专题 21.2：平行四边形质【九大考点+九大题型】-2025-2026学年八年级下册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

本讲义聚焦“平行四边形”核心知识点，系统梳理平行四边形的定义、性质（对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分等）、判定方法（边、角、对角线三类），并延伸至三角形中位线的定义、定理及应用，构建从基础概念到综合应用的学习支架。 该资料通过“考点+知识点+题型”三维设计，以典例带动变式训练，如利用平行线间距离求解面积问题培养几何直观（数学眼光），通过证明平行四边形问题提升推理能力（数学思维），结合中位线实际应用（如测量池塘距离）强化应用意识（数学语言）。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，巩固知识体系。

专题21.2：平行四边形 · 考点一：平行四边形的性质求解 · 考点二：利用平行线之间距离求解 · 考点三：判断是否构成平行四边形 · 考点四：添加条件为平行四边形 · 考点五：证明平行四边形问题 · 考点六：三角形中位线问题 · 考点七：三角形中位线的实际应用 · 考点八：三角形中位线的证明问题 · 考点九：平行四边形判定和性质综合问题 知识点01：平行四边形 定义：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 表示：平行四边形用符号“□ ”来表示。 如图,在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形。平行四边形ABCD记作“□ABCD”,读作“平行四边形ABCD” 知识点02:平行四边形的性质： (1)对边平行且相等； (2)对角相等、邻角互补； (3)对角线互相平分； （4)平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心. 【解题技巧】 (1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半． （2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题． （3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长． （4）如图①，AE平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABE为等腰三角形，即AB=BE． （5）如图②，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE． （6）如图③，根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD． 知识03：平行四边形的判定： 判定方法 数学语言 图形 边 两组对边分别平行的四边形是平行四边形.（定义） 四边形是平行四边形. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 四边形是平行四边形. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. （或）， 四边形是平行四边形. 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. ， 四边形是平行四边形. 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 四边形是平行四边形. 知识点04：三角形的中位线 (1)三角形的中位线的定义 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 (2)三角形中位线定理 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。 如图,D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点。则DE∥BC,且DE=1/2 BC 题型一：平行四边形的性质求解 【典例1】．（25-26八年级下·云南昆明·月考）如图，在中，平分，，，则的周长是（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、角平分线的定义及等腰三角形的判定．根据平行四边形的性质可得，，结合角平分线的定义及平行线的性质证得，从而得到，求出的长即可求得周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的周长是， 故选：D． 【变式1】．（25-26八年级下·江苏南通·月考）如图，过对角线的交点O，交于点E，交于点F．若的周长为14，，则四边形的周长为（    ） A．13 B．12 C．10 D．8 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质证明，得到，，再根据平行四边形的周长，求出，即可得解． 【详解】解：， ，，， ， 在和中， ， ，， ， 的周长为14， ， 四边形的周长为． 【变式2】．（25-26八年级下·天津红桥·月考）如图，四边形是平行四边形，O是对角线与的交点，，若，则的长是________． 【答案】 【分析】先求出，，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵，， ∴在中，， ∴． 【变式3】．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，中，点E在上，且，连接，过点A作，垂足为F，若，则∠C的度数为 ______． 【答案】96° 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 题型二：利用平行线之间距离求解 【典例2】．（2025·安徽·一模）如图，四边形中，，则的长为（　　）    A．12 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，平行线间的距离，掌握含30度角的直角三角形的性质，平行线间的距离是解题的关键．分别作于E点，于F点，则有，根据含的直角三角形的性质，等腰直角三角形和勾股定理可计算出答案． 【详解】解：如图，分别作于E点，于F点，    ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 故选：D． 【变式1】．（24-25七年级下·湖北荆门·月考）已知如图直线，A、B为直线n上两点，C、D为直线m上两点，与交于点O，则图中面积相等的三角形有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】本题考查平行线间的距离，根据平行线间的距离处处相等，以及同底等高的三角形的面积相等，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴间的距离处处相等， ∴为同底等高的三角形，为同底等高的三角形， ∴，， ∴， ∴； 故共有3对面积相等的三角形； 故选C． 【变式2】．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，在四边形中，，对角线、相交于点，与面积一定相等的三角形是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，得到平行线间的距离处处相等，得到，根据等式的性质解答即可． 本题考查了平行线的性质，三角形面积，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴平行线间的距离处处相等，得到， ， ． 故选：C． 【变式3】．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）如图，、是直线上两个定点，是直线上一个动点，且，以下说法：①三角形的周长不变；②三角形的面积不变；③的度数不变；④点到直线的距离不变．其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查了两平行线间的公垂线段相等，等底等高的三角形面积相等等知识；根据这些知识逐一判断即可． 【详解】解：、为定点， 则为定值， 随着点的运动，的长度是变化的，即的周长变化的； 故①错误； 由于两平行线间的距离相等，即点到底边的距离不变， 即的面积不变； 故②正确； 随着点的运动，的度数是变化的； 故③错误； 两平行线间的距离相等， 即点到直线的距离不变； 故④正确； 综上，正确的有②④； 故选：C． 题型三：判断是否构成平行四边形 【典例3】．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，下列条件中，不能确定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解：A、，，可能是等腰梯形，所以不能判定四边形是平行四边形，故此选项符合题意； B、，， 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； C、，，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； D、，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意． 【变式1】．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）下列能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．一组对边平行，另一组对边相等 B．一组对边平行，一组邻角互补 C．一组对边相等，一组邻角互补 D．一组对边平行，另一组对边也平行 【答案】D 【分析】根据平行四边形的定义和判定定理，对各选项逐一判断即可得到结果． 【详解】解：A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不能判定是平行四边形，故A不符合题意． B. 一组对边平行，一组邻角互补的四边形可能是直角梯形，不能判定是平行四边形，故B不符合题意． C. 一组对边相等，一组邻角互补，无法推出两组对边平行或相等，不能判定是平行四边形，故C不符合题意． D. 四边形一组对边平行，另一组对边也平行，即两组对边分别平行，根据平行四边形的定义，可知该四边形是平行四边形，故D符合题意． 故选D． 【变式2】．（25-26八年级下·湖北襄阳·月考）下列给出的条件中，能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理（①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形）进行判断即可． 【详解】解：A.，则，， ，， ，但， 与不平行，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； B.，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； C.，，两组对边分别相等，可以判定四边形为平行四边形，故本项符合题意； D.，，且，可得， ，只有一组对边平行，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意． 故选：C． 【变式3】．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，对角线和相交于点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解：A、由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定这个四边形是平行四边形； B、由两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定这个四边形是平行四边形； C、，可能是等腰梯形，不能判定这个四边形是平行四边形； D、由对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定这个四边形是平行四边形． 题型四：添加条件为平行四边形 【典例4】．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，相交于点，点，在对角线上，且，．要使四边形为平行四边形，则应添加的条件是____________（写出一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理． 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可添加，可证明，结合即可证明四边形为平行四边形． 【详解】解：添加的条件是（答案不唯一）． 理由如下：，， ，即， 又， ∴四边形为平行四边形，符合题意． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1】．（24-25八年级上·北京·期末）如图，平行四边形的对角线交于点O，E，F是对角线上两点，添加一个能判定四边形是平行四边形的条件：________． 【答案】E，F分别是，的中点（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 首先由平行四边形得到，，然后结合中点性质得到，即可判定四边形是平行四边形． 【详解】添加的条件：E，F分别是，的中点 证明：四边形是平行四边形， ，， 、F分别是、的中点， ，， ， 四边形是平行四边形． 【变式2】．（25-26九年级上·黑龙江七台河·期中）如图，在四边形中，，在不添加任何辅助线的前提下，若使四边形是平行四边形，则需添加的一个条件是________ 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形或两组对边分别平行的四边形是平行四边形求解即可． 【详解】解：添加条件或等， 添加条件证明如下： ∵在四边形中，，， ∴四边形是平行四边形， 添加条件证明如下： ∵在四边形中，，， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3】．（24-25八年级下·江苏镇江·月考）如图，在四边形中，与相交于点，，添加条件___________，可得四边形为平行四边形（只需添加一个条件）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．由平行四边形的判定方法即可得出结论． 【详解】解：添加条件，可得四边形为平行四边形，理由如下： ∵，， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：（答案不唯一）． 题型五：证明平行四边形问题 【典例5】．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形中，对角线，相交于点O，点E，F分别在，上，已知，． (1)求证：； (2)添加，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】对于（1），根据“角边角”证明这两个三角形全等； 对于（2），先根据全等三角形的对应边相等得，进而得出，再根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”得出答案． 【详解】（1）证明：在和中，， ； （2）证明：由（1）得：， ． 又， ． 又， 四边形是平行四边形． 【变式1】．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，在中，点E，F分别在，的延长线上，且．连接，交于点H，连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】由平行四边形的性质得到，，则可证明，据此可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【变式2】．（25-26八年级下·陕西商洛·月考）如图， 在四边形中， ，是边的中点，连接并延长，交延长线于点 ．若，求证：四边形 是平行四边形． 【答案】见解析 【详解】证明：是边的中点， ， 在和中，，， ， ， ， 四边形 是平行四边形． 【变式3】．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，在中，点，分别在边和边上，且，与对角线相交于点．连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】证明即可； 【详解】证明：， ， ， ， 故四边形是平行四边形． 题型六：三角形中位线问题 【典例6】．（25-26八年级下·天津西青·月考）如图，在四边形中，点P是对角线的中点，点E，F分别是，的中点，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中位线定理和已知，易证明是等腰三角形． 【详解】解：∵在四边形中，P是对角线的中点，E，F分别是，的中点， ∴，分别是与的中位线， ∴，， ∵， ∴， 故是等腰三角形． ∵， ∴． 【变式1】．（2026·河南信阳·一模）如图，在平行四边形中，，对角线交于点，点是的中点，连接，点是的中点，连接，则的长是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由平行四边形性质可得，即为中点，又是的中点，所以是中位线，然后根据中位线定理即可求解，掌握平行四边形的性质，三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，即为中点， ∵是的中点， ∴是中位线， ∴， ∵，点P是的中点， ∴，即． 【变式2】．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，是的中位线，的角平分线交于点，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形中位线定理可得，，，由平行线的性质可得，由角平分线定义得到，因此，可得，求出，得到，即可得的长． 【详解】解：∵是的中位线， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3】．（25-26八年级下·辽宁鞍山·月考）如图，是的中位线，是的高，若，，则的长度为（    ） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【分析】利用三角形的中位线以及勾股定理进行求解． 【详解】解：∵是的高线， ∴， ∵是的中位线， ∴， 由勾股定理得， ∴． 题型七：三角形中位线的实际应用 【典例7】．（2025·湖南长沙·模拟预测）在美丽乡村建设中，某村计划在池塘上搭建小桥，如图，地面上A，B两处被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D，E．测得，则A，B两处的距离为（    ） A．68 B．48 C．72 D．36 【答案】B 【分析】本题考查三角形的中位线的性质，利用三角形中位线等于第三边的一半即可解答． 【详解】解：∵D，E是和的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：B． 【变式1】．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，为了测量池塘A、B两端的距离，在线段的一侧取点C作．并延长至D，使；延长至E，使．连接，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形中位线定理的实际应用，熟练掌握该知识点是解题关键．根据三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：， ∴点A是中点，点B是中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ． 故选：． 【变式2】．（2026·湖南衡阳·一模）如图，数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的，两点间的距离，同学们在外选择一点，测得，,，两边中点的距离，则，两点间的距离是_____． 【答案】 【分析】根据中位线定理得到，即可求解． 【详解】解：由题可得：、为、的中点， 是的中位线， ， ， ． 【变式3】．（25-26八年级下·全国·周测）游乐园中的跷跷板深受小朋友们的喜爱．如图，横板绕其中点上下摆动，立柱与地面垂直．若，则小朋友离地的最大距离为____________． 【答案】100 【分析】由题意可知，是的中点，且、都与地面垂直，因此．根据三角形中位线定理，在中，是中位线，利用中位线性质即可求出的长度． 【详解】解：∵ 是的中点，且，， ∴． ∴是的中位线． ∴． ∵， ∴． ∴小朋友离地的最大距离为． 故答案为：． 题型八：三角形中位线的证明问题 【典例8】．（25-26九年级上·河南周口·期末）在中，，点在上，且，的平分线交于，点是的中点，连接． (1)求证：； (2)若四边形的面积为，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形中位线定理的运用； （1）依据等腰三角形的性质，即可得到是的中点，再根据三角形中位线定理，即可得到； （2）依据是的中位线，即可得到，，进而得到，再依据是的中点，继而得出，进而即可求解． 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴是的中点， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴； （2）解：∵是的中位线， ∴，， 如图，连接，则， 又∵四边形的面积为6， ∴， 又∵是的中点， ∴， ∴的面积为． 【变式1】．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，，，分别是，的中点，延长到点，使，连接交于点．求证：． 【详解】证明：连接， 点分别为的中点，，， ，， 四边形是平行四边形， ． 【变式2】．（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，在中，，，为等腰直角三角形，，为的中点，连接，．求证：． 【详解】证明：如图，延长到点，使，连接，． 为等腰直角三角形，， ，， 垂直平分， ， ， ． ， ， ． 在和中， ， ． 为的中点，， 为的中位线， ， ． 【变式3】．（25-26八年级上·上海·假期作业）如图，已知：在 中，、、 分别是边 、、 上的中线，并交于点 ．求证： ． 【详解】证明：如图，取的中点，连接， ∵、分别是边 、上的中线，即点分别是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵点分别是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴． 题型九：平行四边形判定和性质综合问题 【典例9】．（25-26八年级下·山东德州·月考）【问题背景】在中，连接，若，点E为边上一点，连接，交于点F． (1)如图1，若点E为中点，对角线与相交于点O，连接，且的面积为，，求的长； (2)【深入探究】如图2，若，，点N在边上，，且平分，线段（点P在点Q的左侧）在线段上，且，连接，过点N作，交于点G，连接，请判断与之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）首先由平行四边形的性质得到，，，然后得到，然后利用三角形面积公式求解即可； （2）如图所示，过点C作于点M，求出，，，得到为等腰三角形，然后利用勾股定理求出，证明出四边形是平行四边形，得到． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：如图所示，过点G作于点M， ∵，四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即为等腰三角形， ∵， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【变式1】．（25-26八年级下·重庆·月考）如图，在平行四边形中，连接，分别过点、作于点，于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4.2 【分析】（1）根据平行四边形得，根据垂线性质得，得，得，即得结论； （2）由勾股定理求出，由，即得结果． 【详解】（1）证明：∵在平行四边形中，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵，， ∴， 由（1）知，， ∵， ∴， ∴． 【变式2】．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）如图，在四边形中，，对角线，相交于点，且． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)过点作，交于点，交于点，连接，若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据“角角边”证明，可得，再根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出答案； （2）先根据平行线的性质得，再说明是的垂直平分线，即可得，然后根据三角形内角和定理求出，进而得，最后根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3】．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，为边上一点，连接为中点，过点C作，交的延长线于点F，连接交于点G． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，．求的长． 【答案】(1)平行四边形，理由见解析 (2)2 【分析】（1）通过平行线的性质证得，可得，结合题意得即可求证四边形是平行四边形； （2）设，根据题意可得，通过勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 为中点， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：四边形是平行四边形， ， ，， ， 在中，， 设，则， ， 解得（负值舍去）， ， ． 一、单选题 1．（2026八年级下·江苏·专题练习）在下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定方法逐项判断即可作答． 【详解】解：A、，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； B、，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； C、，，四边形为平行四边形，故本项符合题意； D、，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； 故选：C． 2．（25-26八年级下·江苏扬州·月考）如图，在平行四边形中，，分别为，的中点，求的值（    ） A．4 B．3 C．2 D．不确定 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质可得，再根据三角形中位线的性质，求解即可． 【详解】解：在平行四边形中，， ∴， ∵M，N分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴． 3．（25-26八年级下·湖北·月考）如图，在中，对角线相交于点，过点作交于点，若，则的长为（    ） A． B．16 C．12 D．13 【答案】A 【分析】连接，由平行四边形的性质得，因为交于点，所以垂直平分，则，而，则，所以，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， 四边形是平行四边形，，对角线相交于点， ， 交于点， 垂直平分， ， ， ， 是直角三角形，且， ， ． 4．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，在平行四边形中，，，、的交点O在上，则图中面积相等的平行四边形有（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】先证明四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形．利用平行四边形的性质得出，，．则，即，则，，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵，， ∴四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵是平行四边形的对角线， ∴， ∵是平行四边形的对角线， ∴． ∴，即， ∴， 同理， 即：，，， 综上有3对面积相等的平行四边形． 5．（25-26八年级下·湖北襄阳·月考）如图，在中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，直线交于点E，若的周长是12，则的周长为（    ） A．22 B．24 C．32 D．44 【答案】B 【分析】由作图方法可知，垂直平分，则，根据三角形的周长公式和线段的和差关系可推出，再由平行四边形的性质可得答案． 【详解】解：由作图方法可知，垂直平分， ∴， ∵的周长是12， ∴， ∴，即， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴的周长． 6．（25-26八年级上·山东威海·期末）如图，点，在的对角线上，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质，等边对等角，根据等边对等角，以及三角形的外角的性质，求出的度数，平行线的性质，得到，再利用角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选D． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线，相交于点，过点的直线交于点，交于点，且．若，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】先利用平行四边形的性质得出是对角线中点，证明，从而将阴影部分面积进行转化为计算；再根据的比例关系，结合平行四边形面积求出阴影部分面积． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ． ， ． ， ． 8．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，，于，于，，相交于，延长交的延长线于点．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】先证明是等腰直角三角形，即可判断①，利用平行四边形对角相等、直角三角形两个锐角互余以及同角或等角的余角相等即可判断②，证明，即可判断④和③，利用平行四边形对边相等进一步可以判断⑤． 【详解】解：∵中，，于， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴，故①正确； ∵于，于， ∴， ∴， ∵在中， ∴，故②正确； ∵，，， ∴，故④错误； ∴， ∵在中，， ∴，故③正确； ∵，故⑤正确； 故选：B ． 二、填空题 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，的周长为60，对角线、交于点O，交于点E，则的周长为______． 【答案】30 【分析】根据题意可知为的垂直平分线，结合平行四边形的性质求的周长即可． 【详解】解：且在中，， 为的垂直平分线， ， ， 即的周长为30． 10．（25-26八年级下·山东潍坊·月考）已知：如图，中，是边的中点，平分，于点，若，，则__________． 【答案】1 【分析】延长交于F，证明，得到，，得到是的中位线，由三角形中位线定理即可求出的长． 【详解】解：延长交于F， ∵平分，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵D为中点， ∴是的中位线， ∴． 11．（25-26八年级下·江苏淮安·月考）如图，在中，相交于点，点是和的中点，若，则__________． 【答案】 【分析】先根据平行四边形对角线互相平分的性质，求出、，结合判定为等腰三角形，过点作，得到，再由勾股定理算出的长度；接着由为的中点，根据三角形中位线定理，得是的中位线，从而得到的长度及；再由为的中点，求出的长度，证得与平行且相等，据此判定四边形为平行四边形，最后根据平行四边形对边相等的性质，得出，求出的长． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ，． ， ， 是等腰三角形． 如图，过点作于点，连接． ， 在中，由勾股定理得：． ∵点是的中点， ∴是的中位线， ，． ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ． 12．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）如图，在中，过点A分别作的垂线段，垂足为E，F，若，，则线段的长为_______． 【答案】 【分析】利用勾股定理求出，然后利用平行四边形的性质以及等面积求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴． 13．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）如图，平行四边形中，，，，E，F分别是边，上的动点，且，则的最小值为_______． 【答案】7 【分析】延长，截取，连接，，过点A作于点H，证明，得出，说明当最小时，最小，根据两点之间线段最短，得出当A、E、G三点共线时，最小，即最小，且最小值为的长，根据勾股定理和含30度角的直角三角形的性质，求出结果即可． 【详解】解：延长，截取，连接，，过点A作于点H，如图所示： ∵四边形为平行四边形，，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵两点之间线段最短， ∴当A、E、G三点共线时，最小，即最小，且最小值为的长， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 即的最小值为7． 三、解答题 14．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）已知：如图，在四边形中，，垂足分别为E，F，延长，分别交于点H，交于点G，若，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）证明，可得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可解决问题； （2）根据平行四边形的性质证明，然后根据勾股定理可得，进而可以解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． 15．（25-26八年级下·北京·月考）如图，是的中点，交于点，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，连接，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形中位线定理得，即，然后结合得到四边形是平行四边形； （2）根据三角形中位线定理，由平行四边形的性质可得，而，，根据勾股定理得． 【详解】（1）证明：∵，交于点，， ∴是的中点， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图，连接， ∵是的中点，是的中点，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴的长是． 16．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，已知中，点D、E分别在边、上，点F在上． (1)若，，求证：； (2)若D、E、F分别是、、的中点，连接，若四边形的面积为9，试求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】（1）根据可证，根据平行线的性质可证，等量代换可得，根据平行线的判定定理即可证明； （2）根据三角形中位线的性质得出，进而得出，根据三角形中线的性质可设，，进而得出，结合已知可求出x ，则可求，然后根据三角形中线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴． （2）解：∵D、F分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴， ∵点 F 是的中点， ∴设， ∵点 D 是的中点， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点 E 是的中点， ∴． 17．（25-26八年级下·湖北武汉·月考）在平行四边形中，点是对角线的中点，点在边上，的延长线与边交于点，连接，如图1． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，过点作的垂线，与分别交于点，如图． ①求证：；②已知，直接写出的长_________． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）通过证明，得，又，即可证明四边形是平行四边形； （2）①根据，，得，，则有，再证，得出，然后证明，得，进而根据等腰直角三角形的性质即可解决问题； ②根据题意设，勾股定理求得，得出，进而得出的长，再根据等面积法，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，点是对角线的中点， ，， ． 在和中， ， ， ． ， 四边形是平行四边形； （2）①证明：如图2，过点作于点，过点作于点， ，， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， 又，， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 又， ． ②∵ 设 ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中， ∴ ∴ ∵， ∴ 18．（25-26八年级下·湖北武汉·月考）在平面直角坐标系中，为坐标原点，两点坐标分别为，且． (1)求两点坐标； (2)点是x轴上两动点（在左侧），且使四边形为平行四边形． ①如图，当点分别在原点两侧时，连接，过点作交于点，连接，取中点，在上截取，使，若，求的长． ②当点在原点左侧时，过点的直线，分别交于试探究三条线段之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件得到不等式组，求出，进而得到，即可得出A、D两点坐标； （2）①连接，延长交于点，根据平行四边形的性质，证明，得到，，再根据等腰直角三角形的性质，证明，，，从而推出是等腰直角三角形，然后证明，得到，即可求解． ②分两种情况讨论：当点在原点右侧时，过点作交延长线于点，先证明四边形是平行四边形，得到，，再证明，得到，即可得出数量关系；当点在原点左侧时，过点作交于点，同理求证即可． 【详解】（1）解：， ，解得：， ， ， ； （2）解：①如图，连接，延长交于点， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ，， 是中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ∵ ∴， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴ ②当点在原点右侧时，过点作交延长线于点， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 当点在原点左侧时，过点作交于点， 同理可证，四边形是平行四边形，， ，， ， ， 即， 综上可知，、、三条线段之间的数量关系为或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21.2：平行四边形 · 考点一：平行四边形的性质求解 · 考点二：利用平行线之间距离求解 · 考点三：判断是否构成平行四边形 · 考点四：添加条件为平行四边形 · 考点五：证明平行四边形问题 · 考点六：三角形中位线问题 · 考点七：三角形中位线的实际应用 · 考点八：三角形中位线的证明问题 · 考点九：平行四边形判定和性质综合问题 知识点01：平行四边形 定义：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 表示：平行四边形用符号“□ ”来表示。 如图,在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形。平行四边形ABCD记作“□ABCD”,读作“平行四边形ABCD” 知识点02:平行四边形的性质： (1)对边平行且相等； (2)对角相等、邻角互补； (3)对角线互相平分； （4)平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心. 【解题技巧】 (1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半． （2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题． （3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长． （4）如图①，AE平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABE为等腰三角形，即AB=BE． （5）如图②，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE． （6）如图③，根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD． 知识03：平行四边形的判定： 判定方法 数学语言 图形 边 两组对边分别平行的四边形是平行四边形.（定义） 四边形是平行四边形. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 四边形是平行四边形. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. （或）， 四边形是平行四边形. 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. ， 四边形是平行四边形. 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 四边形是平行四边形. 知识点04：三角形的中位线 (1)三角形的中位线的定义 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 (2)三角形中位线定理 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。 如图,D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点。则DE∥BC,且DE=1/2 BC 题型一：平行四边形的性质求解 【典例1】．（25-26八年级下·云南昆明·月考）如图，在中，平分，，，则的周长是（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【变式1】．（25-26八年级下·江苏南通·月考）如图，过对角线的交点O，交于点E，交于点F．若的周长为14，，则四边形的周长为（    ） A．13 B．12 C．10 D．8 【变式2】．（25-26八年级下·天津红桥·月考）如图，四边形是平行四边形，O是对角线与的交点，，若，则的长是________． 【变式3】．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，中，点E在上，且，连接，过点A作，垂足为F，若，则∠C的度数为 ______． 题型二：利用平行线之间距离求解 【典例2】．（2025·安徽·一模）如图，四边形中，，则的长为（　　）    A．12 B． C． D． 【变式1】．（24-25七年级下·湖北荆门·月考）已知如图直线，A、B为直线n上两点，C、D为直线m上两点，与交于点O，则图中面积相等的三角形有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【变式2】．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，在四边形中，，对角线、相交于点，与面积一定相等的三角形是（　　） A． B． C． D． 【变式3】．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）如图，、是直线上两个定点，是直线上一个动点，且，以下说法：①三角形的周长不变；②三角形的面积不变；③的度数不变；④点到直线的距离不变．其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 题型三：判断是否构成平行四边形 【典例3】．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，下列条件中，不能确定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）下列能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．一组对边平行，另一组对边相等 B．一组对边平行，一组邻角互补 C．一组对边相等，一组邻角互补 D．一组对边平行，另一组对边也平行 【变式2】．（25-26八年级下·湖北襄阳·月考）下列给出的条件中，能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B．， C．， D．， 【变式3】．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，对角线和相交于点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 题型四：添加条件为平行四边形 【典例4】．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，相交于点，点，在对角线上，且，．要使四边形为平行四边形，则应添加的条件是____________（写出一种情况即可）． 【变式1】．（24-25八年级上·北京·期末）如图，平行四边形的对角线交于点O，E，F是对角线上两点，添加一个能判定四边形是平行四边形的条件：________． 【变式2】．（25-26九年级上·黑龙江七台河·期中）如图，在四边形中，，在不添加任何辅助线的前提下，若使四边形是平行四边形，则需添加的一个条件是________ 【变式3】．（24-25八年级下·江苏镇江·月考）如图，在四边形中，与相交于点，，添加条件___________，可得四边形为平行四边形（只需添加一个条件）． 题型五：证明平行四边形问题 【典例5】．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形中，对角线，相交于点O，点E，F分别在，上，已知，． (1)求证：； (2)添加，求证：四边形是平行四边形． 【变式1】．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，在中，点E，F分别在，的延长线上，且．连接，交于点H，连接．求证：四边形是平行四边形． 【变式2】．（25-26八年级下·陕西商洛·月考）如图， 在四边形中， ，是边的中点，连接并延长，交延长线于点 ．若，求证：四边形 是平行四边形． 【变式3】．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，在中，点，分别在边和边上，且，与对角线相交于点．连接．求证：四边形是平行四边形． 题型六：三角形中位线问题 【典例6】．（25-26八年级下·天津西青·月考）如图，在四边形中，点P是对角线的中点，点E，F分别是，的中点，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（2026·河南信阳·一模）如图，在平行四边形中，，对角线交于点，点是的中点，连接，点是的中点，连接，则的长是（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式2】．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，是的中位线，的角平分线交于点，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式3】．（25-26八年级下·辽宁鞍山·月考）如图，是的中位线，是的高，若，，则的长度为（    ） A． B．3 C． D．5 题型七：三角形中位线的实际应用 【典例7】．（2025·湖南长沙·模拟预测）在美丽乡村建设中，某村计划在池塘上搭建小桥，如图，地面上A，B两处被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D，E．测得，则A，B两处的距离为（    ） A．68 B．48 C．72 D．36 【变式1】．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，为了测量池塘A、B两端的距离，在线段的一侧取点C作．并延长至D，使；延长至E，使．连接，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（2026·湖南衡阳·一模）如图，数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的，两点间的距离，同学们在外选择一点，测得，,，两边中点的距离，则，两点间的距离是_____． 【变式3】．（25-26八年级下·全国·周测）游乐园中的跷跷板深受小朋友们的喜爱．如图，横板绕其中点上下摆动，立柱与地面垂直．若，则小朋友离地的最大距离为____________． 题型八：三角形中位线的证明问题 【典例8】．（25-26九年级上·河南周口·期末）在中，，点在上，且，的平分线交于，点是的中点，连接． (1)求证：； (2)若四边形的面积为，求的面积． 【变式1】．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，，，分别是，的中点，延长到点，使，连接交于点．求证：． 【变式2】．（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，在中，，，为等腰直角三角形，，为的中点，连接，．求证：． 【变式3】．（25-26八年级上·上海·假期作业）如图，已知：在 中，、、 分别是边 、、 上的中线，并交于点 ．求证： ． 题型九：平行四边形判定和性质综合问题 【典例9】．（25-26八年级下·山东德州·月考）【问题背景】在中，连接，若，点E为边上一点，连接，交于点F． (1)如图1，若点E为中点，对角线与相交于点O，连接，且的面积为，，求的长； (2)【深入探究】如图2，若，，点N在边上，，且平分，线段（点P在点Q的左侧）在线段上，且，连接，过点N作，交于点G，连接，请判断与之间的数量关系并说明理由． 【变式1】．（25-26八年级下·重庆·月考）如图，在平行四边形中，连接，分别过点、作于点，于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，求的长． 【变式2】．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）如图，在四边形中，，对角线，相交于点，且． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)过点作，交于点，交于点，连接，若，，求的度数． 【变式3】．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，为边上一点，连接为中点，过点C作，交的延长线于点F，连接交于点G． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，．求的长． 一、单选题 1．（2026八年级下·江苏·专题练习）在下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（    ）    A．， B．， C．， D．， 2．（25-26八年级下·江苏扬州·月考）如图，在平行四边形中，，分别为，的中点，求的值（    ） A．4 B．3 C．2 D．不确定 3．（25-26八年级下·湖北·月考）如图，在中，对角线相交于点，过点作交于点，若，则的长为（    ） A． B．16 C．12 D．13． 4．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，在平行四边形中，，，、的交点O在上，则图中面积相等的平行四边形有（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 5．（25-26八年级下·湖北襄阳·月考）如图，在中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，直线交于点E，若的周长是12，则的周长为（    ） A．22 B．24 C．32 D．44 6．（25-26八年级上·山东威海·期末）如图，点，在的对角线上，，，则（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线，相交于点，过点的直线交于点，交于点，且．若，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C．2 D．3 8．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，，于，于，，相交于，延长交的延长线于点．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 二、填空题 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，的周长为60，对角线、交于点O，交于点E，则的周长为______． 10．（25-26八年级下·山东潍坊·月考）已知：如图，中，是边的中点，平分，于点，若，，则__________． 11．（25-26八年级下·江苏淮安·月考）如图，在中，相交于点，点是和的中点，若，则__________． 12．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）如图，在中，过点A分别作的垂线段，垂足为E，F，若，，则线段的长为_______． 13．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）如图，平行四边形中，，，，E，F分别是边，上的动点，且，则的最小值为_______． 三、解答题 14．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）已知：如图，在四边形中，，垂足分别为E，F，延长，分别交于点H，交于点G，若，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求的长． 15．（25-26八年级下·北京·月考）如图，是的中点，交于点，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，连接，求的长． 16．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，已知中，点D、E分别在边、上，点F在上． (1)若，，求证：； (2)若D、E、F分别是、、的中点，连接，若四边形的面积为9，试求的面积． 17．（25-26八年级下·湖北武汉·月考）在平行四边形中，点是对角线的中点，点在边上，的延长线与边交于点，连接，如图1． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，过点作的垂线，与分别交于点，如图． ①求证：；②已知，直接写出的长_________． 18．（25-26八年级下·湖北武汉·月考）在平面直角坐标系中，为坐标原点，两点坐标分别为，且． (1)求两点坐标； (2)点是x轴上两动点（在左侧），且使四边形为平行四边形． ①如图，当点分别在原点两侧时，连接，过点作交于点，连接，取中点，在上截取，使，若，求的长． ②当点在原点左侧时，过点的直线，分别交于试探究三条线段之间的数量关系． 2 学科网（北京）股份有限公司 $