精品解析：河北省衡水市武邑中学等2026届高三4月联考模拟预测数学试题

学科网命组卷网 绝密★启用前 高三数学 班级 姓名」 注意事项： 1答卷前，考生务必将自已的姓名、班级和考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本 试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1.己知集合A={xx-2x+1)=0,B={xr≥4，则An(GB)=() A.{- B.(0,2) c{2} D.(-1,4) 【答案】C 【解析】 【详解由题可得A={1,2乃，B=xx≤0或x之4，所以 An(CB)={-1,2}n{x|0<x<4}={2 第1页/共29页 6学科网命组卷网 2已知复数2=m+(m-2)i(m∈R)在复平面内表示的点在直线2x+y-1=0上，则复数2的共轭复数 A.1+i B.1-i c.-1-i D.-1+i 【答案】A 【解析】 【分析】先根据复数的几何意义得出点，再应用点在线上得出m=1,最后应用共轭复数定义求解 【详解】复数2=m+(m-2)(m∈R)在复平面内表示的点m,m-2)在直线2x+y-1=0上， 则2m+m-2-1=0,即得m=1,则z=1-i, 则复数z的共轭复数z=1+i. 3.1og,a<1og,b是a3>b3>0的《） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先由对数函数和幂函数的单调性得到a和b的关系，即可判断出答案. 【详解】因为log,x在定义域(0，+0)上是单调递增函数， 所以由1g,a<1og,b等价于b>a>0, 由03>b3>0可知a>0且b>0, 日 又因为函数y=x在(0，+o）上是单调递减函数， 所以43>b3>0等价于b>a>0 因此，og,a<1og,b是a3>b3>0-的充要条件 第2页/共29页 6学科网命组卷网 4.中国古代有一种盛米的重要容器叫“方斗”，其形状是一个上大下小的正四棱台，如图已知一“方斗”上底 面边长为3，下底面边长为1，若从这个恰好盛满米的“方斗”中取出38斤米后，米的高度下降了一半，则 剩余的米的质量为() A.14斤 B.24斤 C.38斤 D.56斤 【答案】A 【解析】 【分析】设线段14、B服、CG、DD的中点分别为4、B、C、D,利用合体的体积公式计算出 棱台 BCD-4B,C,D与楼台1BCD-4BGD的体积之比，即可得出原"方斗可米的总质量，即可 求解剩余米量， 【详解】设线段A、BB、CG、DD的中点分别为4、B,、C、D,如下图所示： D B A B AABB 易知四边形 为等腰梯形，因为线段1A、BB的中点分别为、B, 则44=你4丝-32 2 2 设棱台1BCD-4B,CD:的高为h,体积为厂， 则棱台 BCD-ABCD的高为2h.设其体积为”， 第3页/共29页 命学科网命组卷网 则=0+2+2xh=号.则-0+r+3刘2h= 26h V_3_26 所以，19h9,所以，该^方斗“可盛米的总质量为26 斤 38=52 3 19 所以米的高度下降了一半，则剩余的米的质量为52-38=14斤 5已知数列{a,}的各项均为整数，4，=-2,41=4，前10项依次成等差数列，从第9项起依次成等比 数列，则4+4=（) A.7 B.9 C.11 D.13 【答案】B 【解析】 【分析】设等差数列的公差为d,用4和d表示出4,40，从第9明起成等比数列，可得%=44，结 合914 ,建立关于的方程，确定4和等比数列的公比，进而求得 【详解】已知前10项成等差数列，设公差为4，由4，=-2得：4=a,+3d=3d-2, a0=a6+4d=4d-2 因为数列各项均为整数，所以d是整数， 从第9项起成等比数列，满足6=4·41，代入41=4得：（4d-2}=431-2). 3 d= 整理得4d2-7d+3=0,解得d=1或4， 、3 因为d为整数，舍去4，得d=1, 第4页/共29页 命学科网命组卷网 a1=a6-5d=-2-5×1=-7 求得4=14。=2 等比数列公比9=2=2 4,，则a3=a1g2=4×22=16, 所以4+a3=-7+16=9 6.己知平面向量a=(x,l,b=(3,-),c=(,),若a,方在c上的投影向量相等，且x>0,y>0, 11 则4x+1y的最小值为() 1 A.3 B.2 C.2 D.1 【答案】D 【解析】 【详解】因为，6在上的投影向量相等， ac b.c 所以它们的投影也相等，即|cc,所以ac=bc, 又因为ac=xx1+1x1=x+1,6=3x1+(-y)）×1=3-y, 所以x+1=3-y→x+y=2 已知>0y>0 ,满足基本不等式的使用条件， 11 一十 对目标式4x+1y, 由x+y=2得（4x+1)+4y=4(x+y)+1=4×2+1=9 第5页/共29页 命学科网命组卷网 (4x+)+4y=1 因此 9 ,将目标式乘1展开： ,1+,1+4x++4y 4x+1y(4x+1y9 ++4-++ 4y+4x+1≥24y4x+1=4 根据基本不等式，4x+1yV4x+1y 1.1、1 代入得：4+g5+4到= 4y4x+1 当且仅当4x+1y时等号成立，即4x+1=2y,结合x+y=2, 13 解得2，y 3= 2,满足x>0,y>0,因此最小值为1. x2,y2 7.已知直线1与圆？+少=12交于两点A:B,直线1与椭圆4+了l切于点P,若以4，B两点 为切点的圆的两条切线交于点P,0为坐标原点，则0 p.00=() A.4 B.8 C.12 D.16 【答案】C 【解析】 【分析】设出点P、Q,利用椭圆上的点的切线性质及圆的切点弦性质可表示出，即可得P、Q坐标关 系，再利用数量积的坐标公式计算即可得. 详解1设PW,gw,有+，即3x+4☑ 第6页/共29页 6学科网列组卷网 x2 y2 =1 由直线1与椭圆43切于点P, 音x+宁y=1.l:3x+4w=2. 则431 由AB为点关于圆O的切点弦，则 xx+yy=12 3x0= 故4y%=%,故(3x,4): 则0p00=3x+4=12 8已知平行六面体ABCD-4B,CD的所有楼长均为2，O为AC的中点，且401平面ABCD,若直 线AA与底面ABCD的夹角为45°，则三棱锥A-4BD 的外接球被平 BCCB截得的截面面积为( 2π 4π A.3 B.π C.3 D.2π 【答案】C 【解析】 【分折1由40L平面ABCD得到440=45”，由题中条件得到O为BD的中点，从而得到三楼能 A-ABD中△ABD和△4BD 均为直角三角形，继而得到三棱锥 A-ABD 的外接球是以BD为直径，O 第7页/共29页 6学科网列组卷网 为球心，利用三棱锥体积相等求解即可得到截面圆的半径，利用圆的面积求解即可 【详解】401平面ABCD,若直线4与底面4BCD的夹角为45°，六∠440=45°， B ,AA=2∴.A0=OA=V2 .O AC ABCD 为的中点，四边形 是平行四边形.0为BD 的中点， AB=AD=2,40LBD,:.0B=AB2-A02=22 :BD=20B=22 :AB2+AD2=BD2 .AB L AD ∴三楼能M-4BD中△ABD和△4BD均为直角三角形， 且平面ABDn平面ABD=BD. BD=2 ,R= .三棱锥A-ABD的外接球是以BD为直径，O为球心，半径为2 设O到平面BCCB的距离为，外接球被平面 BCC B 截得的截面半径为”， 对axw2xw5- 3； :B服=BC=BC=2.Sme2×2sn60=5 第8页/共29页 6学科网6组卷网 Vo-we=Vs-on=x d= 3 3,d6 3 m2=4 r2=R2-=2-33,则截面面积为应 截面半径 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.“沾衣欲湿杏花雨，吹面不寒杨柳风”，惊蛰过后，杏花绽放、春风和煦，正是春游赏花的好时节已知某 旅游景区近一周的最低气温如下：9,11,14,11,10,7,8（单位：℃），则() A.这组数据的极差为7 B.这组数据的众数等于中位数 16 C.这组数据的下四分位数为8 D.这组数据的方差为7 【答案】AC 【解析】 7,8,9,10,11,11,14 【详解】将原始数据按从小到大排序： 所以这组数据的极差为14-7=7，故A正确： 这组数据的众数为11，这组数据的中位数为10，故B不正确； 由于7×25%=1.75，所以这组数据的下四分位数为8，故C正确： =7+8+9+10+11+11+14=10 这组数据的平均数为 个 所以方差 0-1o旷+8-10r+0-o旷+0-o+1-o401-o+04-10]-号n不 确 第9页/共29页 命学科网命组卷网 10.2026年3月3日是第27个全国“爱耳日”.活动的主题是“全民科学爱耳，共护听力健康一安全用耳、 健康成长”新科技产品智能降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型 麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声，设噪声声波曲 线函数为'=儿)，降噪声波曲线函数为'=8( ，己知某噪声的声波曲线 /冈=m(@x+po>0,网<的年分图象如图新不，则下列说法确的是〈) A.f(x)=-g(x) .f()-2sinx+ D.若，∈ ππ 6’2, 且f(x)+f(x)=0,则f(x+x)=-1 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用图象结合正弦型函数性质分析可得B；利用振幅与相位定义计算可得A；利用正弦型函数单 调性计算可得C;利用正弦型函数对称性计算可得D. T=2× 11π5π 【详解】对B:由图可得 1212 2m=2 第10页/共29页 6学科网命组卷网 2x5 +9=+2e2.w0-后+2e2,女州受，则0-君. 12 6, 4名1.则42黄=2如2x+8。 对A自5可得8(=2sn2君-2sm2x+)=-1(四 即()=一8()，故A正确： -元+2m≤2x+s+2km(keZ) 对C:令2 6-2 +ka≤x≤+km(keZ) 解得3 6 即y=因的华网E减区香+品名+]ke.数c特 附.当(6到)所.则2x+5） 由)*6=0.则22+22+别-0 2x+x+2x,+ 则一 6 5π 2 6=元，即+为= 6 6 1已加数刘a的前n项和为及.若4=1，am=a2eN),则() 第11页/共29页 6学科网列组卷网 3 8 B.数列{a,}为递减数列 C.任意neN,Sn≤2 D.任意neN,n n+1 【答案】ABD 【解析】 【分折1对于A,代入术位即可实断：对于B,4-4= 2s0 ,说明a≠0，即可证明 an1-an<0,即可判断B;对于C,求出S4>2即可判断：对于D,先证明a+1 (0,2,由 21-1=a2 Qu=Q,2,两边同时除必44得a1444当之2时，利用累m法得到 2日ea-l2n-2习.m时a品， n=1'即可判断D. 123 详解】对于A,a=L4=4)G=)a=a8,故A正8 对于B,a-0,=2≤0 当n22时，若0，=0，则0=0或1=2 令2 1x=2 ,即x2-2x+4=0,因为△<0，故方程 无解，即an1≠2， 当0=0时，02=0或0.2=2，而02≠2 第12页/供29页 6学科网6组卷网 以此类推，4=0或4=2 又4=1，所以00， 所以40，所以”1-a,=0 所以数列a,}为递减数列，故B正确： 1239 对于C,a=a 2 128, 所以8，=4+4+4+a=1++ .1339_279>2 28128128,故C错误； 对于D,因为数列a,}为递减数列，故0<a,≤ ame(1,2] 即an+l 21-1 C女ga4d。名oan an an+l 所以当n≥2时， d-会8+…2-刘 2 又a=1,所以n≤a,<， n+1, 第13页/供29页 6学科网命组卷网 当n=1时，an=4=1,此时1 gs、2 1 1+1, a 2 综上，n n+1,故D正确 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 2已aaX-Naax≤a-=Px≥2a+刘- 的展开式中的常数 项为， (用数字作答) 【答案】-160 【解析】 【分析】先由正态分布的对称性得到α的值，然后写出二项展开式的通项公式，令x的指数为0即可求解. 【详解】随机变量X~N(3,o).则图像关于x=3对称，且P(X≤a-)=P(X≥2a+)】 由对称性可得a-1+2a+1=6,解得a=2, (r=0,1,2,3,4,5,6 当r=3时得到展开式的常数项为(-2)'Cg=-8×20=-160 13.已知直线1：y= 2与双幽线C:怎方Q>0,b>0的左、有两支分别相交于4，B两 O为坐标原点，F为C的右焦点，若|AB+4BF=4,则双曲线的离心率为 【答案】V3 【解析】 第14页/供29页 6学科网 命组卷网 【18+4时-44 利用OB,BF=0求出点B坐标， 2=c2-a2 代入双曲线方程结合 即可求出答案 【详解】因为AB=2OB 所以AB+4BF=4C可4化为4OB+4BF=4c2,即lOB+BF=OF, 所以OB⊥BF, wmr（-当 m-4--(经-0，-子 x2 y2 4c2c2 9 代入双曲线方程。=1得-1，即4bc-2a心-90公， 2=c2-a2 根据 代入整理得4c'+9a-15ac=0,即4e-l5c+9=0 3 e2 解得e2=3或一4（小于1，舍去）， 所以e=v3 第15页/供29页 6学科网6组卷网 14已知函数f(x)=3”+1 3*+2,若对任意实数m,n,p,都有f(m)+f(n)>f(p),则实数t的取值范 围为 [1,4] 【答案】 【解析】 f(x) 【分析】先对函数 进行变形，结合化简后的函数表达式，依题意条件转化，分情况讨论的取值，确 定Jy 的值域 【详解】f= 3+=1+1-2 3+235+2,由3*>0得3+2∈(2，+o), 依题意对任意 ,P都有f0m)+f四>f0) 等价于函数 )值域的下确界的2倍大于等于值域的上确界， 32-203经0me四专 2.≥1 2,解得t≥1，结合t<2得1≤t<2; 当1=2时，f国=1，此时f网+f@=2>1=D),恒成立. ,此时 t=2 符合条件： 21-20.号号).wt四 第16页/供29页 6学科网命组卷网 21≥ 代入不等式得： ,解得t≤4，结合t>2得2<t≤4： 1,4] 综合三种情况，的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 6在锐角A4BC中，角B,C分别为a,b,e,ABC的面S石+6- 4 (1)求角C的大小： (2)若c=V5,求d+h2 的取值范围。 【答案】(1) C、 3 2)(5,6 【解析】 【分析】(1)利用三角形面积公式与题目给定的面积表达式建立等式，结合余弦定理，推导出 tanC=3 再根据C的取值范围求值： 转化为角“的正弦形式，结合降幂公式与三角恒等变换，将“+b a,b A,B (2)由正弦定理将边 化简为关 于角的三角函数，再根据锐角三角形的条件确定的取值范围，最终求出 a2+b2 的取值范围。 【小问1详解】 3 因为S=V3（a2+b2-c2）aS=二ab sin C,所以4 4 (a2+b2-c2）=absin C 所以r+h-2=2 BabsinC,所以osC-r+-e 25 =3 absinc 3 -sin C, 2ab 2ab 第17页/共29页 6学科网 组卷网 【小问2详解】 a=esin3sin4=2sind b=csin Bsin B=2sin 因为a=bc sinA sinBsinc,所以sinC 交 sinC 3 Sin 3 所以0+b2=4sin2A+4sin2B=4-cos2 2 1-cos2B-4-2(cos24+cos2B) -+4 2 又A+B+C=元，所以B=3A 所uo0s24+s2B=cos21+cos2(2子-=cos24+os(g-21） -o2(m24(9}m2a-gw4-m24-a24+到 0<A<π 2 因为 是锐角三角形，所以 AABC 6 24+5）.*}- 所以 所u+=4-2s24+e6 16.为了测试AI象棋软件算法的有效性，棋协组织两位象棋大师甲、乙分别与A象棋软件进行比赛.比赛 规则如下：在一局比赛中，甲、乙两位象棋大师分别与A[象棋软件进行一盘比赛，每盘比赛获胜得1分， 否则得0分（每盘棋都分胜负、没有平局），每盘棋比赛结果互不影响，各局之间的结果也互不影响已知 第18页/供29页 6学科网6组卷网 1 象棋大师甲、乙每盘比赛获胜的概率分别为2,4 1)设前两局比赛中，两位象棋大师一共得3分为事件M,象棋大师甲得2分为事件N,求P(NM), (2)由于AI象棋软件受运行时长和散热影响，本次比赛最多进行6局，且当两位象棋大师的总得分与AI 象棋软件的得分相差2分时比赛结束.设比赛结束时共进行了X局，求X的分布列及数学期望 3 【答案】(1)4 (2) X 1 4 1 1 1 1 1 1 P 2 4 8 16 32 32 w)- 【解析】 【小问1详解】 1 己知象棋大师甲、乙每盘比赛获胜的概率分别为2,4 111 133 2×二× 所以甲连胜两局的概率为224，乙两局中胜一局的概率为448， 133 所以 (MN)=4X832, 前两局共得3分分为两种情况： 3 甲得2分，乙得1分，概率为32： 11111 2×二×二×二×二 甲得1分，乙得2分，概率为224432， 第19页/共29页 6学科网 6组卷网 3,11 所P(W)2+28, 3 所以P(MM)=32=3 14 8 【小问2详解】 每局结束后，两位大师和AI的总得分可能情况为： 甲乙都输：0分，AI:2分，分差为2分： 甲乙一胜一负：1分，AI:1分，分差为0分： 甲乙都赢：2分，AI:0分，分差为2分： 1x3,1x1-1 1-11 所以单局结束后继续比赛的情况为24422，结束比赛的概率为22， 所以X的可能取值为1,2,3,4,5,6， Px=)-P(x=2-P(x=)8 Px4)6P(x=)-0P(K=6)-(912 分布列为 X 4 6 1 1 1 1 1 P 2 4 8 16 32 32 E(x)=1x,+2x2+3x.+4x 1 163 +5× +6× 4816 32 63232 17在三楼锥P-ABC中，AB=BC=l,PA=PB=AC=V5,点M为4C中点，平面ABCL平面 PBM. 第20页/供29页 6学科网6组卷网 (1)证明：PA=PC: (2)求三棱锥P-ABC的体积： (3)求平面APC与平面PCB夹角的余弦值 【答案】(I)证明：因为AB=BC=1,点M为AC中点，所以BM⊥AC, 又平面 MBCL平面PBM,且平面MBCn平面PBM=BM.ACC平面MBC 所以AC⊥平面PBM,又PMc平面PBM,所以AC⊥PM, 又点M为AC中点，所以PM是线段AC的垂直平分线，所以PA=PC, 6 (2)12 5v33 (3)33 【解析】 【分析】(1)利用线面垂直的性质定理以及线段垂直平分线的性质证明即可； (2)利用余弦定理、三角形面积公式以及锥体的体积公式计算即可： (3)建立空间直角坐标系，结合几何性质求出相关长度，写出相应点的坐标，求出平面法向量，利用向 量法求解即可 【小问1详解】 略 第21页/共29页 命学科网命组卷网 【小问2详解】 由()知PA=PB=PC=AC=5,点M为AC中点， 所以AM=CM=3 w=ma-可-（图 在 ower 2×PM·BM 3.1 3 △PBM 2×。×1 22 2 所以SmPM-8 Mxsin/PMB=x3x5×25-5 X一X 22234, PA=PC,MB=AC,ACL平面PBM,点M为AC中点， 由 所以三棱锥P-ABC的体积为： 1256 V=2yrw=2×3×Sw×4M=2x3×4×2Fi2 3 【小问3详解】 由平面ABC⊥平面PBM,BM⊥AC, 所以以M为坐标原点， MB,MC 分别为七 轴，过M点垂直于平面ABC 的直线为乙轴， 建立如图所示的平面直角坐标系， 第22页/供29页 6学科网命组卷网 M 根据题意可知z轴所在直线在平面PBM内， aoa,409d小co0goj】 设P(x,0,2),则在平面PBM中，因 CosZPMB--1 <0 ,所以∠PMB为钝角， 过P作P吧垂直于BM的延长线于点2，如图所示： 0 x B 由cos∠PMB=- ,所os∠PW0=eos(-∠PM)=-aw∠PMB=-（} 在直角三角形PMQ中， cosPAPcPM PM 所以Pg=VPM2-Mg -=5,所做r可 平4r的-同为后-6又Pm-924c-Q8.o, 第23页/共29页 6学科网命组卷网 1.3 PA.n=0 2- y-V2z,=0 2 则4C.n=0 V3y=0 令名=V2,x=4,y=0,所以i=(4,0V2), 数国pB的个病为而-k,片，小又防-0-回)，ac-（行5.0 PB.m=0 x2-√2z2=0 则BCm=0 1,3 2+ 20 设平面APC与平面PCB所成的夹角为B,由图可知O为锐角， n.m 4x3+0xV5+V2x3N2 os=cosi,m= 15 5V33 所以 网 4+0阿阿5 3v2x V66 33 2 18已知物线C:了=2px(p>0)与双击线号51的渐近线在第一、四象限的交点分别为M N,且lMW=45 (1)求抛物线C的方程： (2)设直线1与抛物线C交于A(,少），B(:,)两点，0为坐标原点，F为C的焦点 (①)若AB=3,且AB的中点为P,求到y轴距离的最小值： 第24页/共29页 6学科网6组卷网 (i若已知直线1：y=x-1(n∈N),且FA+FB=a,设数列a,的前n项和为S,证明， S,<2n+8 【答案】(1)y=4x 9 (2)(i)16: m期：因为5445团-(+}s+号}=+5+P 2 所以0，n 二=x1+x2+p-二=2+2 =2m+8-4<2n+8 n °，即Sn<2n+8； 当n=l时，8，=4-2=6<2x1+8. 即<2n+8 成立 【解析】 【分折】（山求出双面线新近线，米出交点M,N华标，结合W=45,从而求出抛物线方陛 9 -m2 (2)(①设出直线1：x=my+联立抛物线，根据腿干信息结合韦达定理得到16+m2 第25页/供29页 6学科网列组卷网 再根据中点坐标公式表示Q点坐标，再利用换元的方式将问题转化为 fh)=h+.9 6h,借助对勾函数 的图象和性质求出最终答案. 24 (根据抛物线的焦半径特点求出5A+FB叶+巧+P,从而得，一儿疗+2 ,当n≥2时，利 4 用放缩法得n2 n-1 从而证得Sn<2n+8,当n=1时，易得Sn<2n+8也成立 【小问1详解】 双曲线)2中，a=3,b=23,渐近线方程为”=+33 x2 y2 -x 3 联立渐近线与抛物线”广=2p(p>0) 名-音代人的度对拉交点[号5p小是可 则MNl=2V5p=4V ，解得D=2 故抛物线C的方程为广=4x 【小问2详解】 ④设直线x=m+1,联立广=4r得广-4m-=0,则+乃=4m,=-4 弦长A8=+m+为f-4y%=4+mm+=3,故+m儿m+6. 9 1B中点g到，抽E离为=5士臣=2m+1,代入16印+m)m 第26页/共29页 6学科网列组卷网 得专m2 160+m=0+m)+ 9 9 --1 161+m2), 9 令h=1+m2≥1，则。=f()=h+ -1 6h,根据对勾函数图象和性质可知函数在山，+0)上函数 f(h)=h+9 -1 16h单调递增， 9 9 最小值为 f0)=16,故2到y轴距离的最小值为16 OXB (i)略 19已知函数f(x)=lnr-ax+ ,其中a∈R )当a=-1时，求曲线y=f(女在点(Lf(0)处的切线方程 (2)若x>0.f(x)≤x2+1 恒成立，求的取值范围； (3)当a=1,且x∈(0，时，证明：函数8()=f()sin(π+)有且仅有两个零点 【答案】(1)y=2x (2)a≥-1 (3)证明：设8()=f()-sin(π+，当a=l时，f()=lnx-x+1,si血（π+x)=sinx 第27页/供29页 6学科网列组卷网 则8(=nx-x+1+sinx,x∈(0，x).g()-1+eoax 今h)=g().则（倒=s 当xe(0,时，h(四<0，所以8()在（0四)上单调递减。 又因为im8(倒=+0，m8'()=2<0 所以存在唯一的∈(0，m)使得8(x)=0 当x(0,)时，8()>0,8（单调递增。 当x(,时.8()<0,8(x)单调递减， 又img()=-0,g()=nm-元+1+sinm<0,且8(x)在x=x处取得极大值g(), 因为8'(0=cos1>0,所以七>≥1,8()>g0=sinl>0, 因此，8（在(0，七）和(，各有一个零点， 所以函数8（四在(0，）有且只有两个零点 【解析】 【分析】(1)代入求出切点坐标，对函数求导得到切线斜率，利用点斜式求出切线方程并化简 (2)化简不等式分离参数a，,求导分析其单调性，找到最大值即为a的下界 (③)化简8(~)表达式，求导确定单调区间，计算特殊点函数值及极限，利用零点存在定理判断零点分布 【小问1详解】 f)=hr-（-)x+1=lx+x+1,f0=h1+1+1=2,即切点为，2)， 第28页/供29页 6学科网命组卷网 了八)士，了0)=2=k,利用点茶式可得切线方程为)=2x 【小问2详解】 由f()≤r+l恒成立，得lnx-ax+1≤2+1，化简得： lnx-ax≤x2(x>0) 即asx-Inx 王≥、 段)-g-天，-1r-1=1-￡ x2 x2一，令N(x)=0,解得x=1, 所以x∈(0，)时，h(y)单调递增，x∈，+o)时，h(x)单调递减， 所以在x=1处取极大位。A0=-1=0-1= 【小问3详解】 略 第29页/共29页 绝密★启用前 高三数学 班级________姓名________ 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数在复平面内表示的点在直线上，则复数的共轭复数（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 中国古代有一种盛米的重要容器叫“方斗”，其形状是一个上大下小的正四棱台，如图.已知一“方斗”上底面边长为3，下底面边长为1，若从这个恰好盛满米的“方斗”中取出38斤米后，米的高度下降了一半，则剩余的米的质量为（ ） A. 14斤 B. 24斤 C. 38斤 D. 56斤 5. 已知数列的各项均为整数，，，前10项依次成等差数列，从第9项起依次成等比数列，则（ ） A. 7 B. 9 C. 11 D. 13 6. 已知平面向量，，，若，在上的投影向量相等，且，，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 7. 已知直线与圆交于两点，，直线与椭圆切于点，若以，两点为切点的圆的两条切线交于点，为坐标原点，则（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 8. 已知平行六面体的所有棱长均为2，为的中点，且平面，若直线与底面的夹角为，则三棱锥的外接球被平面截得的截面面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. “沾衣欲湿杏花雨，吹面不寒杨柳风”，惊蛰过后，杏花绽放、春风和煦，正是春游赏花的好时节.已知某旅游景区近一周的最低气温如下：9，11，14，11，10，7，8（单位：℃），则（ ） A. 这组数据的极差为7 B. 这组数据的众数等于中位数 C. 这组数据的下四分位数为8 D. 这组数据的方差为 10. 2026年3月3日是第27个全国“爱耳日”.活动的主题是“全民科学爱耳，共护听力健康——安全用耳、健康成长”.新科技产品智能降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声，设噪声声波曲线函数为，降噪声波曲线函数为，已知某噪声的声波曲线的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的单调递减区间为 D. 若，且，则 11. 已知数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. 数列为递减数列 C. 任意， D. 任意， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，且，则的展开式中的常数项为________.（用数字作答） 13. 已知直线：与双曲线：的左、右两支分别相交于，两点，为坐标原点，为的右焦点，若，则双曲线的离心率为________. 14. 已知函数，若对任意实数，，，都有，则实数的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，且的面积 （1）求角的大小； （2）若，求的取值范围. 16. 为了测试AI象棋软件算法的有效性，棋协组织两位象棋大师甲、乙分别与象棋软件进行比赛.比赛规则如下：在一局比赛中，甲、乙两位象棋大师分别与象棋软件进行一盘比赛，每盘比赛获胜得1分，否则得0分（每盘棋都分胜负、没有平局），每盘棋比赛结果互不影响，各局之间的结果也互不影响.已知象棋大师甲、乙每盘比赛获胜的概率分别为，. （1）设前两局比赛中，两位象棋大师一共得3分为事件，象棋大师甲得2分为事件，求； （2）由于象棋软件受运行时长和散热影响，本次比赛最多进行6局，且当两位象棋大师的总得分与象棋软件的得分相差2分时比赛结束.设比赛结束时共进行了局，求的分布列及数学期望. 17. 在三棱锥中，，，点为中点，平面平面. （1）证明：； （2）求三棱锥的体积； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知抛物线 ：与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为，，且. （1）求抛物线 的方程； （2）设直线与抛物线 交于，两点，为坐标原点，为 的焦点. （i）若，且 的中点为，求到轴距离的最小值； （ii）若已知直线：，且，设数列的前项和为，证明：. 19. 已知函数，其中. （1）当 时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，恒成立，求的取值范围； （3）当 ，且时，证明：函数有且仅有两个零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $