精品解析：河北省衡水市武邑中学等2026届高三4月联考模拟预测数学试题

绝密★启用前 高三数学 班级________姓名________ 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题可得，或，所以 2. 已知复数在复平面内表示的点在直线上，则复数 的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据复数的几何意义得出点，再应用点在线上得出，最后应用共轭复数定义求解. 【详解】复数在复平面内表示的点在直线上， 则，即得，则， 则复数 的共轭复数. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先由对数函数和幂函数的单调性得到a和b的关系，即可判断出答案. 【详解】因为在定义域上是单调递增函数， 所以由等价于， 由可知且， 又因为函数在上是单调递减函数， 所以等价于， 因此，“”是“”的充要条件. 4. 中国古代有一种盛米的重要容器叫“方斗”，其形状是一个上大下小的正四棱台，如图.已知一“方斗”上底面边长为3，下底面边长为1，若从这个恰好盛满米的“方斗”中取出38斤米后，米的高度下降了一半，则剩余的米的质量为（ ） A. 14斤 B. 24斤 C. 38斤 D. 56斤 【答案】A 【解析】 【分析】设线段、、、的中点分别为、、、，利用台体的体积公式计算出棱台与棱台的体积之比，即可得出原“方斗”可盛米的总质量，即可求解剩余米量. 【详解】设线段、、、的中点分别为、、、，如下图所示： 易知四边形为等腰梯形，因为线段、的中点分别为、， 则， 设棱台的高为，体积为， 则棱台的高为，设其体积为 ， 则，则， 所以，，所以，该“方斗”可盛米的总质量为斤. 所以米的高度下降了一半，则剩余的米的质量为斤 5. 已知数列的各项均为整数，，，前10项依次成等差数列，从第9项起依次成等比数列，则（ ） A. 7 B. 9 C. 11 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】设等差数列的公差为 ，用和 表示出，从第9项起成等比数列，可得，结合，建立关于 的方程，确定和等比数列的公比，进而求得. 【详解】已知前10项成等差数列，设公差为 ，由得：，， 因为数列各项均为整数，所以 是整数， 从第9项起成等比数列，满足，代入得：， 整理得，解得或， 因为 为整数，舍去，得， ，求得， 等比数列公比，则， 所以. 6. 已知平面向量，，，若，在上的投影向量相等，且 ，，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【详解】因为，在上的投影向量相等， 所以它们的投影也相等，即，所以， 又因为，， 所以； 已知 ，，满足基本不等式的使用条件， 对目标式， 由得， 因此，将目标式乘 展开： ， 根据基本不等式，， 代入得： 当且仅当时等号成立，即，结合， 解得，，满足 ，，因此最小值为 . 7. 已知直线与圆交于两点，，直线与椭圆切于点 ，若以，两点为切点的圆的两条切线交于点 ， 为坐标原点，则（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】设出点 、 ，利用椭圆上的点的切线性质及圆的切点弦性质可表示出，即可得 、 坐标关系，再利用数量积的坐标公式计算即可得. 【详解】设，，有，即， 由直线与椭圆切于点 ， 则，即， 由 为点 关于圆 的切点弦，则， 故，故， 则. 8. 已知平行六面体的所有棱长均为2， 为 的中点，且平面 ，若直线与底面 的夹角为，则三棱锥的外接球被平面截得的截面面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平面 得到，由题中条件得到 为的中点，从而得到三棱锥中 和均为直角三角形，继而得到三棱锥的外接球是以为直径， 为球心，利用三棱锥体积相等求解即可得到截面圆的半径，利用圆的面积求解即可. 【详解】平面 ，若直线与底面 的夹角为，， ，， 为 的中点，四边形 是平行四边形，为的中点， ，，， ，，， 三棱锥中 和均为直角三角形， 且平面平面， 三棱锥的外接球是以为直径， 为球心，半径为， 设 到平面的距离为 ，外接球被平面截得的截面半径为， ， ，， ，， 截面半径，则截面面积为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. “沾衣欲湿杏花雨，吹面不寒杨柳风”，惊蛰过后，杏花绽放、春风和煦，正是春游赏花的好时节.已知某旅游景区近一周的最低气温如下：9，11，14，11，10，7，8（单位：℃），则（ ） A. 这组数据的极差为7 B. 这组数据的众数等于中位数 C. 这组数据的下四分位数为8 D. 这组数据的方差为 【答案】AC 【解析】 【详解】将原始数据按从小到大排序：， 所以这组数据的极差为，故A正确； 这组数据的众数为，这组数据的中位数为 ，故B不正确； 由于，所以这组数据的下四分位数为8，故C正确； 这组数据的平均数为，所以方差,故D不正确 10. 2026年3月3日是第27个全国“爱耳日”.活动的主题是“全民科学爱耳，共护听力健康——安全用耳、健康成长”.新科技产品智能降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声，设噪声声波曲线函数为，降噪声波曲线函数为，已知某噪声的声波曲线的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的单调递减区间为 D. 若，且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用图象结合正弦型函数性质分析可得B；利用振幅与相位定义计算可得A；利用正弦型函数单调性计算可得C；利用正弦型函数对称性计算可得D. 【详解】对B：由图可得，则， ，解得，又，则， ，则，故； 对A：由题意可得， 即，故A正确； 对C：令， 解得， 即的单调递减区间为，故C错误； 对D：当时，则， 由，则， 则，即， 故，故D正确. 11. 已知数列的前 项和为，若，，则（ ） A. B. 数列为递减数列 C. 任意， D. 任意， 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，代入求值即可判断；对于B，，说明，即可证明，即可判断B；对于C，求出即可判断；对于D，先证明，由，两边同时除以得，当时，利用累加法得到，即可得到，再讨论，即可判断D. 【详解】对于A，，，，故A正确； 对于B，， 当时，若，则或， 令，即，因为，故方程无解，即， 当时，或，而， 以此类推，或， 又，所以， 所以，所以， 所以数列为递减数列，故B正确； 对于C，， 所以，故C错误； 对于D，因为数列为递减数列，故， 由可得，即， 由，两边同时除以得，即， 所以当时， ，，，， 上式累加得， 即， 又，所以， 当时，，此时， 综上，，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，且，则的展开式中的常数项为________.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】先由正态分布的对称性得到a的值，然后写出二项展开式的通项公式，令x的指数为0即可求解. 【详解】随机变量，则图像关于 对称，且， 由对称性可得，解得， 的通项公式为， 当时得到展开式的常数项为. 13. 已知直线：与双曲线：的左、右两支分别相交于，两点， 为坐标原点， 为的右焦点，若，则双曲线的离心率为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据可得到，设，利用求出点坐标，代入双曲线方程结合即可求出答案. 【详解】因为， 所以可化为，即， 所以， 设，则，， 则，解得， 所以， 代入双曲线方程得，即， 根据代入整理得，即， 解得或（小于 ，舍去）， 所以. 14. 已知函数，若对任意实数 ， ，，都有，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】先对函数 进行变形，结合化简后的函数表达式，依题意条件转化，分情况讨论的取值，确定 的值域. 【详解】，由得， 依题意对任意都有， 等价于函数 值域的下确界的 倍大于等于值域的上确界， 当时，，则，因此， ，解得，结合得； 当时，，此时，恒成立，符合条件； 当时，，则，因此， 代入不等式得：，解得，结合得； 综合三种情况，的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在锐角 中，角，，的对边分别为 ，， ，且 的面积 （1）求角的大小； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式与题目给定的面积表达式建立等式，结合余弦定理 ，推导出​，再根据的取值范围求值； （2）由正弦定理将边转化为角的正弦形式，结合降幂公式与三角恒等变换，将化简为关于角的三角函数，再根据锐角三角形的条件确定的取值范围，最终求出 的取值范围. 【小问1详解】 因为，且，所以， 所以，所以， 即，由，所以； 【小问2详解】 因为，所以，， 所以 又，所以， 所以 因为 是锐角三角形，所以，得， 所以，， 所以 16. 为了测试AI象棋软件算法的有效性，棋协组织两位象棋大师甲、乙分别与象棋软件进行比赛.比赛规则如下：在一局比赛中，甲、乙两位象棋大师分别与象棋软件进行一盘比赛，每盘比赛获胜得1分，否则得0分（每盘棋都分胜负、没有平局），每盘棋比赛结果互不影响，各局之间的结果也互不影响.已知象棋大师甲、乙每盘比赛获胜的概率分别为，. （1）设前两局比赛中，两位象棋大师一共得3分为事件，象棋大师甲得2分为事件，求； （2）由于象棋软件受运行时长和散热影响，本次比赛最多进行6局，且当两位象棋大师的总得分与象棋软件的得分相差2分时比赛结束.设比赛结束时共进行了局，求的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2） 1 2 3 4 5 6 【解析】 【小问1详解】 已知象棋大师甲、乙每盘比赛获胜的概率分别为， 所以甲连胜两局的概率为，乙两局中胜一局的概率为， 所以， 前两局共得3分分为两种情况： 甲得2分，乙得1分，概率为； 甲得1分，乙得2分，概率为， 所以， 所以 【小问2详解】 每局结束后，两位大师和AI的总得分可能情况为： 甲乙都输：0分，AI：2分，分差为2分； 甲乙一胜一负：1分，AI：1分，分差为0分； 甲乙都赢：2分，AI：0分，分差为2分； 所以单局结束后继续比赛的情况为，结束比赛的概率为， 所以的可能取值为1,2,3,4,5,6， ， ， 分布列为 1 2 3 4 5 6 . 17. 在三棱锥中，，，点为 中点，平面平面. （1）证明：； （2）求三棱锥的体积； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：因为，点为 中点，所以， 又平面平面，且平面平面，平面 ， 所以平面，又平面，所以， 又点为 中点，所以是线段 的垂直平分线，所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理以及线段垂直平分线的性质证明即可； （2）利用余弦定理、三角形面积公式以及锥体的体积公式计算即可； （3）建立空间直角坐标系，结合几何性质求出相关长度，写出相应点的坐标，求出平面法向量，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，点为 中点， 所以，所以， 在 中，， 在中，， 又，所以， 所以， 由，平面，点为 中点， 所以三棱锥的体积为： . 【小问3详解】 由平面平面，， 所以以为坐标原点，分别为轴，过点垂直于平面 的直线为 轴， 建立如图所示的平面直角坐标系， 根据题意可知 轴所在直线在平面内， 所以， 设，则在平面中，因为，所以为钝角， 过 作 垂直于 的延长线于点 ，如图所示： 由，所以， 在直角三角形中，， 所以，所以， 设平面的一个法向量为，又， 则， 令，，所以， 设平面的一个法向量为，又， 则， 令，，所以， 设平面与平面所成的夹角为 ，由图可知 为锐角， 所以. 18. 已知抛物线 ：与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为，，且. （1）求抛物线 的方程； （2）设直线与抛物线 交于，两点， 为坐标原点， 为 的焦点. （i）若，且 的中点为 ，求 到 轴距离的最小值； （ii）若已知直线：，且，设数列的前 项和为，证明：. 【答案】（1） （2）（i）； （ii）证明：因为， 所以. 当时，， 所以 ，即； 当时，， 即成立. 【解析】 【分析】（1）求出双曲线渐近线，求出交点，坐标，结合，从而求出抛物线方程. （2）（i）设出直线，联立抛物线，根据题干信息结合韦达定理得到，再根据中点坐标公式表示 点坐标，再利用换元的方式将问题转化为，借助对勾函数的图象和性质求出最终答案. （ii）根据抛物线的焦半径特点求出，从而得，当时，利用放缩法得，从而证得，当时，易得也成立. 【小问1详解】 双曲线中，​，渐近线方程为， 联立渐近线与抛物线， 将代入抛物线得对应交点为， 则​，解得， 故抛物线 的方程为. 【小问2详解】 （i）设直线，联立得，则， 弦长，故，   中点 到 轴距离为，代入得 ， 令，则，根据对勾函数图象和性质可知函数在上函数单调递增， 最小值为​，故 到 轴距离的最小值为. （ii）略 19. 已知函数，其中. （1）当 时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，恒成立，求 的取值范围； （3）当 ，且时，证明：函数有且仅有两个零点. 【答案】（1） （2） （3）证明：设，当 时，，， 则，，， 令，则， 当时，，所以在上单调递减， 又因为，， 所以存在唯一的使得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 又，，且在处取得极大值， 因为，所以，； 因此，在和各有一个零点， 所以函数在有且只有两个零点. 【解析】 【分析】(1)代入求出切点坐标，对函数求导得到切线斜率，利用点斜式求出切线方程并化简 (2)化简不等式分离参数 ，求导分析其单调性，找到最大值即为 的下界 (3)化简表达式，求导确定单调区间，计算特殊点函数值及极限，利用零点存在定理判断零点分布 【小问1详解】 ，，即切点为； ，，利用点斜式可得切线方程为. 【小问2详解】 由恒成立，得，化简得： ， 即，即 设，，令，解得 ， 所以时，单调递增，时，单调递减， 所以在 处取极大值，，故. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 高三数学 班级________姓名________ 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数在复平面内表示的点在直线上，则复数 的共轭复数（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 中国古代有一种盛米的重要容器叫“方斗”，其形状是一个上大下小的正四棱台，如图.已知一“方斗”上底面边长为3，下底面边长为1，若从这个恰好盛满米的“方斗”中取出38斤米后，米的高度下降了一半，则剩余的米的质量为（ ） A. 14斤 B. 24斤 C. 38斤 D. 56斤 5. 已知数列的各项均为整数，，，前10项依次成等差数列，从第9项起依次成等比数列，则（ ） A. 7 B. 9 C. 11 D. 13 6. 已知平面向量，，，若，在上的投影向量相等，且 ，，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 7. 已知直线与圆交于两点，，直线与椭圆切于点 ，若以，两点为切点的圆的两条切线交于点 ， 为坐标原点，则（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 8. 已知平行六面体的所有棱长均为2， 为 的中点，且平面 ，若直线与底面 的夹角为，则三棱锥的外接球被平面截得的截面面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. “沾衣欲湿杏花雨，吹面不寒杨柳风”，惊蛰过后，杏花绽放、春风和煦，正是春游赏花的好时节.已知某旅游景区近一周的最低气温如下：9，11，14，11，10，7，8（单位：℃），则（ ） A. 这组数据的极差为7 B. 这组数据的众数等于中位数 C. 这组数据的下四分位数为8 D. 这组数据的方差为 10. 2026年3月3日是第27个全国“爱耳日”.活动的主题是“全民科学爱耳，共护听力健康——安全用耳、健康成长”.新科技产品智能降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声，设噪声声波曲线函数为，降噪声波曲线函数为，已知某噪声的声波曲线的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的单调递减区间为 D. 若，且，则 11. 已知数列的前 项和为，若，，则（ ） A. B. 数列为递减数列 C. 任意， D. 任意， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，且，则的展开式中的常数项为________.（用数字作答） 13. 已知直线：与双曲线：的左、右两支分别相交于，两点， 为坐标原点， 为的右焦点，若，则双曲线的离心率为________. 14. 已知函数，若对任意实数 ， ，，都有，则实数 的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在锐角 中，角，，的对边分别为 ， ， ，且 的面积 （1）求角的大小； （2）若，求的取值范围. 16. 为了测试AI象棋软件算法的有效性，棋协组织两位象棋大师甲、乙分别与象棋软件进行比赛.比赛规则如下：在一局比赛中，甲、乙两位象棋大师分别与象棋软件进行一盘比赛，每盘比赛获胜得1分，否则得0分（每盘棋都分胜负、没有平局），每盘棋比赛结果互不影响，各局之间的结果也互不影响.已知象棋大师甲、乙每盘比赛获胜的概率分别为，. （1）设前两局比赛中，两位象棋大师一共得3分为事件，象棋大师甲得2分为事件，求； （2）由于象棋软件受运行时长和散热影响，本次比赛最多进行6局，且当两位象棋大师的总得分与象棋软件的得分相差2分时比赛结束.设比赛结束时共进行了局，求的分布列及数学期望. 17. 在三棱锥中，，，点为 中点，平面平面. （1）证明：； （2）求三棱锥的体积； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知抛物线 ：与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为，，且. （1）求抛物线 的方程； （2）设直线与抛物线 交于，两点， 为坐标原点， 为 的焦点. （i）若，且 的中点为 ，求 到 轴距离的最小值； （ii）若已知直线：，且，设数列的前 项和为，证明：. 19. 已知函数，其中. （1）当 时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，恒成立，求 的取值范围； （3）当 ，且时，证明：函数有且仅有两个零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $