解答题77分三轮冲刺保分强化训练(20)-2026届高三数学三轮冲刺复习(新高考适用)

解答题77分三轮冲刺保分强化训练(20) 第1组 (时间：75分钟分值：77分) 1．（2026·山东泰安·模拟预测）已知数列、的前n项和分别为、，，，为等比数列且，. (1)求、； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）先由的递推关系式可构造一个等差数列，进而可得，再根据与的关系可得，对于求可用等比数列的前n项和性质解得，也可根据前n项和公式解得； （2）直接裂项求和可得，即可按裂项，也可按裂项可得. 【解析】（1）由得，即， 又，是以为首项，2为公差的等差数列， ，， 时，， 时，，符合上式， 综上， 求方法一： 设公比为，由，得， ，.. 求方法二： 若，则.， ，. （2）由（1）知，， （拆项方法二）：， 2．（2026·湖北十堰·二模）在中，内角A，B，C的对边分别为，，． (1)求； (2)若M为边上一点，，，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)等边三角形，理由见解析 【解题思路】（1）根据二倍角公式及正弦定理求解即可. （2）根据三角形面积公式得到，结合余弦定理即可求出，的值，得到为等边三角形． 【解析】（1）解：，， ， 由正弦定理得，， 即，又， ，即， 又，； （2）解： 由（1）知，，又， 所以，即平分. 因为，， ， 所以，即， 在中，， 即，解得或（舍去）， 所以，解得，所以为等边三角形. 3．（2026·江西赣州·二模）2025年举办的江西省城市足球联赛（简称“赣超”）深受广大市民的喜爱，66个场次累计123万人次现场观看了比赛.为了解喜欢观看“赣超”联赛与性别是否有关系，随机抽取了部分市民，调查他们是否喜欢观看“赣超”联赛的情况，得到如下表格： 性别 不喜欢观看“赣超”联赛 喜欢观看“赣超”联赛 男性 25 150 女性 50 75 (1)是否有99%的把握认为喜欢观看“赣超”联赛与性别有关； (2)用频率估计概率，从喜欢观看“赣超”联赛的市民中随机抽取3人参加抽奖活动，记这3人中女性人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：，（结果精确到0.001）． α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)有99%的把握认为喜欢观看“赣超”联赛与性别有关，利用独立性检验思想判断 (2)分布列： 0 1 2 3 【解题思路】（1）通过列联表计算出值，结合独立性检验与临界值比较即可. （2）确定随机变量的值，根据二项分布概率计算公式得到分布列，进而求出数学期望. 【解析】（1）假设：喜欢观看“赣超”联赛与性别无关， ， 则假设不成立，即有99%的把握认为喜欢观看“赣超”联赛与性别有关. （2）喜欢观看“赣超”联赛的市民中女性的概率为：，则. 的可能取值为0，1，2，3. ，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 则. 4．（25-26高三下·河南新乡·月考）已知椭圆E：的右焦点为，过E的右顶点A和下顶点B的直线的斜率为． (1)求E的方程． (2)若直线与E交于M，N两点（均异于点B），记直线BM和直线BN的斜率分别为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据已知条件列出关于的两个方程，再解出即可； （2）将直线和椭圆联立，利用韦达定理即可化简并求出结果. 【解析】（1） 由有；而，，故. 所以，从而，故. 所以的方程是. （2）设，，将直线与联立：. 将直线代入椭圆，得到. 展开即为. 故，. 由于不在直线上，故，即， 从而 . 所以. 5．（2026·四川广安·二模）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)设，当时，在上的极小值点为，求证：． 注： 【答案】(1)当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增. (2)证明见解析 【解题思路】（1）对函数求导后，根据的取值分类讨论函数的单调性即可； （2）依题意求出，由可得，利用零点存在定理推理得到，求出并化简得，再利用其单调性即可证明. 【解析】（1）由求导得， 当时，，则函数在上单调递增； 当时，由可得， 当时，，当时，. 则函数在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，，， 则，因在上的极小值点为， 则，即得①， 因，，由零点存在定理，可得， 将① 代入，得， 因为该函数在上单调递减，则，故得证. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 第2组 (时间：75分钟分值：77分) 1．（25-26高三下·上海·月考）已知，. (1)求的最小正周期和极大值点； (2)已知锐角的内角、、的对边分别为、、，且，，求边上的高的最大值. 【答案】(1)，极大值点为， (2) 【解题思路】（1）整理得，可得其最小正周期及极大值点； （2）由，可得，设边上的高为，所以有，由余弦定理可知，得出，最后可得最大值. 【解析】（1）由已知，最小正周期为. 当，时，即，时，函数单调递减； 当，时，即，时，函数单调递增； 所以函数的极大值点为，. （2）由得，而，故，. 由余弦定理可知：，故. 设边上的高为，所以有，故. 而，故，所以，当时，取等号. 所以，因此边上的高的最大值. 2．（2026·上海闵行·二模）如图，圆柱的轴截面是边长为4的正方形，为底面圆的一条直径，且. (1)求异面直线与所成角的大小（用反三角表示）； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，把异面直线所成角转化为两条异面直线的方向向量的夹角求解 （2）通过（1）空间直角坐标系利用向量运算求点到平面距离 【解析】（1）根据题意建立以底面圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，垂直于方向为轴的空间直角坐标系， 则，，，，， 因为，所以， 所以，， ，， 设异面直线所成角为，则 所以异面直线与所成角为 （2），，， 设平面的法向量为， 则由，，得，令，则， 所以 设点到平面的距离为，则 3．（22-23高三上·江苏常州·月考）已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到准线的最短距离为，且椭圆上的点到焦点的距离的最大值为3.设点分别为椭圆的右顶点和左焦点，过点的直线交椭圆于点，直线分别与直线交于点. (1)求椭圆的方程； (2)证明：直线和直线的斜率之积为定值； (3)求与面积之和的最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）根据已知条件求得，，从而求得椭圆的方程. （2）设出直线的方程并与椭圆的方程联立，化简写出根与系数关系，求得、两点的坐标，进而计算出直线和直线的斜率之积为定值. （3）结合（2），求得与面积之和的表达式，利用基本不等式或二次函数的性质来求得其最小值. 【解析】（1）依题意可得：，求解得， 所以椭圆的方程为：. （2）如图： 设直线的方程为：，，，， 则，化简得：， 即， 由于在椭圆内，所以直线与椭圆必有个交点， 所以，， 方程，得出， 同理可得：，， 所以，， 所以 为定值. （3）由题意可得：， ， ， ， 当且仅当时取“， 所以“. 4．（2026·福建厦门·二模）设函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增； (2)证明见解析. 【解题思路】（1）先求出导函数，再对分情况讨论，分别求出函数的单调区间； （2）由（1）可知当时，的最小值为，令，利用导数得到的最小值为， 所以，即证得. 【解析】（1）函数的导数为， 当时，恒成立，故，所以在上单调递增； 当时，令 ，得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上所述：当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增. （2）由（1）知，当时，在处取得最小值， 因此，对任意，有. 只需证明 ，即 令，. 求导得， ，故在上单调递增. 由知，当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增. 所以在处取得最小值. 因此，即成立，等号当且时取得. 5．（25-26高三上·山西长治·月考）共享交通工具的出现极大地方便了人们的生活，也是当下很好的商机．某公司根据市场发展情况推出共享单车和共享电动车两种产品．经市场调查发现，由于两种产品中共享电动车速度更快，故更受消费者欢迎．使用共享电动车的概率为，使用共享单车的概率为．该公司为了促进消费，用户使用共享电动车一次积2分，使用共享单车一次积1分，积分可以兑换礼品．每个市民各次使用共享交通工具选择意愿相互独立，市民之间选择意愿也相互独立． (1)求某市民使用了3次共享交通工具后积分为5分的概率； (2)从首次使用共享交通工具的市民中随机抽取3人，记总积分为随机变量，求的分布列和数学期望； (3)记某市民已使用该公司共享交通工具的累计积分恰为分的概率为，比如：表示累计积分为1分的概率，表示累计积分为2分的概率，试探求与之间的关系，并求数列的通项公式． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)， 【解题思路】（1）由二项分布的概率计算公式可得结果； （2）由二项分布的概率公式和数学期望的计算公式可得结果； （3）方法1：由累计积分恰为分的概率和积分不到分的概率相加为1可得，利用构造法可求得数列的通项公式；方法2：由，利用构造法可求得与之间的关系以及数列的通项公式. 【解析】（1）设事件为“某市民使用了3次共享交通工具后积分为5分”，则 ． （2）依题意：随机变量的可能取值为3，4，5，6，则 ，， ，． 的分布列为 3 4 5 6 所以数学期望． （3）方法1：使用共享交通工具的累计积分恰为分的概率为， 积分跳过分的情况只有先积分，再积2分，概率为，其中， 因为，即， 所以， 故是首项为，公比为的等比数列， 所以，即． 方法2：由题意可知， 则，因为， 所以，即， 所以， 故是首项为，公比为的等比数列， 所以，即． $ 解答题77分三轮冲刺保分强化训练(20) 第1组 (时间：75分钟分值：77分) 1．（2026·山东泰安·模拟预测）已知数列、的前n项和分别为、，，，为等比数列且，. (1)求、； (2)求数列的前n项和. 2．（2026·湖北十堰·二模）在中，内角A，B，C的对边分别为，，． (1)求； (2)若M为边上一点，，，判断的形状，并说明理由． 3．（2026·江西赣州·二模）2025年举办的江西省城市足球联赛（简称“赣超”）深受广大市民的喜爱，66个场次累计123万人次现场观看了比赛.为了解喜欢观看“赣超”联赛与性别是否有关系，随机抽取了部分市民，调查他们是否喜欢观看“赣超”联赛的情况，得到如下表格： 性别 不喜欢观看“赣超”联赛 喜欢观看“赣超”联赛 男性 25 150 女性 50 75 (1)是否有99%的把握认为喜欢观看“赣超”联赛与性别有关； (2)用频率估计概率，从喜欢观看“赣超”联赛的市民中随机抽取3人参加抽奖活动，记这3人中女性人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：，（结果精确到0.001）． α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 4．（25-26高三下·河南新乡·月考）已知椭圆E：的右焦点为，过E的右顶点A和下顶点B的直线的斜率为． (1)求E的方程． (2)若直线与E交于M，N两点（均异于点B），记直线BM和直线BN的斜率分别为，证明：． 5．（2026·四川广安·二模）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)设，当时，在上的极小值点为，求证：． 注： ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 第2组 (时间：75分钟分值：77分) 1．（25-26高三下·上海·月考）已知，. (1)求的最小正周期和极大值点； (2)已知锐角的内角、、的对边分别为、、，且，，求边上的高的最大值. 2．（2026·上海闵行·二模）如图，圆柱的轴截面是边长为4的正方形，为底面圆的一条直径，且. (1)求异面直线与所成角的大小（用反三角表示）； (2)求点到平面的距离. 3．（22-23高三上·江苏常州·月考）已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到准线的最短距离为，且椭圆上的点到焦点的距离的最大值为3.设点分别为椭圆的右顶点和左焦点，过点的直线交椭圆于点，直线分别与直线交于点. (1)求椭圆的方程； (2)证明：直线和直线的斜率之积为定值； (3)求与面积之和的最小值. 4．（2026·福建厦门·二模）设函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 5．（25-26高三上·山西长治·月考）共享交通工具的出现极大地方便了人们的生活，也是当下很好的商机．某公司根据市场发展情况推出共享单车和共享电动车两种产品．经市场调查发现，由于两种产品中共享电动车速度更快，故更受消费者欢迎．使用共享电动车的概率为，使用共享单车的概率为．该公司为了促进消费，用户使用共享电动车一次积2分，使用共享单车一次积1分，积分可以兑换礼品．每个市民各次使用共享交通工具选择意愿相互独立，市民之间选择意愿也相互独立． (1)求某市民使用了3次共享交通工具后积分为5分的概率； (2)从首次使用共享交通工具的市民中随机抽取3人，记总积分为随机变量，求的分布列和数学期望； (3)记某市民已使用该公司共享交通工具的累计积分恰为分的概率为，比如：表示累计积分为1分的概率，表示累计积分为2分的概率，试探求与之间的关系，并求数列的通项公式． $