解答题77分三轮冲刺保分强化训练(19)-2026届高三数学三轮冲刺复习(新高考适用)

解答题77分三轮冲刺保分强化训练(19) 第1组 (时间：75分钟分值：77分) 1．（2026·山西运城·一模）设正项数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式; (2)若，记数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用的关系，结合已知条件以及等差数列的通项公式即可求得结果； （2）根据（1）中所求，应用放缩及等比数列的前n项和公式求得，即可证明. 【解析】（1）依题意，当时，，，则； 当时，，，两式相减， 整理可得，又为正项数列，故， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以. （2）证明：由（1）可知，所以，显然， 当，则，即， 此时， 综上，成立. 2．（25-26高三下·江苏扬州·月考）已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为且． (1)求角B的大小； (2)求周长的最大值． 【答案】(1)； (2)3 【解题思路】（1）根据正弦定理边角互换，将边长对应换成正弦，再根据两角和与差打开化简合并即可. （2）根据余弦定理可得出关系式，再根据基本不等式即可求解最值. 【解析】（1）由及， 得， 根据正弦定理得． 因为，且为锐角三角形． 所以， 即， 即， 因为△ABC为锐角三角形，所以． 因此， 又，故； （2）由余弦定理知：， 即， 当且仅当时等号成立，此时△ABC为等边三角形，符合题意； 所以． 因此周长为， 即周长最大值为3． 3．（2026·天津和平·一模）在直四棱柱中，底面是平行四边形，且，，，，分别为，的中点． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积 【答案】(1) (2) (3)1 【解题思路】建立空间直角坐标系，利用空间向量可求线面角，面面角和点到平面的距离进而即得. 【解析】（1）由，直四棱柱，有平面， 故以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 易知， 由分别为的中点，故． 易知， 设平面的法向量为， 则， 令，则， 设直线与平面所成角为， 则直线与平面所成角的正弦值为． （2）设平面的法向量为， 则， 令，则， 设平面与平面的夹角为， 则平面与平面的夹角的余弦值为． （3）设点到平面的距离为． 由，有，故． 4．（2026·广西河池·二模）已知抛物线，过上一动点作斜率为2的直线与交于另一点，当点与原点重合时，． (1)求． (2)当不经过点时，直线与交于另一点，直线与交于另一点． （i）证明：； （ii）试判断直线与是否交于定点，若是，请求出定点的坐标，否则，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）直线与交于定点． 【解题思路】（1）联立直线方程求出点，再由计算可得； （2）（i）将直线与抛物线联立，可知，再将直线的方程与抛物线联立，同理联立直线，整理可得，即； （ii）求出直线的方程为，可知直线与交于定点. 【解析】（1）当点与原点重合时，直线过原点且斜率为2，其方程为， 联立得，解得或，所以． 所以，解得． （2）由（1）知，设，直线． 联立与，得， 所以且． （i）设，如下图： 直线过点和，设直线的方程为， 联立，得，则， 整理可得．① 同理，对于直线，可得．② 因为，所以，③ 由①②作商，结合③，得，即． 所以， 所以． （ii）设的中点为的中点为，因为，所以直线， 又因为，所以与的交点即直线与的交点． 由②③，得，所以． 直线的斜率， 直线的方程为． 在该方程中，令，可得，所以直线与交于定点， 故直线与交于定点． 5．（2026·河北廊坊·一模）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减；在上单调递增 (2) 【解题思路】（1）先对进行求导，再利用导数和单调性的关系求解即可； （2）利用（1）可知单调性分类讨论，再求解即可. 【解析】（1）由题意得， 当时，，在上单调递减， 当时，令，，是增函数， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减；在上单调递增. （2）当时，由（1）知在上单调递减，不合题意， 当时，恒成立， 当时，由（1）知在上单调递减；在上单调递增， ， 即，解得， 综上，实数m的取值范围为. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 第2组 (时间：75分钟分值：77分) 1．（2026·湖南·三模）在中，已知，且． (1)求角的大小； (2)若，为中点，且，求的面积． 【答案】(1) (2)1 【解题思路】（1）利用降幂公式，结合正弦型函数的性质求解即可； （2）法一：由余弦定理可分别求出，，再根据两角互补可求出，可求出，由正弦定理可求出，根据三角形面积公式即可求解，法二：在中，由余弦定理可求，在中，由余弦定理得，可求出，再有面积公式即可求解. 【解析】（1）， ，即， ， 或， 又，为三角形的内角且，，． （2）法一：在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理，得， 又因为，所以，又因为中点， 所以，故， 化简可得， 故，在中， 由正弦定理得，所以， 在中，， 所以，可得， 所以三角形是等腰直角三角形，故， 所以，． 法二：在中，由余弦定理得，① 在中，因为为中点，所以， 由余弦定理得，② 由②-①，得，③ 将，代入③式，解得，， 将，代入②式，解得， 所以的面积． 2．（2026·重庆·一模）如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且． (1)求证：平面； (2)已知为线段中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）根据勾股定理、线面垂直的性质及线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，结合向量法求线面角求解即可. 【解析】（1）在三棱柱中，，， ，则. 又四边形是正方形，则，，所以. 又，平面，因此平面. 又平面，所以. 在等边中，为中点，则， 又，平面，所以平面. （2） 取中点为，中点为，则，. 由（1）知，平面，平面，则.又，故. 又，平面，则平面. 即两两垂直. 以为坐标原点，，，的方向为轴､轴､轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 因为为线段中点，所以. ，，. 设平面的法向量为， 则，即，故可取. 设直线与平面所成角为， 则 所以直线与平面所成角的正弦值为. 3．（2026·湖南郴州·三模）随着新能源产业的发展，我市近年来新能源汽车保有量快速增长，为了研究我市充电桩建设的情况，能源部门收集到了2021年到2025年充电桩数量（单位：万个），为方便研究，年份代码用表示（如：表示2021年），具体参考数据如下表： 统计量 数值 55 72.6 21 (1)请根据表中数据，建立关于的回归直线方程； (2)现对该市某区域现有的9个充电桩进行检查，其中4个为快充桩，随机抽取3个充电桩进行检查，记抽到的快充桩个数为，求的分布列及均值. （参考公式：） 【答案】(1) (2) X 0 1 2 3 P . 【解题思路】（1）根据回归直线方程的计算方法求得回归直线方程. （2）根据超几何分布的知识求得分布列并求得数学期望. 【解析】（1）， , .所以，回归直线方程为. （2）由题意知随机变量的可能取值为，则： ， ， ， ， X 0 1 2 3 P 故均值. 4．（2026·天津·一模）已知椭圆过点，且离心率为，右顶点为，上顶点为． (1)求椭圆的方程； (2)已知斜率为的直线与椭圆有唯一公共点，与y轴交于点，过点与直线平行的直线交x轴于点，若线段的中点在直线上，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）利用椭圆过的点与椭圆的基本性质求解椭圆方程即可. （2）联立方程组得到，利用直线与椭圆的位置关系得到，再结合题意与中点坐标公式得到，最后结合题意求解出参数，得到目标直线方程即可. 【解析】（1）因为椭圆过点，且离心率为， 所以，解得，则椭圆的方程为. （2）如图，设的方程为，设，， 联立方程组，可得， 解得，，则， 因为直线与椭圆有唯一公共点，所以直线与椭圆相切， 得到，解得， 由题意得，，则的斜率是， 而过点与直线平行的直线交x轴于点， 则该直线方程为，令，解得，得到， 设线段的中点为，由中点坐标公式得， 因为在直线上，所以， 化简得，而，，故解得， 代入中，得到，解得， 则的方程为或. 5．（25-26高三下·安徽·月考）已知函数在时取得极值. (1)求，并讨论的单调性. (2)设是公比为的等比数列. （i）若，证明：. （ii）是否存在满足：，均为正整数且，使得成等差数列？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)，在上单调递增，在上单调递减 (2)（i）证明见解析（ii）存在，2和3 【解题思路】（1）先求导，再解出，然后讨论的单调性即可. （2）（i）先写出的通项公式，再代入得到的表达式，再用错位相减法列出比较即可. （ii）根据等差中项性质列出等式，将用表示，代入等式得到关于的方程再根据，对取值讨论，判断是否存在符合条件的. 【解析】（1）由题意得的定义域为. 令，得，即. 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. （2）（i）由（1）可知，所以， 记，则， ， 所以. 因为，所以， 所以. （ii）若成等差数列，则， 即，整理得， 又因为，所以，所以，得. 要满足题意，只需考虑和. 当时，，所以，符合题意； 当时，，所以，符合题意. 下面说明，当时，不存在满足条件的： 令，则， 令，则当时，， 故在上单调递减，当时，， 即，所以在上单调递减. 所以时，， 因为，所以，即， 故当时，，由于， 故或，若，则，得，不符合题意； 若，则， 由于（因为），而（因为）， 结合的单调性，可知，无整数解， 综上，满足条件的的取值仅有2和3. $解答题77分三轮冲刺保分强化训练(19) 第1组 (时间：75分钟分值：77分) 1.(2026山西运城一模)设正项数列{an}的前n项和为Sn,且2S。=a2+an (I)求{an}的通项公式， ②若6，=2二，记数列么的前n项和为，证明：乙<2. 2.(25-26高三下.江苏扬州月考)已知锐角△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,b=1且 2e-a-2sin C) (I)求角B的大小： (②)求△ABC周长的最大值. 3.(2026天津和平.一模)在直四棱柱ABCD-A,B,C,D,中，底面ABCD是平行四边形，且AB=2AD=4, DD,=2V3,AD⊥BD,Q,H分别为AA,,D,B的中点 D C A B 、H B (I)求直线QH与平面HBC所成角的正弦值： (2)求平面QBH与平面HBC的夹角的余弦值； (3)求三棱锥Q-HBC的体积V 4.(2026广西河池·二模)已知抛物线E:y2=2x(p>0),过E上一动点A作斜率为2的直线L,1与E交于另一点 B,当点A与原点O重合时，AB=V5 (1)求p. (2)当I不经过点N(4,1)时，直线AN与E交于另一点C,直线BN与E交于另一点D. (i)证明：AB/ICD; (i)试判断直线AD与BC是否交于定点，若是，请求出定点的坐标，否则，请说明理由. 5.(2026河北廊坊一模)已知函数∫x=e1+mx,meR. (I)讨论∫(x)的单调性； (2)若f(x)≥0恒成立，求实数m的取值范围. 第2组 (时间：75分钟分值：77分) 1.(2026湖南·三模)在ABC中，已知cos2A-cos2B=sinAcos4-sinBcosB,且A≠B. (1)求角C的大小； (2)若AB2+AC2=6,D为BC中点，且AD=1,求ABC的面积. 2.(2026重庆·一模)如图，在三棱柱ABC-A,BC,中，ABC为等边三角形，四边形BCC,B是边长为2的正方形， D为AB中点，且AD=V5. D-: (I)求证：CD⊥平面ABB,A,; (②)己知P为线段B,C中点，求直线AP与平面A,CD所成角的正弦值. 4 3.(2026湖南郴州·三模)随着新能源产业的发展，我市近年来新能源汽车保有量快速增长，为了研究我市充电桩 建设的情况，能源部门收集到了2021年到2025年充电桩数量y(单位：万个)，为方便研究，年份代码用x表示 （如：x=1表示2021年)，具体参考数据如下表： 统计量 2 il il 数值 72.6 21 (①)请根据表中数据，建立y关于x的回归直线方程)=6x+a: (2)现对该市某区域现有的9个充电桩进行检查，其中4个为快充桩，随机抽取3个充电桩进行检查，记抽到的快充 桩个数为X,求X的分布列及均值 2xy-万 (参考公式：6= —,à=-b) - i=1 4.(2026天津一模)已知椭圆×+少 左车a>b>0过点，且离心率为号石顶点为A,上顶圆 (1)求椭圆的方程； (②)已知斜率为k(k≠0)的直线I与椭圆有唯一公共点P,与y轴交于点Q,过点Q与直线AB平行的直线交x轴于点 M,若线段PM的中点在直线x-2y=0上，求直线1的方程. 5.(25-26高三下安徽月考)已知函数f(x)=血x在x=x,时取得极值 (I)求x,并讨论f(x)的单调性 (2)设{an}是公比为q的等比数列 (i)若a1=q=x,证明：fa+f(a2+…+f(an<1 (ii)是否存在{an}满足：a,a2,a3,q均为正整数且9>1，使得fa1,f(a2),fa,成等差数列？若存在，求出所 有满足条件的q;若不存在，请说明理由 6