9.3旋转强化提升专练2025-2026学年苏科版七年级数学下册

9.3旋转强化提升专练 一、知识点核心定义 旋转是平面内图形运动的基本形式之一，属于“全等变换”（不改变图形的形状和大小）。在平面内，将一个图形绕着一个固定的点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。 核心术语：固定的点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角，旋转后与原图形重合的点叫做对应点（旋转点）。 关键关联：旋转与平移、轴对称同属全等变换，核心区别是：平移是“沿直线移动”，轴对称是“沿直线翻折”，旋转是“绕定点转动”，三者可对比特征理解记忆，避免混淆。 二、旋转的核心要素 旋转的三个核心要素是判断图形运动是否为旋转、进行旋转作图、计算旋转相关问题的关键，三者缺一不可。 1. 旋转中心：一个固定不动的点（可以是图形上的点，也可以是图形外的点），图形绕着这个点旋转，旋转中心的位置始终不变。 2. 旋转方向：图形转动的方向，常见的有顺时针（与钟表指针转动方向一致）和逆时针（与钟表指针转动方向相反），方向固定不变。 3. 旋转角：图形绕旋转中心转动的角度，即任意一对对应点与旋转中心连线的夹角，所有对应点与旋转中心连线的夹角都相等，且等于旋转角。 记忆口诀：旋转有三要素，中心方向和角度；中心固定不移动，方向顺逆要分清，夹角相等是旋转角。 三、旋转的基本性质 旋转前后的两个图形（原图形和旋转后的图形）具有以下性质，是解题、作图的核心依据，需熟练掌握： 1. 旋转前后的两个图形完全一致（形状、大小完全相同，对应边、对应角均相等）； 2. 对应点：对应点到旋转中心的距离相等（即旋转中心到任意一对对应点的距离相等）； 3. 旋转角：任意一对对应点与旋转中心连线的夹角都相等，且等于旋转角； 4. 对应线段：对应线段相等，对应线段的夹角等于旋转角（或与旋转角互补）； 5. 对应角：对应角相等，旋转不改变图形的形状和大小，仅改变图形的位置和方向。 四、旋转作图的一般步骤 1. 第一步：找关键点：找出原图形中的关键顶点、端点、交点（如三角形的三个顶点、线段的端点），关键点的数量根据图形复杂程度确定，确保能确定图形的形状和位置。 2. 第二步：连线段：分别连接每个关键点与旋转中心，得到线段（如关键点A与旋转中心O连接，得到线段OA）。 3. 第三步：作旋转角：以旋转中心为顶点，以第二步连接的线段为一边，按指定的旋转方向，用量角器画出等于旋转角的角，角的另一边即为旋转后线段的位置。 4. 第四步：取等距：在旋转角的另一边，截取与原线段（如OA）长度相等的线段（如OA'），点A'即为关键点A的对应点（旋转点）。 5. 第五步：顺次连接：按照原图形的顺序，依次连接所有关键点的对应点，得到旋转后的图形。 6. 第六步：检验验证：检查对应点到旋转中心的距离是否相等，对应线段、对应角是否相等，旋转角是否符合要求，确保作图准确。 记忆口诀：定点（找关键点）、连中心（连关键点与旋转中心）、作转角（画旋转角）、取等距（找对应点）、连点成形（顺次连接）。 记忆口诀：定点（找关键点）、连中心（连关键点与旋转中心）、作转角（画旋转角）、取等距（找对应点）、连点成形（顺次连接）。 强化提升专练 一、单选题 1．下列图形中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．平行四边形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．菱形 3．如图，四边形经过旋转后与四边形重合，下面说法中不一定正确的是（    ）    A．点是旋转中心 B． C． D． 4．下列说法正确的是（　　） A．图形的平移后，对应点连线长度等于平移距离，并且对应点的连线一定平行 B．图形的旋转中，旋转中心是对应点连线段的交点 C．图形的旋转后，对应点和旋转中心连线的夹角等于旋转角 D．两个图形关于一条直线成轴对称，连接对称点的线段和对称轴互相垂直平分 5．“勾股定理”最早记载于中国古代《周髀算经》，中国古代用来证明勾股定理的“赵爽弦图”（下图）被称为“中国古代数学的图腾”．它曾作为2002年在我国举行的第24届国际数学家大会的会徽图案．下列关于“赵爽弦图”说法正确的是（   ） A．既是轴对称图形又是中心对称图形 B．是轴对称图形，不是中心对称图形 C．是中心对称图形，不是轴对称图形 D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形 6．如图，将绕着旋转中心P旋转得到，则旋转中心P的坐标为（    ）    A． B． C． D． 7．如图，把以点为中心顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，线段，相交于点，连接，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 8．将一副三角板按如图方式叠放在一起，且B，C，D在同一直线上，现将三角板绕点C顺时针方向旋转度，使三角板和三角板一组边互相平行，相应的值有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 9．如图是一台水泵的叶轮平面示意图，它绕着圆心旋转最小度数为________后可以与自身重合．    10．在平行四边形、矩形、等腰三角形、线段、菱形中既是轴对称图形又是中心对称图形的有______个 11．如图，把以点为中心逆时针旋转得到，若，则___________． 12．如图，与是全等三角形，那么可以看作是由以为旋转中心，旋转__________度形成的． 13．如图，将（）绕点逆时针旋转得到，则_____． 14．如图，将绕点逆时针旋转α，得到，若点恰好在的延长线上，则的度数为____．    15．如图，将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在边上．若，．则的长为______． 16．如图，已知正八边形，分别连接，其中交于点，交于点，交于点，交于点，则关于正八边形中心的对称三角形是______． 17．如图，半径为3厘米的半圆的初始状态是直径垂直于桌面上的直线b，然后把半圆沿直线b从左往右进行无滑动滚动，滚动至半圆的直径与直线b重合为止，则圆心O运动的路径的长度等于__________厘米．（结果保留） 18．如图，分别过直线上的点和点作射线、，，，射线从开始绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时射线从开始绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，在射线旋转一周的过程中，经过____秒，射线、射线所在的直线互相垂直． 三、解答题 19．如图，在所给的格点图形中． (1)画出向下平移4个单位后的； (2)画出关于点O成中心对称的图形； (3)画出绕点O顺时针旋转后的． 20．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，求的度数． 21．如下图，点在直线上，过点作射线，一直角三角板的直角顶点与点重合，边与重合，边在直线的下方．若三角板绕点按逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当直线恰好平分锐角时，求旋转的度数． 22．【问题背景】 一副三角板按图1的形式摆放，其中两个直角顶点重合在C点处，，，把含角的三角板固定，含角的三角板ABC绕直角顶点C逆时针旋转，设旋转的角度为在旋转过程中，点B在直线的上方． (1)【操作发现】如图2所示，若，则的度数为 ． (2)直接写出和之间的数量关系： ． (3)【深入探究】三角板在旋转的过程中，这两块三角板是否存在有两边互相平行的情况？若存在，请直接写出所有可能平行的情况，若不存在，请说明理由； (4)选择（3）中的一种情形，画出图形，求出α的度数． 23．实践与探究 【问题提出】已知三条射线、、，若其中一条射线平分另两条射线所组成的角时（如下图中），我们称、、组成的图形为“角分图形”． 【问题探究】在一次数学活动课上，小明和小亮同学用一个含角的直角三角板做分角实验.如图1，在直线上取一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． 小明同学将图1中的三角板绕点逆时针旋转，使一边在的内部，如图2．小明发现此时、、组成的图形为“角分图形”，请说明理由． 【类比探究】 小亮同学将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，发现射线、、恰好构成“角分图形”，请求出的值． 【问题拓展】 小明同学将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图3，使在的内部，问题：在旋转过程中，与的差是否发生变化?若不变，请求出这个差值；若变化，请求出差的变化范围． 试卷第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D D C C D C D 1．C 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形是中心对称图形，故此选项符合题意； D．该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．D 【详解】解：A、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、等腰三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、直角三角形可能是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 3．D 【详解】解：A. 点是旋转中心,说法正确，故此选项不符合题意； B.由旋转得：，所以，说法正确，故此选项不符合题意； C.,说法正确，故此选项不符合题意； D，与不一定相等，故此选项符合题意； 故选：D． 4．C 【详解】解：A：平移后对应点连线长度等于平移距离，但对应点连线可能共线而非平行．例如，平移方向与原图形某边方向一致时，对应点连线共线，故“一定平行”错误． B：旋转中心位于对应点连线的垂直平分线上，而非连线的交点．例如，旋转中心是两对应点连线的垂直平分线的交点，而非连线段的交点，故此选项错误． C：旋转后，对应点与旋转中心的连线形成的夹角等于旋转角．例如，点P绕旋转中心O旋转度至，则，符合旋转定义，故此选项正确． D：轴对称中，对称轴垂直平分连接对称点的线段，但线段不会平分对称轴（对称轴是无限长的直线），故“互相垂直平分”错误． 故选C． 5．C 【详解】解：该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形， 故选：C． 6．D 【详解】解：根据旋转性质得：旋转中心到对应点的距离相等， ， 设点P的坐标为 点，点，点，点， ， ①，②， 由①解得：， 将代入②解得：， 点P的坐标为, 故选：． 7．C 【详解】解：A.由旋转的性质可知，，，仅根据这些条件，无法得出，故选项A不符合题意； B. 由旋转的性质可知，，，仅根据这些条件，无法得出，故选项B不符合题意； C. 由旋转的性质可知，，，，，由“8字模型”可得，，又，，故选项C符合题意； D. 由旋转的性质可知，，，仅根据这些条件，无法得出，故选项D不符合题意． 故选：C． 8．D 【详解】当时， ∵ ∴， 当时， ∵ ∴， 当时，过点C作，则 ∴， 则， 当时， ∵， ∴， 则， 当时， ∵， ∴， 则． 共有5种情形， 故选：D． 9．/45度 【详解】解：把图形中的每个阴影部分与相邻的一个部分当作一个部分，因而整个圆周被分成个完全相同的部分， 每个部分对应的圆心角是，因而最少旋转的度数是， 故答案为：． 10．3 【详解】解：平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形， 等腰三角形不是中心对称图形，是轴对称图形， 线段、矩形、菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，共3个． 故答案为：3． 11． 【详解】解：∵以点为中心逆时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12． 【详解】解：∵ 与 是全等三角形，且以 为旋转中心， ∴ 就是旋转角， ∵ ， ∴可以看作是由以为旋转中心，旋转度形成的． 故答案为：． 13． 【详解】解：∵将（）绕点O逆时针旋转得到， ∴， ∴. 故答案为：． 14． 【详解】解：由题意可得， ，， ， ， ，， ， 故答案为：． 15． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在边上， ，， ， 故答案为：． 16． 【详解】解：如图，连接，，， ∵正八边形是正多边形， ∴正八边形是中心对称图形， ∴关于正八边形中心的对称三角形是， 故答案为：． 17． 【详解】解：如图，圆心运动路径的长度+弧的长． 故答案为：． 18．15或60 【详解】解：情况一，如图： ∴， ∴， 又∵，， ∴，解得：； 情况二，如图： ∴， ， 又∵， ∴，解得：． 综上，在射线旋转一周的过程中，经过15或60秒，射线、射线所在的直线互相垂直． 故答案为：15或60． 19． 【详解】（1）解：如图，即为所求， ； （2）解：如图，即为所求， ； （3）解：如图，即为所求， ． 20． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ， ∴． 21．或． 【详解】∵点在直线上， ∴ ∵直线平分锐角 ∴． 情况一：在下方时： 三角板初始时 此时旋转的度数为． 情况二：在上方时： 已知 直线平分，则 三角板初始时，在下方 当在上方且平分时，旋转角度为 计算得． 22．(1) (2) (3)存在：一共有5种情况，分别有：、、、、 (4)当时，．（答案不唯一） 【详解】（1）解：∵含角的三角板ABC绕直角顶点C逆时针旋转，设旋转的角度为 ∴． 故答案为：． （2）解：∵， ∴，， ∴． 故答案为． （3）解：如图：当， ∵， ∴， ∴；    当， ∴， ∵， ∴， ∴，    当时， ∴， ∵， ∴， ∴；    当时， ∴， ∴， ∴；    当时， 延长交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．      综上，存在，一共有5种情况，分别有：、、、、． （4）解：如图：当时，    ∴．（答案不唯一） 23． 【详解】解： 问题探究：由题意可知， 、、组成的图形为“角分图形”； 类比探究： 当射线在中间时 此时位于上方，且 此时转过的角度为 （秒） 当射线在中间时 此时转过的角度为 （秒） 当射线在中间时 此时转过的角度为 （秒） 综上所述，秒或秒或秒； 问题拓展： 不变，差值为 设， ． $