专题 21.3.2菱形【六大考点+六九大题型】-2025-2026学年八年级下册数学《考点•题型•技巧》讲与练高分突破（人教版）

本初中数学讲义聚焦菱形专题，系统梳理菱形的定义、性质与判定，从“有一组邻边相等的平行四边形”切入，延伸至四条边相等、对角线垂直平分对角等性质，再到定义法、对角线垂直的平行四边形等判定方法，构建从概念到应用的学习支架，涵盖角度、线段、面积计算及判定综合等考点。 资料以“典例+变式”分层设计题型，通过性质求角度、判定证明等问题，培养学生几何直观与推理能力，体现数学思维。课中辅助教师系统授课，课后助力学生通过不同题型巩固知识，查漏补缺，提升用数学语言表达和解决问题的应用意识。

专题 21.3.2菱形 · 考点一：菱形的性质求角度 · 考点二：菱形的性质求线段 · 考点三：菱形的性质求面积 · 考点四：添加一个条件使为菱形 · 考点五：菱形的判定 · 考点六：菱形的性质和判定的综合问题 知识点01：菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.如图,在□ABCD中,若AB=AD那么□ABCD就是菱形。 知识点02：菱形的性质 1）具有平行四边形的所有性质； 2）四条边都相等； 3）两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角. 4）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，菱形的对称中心是菱形对角线的交点，菱形的对称轴是菱形对角线所在的直线，菱形的对称轴过菱形的对称中心. 知识点03：菱形的判定 (1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形 (用定义判定) 几何语言: 如图1，∵四边形ABCD是平行四边形,AB=AD,∴□ABCD是菱形。 (2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形 几何语言:如图2, ∵四边形ABCD是平行四边形,AC⊥BD, ∴□ABCD是菱形。 (3) 四条边都相等的四边形是菱形 几何语言:如图2，∵AB=BC=CD=AD, ∴四边形ABCD是菱形。 题型一：菱形的性质求角度 【典例1】．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，垂足为，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，在菱形中，连接，过点作于点，若，则的度数为（  ）． A． B． C． D． 【变式2】．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，在菱形中，连接、交于点O，点E在边上，连接．如果，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式3】．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在菱形中，点，分别在，上，且，与交于点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型二：菱形的性质求线段 【典例2】．（25-26八年级下·重庆·月考）如图，四边形是菱形，于，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，在菱形中，，，点E在边上，连接，将沿折叠，若点B落在延长线上的点F处，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E是的中点．若，则的长是（   ） A．3 B．4 C． D． 【变式3】．（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，菱形的对角线交于点O，且，则菱形的高的长是（   ） A． B． C．5 D．以上都不对 题型三：菱形的性质求面积 【典例3】．（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26九年级上·辽宁辽阳·期末）如图，菱形的对角线，相交于点O，点H是边的中点，连接，若，，则菱形的面积为（　　） A．60 B．78 C．120 D．240 【变式2】．（25-26九年级上·山东青岛·月考）如图，菱形的对角线交于点O，过点C作，交的延长线于点E，连接．若，，则菱形的面积为（   ） A． B． C． D．9 【变式3】．（24-25九年级上·山东临沂·期中）如图，在菱形中，的垂直平分线交对角线于点，垂足为，若，则菱形的面积等于（   ） A．2 B． C． D． 题型四：添加一个条件使为菱形 【典例4】．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，的对角线，相交于点．请你添加一个条件：____________（写出一种情况即可），使四边形是菱形． 【变式1】．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，对角线相交于点，点在上，且，添加一个适当的条件，使四边形是菱形，这个条件可以是________．（填一个正确条件即可） 【变式2】．（24-25八年级下·福建莆田·期中）如图，在四边形中，与不平行，，E，F，G，H分别是的中点．当 ______时，四边形是菱形． 【变式3】．（24-25八年级下·广东阳江·期中）如图， 在四边形中， 对角线， 相交于点， 过点作交于点．已知，若再添加一个条件可使四边形是菱形，则这个条件可以是__________． 题型五：菱形的证明问题 【典例5】．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，点E、F分别为平行四边形的边、上的点，，连接、，，求证：四边形是菱形． 【变式1】．（25-26八年级下·重庆·月考）如图，在平行四边形中，连接对角线． (1)按要求尺规作图：作线段的垂直平分线交于点，交于点，交于点，连接，；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作图形中，求证：四边形是菱形， 证明：∵四边形是平行四边形， ∴①______， ∴， 又∵的垂直平分线为直线， ∴，②______，， 在与中， ， ∴（④______） ∴⑤______， ∴， ∴四边形是菱形． 【变式2】．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，是边上的中线，点E在的延长线上，连接，过点C作交的延长线于点F，连接，．求证：四边形是菱形． 【变式3】．（25-26九年级上·陕西宝鸡·月考）在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．求证：四边形是菱形． 题型六：菱形的性质和判定的综合问题 【典例6】．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，在菱形中，，点P为对角线上任一点，过点P作分别交、于点E、F，过点P作分别交、于点G、H，、交于点Q，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【变式1】．（2026八年级下·黑龙江大庆·专题练习）如图，在矩形中，点O为对角线的中点，点E是上一点，连接并延长交于点F，连接、 (1)求证：； (2)当，且平分时，试判断四边形的形状，并说明理由． 【变式2】．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，在直角中，，B是边上一点，连接，O为的中点，过C作交延长线于D，且平分，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)连接交于F，，求的度数． 【变式3】．（2026八年级下·重庆·专题练习）在菱形中，，点H在平面内，点E为直线上一点． (1)如图1，当H在上时，，若，，求的长； (2)如图2，当H在延长线上时，，O为的中点，连接并延长交于点G，求证：． 一、单选题 1．（25-26九年级上·陕西铜川·期末）如图，在菱形中，点是对角线上的一点，，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·贵州贵阳·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，垂足为，连接，若，则的长是（    ） A．4 B．4.8 C．5 D．6 3．（25-26九年级上·海南海口·期末）如图，菱形中，交于O，于E，连接，若，菱形周长为20，则的长为（ ） A．2 B． C．3 D．4 4．（25-26八年级下·全国·期中）如图，在菱形中，M，N分别在上，且，与交于点O，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图所示，菱形的两条对角线相交于点，，，点是边上的一个动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2026八年级下·云南·专题练习）如图，在菱形中，、相交于点O，，长为4，则菱形的面积是__________________． 7．（25-26八年级下·广东广州·月考）如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为__________． 8．（2026·云南·一模）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，徐明家有一个菱形中国结装饰如图，测得，则的度数为______． 9．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，菱形的对角线、相交于点，点在上，连接，点为的中点，连接，若，，则的度数为_____． 10．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，在菱形中，，点分别在边上，且，若菱形边长为，则四边形的面积为______． 三、解答题 11．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，在平行四边形中，点F在边上，，连接，点O为的中点，的延长线交边于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若平行四边形的周长为24，，，求的长． 12．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，点E、F、G分别为线段、、的中点，连接、、． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，请判断并证明四边形的形状． 13．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，在矩形中，点在边上，连接，点在线段上，过点作，分别交边、于点、，连接、，， (1)四边形是菱形吗？请说明理由； (2)若，求的长． 14．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）如图，在四边形中，E，F，G，H分别是，，，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当与满足什么条件时，四边形是菱形，并证明； (3)若，，，，求四边形的周长． 15．（25-26八年级上·江苏盐城·期末） 在矩形中，，G、H分别是、中点，E、F是对角线上的两个动点，分别从点A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中． (1)当时，请判断四边形的形状，并说明理由； (2)若四边形为矩形，求t的值； (3)若点G向点D运动，点H向点B运动，且与点E、F以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求t的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 21.3.2菱形 · 考点一：菱形的性质求角度 · 考点二：菱形的性质求线段 · 考点三：菱形的性质求面积 · 考点四：添加一个条件使为菱形 · 考点五：菱形的判定 · 考点六：菱形的性质和判定的综合问题 知识点01：菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.如图,在□ABCD中,若AB=AD那么□ABCD就是菱形。 知识点02：菱形的性质 1）具有平行四边形的所有性质； 2）四条边都相等； 3）两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角. 4）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，菱形的对称中心是菱形对角线的交点，菱形的对称轴是菱形对角线所在的直线，菱形的对称轴过菱形的对称中心. 知识点03：菱形的判定 (1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形 (用定义判定) 几何语言: 如图1，∵四边形ABCD是平行四边形,AB=AD,∴□ABCD是菱形。 (2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形 几何语言:如图2, ∵四边形ABCD是平行四边形,AC⊥BD, ∴□ABCD是菱形。 (3) 四条边都相等的四边形是菱形 几何语言:如图2，∵AB=BC=CD=AD, ∴四边形ABCD是菱形。 题型一：菱形的性质求角度 【典例1】．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，垂足为，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，由菱形的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，由三角形内角和定理得出，最后由平角的定义即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【变式1】．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，在菱形中，连接，过点作于点，若，则的度数为（  ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的对角线平分对角是解题的关键． 先根据，求出，再根据菱形的对角线平分对角求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵菱形， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2】．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，在菱形中，连接、交于点O，点E在边上，连接．如果，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质；菱形的邻角互补，对角线平分一组对角，可得，，再由得出． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，平分， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 【变式3】．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在菱形中，点，分别在，上，且，与交于点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质． 根据菱形的性质以及，利用可得，可得，然后可得，继而可求得的度数． 【详解】解：四边形为菱形， ，，， ，． 在和中， ， ． ， ， ． ，， ， ． 故选：A． 题型二：菱形的性质求线段 【典例2】．（25-26八年级下·重庆·月考）如图，四边形是菱形，于，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与交于点，根据菱形的性质可得，，，利用勾股定理求出的长，再根据菱形的面积公式即可求出的长． 【详解】解：设与交于点， 四边形是菱形，，， ，，， 在中，， ， ， ． 【变式1】．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，在菱形中，，，点E在边上，连接，将沿折叠，若点B落在延长线上的点F处，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），勾股定理，等腰直角三角形，菱形的性质，根据菱形的性质，得到，折叠得到垂直平分，进而推出为等腰直角三角形，求出，再根据线段的和差关系，进行求解即可． 【详解】解：∵菱形中，， ∴， ∵将沿折叠，若点B落在延长线上的点F处， ∴垂直平分， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【变式2】．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E是的中点．若，则的长是（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，菱形的对角线互相垂直且平分，据此结合勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案． 【详解】解：∵在菱形中，对角线相交于点O， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 故选：D． 【变式3】．（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，菱形的对角线交于点O，且，则菱形的高的长是（   ） A． B． C．5 D．以上都不对 【答案】A 【分析】利用菱形的性质和勾股定理求出的长，再根据等积法求出的长即可． 【详解】解：∵菱形的对角线交于点O， ∴，， ∴， ∵是菱形的高， ∴，即：， ∴． 题型三：菱形的性质求面积 【典例3】．（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，直角三角形的性质，掌握菱形和直角三角形的性质是解题关键． 先利用菱形的面积公式求出对角线的长度，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得出，从而计算出的长度． 【详解】解：四边形是菱形， ， ，， ， ， ， ． 故选：． 【变式1】．（25-26九年级上·辽宁辽阳·期末）如图，菱形的对角线，相交于点O，点H是边的中点，连接，若，，则菱形的面积为（　　） A．60 B．78 C．120 D．240 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质和面积及直角三角形的性质，熟练掌握相应知识是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，求得，利用勾股定理求得，应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵点H是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴菱形的面积． 故选：C． 【变式2】．（25-26九年级上·山东青岛·月考）如图，菱形的对角线交于点O，过点C作，交的延长线于点E，连接．若，，则菱形的面积为（   ） A． B． C． D．9 【答案】B 【分析】此题考查了菱形的性质和直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．首先根据菱形的性质得到，然后利用直角三角形斜边中线的性质得到，然后利用菱形面积公式求解即可． 【详解】解：四边形是菱形，， ，， ，， ， ， 菱形的面积， 故选B． 【变式3】．（24-25九年级上·山东临沂·期中）如图，在菱形中，的垂直平分线交对角线于点，垂足为，若，则菱形的面积等于（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，含的直角三角形的性质，解题的关键是证明是等边三角形． 连接，由垂直平分线得到，可得，然后根据的直角三角形的性质以及勾股定理求解，即可求解，然后证明是等边三角形，再求出，最后根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：连接， ∵的垂直平分线交对角线于点F， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∴ ∴， ∵菱形中，， ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴菱形的面积 故选：D． 题型四：添加一个条件使为菱形 【典例4】．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，的对角线，相交于点．请你添加一个条件：____________（写出一种情况即可），使四边形是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了菱形的判定知识点，掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形或对角线互相垂直的平行四边形是菱形是解题的关键． 根据菱形的判定定理，在平行四边形的基础上，添加一组邻边相等或对角线互相垂直的条件即可判定为菱形． 【详解】解：添加条件： ∵四边形是平行四边形， ∴ ∵ ∴ ∴四边形是菱形 故答案为：（答案不唯一） ． 【变式1】．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，对角线相交于点，点在上，且，添加一个适当的条件，使四边形是菱形，这个条件可以是________．（填一个正确条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：在中，对角线相交于点，则， ， ， 在四边形中，，则四边形是平行四边形， 当时，四边形是菱形； 当时，四边形是菱形； 当时，四边形是菱形； 当时，四边形是菱形； 当时，是菱形， 平分， 即， ，，， ， 则，即四边形是菱形； 当时，是菱形， ， ，，， ， 则，即四边形是菱形； 当时，是菱形， 平分， 即， ，，， ， 则，即四边形是菱形； 当时，是菱形， ， ，，， ， 则，即四边形是菱形； 此外，还有对角线垂直也可以判定四边形是菱形； 综上所述，选取其中一个即可， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2】．（24-25八年级下·福建莆田·期中）如图，在四边形中，与不平行，，E，F，G，H分别是的中点．当 ______时，四边形是菱形． 【答案】4 【详解】解：∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理可得， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∴当时，四边形是菱形， 故答案为：4． 【变式3】．（24-25八年级下·广东阳江·期中）如图， 在四边形中， 对角线， 相交于点， 过点作交于点．已知，若再添加一个条件可使四边形是菱形，则这个条件可以是__________． 【答案】 (答案不唯一) 【详解】解：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴只需要添加一组邻边相等或对角线垂直即可证明是菱形， 故答案为：(答案不唯一) ． 题型五：菱形的证明问题 【典例5】．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，点E、F分别为平行四边形的边、上的点，，连接、，，求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】利用平行四边形的性质得，证明，可得，利用菱形的判定即可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形． 【变式1】．（25-26八年级下·重庆·月考）如图，在平行四边形中，连接对角线． (1)按要求尺规作图：作线段的垂直平分线交于点，交于点，交于点，连接，；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作图形中，求证：四边形是菱形， 证明：∵四边形是平行四边形， ∴①______， ∴， 又∵的垂直平分线为直线， ∴，②______，， 在与中， ， ∴（④______） ∴⑤______， ∴， ∴四边形是菱形． 【答案】(1)图见解析 (2)；；；； 【分析】（1）按照垂直平分线的作图流程进行尺规作图即可； （2）由平行四边形的性质可得，由垂直平分线的性质可得，，，从而可证明，则，命题得证． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵的垂直平分线为直线， ∴，，， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【变式2】．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，是边上的中线，点E在的延长线上，连接，过点C作交的延长线于点F，连接，．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】根据三线合一的性质可得出垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得出，根据证明，得出，然后根据菱形的判定即可得证． 【详解】证明：是边上的中线， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形． 【变式3】．（25-26九年级上·陕西宝鸡·月考）在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】根据是的中点，，易证得，即可得，又由在中，，是的中点，可得，证得四边形是平行四边形，继而判定四边形是菱形. 【详解】证明：如图，    ∵， ， 是的中点，是边上的中线， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ，是的中点， ， ∴四边形是菱形. 题型六：菱形的性质和判定的综合问题 【典例6】．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，在菱形中，，点P为对角线上任一点，过点P作分别交、于点E、F，过点P作分别交、于点G、H，、交于点Q，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由菱形的性质得到，则可证明是等边三角形，得到，，再证明是等边三角形，得到，接着证明四边形是平行四边形，得到，推出，即可证明； （2）由全等三角形的性质得到，,由平行线的性质得到，则，可得到，则，由全等的性质得，则平分,由此可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由外角的性质得， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 又， ∴， ∴， 又, ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， , ∴， 过点作于点，于点，如图， ∵， ∴， ∴， ∴平分, ∵ ∴． 【变式1】．（2026八年级下·黑龙江大庆·专题练习）如图，在矩形中，点O为对角线的中点，点E是上一点，连接并延长交于点F，连接、 (1)求证：； (2)当，且平分时，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，理由见解析 【分析】（1）利用直接证明三角形全等； （2）先证明四边形为平行四边形，再利用全等证明，通过对角互相平分且垂直即可判断． 【详解】（1）证明：在矩形中，点为对角线的中点，， ，， ， ． （2）解：∵， ， 又， ∴四边形为平行四边形， ∴， ，是的平分线， ， ， ， ， ， ∴四边形为菱形． 【变式2】．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，在直角中，，B是边上一点，连接，O为的中点，过C作交延长线于D，且平分，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)连接交于F，，求的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵O为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即的度数为． 【变式3】．（2026八年级下·重庆·专题练习）在菱形中，，点H在平面内，点E为直线上一点． (1)如图1，当H在上时，，若，，求的长； (2)如图2，当H在延长线上时，，O为的中点，连接并延长交于点G，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）过点作交于点，根据菱形的性质及已知可得是等边三角形，由等边三角形的性质可得，，可得，，设，则，，根据勾股定理可得，即，求解即可； （2）过点作交于点，证明是等边三角形，可得，，由，继而得到，证明，可得，证明，可得 ，即可得证． 【详解】（1）解：过点作交于点， ∴， ∵在菱形中，，，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 设， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴的长为； （2）证明：过点作交于点， ∴， 由（1）知：是等边三角形， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又，， ∴． 一、单选题 1．（25-26九年级上·陕西铜川·期末）如图，在菱形中，点是对角线上的一点，，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，等腰三角形的性质，掌握以上性质是解题的关键．根据菱形的性质得到，，，，由，得到，从而根据“等边对等角”得到，根据角的和差即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴在菱形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 2．（25-26九年级上·贵州贵阳·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，垂足为，连接，若，则的长是（    ） A．4 B．4.8 C．5 D．6 【答案】D 【分析】此题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，熟记菱形的性质是解题的关键． 利用菱形的性质得到，利用勾股定理求出，可得，然后根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选D． 3．（25-26九年级上·海南海口·期末）如图，菱形中，交于O，于E，连接，若，菱形周长为20，则的长为（ ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，理解题意是解决本题的关键． 由菱形的性质可得，，再运用勾股定理可得，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答． 【详解】解：在菱形中，其周长为20，， ，，，， ， ，， ． 故选：C． 4．（25-26八年级下·全国·期中）如图，在菱形中，M，N分别在上，且，与交于点O，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，根据菱形的性质以及，利用可得，可得，然后可得，继而可求得的度数． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ，，， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ∵， ∴， ． 故选：B． 5．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图所示，菱形的两条对角线相交于点，，，点是边上的一个动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、垂线段最短，过点作，当点与点重合时，的值最小，根据菱形的性质可以求出，利用三角形的面积公式可得，从而可以求出的最小值． 【详解】解：如下图所示，过点作， 当点与点重合时，的值最小， 四边形是菱形， ，，， ，， ，， ， ， ， 解得：， ， 的最小值为． 故选：C． 二、填空题 6．（2026八年级下·云南·专题练习）如图，在菱形中，、相交于点O，，长为4，则菱形的面积是__________________． 【答案】 【分析】由菱形的性质可得，，，，可证是等边三角形，可得，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．（25-26八年级下·广东广州·月考）如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为__________． 【答案】3 【分析】利用菱形的面积求得的长度，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：菱形中，对角线相交于点O， 则为的中点， ∴ 由可得， ∵ ∴ 又为的中点 ∴． 8．（2026·云南·一模）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，徐明家有一个菱形中国结装饰如图，测得，则的度数为______． 【答案】/70度 【分析】根据菱形的性质可得，再由等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴． 9．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，菱形的对角线、相交于点，点在上，连接，点为的中点，连接，若，，则的度数为_____． 【答案】/28度 【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 根据菱形的性质可得，由直角三角形的性质可得，从而得到，再由得出即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ， ， ∵点为的中点， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 10．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，在菱形中，，点分别在边上，且，若菱形边长为，则四边形的面积为______． 【答案】 【分析】连接，由菱形的性质可证明，得出，作，即可求出四边形的面积． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴和都是等边三角形， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 作交于点，    在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 则四边形的面积为， 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，在平行四边形中，点F在边上，，连接，点O为的中点，的延长线交边于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若平行四边形的周长为24，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）由平行四边形的性质得，得，，可证明，得出，可得四边形是平行四边形，由即得是菱形： （2）求出菱形的周长为20，得出，再证明是等边三角形，即得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵O为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平行四边形的周长为24， ∴菱形的周长为：， ∴， ∵， ∴， 又 ， ∴是等边三角形， ∴． 12．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，点E、F、G分别为线段、、的中点，连接、、． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，请判断并证明四边形的形状． 【答案】(1)证明见解析 (2)四边形为菱形，证明见解析 【分析】（1）证明，，可得是的中位线，，，，证明，即可． （2）如图，连接，证明，可得，，再进一步证明即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点E、F、G分别为线段、、的中点， ∴是的中位线， ∴，，， ∴，， ∴ 四边形为平行四边形． （2）解：四边形为菱形，理由如下： 如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，菱形的判定，直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 13．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，在矩形中，点在边上，连接，点在线段上，过点作，分别交边、于点、，连接、，， (1)四边形是菱形吗？请说明理由； (2)若，求的长． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质得出平行线，证明四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形证明； （2）根据矩形的性质和菱形的性质得出相等的线段和直角，假设，表示出相关线段的长度，然后利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： ∵四边形为矩形， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形为矩形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 假设，则， 由勾股定理得， 即， 解得， ∴． 14．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）如图，在四边形中，E，F，G，H分别是，，，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当与满足什么条件时，四边形是菱形，并证明； (3)若，，，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是菱形，见解析 (3) 【分析】（1）根据题意证明出且，即可得到四边形是平行四边形； （2）首先得到，，然后结合推出，进而证明即可； （3）勾股定理求出，，勾股定理求出，得到，进而求解即可． 【详解】（1）证明：∵分别是的中点． ∴且，，且， ∴且， ∴四边形是平行四边形； （2）解：当时，四边形是菱形． ∵分别是的中点． ∴，， 当时，， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形的周长为． 15．（25-26八年级上·江苏盐城·期末） 在矩形中，，G、H分别是、中点，E、F是对角线上的两个动点，分别从点A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中． (1)当时，请判断四边形的形状，并说明理由； (2)若四边形为矩形，求t的值； (3)若点G向点D运动，点H向点B运动，且与点E、F以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求t的值． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析 (2)或 (3) 【分析】（1）先证得，得，，然后根据“等角的补角相等”即可证明； （2）先证得四边形是矩形，再根据四边形为矩形，可得，再利用勾股定理即可求解； （3）根据“对角线互相平分且垂直是菱形”可得，四边形为菱形，则，设，则，利用勾股定理列方程即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形． 理由如下： 由题意得：， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵G，H分别是，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：①当时，连接，如图， 由（1）得，，， ∴四边形是矩形， ∴， 当四边形是矩形时， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当时，连接，如图， 当四边形是矩形时， ∵，， ∴， ∴， 综上，四边形为矩形时或． （3）解：连接，，，设与交于，如图， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：，即：， 解得：， ∴， ∴， ∴当时，四边形为菱形． 【点睛】熟练掌握矩形的对角线相等的性质，菱形的对角线互相垂直的性质，分类讨论，运用勾股定理列方程求解是解题的关键． 2 学科网（北京）股份有限公司 $