个角是直角的平行四边形是矩形 (用定义判定) 几何语言: 如图,∵∠BAD=90°,四边形ABCD为平行四边形, ∴□ABCD是矩形。 2：对角线相等的平行四边形是矩形。 几何语言：如图，∵AC=BD，四边形ABCD为平行四边形, ∴□ABCD是矩形。 3: 有三个角是直角的四边形是矩形 几何语言: 如图,∠BAD=∠ABC=∠DCB=90°,四边形ABCD是矩形。 题型一：矩形性质的理解 【典例1】．（25-26八年级下·全国·周测）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．对边平行且相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 【变式1】．（25-26九年级上·河南开封·期末）矩形是特殊的平行四边形，下面是矩形具有而平行四边形不具有的性质的是（   ） A．矩形的对角线互相平分 B．矩形的对边相等 C．矩形的对边平行 D．矩形的四个角相等 【变式2】．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列说法不正确的是（   ） A．矩形是平行四边形 B．平行四边形具有的性质矩形都有 C．有一个角是直角的四边形是矩形 D．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 【变式3】．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）下列关于矩形叙述正确的是（    ） A．对角线相等且互相垂直 B．对角线互相垂直的平行四边形 C．对角线相等且互相平分的四边形 D．矩形的对角线平分一组对角 题型二：矩形的性质求角度 【典例2】．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，矩形的对角线和相交于点，平分交于点，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26九年级下·广西河池·开学考试）如图，将一张长方形纸条翻折，是折痕．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，点是矩形外一点，且在上方，连接，点在边上，连接交边于点F．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式3】．（25-26九年级上·山东青岛·期末）在矩形中，对角线、相交于点的角平分线交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 题型三：矩形的性质求线段 【典例3】．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，在矩形中，点在上，且平分，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（2026·陕西西安·一模）如图，在矩形中，平分交于点，连接，点为的中点，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形中，M为上一点，且，点P，Q分别为，的中点，连接．若，则四边形的周长为（    ） A．24 B．12 C．17 D．22 【变式2】．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，在长方形中，，，是上一个动点，于，于，则的值为（    ） A．4 B．4.6 C．4.8 D．5 题型四：矩形的性质求面积 【典例4】．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级下·全国·周测）数学家贾宪提出，从矩形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两矩形面积相等（如图所示）．根据这一推论，下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26九年级上·辽宁沈阳·月考）如图，矩形的对角线、相交于点，点为的中点，连接，若，，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．6 D．2 【变式3】．（24-25八年级下·江苏徐州·月考）如图，矩形的对角线交于点，点为上一点，交于点，已知和的面积分别是10和3，、、表示对应三角形的面积，下列说法正确的是（   ） A．、、均可求 B．、、均不可求 C．仅可求 D．不可求 题型五：矩形的折叠问题 【典例5】．（2026八年级下·黑龙江大庆·专题练习）如图，矩形中，，，点是边上一点，连接，将沿折叠，使点落在点处，连接．当时，的长为___． 【变式1】．（25-26八年级下·广东广州·月考）小雅同学手中有一张矩形纸片，他进行了如下操作：第一步，如图将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平；第二步，如图，再一次折叠纸片，把沿折叠得到交折痕于点，则到的距离为__________． 【变式2】．（25-26八年级下·青海西宁·月考）如图，在长方形中，，，连接，将沿折叠，点落在点处，与交于点，则的面积为____________________ ． 【变式3】．（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C在坐标轴上，将该矩形沿翻折，点A的对应点为E，交x轴于点F．已知，，则点E的坐标为________． 题型六：添加一个条件成为矩形问题 【典例6】．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，，，分别是，和边的中点．请你添加一个条件，使四边形为矩形．你添加的条件是____________（写出一种情况即可）． 【变式1】．（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·期末）在平行四边形中，对角线，相交于点O，请添加一个适当的条件，使平行四边形成为一个矩形，你添加的条件是______(添一个即可)． 【变式2】．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，，是上的两点，，连接，，，．为使得四边形是矩形，可以添加的一个条件是____________________（写出一种情况即可）． 【变式3】．（2025九年级·全国·专题练习）如图，线段的端点在直线上，过线段上的一点作的平行线，分别交和的平分线于点，，连接，．添加一个适当的条件，使四边形为矩形，则这个条件是_________________（写出一个即可）． 题型七：矩形的判定证明问题 【典例7】．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，在平行四边形中，E、F分别是边、上的点，且，．求证： (1)； (2)四边形是矩形． 【变式1】．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，在平行四边形中，，，垂足分别为E，F．求证：四边形是矩形． 【变式2】．（2026·云南·一模）如图，在中，于点，延长至点，使，连接，与交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 【变式3】．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）如图，将的边延长至点，使，连接,若 ． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的面积． 题型八：直角三角形斜边上的中线问题 【典例8】．（2026八年级下·黑龙江大庆·专题练习）如图，为的中位线，点在上，且，若，，则的长为_____． 【变式1】．（25-26八年级下·北京·月考）如图，点D、E分别是的边、的中点，点F在的延长线上，且．若，，则的长为________． 【变式2】．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，于点D，于点E，连接，F，G分别为，的中点．若，则的长为_______． 【变式3】．（25-26八年级上·上海青浦·期末）如图，四边形中，相交于点分别是、的中点，，，则的值为_____． 题型九：矩形的性质和判定综合性问题 【典例9】．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在矩形中，点是上的一个动点（点不与端点重合），点为的中点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若，，当线段的长为整数时，直接写出线段的长． 【变式1】．（25-26九年级下·辽宁本溪·开学考试）如图，在中，，D为中点，四边形是平行四边形． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点E作于点H，若，求的长． 【变式2】．（2026八年级下·广东深圳·专题练习）如图，矩形中的边，，点是边上一点，线段的垂直平分线交边、于点、，连接并延长交的延长线于点． (1)证明：； (2)当时，求的面积． 【变式3】．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，，点为对角线中点，点在轴上运动，连接，把沿翻折，点的对应点为点，连接． (1)当点F在第四象限时(如图1)，求证：． (2)当点F落在矩形的某条边上时，求的长． 一、单选题 1．（25-26八年级下·上海·月考）下列命题中，假命题是（    ） A．有一组对角是直角且一组对边平行的四边形是矩形； B．有一组对角是直角且一组对边相等的四边形是矩形； C．有两个内角是直角且一组对边相等的四边形是矩形； D．有两个内角是直角且一组对边平行的四边形是矩形． 2．（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，是边上一点，且的垂直平分线经过点，是的中点．若，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 3．（25-26八年级下·山西吕梁·月考）已知，矩形的对角线交于点O，，，则的长为（    ） A． B．4 C． D． 4．（25-26八年级下·云南昭通·月考）把一张长方形纸片按如图所示的方式进行折叠，使点B恰好与点D重合，折痕为．若，，则（    ） A． B． C． D．3 5．（2026·河南周口·一模）如图，在矩形中，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，则的值为（　　） A．5 B． C． D． 6．（2026·河南周口·模拟预测）如图，在矩形中，点E是边上靠近点B的三等分点，点F是边上靠近点C的三等分点，连接，，M，N分别是，的中点，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D．2 7．（25-26八年级下·重庆·月考）如图，在中，，，，点D为上一点，连接，将沿翻折得到，过点A作交于点E，交于点F，若，则的长为（   ） A．3 B． C．4 D． 二、填空题 8．（2026八年级下·黑龙江大庆·专题练习）如图，是矩形的对角线，平分交于点E．若，则___． 9．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，延长矩形的边到点，使，连接，若，则______． 10．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，已知在矩形中，于点，，则的度数是_____． 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接，则线段长的最小值为______． 三、解答题 12．（25-26八年级下·云南曲靖·期中） 如图 ：在矩形中，，将矩形沿对角线折叠，点C落在点E处，交于点F． (1)求证：； (2)求的长． 13．（25-26八年级下·上海闵行·月考）如图，在矩形中，E是上一点，垂直平分，分别交、、于点P、O、Q，连接、，，； (1)求的长； (2)求四边形的面积． 14．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在矩形中，与交于点，点是的中点，连接交于点，延长至G，使，连接，，． (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是矩形． 15．（25-26八年级下·上海·月考）已知：在矩形中，，，点、分别在边、上，．将沿直线翻折得，连接．    (1)如图（1），若点在上，求证：； (2)如图（2），若，求的面积； (3)当为等腰三角形时，求线段的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21.3.1矩形 · 考点一：矩形性质的理解 · 考点二：矩形的性质求角度 · 考点三：矩形的性质求线段 · 考点四：矩形的性质求面积和坐标 · 考点五：矩形的折叠问题 · 考点六：添加一个条件成为矩形问题 · 考点七：矩形的判定证明问题 · 考点八：直角三角形斜边上的中线问题 · 考点九：矩形的性质和判定综合性问题 知识点一：矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形,也就是长方形.如图,在□ABCD中,如果∠A=90°,那么□ABCD就是矩形。 知识点二：矩形的性质 性质 数学语言 图形 角 矩形的四个角都是直角 四边形是矩形， 对角线 矩形的对角线相等 四边形是矩形， 对称性 矩形是轴对称图形，它有两条对称轴 技巧归纳： (1)矩形首先是一个平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质，上述两条性质是它所具有的特殊性质。 (2)矩形的性质是证明线段相等或倍分、角相等以及线段平行、垂直的重要依据。 (3)由于矩形的角都是直角，故常把其相关问题转化为直角三角形的问题来解决。 (4)矩形的两条对角线将矩形分割成4个等腰三角形,所以也常用等腰三角形的性质解决问题。 知识点三：直角三角形的一条重要性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 几何语言：如图,在Rt△ABC中,BD是斜边AC上的中线, ∴BD=1/2 AC 知识点四：矩形的判定方法 1: 有一个角是直角的平行四边形是矩形 (用定义判定) 几何语言: 如图,∵∠BAD=90°,四边形ABCD为平行四边形, ∴□ABCD是矩形。 2：对角线相等的平行四边形是矩形。 几何语言：如图，∵AC=BD，四边形ABCD为平行四边形, ∴□ABCD是矩形。 3: 有三个角是直角的四边形是矩形 几何语言: 如图,∠BAD=∠ABC=∠DCB=90°,四边形ABCD是矩形。 题型一：矩形性质的理解 【典例1】．（25-26八年级下·全国·周测）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．对边平行且相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 【答案】C 【分析】此题主要考查了矩形与平行四边形的性质与区别，熟练区分它们的性质是解题关键． 根据矩形和平行四边形的性质，矩形是特殊的平行四边形，具有所有平行四边形的性质，但对角线相等是矩形特有的性质，而平行四边形不一定具有. 【详解】解：A、对边平行且相等，矩形和平行四边形都具有，不符合题意； B、对角相等，矩形和平行四边形都具有，不符合题意； C、对角线相等，矩形具有，而平行四边形不具有； D、对角线互相垂直，是菱形的性质，矩形不一定具有该性质，不符合题意 故选：C． 【变式1】．（25-26九年级上·河南开封·期末）矩形是特殊的平行四边形，下面是矩形具有而平行四边形不具有的性质的是（   ） A．矩形的对角线互相平分 B．矩形的对边相等 C．矩形的对边平行 D．矩形的四个角相等 【答案】D 【分析】本题考查了矩形与平行四边形的性质，根据两者共有的性质和矩形特有的性质逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、∵矩形的对角线互相平分，平行四边形的对角线互相平分， ∴矩形与平行四边形都具有，不符合题意； 、∵矩形的对边相等，平行四边形的对边相等， ∴矩形与平行四边形都具有，不符合题意； 、∵矩形的对边平行，平行四边形的对边平行， ∴矩形与平行四边形都具有，不符合题意； 、∵矩形是特殊的平行四边形，除具备平行四边形的所有性质外，还具有四个角均为直角（即四个角相等）的性质， ∴矩形具有而平行四边形不具有，符合题意； 故选：． 【变式2】．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列说法不正确的是（   ） A．矩形是平行四边形 B．平行四边形具有的性质矩形都有 C．有一个角是直角的四边形是矩形 D．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的定义、矩形与平行四边形的关联及性质，熟练掌握相应知识是解题的关键． 结合相关概念逐一分析选项判断即可． 【详解】解：A、矩形是特殊的平行四边形，故选项不符合题意； B、矩形是特殊的平行四边形，则平行四边形具有的性质矩形都具有，故选项不符合题意； C、有一个角是直角的四边形不一定是矩形，比如直角梯形，故选项符合题意； D、矩形的定义为有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，故选项不符合题意． 故选：C． 【变式3】．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）下列关于矩形叙述正确的是（    ） A．对角线相等且互相垂直 B．对角线互相垂直的平行四边形 C．对角线相等且互相平分的四边形 D．矩形的对角线平分一组对角 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形对角线的性质． 根据矩形的性质，逐一分析每个选项是否正确． 【详解】A．矩形的对角线相等，但互相垂直仅当矩形为正方形时成立，故A错误； B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，而非矩形，故B错误； C．对角线互相平分的四边形是平行四边形，若对角线相等，则此平行四边形为矩形，故C正确； D．矩形的对角线平分一组对角仅当其为正方形时成立，普通矩形不满足，故D错误． 故选：C． 题型二：矩形的性质求角度 【典例2】．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，矩形的对角线和相交于点，平分交于点，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形性质得出，，，，根据等腰三角形的判定得出，证明为等边三角形，得出，根据等腰三角形的性质得出即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1】．（25-26九年级下·广西河池·开学考试）如图，将一张长方形纸条翻折，是折痕．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠可得，且，根据直线得，最后由对顶角的性质求得． 【详解】解：如图所示： ∵是折痕， ， ， ， 又 ∵， ， ， 又 ∵， ． 【变式2】．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，点是矩形外一点，且在上方，连接，点在边上，连接交边于点F．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的外角性质，先由矩形得出，然后结合三角形的外角性质列式，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ，， ，， ， ， 故选：A． 【变式3】．（25-26九年级上·山东青岛·期末）在矩形中，对角线、相交于点的角平分线交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质、角平分线的定义，关键是矩形性质的应用；根据矩形的性质可得，结合，可得的度数，又根据角平分线的定义可得的度数，则可求． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：B ． 题型三：矩形的性质求线段 【典例3】．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，在矩形中，点在上，且平分，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：四边形为矩形， ∴，，， ，， ， ， ∵， ， 平分， ， ， ， ， . 【变式1】．（2026·陕西西安·一模）如图，在矩形中，平分交于点，连接，点为的中点，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：矩形， ，，，， ， 平分， ， ， ， ， ， 点为的中点， ． 【变式1】．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形中，M为上一点，且，点P，Q分别为，的中点，连接．若，则四边形的周长为（    ） A．24 B．12 C．17 D．22 【答案】D 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵点P，Q分别为，的中点， ∴，， ∵， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴四边形的周长为． 【变式2】．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，在长方形中，，，是上一个动点，于，于，则的值为（    ） A．4 B．4.6 C．4.8 D．5 【答案】C 【分析】先连接，再利用矩形的性质和勾股定理，得出，，最后根据，即可解答． 【详解】解：如图，连接， 四边形是矩形， ，，，， ， ． 在中，， ， ． ，，， ， 即， ． 题型四：矩形的性质求面积 【典例4】．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， 则四边形、四边形、四边形、四边形为矩形，， ，，， ， ， ，， ， ． 【变式1】．（25-26八年级下·全国·周测）数学家贾宪提出，从矩形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两矩形面积相等（如图所示）．根据这一推论，下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解决此题的关键． 由题意可得四边形、四边形、四边形、四边形均是矩形，矩形的对角线将矩形平分为两个面积相等的三角形，由此逐项论证即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴四边形、四边形、四边形、四边形均是矩形． ∵是对角线，且点在上， ∴，，，故A，B选项不符合题意； ∵，， ∴，故C选项不符合题意； 只有当时，， ∴当点位置变化时，和不一定相等，故D选项符合题意． 故选：D． 【变式2】．（25-26九年级上·辽宁沈阳·月考）如图，矩形的对角线、相交于点，点为的中点，连接，若，，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．6 D．2 【答案】A 【分析】此题考查了矩形的性质，三角形中线的性质，熟练掌握以上知识点是关键．首先求出，因为矩形的对角线、互相平分，则为中点，所以，因为点为的中点，所以，进而求解即可． 【详解】解：由条件可知， ∵矩形的对角线、互相平分， ∴为中点， ∴， 点为的中点， ． 故选：A． 【变式3】．（24-25八年级下·江苏徐州·月考）如图，矩形的对角线交于点，点为上一点，交于点，已知和的面积分别是10和3，、、表示对应三角形的面积，下列说法正确的是（   ） A．、、均可求 B．、、均不可求 C．仅可求 D．不可求 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，风筝模型．由矩形的性质可得，可得，，可求，据此计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴， 在中，， 在中，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 题型五：矩形的折叠问题 【典例5】．（2026八年级下·黑龙江大庆·专题练习）如图，矩形中，，，点是边上一点，连接，将沿折叠，使点落在点处，连接．当时，的长为___． 【答案】4 【分析】根据矩形的性质和折叠的性质可得，，再根据平行线的性质可得，，通过等量代换可得，利用等角对等边可得，从而得出，即可求解． 【详解】解：四边形是矩形 ， 点在上 由折叠的性质得：，， ， （两直线平行，同位角相等）， （两直线平行，内错角相等）， ， （等角对等边）， ， ， ， ． 【变式1】．（25-26八年级下·广东广州·月考）小雅同学手中有一张矩形纸片，他进行了如下操作：第一步，如图将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平；第二步，如图，再一次折叠纸片，把沿折叠得到交折痕于点，则到的距离为__________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质和折叠的性质推出，进而得出，设，则，根据勾股定理可得：，列出方程求解得出，再得出，利用等面积法求出点到的距离，进而即可得出到的距离． 【详解】解：四边形是矩形，，， ， 由折叠可得：，，，，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， 则， 则点到的距离为：， 则点到的距离为：． 【变式2】．（25-26八年级下·青海西宁·月考）如图，在长方形中，，，连接，将沿折叠，点落在点处，与交于点，则的面积为____________________ ． 【答案】10 【分析】由长方形的性质得，，则，由折叠得，推导出，则，因为，，所以，由勾股定理得，求得，据此即可求得答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，． ∴． ∵将沿折叠，点落在点处，与交于点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴． 解得． ∴． ∵， ∴． 【变式3】．（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C在坐标轴上，将该矩形沿翻折，点A的对应点为E，交x轴于点F．已知，，则点E的坐标为________． 【答案】 【详解】解：过点作，交于点， 由题意可知：，，，， ， ， ， 设，则， 在中， ， 解得：， 则， ， ， 解得：， ， ∴点的坐标为， 故答案为：． 题型六：添加一个条件成为矩形问题 【典例6】．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，，，分别是，和边的中点．请你添加一个条件，使四边形为矩形．你添加的条件是____________（写出一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及三角形中位线定理，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 由三角形中位线定理得，，则四边形是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论． 【详解】解：添加的条件可以是，理由如下： ∵分别是和边的中点， ∴都是△ABC的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形为矩形， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1】．（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·期末）在平行四边形中，对角线，相交于点O，请添加一个适当的条件，使平行四边形成为一个矩形，你添加的条件是______(添一个即可)． 【答案】(答案不唯一) 【分析】此题主要考查了矩形的判定，关键是熟练掌握矩形的判定定理，难度不大． 根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）推出即可． 【详解】解：添加， 理由是：∵四边形是平行四边形，又 ∴平行四边形是矩形， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2】．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，，是上的两点，，连接，，，．为使得四边形是矩形，可以添加的一个条件是____________________（写出一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 由平行四边形的性质可知，，，再证，则四边形是平行四边形，添加，由矩形的判定可得出结论． 【详解】解：添加的一个条件是：． 理由如下：∵四边形是平行四边形， ，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形，添加的条件符合要求． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3】．（2025九年级·全国·专题练习）如图，线段的端点在直线上，过线段上的一点作的平行线，分别交和的平分线于点，，连接，．添加一个适当的条件，使四边形为矩形，则这个条件是_________________（写出一个即可）． 【答案】是的中点（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 先证，则，同理，再由，证出四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论． 【详解】解：， ． 平分， ， ， ． 同理可证， ． 是的中点， ， 四边形是平行四边形． ，， ， 是矩形． 故答案为：是的中点 ． 题型七：矩形的判定证明问题 【典例7】．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，在平行四边形中，E、F分别是边、上的点，且，．求证： (1)； (2)四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用平行四边形性质得出，，再证明即可； （2）先利用平行四边形性质得出，，得出，可得四边形是平行四边形，再结合，即可证明． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形． 【变式1】．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，在平行四边形中，，，垂足分别为E，F．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】由平行四边形的性质得出，则，可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【变式2】．（2026·云南·一模）如图，在中，于点，延长至点，使，连接，与交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）先证四边形为平行四边形，再证，即可得出结论； （2）根据矩形的性质可得，再利用勾股定理结合完全平方公式公式变形得出，进而求得，再结合，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形， （2）解：四边形是矩形， ，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ． 【变式3】．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）如图，将的边延长至点，使，连接,若 ． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】（1）先根据平行四边形的判定与性质证明四边形，再根据矩形的判定定理可得结论； （2）根据矩形性质得到，再由勾股定理求得，然后利用平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：由（1）可知，四边形是矩形， ∴，即， ∵，， ∴， ∴平行四边形的面积． 题型八：直角三角形斜边上的中线问题 【典例8】．（2026八年级下·黑龙江大庆·专题练习）如图，为的中位线，点在上，且，若，，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形的斜边中线定理，解题的关键是掌握相关知识．由中位线定理可得，点为的中点，根据，可得，即可求解． 【详解】解：为的中位线，， ，点为的中点， ，， ， ． 【变式1】．（25-26八年级下·北京·月考）如图，点D、E分别是的边、的中点，点F在的延长线上，且．若，，则的长为________． 【答案】4 【分析】先根据直角三角形斜边上的中线性质求出的长，进而求出的长，然后根据三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：在中，，E是的中点， ， ， 点D、E分别是的边、的中点， 是的中位线， ． 【变式2】．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，于点D，于点E，连接，F，G分别为，的中点．若，则的长为_______． 【答案】 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质得到，根据三线合一得到，，然后利用勾股定理计算的长即可． 【详解】解：连接，， ∵，，，F为的中点， ∴，，即， ∵G为的中点， ∴，， ∴． 【变式3】．（25-26八年级上·上海青浦·期末）如图，四边形中，相交于点分别是、的中点，，，则的值为_____． 【答案】4 【详解】解：连接、，如图所示： ∵，是的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：4． 题型九：矩形的性质和判定综合性问题 【典例9】．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在矩形中，点是上的一个动点（点不与端点重合），点为的中点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若，，当线段的长为整数时，直接写出线段的长． 【答案】(1)见详解 (2)或或或 【分析】（1）过点作交于，延长交于，结合矩形的判定及性质，由判定，由判定，由全等三角形的性质即可得证； （2）由点的运动路径得，设，由直角三角形的特征得，可求，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：过点作交于，延长交于， ， 四边形是矩形， ，，， 四边形是矩形，， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接， 四边形是矩形， ， ， 点是上的一个动点（点不与端点重合）， ， ， 设， 是的中点， ， ， 解得， ， 线段的长为整数， 为或或或， 为或或或， 当时， ， 同理可求时，， 时，， 时，， 综上，的长为或或或． 【变式1】．（25-26九年级下·辽宁本溪·开学考试）如图，在中，，D为中点，四边形是平行四边形． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点E作于点H，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）通过等腰三角形三线合一，可得，，结合四边形是平行四边形，，，从而得证； （2）不妨设，那么，先求得，接着通过外角求得，得到为等腰直角三角形，结合矩形的性质以及勾股定理，可求得，最后通过可求得答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵，D为的中点， ∴，． ∴，， ∴四边形是平行四边形． 又∵ ∴平行四边形是矩形． （2）解：不妨设，那么， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】．（2026八年级下·广东深圳·专题练习）如图，矩形中的边，，点是边上一点，线段的垂直平分线交边、于点、，连接并延长交的延长线于点． (1)证明：； (2)当时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得，，从而得出，由矩形的性质可得，结合平行线的性质得出，即可得证； （2）先证明为等边三角形，设，则，由直角三角形的性质可得，求出，从而可得，，，最后求出，结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可得：，， ∴为等边三角形， 在中，设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 【变式3】．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，，点为对角线中点，点在轴上运动，连接，把沿翻折，点的对应点为点，连接． (1)当点F在第四象限时(如图1)，求证：． (2)当点F落在矩形的某条边上时，求的长． 【详解】（1）证明：由折叠可知，， ∵点为中点， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴； （2）解：当时，，此时点与点重合， ∴， ∵，四边形是矩形， ∴， ∴； 如图①，当点与点重合时，，， 在中，， 即， 解得， ∴； 综上，的长为6或； 一、单选题 1．（25-26八年级下·上海·月考）下列命题中，假命题是（    ） A．有一组对角是直角且一组对边平行的四边形是矩形； B．有一组对角是直角且一组对边相等的四边形是矩形； C．有两个内角是直角且一组对边相等的四边形是矩形； D．有两个内角是直角且一组对边平行的四边形是矩形． 【答案】D 【分析】利用矩形的判定定理，通过举反例或推理判断每个命题的真假，即可得到答案． 【详解】A、有一组对角是直角且一组对边平行，可由平行线的性质得到其余两个角也为直角，四个角都是直角的四边形是矩形，故A是真命题，不符合题意； B、如图， ，，， ， ， 四边形为平行四边形， ， 平行四边形为矩形； 故B是真命题，不符合题意； C、若两个直角是对角，根据B中证明可得四边形是矩形， 如图，若，， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 平行四边形为矩形； 如图，若，， 假设，过点作于， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， ∵在中，， 这与相互矛盾， ， ， ∴四边形是矩形； 故C是真命题，不符合题意； D、直角梯形有两个内角是直角，且有一组对边平行，但直角梯形不是矩形，因此该命题是假命题，符合题意． 2．（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，是边上一点，且的垂直平分线经过点，是的中点．若，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】由的垂直平分线经过点得，由，是的中点得． 【详解】解：的垂直平分线经过点， ， ，是的中点， ． 3．（25-26八年级下·山西吕梁·月考）已知，矩形的对角线交于点O，，，则的长为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】由矩形的性质可得，再证为等边三角形，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：在矩形中，， ∵， ∴为等边三角形， ， ， 在中，． 4．（25-26八年级下·云南昭通·月考）把一张长方形纸片按如图所示的方式进行折叠，使点B恰好与点D重合，折痕为．若，，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据题意，可知，由折叠的性质，可得，，设，则，在中，由勾股定理，可得，代入求解即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可知， 由折叠的性质，可得，， 设，则， ∴在中，由勾股定理，可得， 即，解得， ∴． 5．（2026·河南周口·一模）如图，在矩形中，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，则的值为（　　） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】由矩形的性质可得，，，，然后通过勾股定理得出，则有，然后通过即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵在矩形中， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴． 6．（2026·河南周口·模拟预测）如图，在矩形中，点E是边上靠近点B的三等分点，点F是边上靠近点C的三等分点，连接，，M，N分别是，的中点，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】连接并延长交于点G，连接，根据中点定义，矩形的性质得到，，再证，得到，根据三角形的中位线定理和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图，连接并延长交于点G，连接 ． ∵M，N分别是，的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ， ∴， ，即N是的中点． ∴是的中位线． ． ∵点E是边上靠近点B的三等分点，点F是边上靠近点C的三等分点，，， ∴，，． 在中， ． ． 7．（25-26八年级下·重庆·月考）如图，在中，，，，点D为上一点，连接，将沿翻折得到，过点A作交于点E，交于点F，若，则的长为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】过作于，设，由折叠的性质得到，，，判定四边形是矩形，推出，，判定≌，推出，，结合解题即可． 【详解】解：过作于，设， ∴， ∴，，， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， 在和中， ∴≌， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 二、填空题 8．（2026八年级下·黑龙江大庆·专题练习）如图，是矩形的对角线，平分交于点E．若，则___． 【答案】/55度 【分析】首先由矩形的性质得到，，由角平分线得到，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴， ∵平分 ∴ ∴ ∵ ∴． 9．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，延长矩形的边到点，使，连接，若，则______． 【答案】/57度 【分析】连接，与交于点，由矩形的性质可得，由等边对等角可得，由三角形内角和定理可得，再根据，推出，即可求解． 【详解】解：如图，连接，与交于点， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 10．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，已知在矩形中，于点，，则的度数是_____． 【答案】 【分析】本题考查矩形的知识，解题的关键是掌握矩形的性质，对角线相等，可得，推出，根据题意，求出，，根据三角形的内角和，求出，再根据，即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，，是对角线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接，则线段长的最小值为______． 【答案】/ 【分析】根据勾股定理得到，由题意证明四边形是矩形，则当取最小值时，的值最小，当时，的值最小，由等面积法即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 如图所示，连接， ∴， ∴当取最小值时，的值最小， 根据点到直线垂线段最短得到，当时，的值最小， ∵， ∴， ∴线段长的最小值为． 三、解答题 12．（25-26八年级下·云南曲靖·期中） 如图 ：在矩形中，，将矩形沿对角线折叠，点C落在点E处，交于点F． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质以及翻折的性质进行证明即可； （2）设，则，根据勾股定理列方程求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， 由翻折的性质得， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得． 13．（25-26八年级下·上海闵行·月考）如图，在矩形中，E是上一点，垂直平分，分别交、、于点P、O、Q，连接、，，； (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据垂直平分线的性质得，再由勾股定理求出， 设，则，在中，，由此列方程求解即可； （2）先判定，即可得出，进而得到四边形是平行四边形，即可求四边形的面积． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴， 在中，， 设，则， 在中，， 即， 解得， ∴； （2）解：∵垂直平分， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 14．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在矩形中，与交于点，点是的中点，连接交于点，延长至G，使，连接，，． (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用矩形性质得到，结合，可得到为的中位线，即可得到结论； （2）利用平行线的性质先证明，可证得四边形是平行四边形，结合且，即可得出结论． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ， 又， 为的中位线， 即； （2）证明：由（1）可知，， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， 且， ， 四边形是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，三角形的中位线，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握这些性质与定理是解答本题的关键． 15．（25-26八年级下·上海·月考）已知：在矩形中，，，点、分别在边、上，．将沿直线翻折得，连接．    (1)如图（1），若点在上，求证：； (2)如图（2），若，求的面积； (3)当为等腰三角形时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了矩形的折叠，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，掌握折叠的性质是解题的关键； （1）根据折叠得出，根据已知证明得出，等量代换即可得证； （2）过点作于点，证明得出，同（1）可得，则，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （3）分三种情况讨论，①当时，如图，过点作于点，则四边形是矩形，设，则，在中，根据勾股定理建立方程，得出方程无解，故此情形不存在；②时，设，则，在中，，根据勾股定理建立方程，得出；③当时，过点作于点，同（1）可得，进而得出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵将沿直线翻折得， ∴，，， 又∵，， ∴， ∵点在上，即， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作于点， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， 同（1）可得， ∴， ∴； （3）解：当为等腰三角形时，分三种情况讨论， ①当时， ∴， 如图，过点作于点，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在上， 设，则， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 此方程无解，故此情形不存在； ②当时，设，则， ∵折叠， ∴， 在中，， 即， 解得：； ③当时，过点作于点， ∴， 同（1）可得， ∴， ∴； 综上所述，当为等腰三角形时，线段的长为或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $