精品解析：河北武邑中学2025-2026学年高三下学期备考信息导航演练数学(二)

2025-2026学年度备考信息导航演练 数学（二） 本试卷总分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，，则（ ） A. －1 B. C. D. 1 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若函数的图象向右平移个单位长度之后得到的图象关于原点对称，则实数的最小值是（　　） A. B. C. D. 4. 已知曲线在处的切线与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 1 5. 某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测.依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其他物品而亮灯提示.若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常称为阿基米德三角形.若经过抛物线焦点的一条弦为，则阿基米德三角形满足点必在抛物线的准线上，且 ，若点的纵坐标为4，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在R上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，点，与关于原点 对称，现以轴为折痕，将轴下方部分翻折，使其与上方部分构成直二面角， 两点相应变成，两点，将绕直线旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 的真子集个数为8 10. 在中，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的值可能是 C. D. 11. 如图所示，圆锥的轴截面 是以为直角顶点的等腰直角三角形，为中点．若点为底面圆 所在平面上以为直径的圆上一点，过点 作垂直于．当点运动时，（ ） A. 当点不与点， 重合时，有平面 B. 点形成的轨迹长度为 C. 与平面所成角的正弦值的最大值为 D. 的最大值为4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则 _____． 13. 已知 分别为双曲线 的左、右焦点， 的渐近线上一点 满足 ，且 ，则双曲线 的离心率 为_____. 14. 设函数，其中 .若对任意的，都存在 ，使得不等式成立，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）若函数在时取得极值，求m的值； （2）在（1）的条件下，求函数在上的最小值. 16. 近几年，我国促进新能源汽车产业发展的政策频出，积极推动新能源汽车市场的迅速发展.某新能源汽车公司为了解其对型充电桩进行投资后所获得的利润（单位：百万元）关于投资金额（单位：百万元）之间的关系，统计后得到10组样本数据，根据统计数据计算得到，利润的方差，投资金额的方差，以及样本相关系数. （1）根据样本相关系数判断利润与投资的相关性强弱，并求出关于的经验回归方程（精确到0.01，注：）； （2）为了解使用型充电桩的车主性别与使用满意度的情况，该公司随机调查了150名车主，其中男性车主90名（60名满意，30名不满意），女性车主60名（满意）.将频率视为概率，用样本估计总体： ①为了解车主对充电桩的满意情况，从150名车主中任意抽取一位，若该车主表示满意，求该车主是男性的概率； ②有人认为“车主性别与满意度有关”，请根据上述数据，利用卡方检验判断这一观点是否成立，并给出结论依据. 附：①样本相关系数，当时，相关性较强，当时，相关性一般； ②经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， ③ 0.100 0.050 0.010 0.025 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 17. 如图，在斜三棱柱中，，，点在底面上的投影为的中点 ，点满足. （1）当时，证明：平面 平面. （2）已知 ，若平面与平面 夹角的余弦值为，求的值. 18. 椭圆：的离心率为，点在上. （1）求的方程； （2）圆：在椭圆内，过的右顶点作圆的两条切线，，斜率分别为，，且分别与交于，两点（均不与点重合）. ①求的值； ②当变化时，证明：直线与轴交于定点. 19. 设是正整数，有穷整数列：. 若存在正整数满足： ， 恒成立，则称为数列，数列的所有项之和记为. （1）数列：1， ，3，，1是否为数列？是否为数列？请说明理由. （2）若，是数列，且 ，求的最小值. （3）若 ，是数列，且，将各项重新排列后能构成等差数列，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度备考信息导航演练 数学（二） 本试卷总分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，，则（ ） A. －1 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得，解得，所以 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】由，得，解得或， 由，得或，解得或， 因此“”是“”的充要条件. 3. 若函数的图象向右平移个单位长度之后得到的图象关于原点对称，则实数的最小值是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移后的图象的对称中心得到的对称中心，然后根据正切函数的对称性得到，然后求最小值即可. 【详解】由题意得关于对称，所以， 整理得， 因为 ，所以当 时取得最小值，为. 故选：B. 4. 已知曲线在处的切线与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的几何意义可得曲线在处的切线斜率，再结合直线垂直运算求解. 【详解】因为，则，可得， 即曲线在处的切线斜率， 且直线的斜率， 由题意得，解得. 故选：A. 5. 某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测.依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其他物品而亮灯提示.若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全概率公式，以及条件概率公式即可求解. 【详解】设事件：该观众私自携带应援物品；事件：安检门亮灯提示， 则. 某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为 所以. 故选:B. 6. 抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常称为阿基米德三角形.若经过抛物线焦点的一条弦为，则阿基米德三角形满足点必在抛物线的准线上，且 ，若点的纵坐标为4，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由 为“阿基米德三角形”，且线段经过抛物线的焦点，得到点，进而得到直线的斜率，再由 ，得到直线的斜率即可. 【详解】由题意可知，抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 因为 为“阿基米德三角形”，且线段经过抛物线的焦点， 点在抛物线的准线上，所以点，直线的斜率为. 又因为 ，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 7. 已知定义在R上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用双对称函数来证明函数的周期性，再利用单调性可以比较大小. 【详解】因为关于中心对称， 所以对称中心是，即是奇函数，故， 因为是偶函数，所以的对称轴是，即， 所以中，将 替换为，得到， 故，将 替换为，得到， 所以，因此的周期为8. 所以，，， 因为在上递增且是奇函数，所以在上递增， 所以，即. 故选：D. 8. 在平面直角坐标系中，点，与关于原点对称，现以 轴为折痕，将 轴下方部分翻折，使其与上方部分构成直二面角， 两点相应变成，两点，将绕直线旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断的形状，将其绕直线旋转一周得到的旋转体为两个同底面且等高的圆锥组合体，计算该旋转体内切球的半径即可求解. 【详解】由题可知，所以，由翻折的不变性可知，翻折后的图形如图所示， 设点在 轴上的投影为，易知平面， 连接，，所以.点在 轴上的投影为， 在中，由勾股定理得， 所以在中，易得， 在中，由余弦定理得，， 即，解得，所以. 所以是一个顶角为，腰长为的等腰三角形， 将其绕直线旋转一周得到的旋转体为两个同底面且等高的圆锥组合体， 其轴截面如图所示， 则在该轴截面中和为边长为的等边三角形， 则该旋转体内切球的半径即为菱形内切圆的半径， 由等面积法可得， 即，解得， 因此该旋转体内切球的表面积为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 的真子集个数为8 【答案】AB 【解析】 【分析】根据集合的基本运算即可判断ABC，计算集合的真子集的个数即可判断D. 【详解】由题意有：，故A正确； 因为，故B正确； 因为，故C错误； 因为有3个元素，所以其真子集个数为，故D错误. 故选：AB. 10. 在中，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的值可能是 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用和差角的正弦公式化简已知等式，结合正弦函数性质、积化和差、二倍角的余弦公式及正弦定理逐一判断即得. 【详解】对于A，在中，因， 代入可得 即，因，于是，即，故A正确； 对于B，，则，代入，得， 于是，则，解得, 因，则，则得，故，， ，由，可得， 又，因此，故B错误； 对于C，因，则，因此，故C正确； 对于D，由正弦定理得，故D正确. 故选：ACD 11. 如图所示，圆锥的轴截面 是以为直角顶点的等腰直角三角形，为中点．若点为底面圆所在平面上以为直径的圆上一点，过点作垂直于．当点运动时，（ ） A. 当点不与点， 重合时，有平面 B. 点形成的轨迹长度为 C. 与平面所成角的正弦值的最大值为 D. 的最大值为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，由直径所对圆周角可得，由底面可得，则可证明面；B选项，进一步分析线面关系推出，则可得点形成的轨迹为以为直径的圆，从而求轨迹长度；C选项，由线面角的定义作辅助线，找到与平面所成角为，对进行放缩来判断；D选项，连接AH，设，结合基本不等式来求的最大值. 【详解】A选项，连接，，，． 由点为底面圆所在平面上以为直径的圆上一点，可得， 由题底面圆，底面圆，可知， 又，面，面， 则面，A正确； B选项，面， 面，则， 又，，面 ，面 ， 则 面 ，又面 ，面 ， 则，， 由 是以为直角顶点的等腰直角三角形， ， 所以，可得，， 又， 面， 面， 则面，又，过点C与垂直的平面仅有一个， 则点形成的轨迹为以为直径的圆，周长为2，B正确； C选项，过点H作于，过点B作于， 连接，则与平面所成角为， 又，，则， 则， 则与平面所成角的正弦值的最大值小于，C错误； D选项，连接AH，设，则， 则（当且仅当时等号成立）， 则的最大值为4，D正确． 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用共线向量的坐标表示，求得 的值，结合向量模的公式，即可求解. 【详解】由向量，因为，可得，解得， 所以. 故答案为：. 13. 已知 分别为双曲线 的左、右焦点， 的渐近线上一点 满足 ，且 ，则双曲线 的离心率 为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题上的条件把用表示出来，在借助余弦定理求出，最后求出，即为其中一条渐近线的斜率，根据渐近线斜率与离心率的关系，从而得到正确答案. 【详解】由P为双曲线渐近线上一点，， 又，设，则，由， 即，解得 又在中，为斜边中线，因此， 在中，由余弦定理可求得，则为锐角， 则，即其中一条渐近线的斜率，即， 而离心率， 故答案为：. 14. 设函数，其中 .若对任意的，都存在 ，使得不等式成立，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意易知恒成立，则可等价为对，恒成立，利用参变分离，可变形为恒成立，易证，则可得，即可得解. 【详解】对，都，使得不等式成立， 等价于, 当 时，，所以， 当时，，所以， 所以恒成立，当且仅当时，， 所以对，恒成立，即对恒成立， 当，成立， 当时，恒成立，即恒成立. 记, 因为恒成立， 所以在上单调递增，且， 所以恒成立，即， 所以，所以的最大值为 . 故答案为： . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）若函数在时取得极值，求m的值； （2）在（1）的条件下，求函数在上的最小值. 【答案】（1）2； （2） 【解析】 【分析】（1）由即可求解； （2）由函数单调性结合端点值即可求解. 【小问1详解】 由题可得， 因为函数在时取得极值，所以， 此时， 所以当时，时， 所以函数在时取得极值，所以； 【小问2详解】 由（1）可得， 且函数在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以函数最小值为. 16. 近几年，我国促进新能源汽车产业发展的政策频出，积极推动新能源汽车市场的迅速发展.某新能源汽车公司为了解其对型充电桩进行投资后所获得的利润 （单位：百万元）关于投资金额 （单位：百万元）之间的关系，统计后得到10组样本数据，根据统计数据计算得到，利润的方差，投资金额的方差，以及样本相关系数. （1）根据样本相关系数判断利润 与投资 的相关性强弱，并求出 关于 的经验回归方程（精确到0.01，注：）； （2）为了解使用型充电桩的车主性别与使用满意度的情况，该公司随机调查了150名车主，其中男性车主90名（60名满意，30名不满意），女性车主60名（满意）.将频率视为概率，用样本估计总体： ①为了解车主对充电桩的满意情况，从150名车主中任意抽取一位，若该车主表示满意，求该车主是男性的概率； ②有人认为“车主性别与满意度有关”，请根据上述数据，利用卡方检验判断这一观点是否成立，并给出结论依据. 附：①样本相关系数，当时，相关性较强，当时，相关性一般； ②经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， ③ 0.100 0.050 0.010 0.025 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】（1）相关性较强， （2）①； ②不成立， 零假设为：车主性别与满意度无关 将所给数据进行整理，得到性别与满意度的列联表 满意度 性别 合计 男性 女性 满意 60 36 96 不满意 30 24 54 合计 90 60 150 根据列联表，经计算得 因为 我们没有充分证据推断不成立，可以认为车主性别与满意度无关，因此可以认为这一观点不成立. 【解析】 【分析】（1）求解利润 关于投资金额 的经验回归方程，需要先求出回归系数和截距. （2）解释条件概率计算结果的意义，再通过列联表计算统计量并进行独立性判断. 【小问1详解】 由于，由题可知利润 与投资金额 相关性较强， 又 ， 所以；又， 所以， 由题，得， 所以， 则 关于 的经验回归方程为. 【小问2详解】 ①设事件 “抽取到的是男性车主”，事件“该车主表示满意” 该车主是男性的概率为 ②略 17. 如图，在斜三棱柱中，，，点在底面上的投影为的中点，点满足. （1）当时，证明：平面 平面. （2）已知 ，若平面与平面 夹角的余弦值为，求的值. 【答案】（1）当时，，则点是的中点. 又因为，，且为 的中点，所以 . 因为点在底面上的投影为 的中点，所以 平面， 又因为 平面，所以. 由， ， ， 平面，所以 平面. 又因为为 的中点，点是的中点，连接 ，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以 ，且 平面， 所以 平面，且 平面 ，所以平面 平面. （2）或. 【解析】 【分析】（1）先证 平面，再由 得 平面，进而可证面面的垂直； （2）建立空间直角坐标系，根据两个平面夹角的余弦值可得所求值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）解析知， 故以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系如图. 因为 ，得，， 所以 ， 因为平面在坐标平面 内，所以平面的一个法向量为 . 设平面 的法向量为 ， ， 由，得， 令 ，则可得 所以， 化简得，即 ， 解得或均符合题意， 故的值为或. 18. 椭圆：的离心率为，点在上. （1）求的方程； （2）圆：在椭圆内，过的右顶点作圆的两条切线，，斜率分别为，，且分别与交于，两点（均不与点重合）. ①求的值； ②当变化时，证明：直线与 轴交于定点. 【答案】（1） （2）①1； ②证明：设，，由得， 则，即，所以， 所以， 同理得， 直线的斜率 ， 所以直线的方程为， 令，得， 所以直线与 轴交于定点. 【解析】 【分析】（1）根据离心率和点的坐标可求出的值，进而可得到椭圆方程. （2）①通过相切可求出点到直线的距离，结合方程根据韦达定理即可求出的值；②首先求出点的坐标，然后求出直线的斜率，进而得到直线的方程，从而可求出定点坐标. 【小问1详解】 由题意可得，且， 又，解得 ，， ，故的方程为 . 【小问2详解】 ①由题可得，设直线，的斜率分别为，， 则直线的方程为， 由直线与圆相切可知，圆心到直线的距离， 整理得，同理， 则，为方程的两个根，所以. ②略 19. 设是正整数，有穷整数列：. 若存在正整数满足： ， 恒成立，则称为数列，数列的所有项之和记为. （1）数列：1， ，3，，1是否为数列？是否为数列？请说明理由. （2）若，是数列，且 ，求的最小值. （3）若 ，是数列，且 ，将各项重新排列后能构成等差数列，求的最小值. 【答案】（1）不是 数列，是 数列，理由如下： 对于数列，取 ，有 ，不满足条件，故不是 数列； 取 ，有 ，取 ，有 ， 均满足条件，故是 数列. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）按照定义检验是否满足条件即可； （2）是 数列则意味着相邻两项之和均为正，将两两分组并累加，除去首尾项的和即可得到中间部分的和的范围，进而得到的范围，最后构造一个能取到最小值的数列； （3）先根据 性质和等差数列求和得到可能的最小值，然后验证哪些值是不可能达到的，最后构造一个满足条件的数列 【小问1详解】 略 【小问2详解】 是 数列，则依定义有对 都有 ，又 ，所以 ， 从而可得即， 同样考虑到 可知，所以 ， 考虑数列 ，它满足 且对 都有 ， 其和为，因此的最小值为. 【小问3详解】 设排好的等差数列为，公差 ， 因为是 数列，对 都有 ， 所以①， 因为是中的最小项，所以②， 又因为 是中的一项，所以存在整数 使得 即 ③， 同时根据等差数列前项和公式有 ④， 综合②③④可得 整理得， 因为 均为非负整数，所以得 ， 若 , ，此时 ， ；若 , ，不等式恒成立， 此时 ；若 , ， 此时 或 ， 时 ，时 ， 接下来验证能否为或，由上述分析可知，若 ，则， ， ， 即等差数列为 ，根据 性质有 即 ， 即 ， 同时根据①有 ，而中只有两个元素不超过，矛盾，因此不可能为； 对于 ，取为 即可，显然满足 条件， 综上所述，的最小值为. 【点睛】对于并无明确优化路径的最值问题，可以先分析判断出其可能的最值，再证明最值可以取到. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $