9.3旋转（题型专练）数学新教材苏科版七年级下册

9.3旋转 题型一 旋转变换的辨析 1．（2025·睢宁县·校级月考）下列现象属于旋转的是（　　） A．摩托车在急刹车时向前滑动 B．火箭冲向空中的时候 C．笔直的铁轨上飞驰而过的复兴号 D．幸运大转盘转动的过程 2．（2025·扬州·期末）下列现象：①时针的转动；②摩天轮的转动；③地下水位逐年下降；④传送带上的机器人．其中，属于旋转的是　　． 题型二 旋转中心的判断 1．（2025·江都区·期中）如图，格点三角形甲逆时针旋转90°后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（　　） A．点M B．点N C．点P D．点Q 2．（2025·徐州·期中）如图4×4的正方形网格中，其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度，得到三角形②，则图中A，B，C，D四个点中是其旋转中心的点是　　． 题型三 根据旋转的性质求线段长 1．（2024·泰兴市·期末）如图，△ABC绕点B旋转得到△EBD，A，B，D三点在同一条直线上，且AD＝5，BE＝2，则BC的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025·新吴区·校级月考）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB＝3，则BE＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 题型四 根据旋转的性质求角度 1．（2025·姑苏区·校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝75°，将△ABC绕点C旋转，得到△DEC．若点A的对应点D恰好在BC的延长线上，则旋转方向和旋转角可能是（　　） A．顺时针，105° B．逆时针，105° C．顺时针，75° D．逆时针，75° 2．（2025·盱眙县·期中）如图，若将△ABC绕点O逆时针旋转60°后与△LMN重合，则下列角一定等于60°的是（　　） A．∠CON B．∠AON C．∠AOC D．∠AOM 3．（2025·常州·期中）如图，△ABC中，AB＞BC，∠ABC＝50°，将边AB绕点B顺时针旋转24°得A'B，交AC于点D，则∠BDC比∠A（　　） A．小26° B．大26° C．小24° D．大24° 4．（2023·淮安区·期中）如图，在△ABC中，∠C＝65°，将△ABC绕着点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，且点C′在BC上，则∠B′C′B的度数为（　　） A．54° B．45° C．46° D．50° 5．（2025·江阴市·校级月考）如图，在△ABC中，∠CAB＝75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得CC′∥AB，则∠CAC′度数是（　　） A．30° B．35° C．40° D．50° 6．（2025·东台市·月考）如图，将含30°角的Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，点B落在AC边上的点B′处，点A落在BC边延长线上的点A′处，则∠AA′B′的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 7．（2025·玄武区·校级期中）如图，把△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在BC的延长线上，连接BD，图中与∠CAE一定相等的角有（不包含∠CAE）（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（2024·海安市·月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，点B的对应点为E，点A的对应点D落在线段AB上，DE与BC相交于点F，连接BE． （1）求证：DC平分∠ADE； （2）若∠A＝70°，求∠DEB的度数． 题型五 根据旋转的性质辨析 1．（2025·无锡·期中）下列说法错误的是（　　） A．图形平移后，每组对应点之间的距离相等 B．图形旋转后，对应点到旋转中心的距离相等 C．两个图形如果关于一条直线成轴对称，那么由这两个图形所组成的图形是轴对称图形 D．两个图形关于一条直线成轴对称，连接对称点的线段和对称轴互相垂直平分 2．（2025·宿城区·期末）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△DBE，点A，C的对应点分别为点D，E，AC的延长线分别交BD，DE于点F，G，下列结论一定正确的是（　　） A．BF＝DF B．∠CBD＝∠EBD C．CB∥DE D．AG⊥DE 3．（2025·滨湖区·期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，点A，C的对应点分别为A′，C′，当点C′恰好落在边AB上时，连接CC′，下列结论一定正确的是（　　） A．BC＝CC′ B．∠BCC′＝∠BC′C C．BA′∥CA D． 4．（2025·苏州·期末）如图，△ABC中，∠B＝25°，将△ABC绕点C顺时针旋转65°后得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，BA延长线交DE于点F，则下列结论中一定正确的是（　　） A．∠ACB＝∠ACE B．AC∥DE C．AB＝EF D．BF⊥CE 5．（2025·金坛区·期中）如图，△ABC中，∠B＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，延长BA交DE于点F，下列结论一定正确的是（　　） A．∠ACB＝∠ACD B．AC∥DE C．AB＝EF D．BF⊥CE 题型六 旋转对称图形的最小旋转角 1．（2025·射阳县·期中）如图所示的图片是一个旋转对称图案，电风扇的叶片至少旋转（　　）度能与自身重合． A．90 B．120 C．180 D．360 2．（2025·亭湖区·校级期中）下列图形绕某一点旋转一定角度都能与原图形重合，其中旋转角度最小的是（　　） A．等边三角形 B．平行四边形 C．正八边形 D．正六边形 3．（2024·东海县·一模）如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为　　度． 题型七 中心对称的有关辨析 1．（2024·广陵区·校级月考）如图，两个半圆分别以O，O1为圆心，它们关于某点成中心对称，点A，B，A1，B1在同一直线上，则对称中心为（　　） A．点O B．点B C．线段AO1的中点 D．线段AA1的中点 2．（2025·玄武区·校级期中）如图，直线l是正方形ABCD的一条对称轴，l与AB，CD分别交于点M，N，AN，BC的延长线相交于点P，连接BN．下列三角形中，与△NCP成中心对称的是（　　） A．△NCB B．△BMN C．△AMN D．△NDA 3．（2025·徐州·期末）如图所示，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论成立的是（　　） ①点A与点A′关于点O对称； ②BO＝B′O； ③AC∥A′C′； ④∠ABC＝∠C′A′B′． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 4．（2025·邗江区·期末）如图，已知△ABC与△A'B'C'成中心对称，则对称中心是点　　． 题型八 中心对称图形的辨析 1．（2025·新吴区·一模）“杨辉三角”“洛书”“赵爽弦图”“中国七巧板”四个图形中，属于中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·工业园区·校级期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·仪征市·期中）在“①等边三角形；②长方形；③等腰直角三角形”中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是　　．（填序号） 4．（2024·沭阳县·校级月考）有下列图形：①线段，②三角形，③平行四边形，④正方形，⑤圆．其中不是中心对称图形的是　　．（填序号） 题型九 旋转变换/中心对称作图 1．（2025·浦口区·校级月考）如图，在5×5的方格网中，所有标出的点均为格点，请按要求作图． （1）如图1，作出△ABC关于点O对称的△DCB； （2）如图2，△ABC旋转得到△DEF，标出旋转中心点P． 2．（2025·海安市·期末）如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后． （1）以原点O为对称中心，画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1； （2）以点C为旋转中心，画出把△ABC顺时针旋转90°得到的△A2B2C； （3）若△A2B2C绕某点顺时针旋转一定角度得到△A1B1C1，请画出旋转中心D并确定旋转角度． 3．（2025·玄武区·校级期中）如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，A，B，C，D均为格点（即每个小正方形的顶点），线段AB关于直线BD对称的线段为BE． （1）线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BF，在图1中画出线段BE、BF； （2）线段BC绕点B顺时针旋转α（45°＜α＜90°）得到线段BF，若D，B，F三点共线，则∠ABD与∠CBF的关系为　　（用等式表示）． 4．（2025·锡山区·期末）△ABC在网格中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1． （1）将△ABC先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）连接AA1与BB1，线段AA1与BB1之间的关系是　　，△ABC扫过的面积为　　； （3）画出△A1B1C1绕点P旋转180°之后得到的△A2B2C2． 5．（2025·灌云县·期中）如图1，都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，将其中四个小等边三角形涂上阴影． （1）请在图2中再将两个小三角形涂上阴影，使得阴影部分的图形是轴对称图形； （2）请在图3中再将两个小三角形涂上阴影，使得阴影部分的图形是中心对称图形． 题型一 旋转与规律问题 1．（2025·无锡·期中）如图，已知直角三角形ABC，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点C、A在直线l上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①，得到点P1，点P1在直线l上，将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，得到点P2，点P2在直线l上，…按照此规律继续旋转，直到得到点P2025，则AP2025＝　　． 2．（2025·东海县·期中）如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝5，AB＝6，点C、A在直线l上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置（1），得到点P1，点P1在直线l上；将位置（1）的三角形绕点P1顺时针旋转到位置（2），得到点P2，点P2在直线l上；将位置（2）的三角形绕点P2顺时针旋转到位置（3），得到点P3，点P3在直线l上，⋯⋯按照此规律继续旋转，第2025次旋转得到点P2025，则AP2025＝　　． 题型二 旋转的综合问题 1．（2025·兴化市·期中）已知直角三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝90°．将三角板ABC绕着点A旋转得到△AB'C'，旋转角记为∠α． （1）当旋转方向为逆时针方向，且∠α＝75°时（如图1），求∠B′AC和∠BAC′的大小． （2）当旋转方向为逆时针方向，且∠α＝90°时，在图2中，画出旋转得到的△AB'C'． （3）当0°＜∠α＜90°时， ①若∠BAC'＝3∠BAB'，求∠α的度数． ②如图3，当旋转方向为逆时针方向时，点D为BC上一点.．在旋转过程中，若∠C′AD与∠BAD始终满足m∠C′AD﹣∠BAD为定值，求常数m的值． 题型一 旋转与平行线综合应用 1．（2025·东台市·期末）将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，若固定三角尺ABC，绕点A旋转三角尺ADE，当∠BAD的度数为　　时，DE∥AB． 2．（2025·滨湖区·期中）将一副三角板如图放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G．∠C＝∠EFB＝90°，∠A＝60°，∠E＝45°，现将图中的△ABC绕点G按每秒15°的速度沿逆时针方向旋转180°，在旋转的过程中，△ABC恰有一边与DE平行的时间为（　　） A．1秒或9秒 B．9秒或11秒 C．1秒或3秒或9秒 D．3秒或9秒或11秒 3．（2025·沭阳县·校级期中）把我们常用的一副三角尺按照如图方式摆放： （1）如图1，两个三角尺的直角边OA、OD摆放在同一直线上，把△OAB以O为中心顺时针旋转，至少能转　　°，使得OB与OC重合； （2）如图2，如果把图1所示的△OAB以O为中心顺时针旋转得到△OA′B′，当∠AOA′为多少度时，射线OB平分∠COD； （3）如图3，两个三角尺的直角边OA、OD摆放在同一直线上，另一条直角边OB、OC也在同一条直线上，如果把△OAB以O为中心顺时针旋转一周，当旋转多少度时，两条斜边AB∥CD？ 4．（2025·建邺区·校级期中）如图1，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD＝90°． （1）试说明：∠BAG＝∠BGA； （2）如图2，线段AG上有点P，满足ABP＝3∠PBG，过点C作CH∥AG． ①若在直线AG上取一点M，使∠PBM＝∠DCH，则的值是　　； ②若∠DCH＝30°，将△ABP绕点B旋转α（0°＜α＜180°），当α＝　　°时，△ABP的一边与CH平行． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.3旋转 题型一 旋转变换的辨析 1．（2025·睢宁县·校级月考）下列现象属于旋转的是（　　） A．摩托车在急刹车时向前滑动 B．火箭冲向空中的时候 C．笔直的铁轨上飞驰而过的复兴号 D．幸运大转盘转动的过程 【答案】D 【详解】解：A、摩托车在急刹车时向前滑动不是旋转，故不合题意； B、火箭冲向空中的时候不是旋转，故不合题意； C、笔直的铁轨上飞驰而过的复兴号不是旋转，故不合题意； D、幸运大转盘转动的过程属于旋转，故符合题意． 故本题选：D． 2．（2025·扬州·期末）下列现象：①时针的转动；②摩天轮的转动；③地下水位逐年下降；④传送带上的机器人．其中，属于旋转的是　　． 【答案】①② 【详解】解：由“一个图形绕着某一个点，按照一定的方向，旋转一定的角度”可知：①②是旋转，而③④是平移． 故本题答案为：①②． 题型二 旋转中心的判断 1．（2025·江都区·期中）如图，格点三角形甲逆时针旋转90°后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（　　） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【答案】A 【详解】解：如图，由旋转性质可知：点A与点E为对应点，点B和点F为对应点， ∴旋转中心在AE的垂直平分线上，也在BF的垂直平分线上， 分别作AE的垂直平分线和BF的垂直平分线，两条垂直平分线的交点为M点，即旋转中心为M点． 故本题选：A． 2．（2025·徐州·期中）如图4×4的正方形网格中，其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度，得到三角形②，则图中A，B，C，D四个点中是其旋转中心的点是　　． 【答案】B 【详解】解：如图，作出三角形①和三角形②两组对应点所连线段的垂直平分线的交点B为旋转中心． 故本题答案为：B． 题型三 根据旋转的性质求线段长 1．（2024·泰兴市·期末）如图，△ABC绕点B旋转得到△EBD，A，B，D三点在同一条直线上，且AD＝5，BE＝2，则BC的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：由题意可得：AB＝BE＝2，BC＝BD， ∵AD＝5，BE＝2， ∴BD＝AD﹣AB＝AD﹣BE＝5﹣2＝3， ∴BC＝BD＝3． 故本题选：C． 2．（2025·新吴区·校级月考）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB＝3，则BE＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转 60°得到△AED， ∴AB＝AE，∠BAE＝60°， ∴△AEB是等边三角形， ∴BE＝AB， ∵AB＝3， ∴BE＝3． 故本题选：B． 题型四 根据旋转的性质求角度 1．（2025·姑苏区·校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝75°，将△ABC绕点C旋转，得到△DEC．若点A的对应点D恰好在BC的延长线上，则旋转方向和旋转角可能是（　　） A．顺时针，105° B．逆时针，105° C．顺时针，75° D．逆时针，75° 【答案】A 【详解】解：∵∠ACB＝75°， ∴∠ACD＝105°， ∴将△ABC绕点C顺时针旋转105°． 故本题选：A． 2．（2025·盱眙县·期中）如图，若将△ABC绕点O逆时针旋转60°后与△LMN重合，则下列角一定等于60°的是（　　） A．∠CON B．∠AON C．∠AOC D．∠AOM 【答案】A 【详解】解：∵△ABC与△LMN重合，C与N是对应点， ∴一定等于60°的是∠CON． 故本题选：A． 3．（2025·常州·期中）如图，△ABC中，AB＞BC，∠ABC＝50°，将边AB绕点B顺时针旋转24°得A'B，交AC于点D，则∠BDC比∠A（　　） A．小26° B．大26° C．小24° D．大24° 【答案】D 【详解】解：∵将边AB绕点B顺时针旋转24°得A'B， ∴∠ABD＝24°． ∵∠BDC＝∠A+∠ABD， ∴∠BDC﹣∠A＝∠ABD＝24°，即∠BDC比∠A大24°． 故本题选：D． 4．（2023·淮安区·期中）如图，在△ABC中，∠C＝65°，将△ABC绕着点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，且点C′在BC上，则∠B′C′B的度数为（　　） A．54° B．45° C．46° D．50° 【答案】D 【详解】解：∵△ABC绕着点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，且点C′在BC上， ∴AC′＝AC，∠B′C′A＝∠C＝65°， ∴∠AC′C＝∠C＝65°， ∴∠B′C′C＝∠B′C′A+∠AC′C＝130°， ∴∠B′C′B＝180°﹣∠B′C′C＝180°﹣130°＝50°． 故本题选：D． 5．（2025·江阴市·校级月考）如图，在△ABC中，∠CAB＝75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得CC′∥AB，则∠CAC′度数是（　　） A．30° B．35° C．40° D．50° 【答案】A 【详解】解：∵将△ABC绕点A旋转得到△AB'C'， ∴AC＝AC′， ∵CC′∥AB，∠CAB＝75°， ∴∠ACC′＝∠CAB＝75°， ∴∠AC′C＝∠ACC′＝75°， ∴∠CAC′＝180°﹣∠AC′C﹣∠ACC′＝30°． 故本题选：A． 6．（2025·东台市·月考）如图，将含30°角的Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，点B落在AC边上的点B′处，点A落在BC边延长线上的点A′处，则∠AA′B′的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【答案】A 【详解】解：∵∠ACB＝90°，AC＝A′C， ∴， ∵∠BAC＝30°， ∴∠BAC＝∠B′A′C＝30°， ∴∠AA′B′＝∠AA′C﹣∠B′A′C＝45°﹣30°＝15°． 故本题选：A． 7．（2025·玄武区·校级期中）如图，把△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在BC的延长线上，连接BD，图中与∠CAE一定相等的角有（不包含∠CAE）（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：如图， 由旋转变换的性质可知：∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE， ∴∠CAE＝∠BAO， ∵∠AOB＝∠EOD， ∴∠BAO＝∠BED， ∴∠CAE＝∠BED， 故与∠CAE相等的角有2个． 故本题选：B． 8．（2024·海安市·月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，点B的对应点为E，点A的对应点D落在线段AB上，DE与BC相交于点F，连接BE． （1）求证：DC平分∠ADE； （2）若∠A＝70°，求∠DEB的度数． 【答案】（1）证明详见解析；（2）∠DEB＝50° 【详解】（1）证明：由题意可得：CA＝CD，∠A＝∠CDE， ∴∠A＝∠CDA， ∴∠CDA＝∠CDE， ∴DC平分∠ADE； （2）解：∵∠ACB＝90°，∠A＝70°， ∴∠CBA＝20°， ∵∠A＝∠CDA＝70°， ∴∠ACD＝40°， ∵CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝40°，∠CED＝∠CBA＝20°， ∴， ∴∠DEB＝∠CEB﹣∠CED＝70°﹣20°＝50°． 题型五 根据旋转的性质辨析 1．（2025·无锡·期中）下列说法错误的是（　　） A．图形平移后，每组对应点之间的距离相等 B．图形旋转后，对应点到旋转中心的距离相等 C．两个图形如果关于一条直线成轴对称，那么由这两个图形所组成的图形是轴对称图形 D．两个图形关于一条直线成轴对称，连接对称点的线段和对称轴互相垂直平分 【答案】D 【详解】解：A、图形的平移后，每组对应点之间的距离相等，故A不合题意； B、图形的旋转后，对应点到旋转中心的距离相等，故B不合题意； C、两个图形如果关于一条直线成轴对称，那么由这两个图形所组成的图形是轴对称图形，故C不合题意； D、两个图形关于一条直线成轴对称，连接对称点的线段被对称轴垂直平分，故D符合题意． 故本题选：D． 2．（2025·宿城区·期末）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△DBE，点A，C的对应点分别为点D，E，AC的延长线分别交BD，DE于点F，G，下列结论一定正确的是（　　） A．BF＝DF B．∠CBD＝∠EBD C．CB∥DE D．AG⊥DE 【答案】D 【详解】解：∵△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△DBE， ∴∠A＝∠D，∠ABD＝90°， ∴∠A+∠AFB＝90°． ∵∠AFB＝∠DFG， ∴∠D+∠DFG＝90°， ∴∠DGF＝90°，即AG⊥DE，故D正确，符合题意； 由已知条件不能得出A，B，C选项，故A，B，C不正确，不合题意． 故本题选：D． 3．（2025·滨湖区·期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，点A，C的对应点分别为A′，C′，当点C′恰好落在边AB上时，连接CC′，下列结论一定正确的是（　　） A．BC＝CC′ B．∠BCC′＝∠BC′C C．BA′∥CA D． 【答案】B 【详解】解：∵△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′， ∴∠CBC′＝∠ABA′，BC＝BC′， ∴∠BCC′＝∠BC′C，故B符合题意； 只有当∠ABC＝60°时，BC＝CC′AB，故A和D不合题意； 只有当∠A＝∠ABC时，∠A＝∠ABA′，则BA′∥CA，故C不合题意． 故本题选：B． 4．（2025·苏州·期末）如图，△ABC中，∠B＝25°，将△ABC绕点C顺时针旋转65°后得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，BA延长线交DE于点F，则下列结论中一定正确的是（　　） A．∠ACB＝∠ACE B．AC∥DE C．AB＝EF D．BF⊥CE 【答案】D 【详解】解：如图，BF交CE于O点， ∵△ABC绕点C顺时针旋转65°后得到△DEC， ∴∠ACB＝∠DCE，故A不合题意； ∠BCE＝65°，∠E＝∠B＝25°， ∵∠ACE不能确定为25°， ∴不能判定AC∥DE，故B不合题意； ∵△ABC绕点C顺时针旋转65°后得到△DEC， ∴AB＝DE，故C不合题意； ∵∠B＝25°，∠BCO＝65°， ∴∠BOC＝180°﹣25°﹣65°＝90°， ∴BF⊥CE，故D符合题意． 故本题选：D． 5．（2025·金坛区·期中）如图，△ABC中，∠B＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，延长BA交DE于点F，下列结论一定正确的是（　　） A．∠ACB＝∠ACD B．AC∥DE C．AB＝EF D．BF⊥CE 【答案】D 【详解】解：如图，设BF与CE相交于点H， ∵△ABC中，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC， ∴∠BCE＝∠ACD＝60°， ∵∠B＝30°， ∴在△BHC中，∠BHC＝180°﹣∠BCE﹣∠B＝90°， ∴BF⊥CE，故D正确； 设∠ACH＝x°， ∴∠ACB＝60°﹣x°， ∵∠B＝30°， ∴∠EDC＝∠BAC＝180°﹣30°﹣（60°﹣x°）＝90°+x°， ∴∠EDC+∠ACD＝90°+x°+60°＝150°+x°， ∵x°不一定等于30°， ∴∠EDC+∠ACD不一定等于180°， ∴AC∥DE不一定成立，故B不正确； ∵∠ACB＝60°﹣x°，∠ACD＝60°，x°不一定等于0°， ∴∠ACB＝∠ACD不一定成立，故A不正确； ∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC， ∴AB＝ED＝EF+FD， ∴BA＞EF，故C不正确． 故本题选：D． 题型六 旋转对称图形的最小旋转角 1．（2025·射阳县·期中）如图所示的图片是一个旋转对称图案，电风扇的叶片至少旋转（　　）度能与自身重合． A．90 B．120 C．180 D．360 【答案】B 【详解】解：电风扇的图片是一个旋转对称图形，电扇的叶片旋转120度能与自身重合． 故本题选：B． 2．（2025·亭湖区·校级期中）下列图形绕某一点旋转一定角度都能与原图形重合，其中旋转角度最小的是（　　） A．等边三角形 B．平行四边形 C．正八边形 D．正六边形 【答案】C 【详解】解：一个图形被分成大小和形状相同的n等份，则需旋转的整数倍，即可与它自身重合则： A．最小旋转角度； B．最小旋转角度； C．最小旋转角度； D．最小旋转角度． 故本题选：C． 3．（2024·东海县·一模）如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为　　度． 【答案】72 【详解】解：图形可看作由一个基本图形旋转5次所组成， ∴最小旋转角为． 故本题答案为：72． 题型七 中心对称的有关辨析 1．（2024·广陵区·校级月考）如图，两个半圆分别以O，O1为圆心，它们关于某点成中心对称，点A，B，A1，B1在同一直线上，则对称中心为（　　） A．点O B．点B C．线段AO1的中点 D．线段AA1的中点 【答案】D 【详解】解：如图，对称中心是线段AA1的中点． 故本题选：D． 2．（2025·玄武区·校级期中）如图，直线l是正方形ABCD的一条对称轴，l与AB，CD分别交于点M，N，AN，BC的延长线相交于点P，连接BN．下列三角形中，与△NCP成中心对称的是（　　） A．△NCB B．△BMN C．△AMN D．△NDA 【答案】D 【详解】解：观察图形可知：与△NCP成中心对称的是△NDA． 故本题选：D． 3．（2025·徐州·期末）如图所示，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论成立的是（　　） ①点A与点A′关于点O对称； ②BO＝B′O； ③AC∥A′C′； ④∠ABC＝∠C′A′B′． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】A 【详解】解：∵△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称， ∴由中心对称的性质可得：OB＝OB′，OC＝OC′，点A与点A′关于点O对称， ∠ABC＝∠A′B′C′，∠ACB＝∠A′C′B′，AC∥A′C′， ∴①②③正确，④错误， 综上，只有选项A正确，符合题意． 故本题选：A． 4．（2025·邗江区·期末）如图，已知△ABC与△A'B'C'成中心对称，则对称中心是点　　． 【答案】P 【详解】解：如图，连接BB′、CC′，交点为对称中心点P． 故本题答案为：P． 题型八 中心对称图形的辨析 1．（2025·新吴区·一模）“杨辉三角”“洛书”“赵爽弦图”“中国七巧板”四个图形中，属于中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、B、D中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，故不是中心对称图形； C中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，故是中心对称图形． 故本题选：C． 2．（2025·工业园区·校级期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A是轴对称图形，但不是中心对称图形，不合题意； B是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； C不是轴对称图形，但它是中心对称图形，不合题意； D是轴对称图形，但不是中心对称图形，不合题意． 故本题选：B． 3．（2025·仪征市·期中）在“①等边三角形；②长方形；③等腰直角三角形”中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是　　．（填序号） 【答案】② 【详解】解：①等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形； ②长方形既是中心对称图形又是轴对称图形； ③等腰直角三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形． 故本题答案为：②． 4．（2024·沭阳县·校级月考）有下列图形：①线段，②三角形，③平行四边形，④正方形，⑤圆．其中不是中心对称图形的是　　．（填序号） 【答案】② 【详解】解：中心对称图形有：①线段，③平行四边形，④正方形，⑤圆； ②不是中心对称图形． 故本题答案为：②． 题型九 旋转变换/中心对称作图 1．（2025·浦口区·校级月考）如图，在5×5的方格网中，所有标出的点均为格点，请按要求作图． （1）如图1，作出△ABC关于点O对称的△DCB； （2）如图2，△ABC旋转得到△DEF，标出旋转中心点P． 【答案】（1）作图详见解析；（2）作图详见解析 【详解】解：（1）如图1，△DCB即为所求； （2）如图2，点P即为所求． 2．（2025·海安市·期末）如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后． （1）以原点O为对称中心，画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1； （2）以点C为旋转中心，画出把△ABC顺时针旋转90°得到的△A2B2C； （3）若△A2B2C绕某点顺时针旋转一定角度得到△A1B1C1，请画出旋转中心D并确定旋转角度． 【答案】（1）作图详见解析；（2）作图详见解析；（3）作图详见解析，旋转角度为90° 【详解】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求； （2）如图，△A2B2C即为所求； （3）如图，连接A1A2，B1B2，C1C，分别作线段A1A2，B1B2，C1C的垂直平分线，相交于点D，点D即为所求，则△A2B2C绕点D顺时针旋转90°得到△A1B1C1， ∴旋转角度为90°． 3．（2025·玄武区·校级期中）如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，A，B，C，D均为格点（即每个小正方形的顶点），线段AB关于直线BD对称的线段为BE． （1）线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BF，在图1中画出线段BE、BF； （2）线段BC绕点B顺时针旋转α（45°＜α＜90°）得到线段BF，若D，B，F三点共线，则∠ABD与∠CBF的关系为　　（用等式表示）． 【答案】（1）作图详见解析；（2）∠ABD+∠CBF＝90°． 【详解】解：（1）如图1，线段BE，BF即为所求； （2）如图2，∵∠ABD＝∠FBT，∠CBF+∠FBT＝90°， ∴∠ABD+∠CBF＝90°， 故本题答案为：∠ABD+∠CBF＝90°． 4．（2025·锡山区·期末）△ABC在网格中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1． （1）将△ABC先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）连接AA1与BB1，线段AA1与BB1之间的关系是　　，△ABC扫过的面积为　　； （3）画出△A1B1C1绕点P旋转180°之后得到的△A2B2C2． 【答案】（1）作图详见解析；（2）平行且相等，16；（3）作图详见解析 【详解】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求； （2）由平移可得：线段AA1与BB1之间的关系是平行且相等， △ABC扫过的面积为12+4＝16， 故本题答案为：平行且相等，16； （3）如图，△A2B2C2即为所求． 5．（2025·灌云县·期中）如图1，都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，将其中四个小等边三角形涂上阴影． （1）请在图2中再将两个小三角形涂上阴影，使得阴影部分的图形是轴对称图形； （2）请在图3中再将两个小三角形涂上阴影，使得阴影部分的图形是中心对称图形． 【答案】（1）作图详见解析；（2）作图详见解析 【详解】解：（1）如图2，如果以直线l为对称轴，则涂阴影的两个三角形如图2所示，答案不唯一； （2）如图3，如果以点O为对称中心，则涂阴影的两个三角形如图3所示，答案不唯一． 题型一 旋转与规律问题 1．（2025·无锡·期中）如图，已知直角三角形ABC，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点C、A在直线l上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①，得到点P1，点P1在直线l上，将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，得到点P2，点P2在直线l上，…按照此规律继续旋转，直到得到点P2025，则AP2025＝　　． 【答案】8100 【详解】解：已知直角三角形ABC，AC＝3，BC＝4，AB＝5， ∴将△ABC绕着点A顺时针转到位置①，得到点P1，AP1＝5， 将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，得到点P2，AP2＝5+4＝9， 将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，得到点P3，AP3＝5+4+3＝12， 又∵2025÷3＝ 675， ∴AP2025＝675×12＝8100． 故本题答案为：8100． 2．（2025·东海县·期中）如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝5，AB＝6，点C、A在直线l上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置（1），得到点P1，点P1在直线l上；将位置（1）的三角形绕点P1顺时针旋转到位置（2），得到点P2，点P2在直线l上；将位置（2）的三角形绕点P2顺时针旋转到位置（3），得到点P3，点P3在直线l上，⋯⋯按照此规律继续旋转，第2025次旋转得到点P2025，则AP2025＝　　． 【答案】10125 【详解】解：已知直角三角形ABC，AC＝4，BC＝5，AB＝6， ∴将△ABC绕着点A顺时针转到位置①，得到点P1，AP1＝6， 将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，得到点P2，AP2＝6+5＝12， 将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，得到点P3，AP3＝6+5+4＝15， 又∵2025÷3＝675， ∴AP2025＝675×15＝10125． 故本题答案为：10125． 题型二 旋转的综合问题 1．（2025·兴化市·期中）已知直角三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝90°．将三角板ABC绕着点A旋转得到△AB'C'，旋转角记为∠α． （1）当旋转方向为逆时针方向，且∠α＝75°时（如图1），求∠B′AC和∠BAC′的大小． （2）当旋转方向为逆时针方向，且∠α＝90°时，在图2中，画出旋转得到的△AB'C'． （3）当0°＜∠α＜90°时， ①若∠BAC'＝3∠BAB'，求∠α的度数． ②如图3，当旋转方向为逆时针方向时，点D为BC上一点.．在旋转过程中，若∠C′AD与∠BAD始终满足m∠C′AD﹣∠BAD为定值，求常数m的值． 【答案】（1）135°；（2）作图详见解析；（3）①∠α的度数为15°或30°；②常数m的值为 【详解】解：（1）由旋转的性质可得：∠BAB'＝α＝75°，∠BAC＝∠BAC＝60°， ∴∠BAC＝∠BAB﹣∠BAC＝75°﹣60°＝15°， ∴∠BAC'＝∠BAB'+∠B'AC'＝75°+60°＝135°； （2）如图2，△AB′C即为所求； （3）①如图，当旋转方向为逆时针方向时，∠BAC＝∠α+60°，∠BAB＝∠α， ∵∠BAC＝3∠BAB， ∴∠α+60°＝3∠α，解得：∠α＝30°； 如图，当旋转方向为顺时针方向时，∠BAC＝60°﹣∠α，∠BAB'＝∠α， ∵∠BAC＝3∠BAB， ∴60°﹣∠α＝3∠α，解得∠α＝15°； 综上，∠α的度数为15°或30°； ②由旋转性质可得：∠CAC＝∠BAB＝∠α， ∵，∠CAB＝60°， ∴∠BAD＝∠CAB﹣∠CAD＝60°﹣3∠α，， ∴m∠CAD﹣∠BAD＝m•3∠α﹣60°+3∠α＝（3m+3）∠α﹣60°， ∵∠CAD与∠BAD始终满足m∠CAD+∠BAD为定值， ∴0，解得：m， ∴常数m的值为． 题型一 旋转与平行线综合应用 1．（2025·东台市·期末）将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，若固定三角尺ABC，绕点A旋转三角尺ADE，当∠BAD的度数为　　时，DE∥AB． 【答案】30°或150° 【详解】解：如图，当DE在AB下方时， ∵DE∥AB， ∴∠BAD＝∠ADE＝30°； 如图，当DE在AB上方时， ∵DE∥AB， ∴∠BAE＝∠AED＝60°， ∴∠BAD＝∠DAE+∠BAE＝90°+60°＝150°； 综上，当∠BAD的度数为30°或150°时，DE∥AB． 故本题答案为：30°或150°． 2．（2025·滨湖区·期中）将一副三角板如图放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G．∠C＝∠EFB＝90°，∠A＝60°，∠E＝45°，现将图中的△ABC绕点G按每秒15°的速度沿逆时针方向旋转180°，在旋转的过程中，△ABC恰有一边与DE平行的时间为（　　） A．1秒或9秒 B．9秒或11秒 C．1秒或3秒或9秒 D．3秒或9秒或11秒 【答案】D 【详解】解：∵∠C＝∠EFB＝90°， ∴AC∥FG， ∴∠AGE＝∠FGB＝∠A＝60°， ∴∠AGF＝∠EGB＝180°﹣60°＝120°， 情况1，如图，当DE∥A'C'时，A'B'交ED于点H， ∵DE∥A'C'， ∴∠EHG＝∠A'＝60°， ∴∠A'GF＝∠EGH＝180°﹣∠E﹣∠EHG＝180°﹣45°﹣60°＝75°， ∴∠AGA'＝∠AGF﹣∠A'GF＝120°﹣75°＝45°， ∴旋转时间（秒）； 情况2，如图，当DE∥B'C'时，FE的延长线交B'C'于点H， ∵DE∥B'C'， ∴∠C'HE＝∠DEF＝45°， ∴∠A'GF＝∠B'GH＝∠C'HE﹣∠B'＝45°﹣30°＝15°， ∴∠AGA'＝∠AGF+∠A'GF＝120°+15°＝135°， ∴旋转时间（秒）； 情况3，如图，当DE∥A'B'时， ∵DE∥A'B'， ∴∠A'GF＝∠E＝45°， ∴∠AGA'＝∠AGF+∠A'GF＝120°+45°＝165°， ∴旋转时间（秒）； 综上，△ABC恰有一边与DE平行的时间为3秒或9秒或11秒． 故本题选：D． 3．（2025·沭阳县·校级期中）把我们常用的一副三角尺按照如图方式摆放： （1）如图1，两个三角尺的直角边OA、OD摆放在同一直线上，把△OAB以O为中心顺时针旋转，至少能转　　°，使得OB与OC重合； （2）如图2，如果把图1所示的△OAB以O为中心顺时针旋转得到△OA′B′，当∠AOA′为多少度时，射线OB平分∠COD； （3）如图3，两个三角尺的直角边OA、OD摆放在同一直线上，另一条直角边OB、OC也在同一条直线上，如果把△OAB以O为中心顺时针旋转一周，当旋转多少度时，两条斜边AB∥CD？ 【答案】（1）75；（2）105；（3）105°或285° 【详解】解：（1）∵∠AOB＝45°，∠COD＝60°， ∴∠BOC＝75°， ∴至少能转75°，使得OB与OC重合， 故本题答案为：75； （2）∵△OAB以O为中心顺时针旋转得到△OA'B'， ∴∠AOA'＝∠BOB'， ∵∠COD＝60°，OB'平分∠COD， ∴∠COB'＝30°， ∴∠BOB'＝∠BOC+∠COB'＝75°+30°＝105°， ∴∠AOA'＝∠BOB'＝105°； （3）①当A'B'与OD相交于点E时， ∵A'B'∥CD， ∴∠D＝∠A'EO＝60°， ∵∠A'EO＝∠B'+∠EOB' ∴∠EOB'＝60°﹣45°＝15°， ∴∠BOB'＝105°； ②当A'B'与AO相交于点F时， ∵A'B'∥CD， ∴∠D＝∠A'FO＝60°， ∴∠A'OF＝180°﹣∠A'FO﹣∠A＝75°， ∴旋转的角度为360°﹣75°＝285°； 综上，旋转的角度为：105°或285°． 4．（2025·建邺区·校级期中）如图1，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD＝90°． （1）试说明：∠BAG＝∠BGA； （2）如图2，线段AG上有点P，满足ABP＝3∠PBG，过点C作CH∥AG． ①若在直线AG上取一点M，使∠PBM＝∠DCH，则的值是　　； ②若∠DCH＝30°，将△ABP绕点B旋转α（0°＜α＜180°），当α＝　　°时，△ABP的一边与CH平行． 【答案】（1）证明详见解析；（2）5，；（3）75或120或60或105 【详解】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠GAD＝∠BGA， ∵AG平分∠BAD， ∴∠BAG＝∠GAD， ∴∠BAG＝∠BGA； （2）解：①有两种情况： Ⅰ）当M在BP的下方时，如图， 设∠ABC＝4x， ∵∠ABP＝3∠PBG， ∴∠ABP＝3x，∠PBG＝x， ∵AG∥CH， ∴， ∵∠BCD＝90°， ∴∠DCH＝∠PBM＝90°﹣（90°﹣2x）＝2x， ∴∠ABM＝∠ABP+∠PBM＝3x+2x＝5x，∠GBM＝2x﹣x＝x， ∴∠ABM：∠GBM＝5x：x＝5； Ⅱ）当M在BP的上方时，如图， 同理可得：∠ABM＝∠ABP﹣∠PBM＝3x﹣2x＝x，∠GBM＝2x+x＝3x， ∴∠ABM：； 综上，的值是5或； ②将△ABP绕点B旋转α（0°＜α＜180°）， 当AB∥CH时，如图， Ⅰ）当逆时针旋转时， ∵∠BCH＝∠BCD﹣∠DCH＝90°﹣30°＝60°， 又∵CH∥AG， ∴∠AGB＝∠BCH＝60°， ∵A'B∥CH， ∴A'B∥AG， ∴∠A'BG＝180°﹣∠AGB＝120°， 由（1）可知：∠BAG＝∠AGB＝60°， ∴∠ABG＝180°﹣∠BAG﹣∠AGB＝60°， ∴α＝∠ABA'＝∠A'BG﹣∠ABG＝120°﹣60°＝60°； Ⅱ）当顺时针旋转时， ∵A''B∥CH， ∴A''B∥AG， ∴∠A''BG＝∠AGB＝60°， ∴α＝∠ABA''＝∠A''BG+∠ABG＝60°+60°＝120°； 当BP∥CH，如图， Ⅰ）当逆时针旋转时， ∵∠ABP＝3∠PBG，∠ABG＝60°， ∴∠ABP＝45°，∠GBP＝15°， 同理可得：∠ABP'＝50°， ∴α＝∠ABP+∠ABP'＝45°+60°＝105°； Ⅱ）当顺时针旋转时，∠P''BG＝60°， ∴α＝∠PBG+∠P''BG＝15°+60°＝75°； 综上，将△ABP绕点B旋转α（0°＜α≤180°）当逆时针旋转时，α＝60°或105°， 当顺时针旋转时，α＝75°或120°，△ABP的一边与CH平行． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.3旋转 题型一 旋转变换的辨析 1．【答案】D 2．【答案】①② 题型二 旋转中心的判断 1．【答案】A 2．【答案】B 题型三 根据旋转的性质求线段长 1．【答案】C 2．【答案】B 题型四 根据旋转的性质求角度 1．【答案】A 2．【答案】A 3．【答案】D 4．【答案】D 5．【答案】A 6．【答案】A 7．【答案】B 8． 【答案】（1）证明详见解析；（2）∠DEB＝50° 【详解】（1）证明：由题意可得：CA＝CD，∠A＝∠CDE， ∴∠A＝∠CDA， ∴∠CDA＝∠CDE， ∴DC平分∠ADE； （2）解：∵∠ACB＝90°，∠A＝70°， ∴∠CBA＝20°， ∵∠A＝∠CDA＝70°， ∴∠ACD＝40°， ∵CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝40°，∠CED＝∠CBA＝20°， ∴， ∴∠DEB＝∠CEB﹣∠CED＝70°﹣20°＝50°． 题型五 根据旋转的性质辨析 1．【答案】D 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】D 5．【答案】D 题型六 旋转对称图形的最小旋转角 1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】72 题型七 中心对称的有关辨析 1．【答案】D 2．【答案】D 3．【答案】A 4．【答案】P 题型八 中心对称图形的辨析 1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】② 4．【答案】② 题型九 旋转变换/中心对称作图 1． 【答案】（1）作图详见解析；（2）作图详见解析 【详解】解：（1）如图1，△DCB即为所求； （2）如图2，点P即为所求． 2． 【答案】（1）作图详见解析；（2）作图详见解析；（3）作图详见解析，旋转角度为90° 【详解】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求； （2）如图，△A2B2C即为所求； （3）如图，连接A1A2，B1B2，C1C，分别作线段A1A2，B1B2，C1C的垂直平分线，相交于点D，点D即为所求，则△A2B2C绕点D顺时针旋转90°得到△A1B1C1， ∴旋转角度为90°． 3． 【答案】（1）作图详见解析；（2）∠ABD+∠CBF＝90°． 【详解】解：（1）如图1，线段BE，BF即为所求； （2）如图2，∵∠ABD＝∠FBT，∠CBF+∠FBT＝90°， ∴∠ABD+∠CBF＝90°， 故本题答案为：∠ABD+∠CBF＝90°． 4． 【答案】（1）作图详见解析；（2）平行且相等，16；（3）作图详见解析 【详解】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求； （2）由平移可得：线段AA1与BB1之间的关系是平行且相等， △ABC扫过的面积为12+4＝16， 故本题答案为：平行且相等，16； （3）如图，△A2B2C2即为所求． 5． 【答案】（1）作图详见解析；（2）作图详见解析 【详解】解：（1）如图2，如果以直线l为对称轴，则涂阴影的两个三角形如图2所示，答案不唯一； （2）如图3，如果以点O为对称中心，则涂阴影的两个三角形如图3所示，答案不唯一． 题型一 旋转与规律问题 1．【答案】8100 2．【答案】10125 题型二 旋转的综合问题 1． 【答案】（1）135°；（2）作图详见解析；（3）①∠α的度数为15°或30°；②常数m的值为 【详解】解：（1）由旋转的性质可得：∠BAB'＝α＝75°，∠BAC＝∠BAC＝60°， ∴∠BAC＝∠BAB﹣∠BAC＝75°﹣60°＝15°， ∴∠BAC'＝∠BAB'+∠B'AC'＝75°+60°＝135°； （2）如图2，△AB′C即为所求； （3）①如图，当旋转方向为逆时针方向时，∠BAC＝∠α+60°，∠BAB＝∠α， ∵∠BAC＝3∠BAB， ∴∠α+60°＝3∠α，解得：∠α＝30°； 如图，当旋转方向为顺时针方向时，∠BAC＝60°﹣∠α，∠BAB'＝∠α， ∵∠BAC＝3∠BAB， ∴60°﹣∠α＝3∠α，解得∠α＝15°； 综上，∠α的度数为15°或30°； ②由旋转性质可得：∠CAC＝∠BAB＝∠α， ∵，∠CAB＝60°， ∴∠BAD＝∠CAB﹣∠CAD＝60°﹣3∠α，， ∴m∠CAD﹣∠BAD＝m•3∠α﹣60°+3∠α＝（3m+3）∠α﹣60°， ∵∠CAD与∠BAD始终满足m∠CAD+∠BAD为定值， ∴0，解得：m， ∴常数m的值为． 题型一 旋转与平行线综合应用 1．【答案】30°或150° 2．【答案】D 3． 【答案】（1）75；（2）105；（3）105°或285° 【详解】解：（1）∵∠AOB＝45°，∠COD＝60°， ∴∠BOC＝75°， ∴至少能转75°，使得OB与OC重合， 故本题答案为：75； （2）∵△OAB以O为中心顺时针旋转得到△OA'B'， ∴∠AOA'＝∠BOB'， ∵∠COD＝60°，OB'平分∠COD， ∴∠COB'＝30°， ∴∠BOB'＝∠BOC+∠COB'＝75°+30°＝105°， ∴∠AOA'＝∠BOB'＝105°； （3）①当A'B'与OD相交于点E时， ∵A'B'∥CD， ∴∠D＝∠A'EO＝60°， ∵∠A'EO＝∠B'+∠EOB' ∴∠EOB'＝60°﹣45°＝15°， ∴∠BOB'＝105°； ②当A'B'与AO相交于点F时， ∵A'B'∥CD， ∴∠D＝∠A'FO＝60°， ∴∠A'OF＝180°﹣∠A'FO﹣∠A＝75°， ∴旋转的角度为360°﹣75°＝285°； 综上，旋转的角度为：105°或285°． 4． 【答案】（1）证明详见解析；（2）5，；（3）75或120或60或105 【详解】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠GAD＝∠BGA， ∵AG平分∠BAD， ∴∠BAG＝∠GAD， ∴∠BAG＝∠BGA； （2）解：①有两种情况： Ⅰ）当M在BP的下方时，如图， 设∠ABC＝4x， ∵∠ABP＝3∠PBG， ∴∠ABP＝3x，∠PBG＝x， ∵AG∥CH， ∴， ∵∠BCD＝90°， ∴∠DCH＝∠PBM＝90°﹣（90°﹣2x）＝2x， ∴∠ABM＝∠ABP+∠PBM＝3x+2x＝5x，∠GBM＝2x﹣x＝x， ∴∠ABM：∠GBM＝5x：x＝5； Ⅱ）当M在BP的上方时，如图， 同理可得：∠ABM＝∠ABP﹣∠PBM＝3x﹣2x＝x，∠GBM＝2x+x＝3x， ∴∠ABM：； 综上，的值是5或； ②将△ABP绕点B旋转α（0°＜α＜180°）， 当AB∥CH时，如图， Ⅰ）当逆时针旋转时， ∵∠BCH＝∠BCD﹣∠DCH＝90°﹣30°＝60°， 又∵CH∥AG， ∴∠AGB＝∠BCH＝60°， ∵A'B∥CH， ∴A'B∥AG， ∴∠A'BG＝180°﹣∠AGB＝120°， 由（1）可知：∠BAG＝∠AGB＝60°， ∴∠ABG＝180°﹣∠BAG﹣∠AGB＝60°， ∴α＝∠ABA'＝∠A'BG﹣∠ABG＝120°﹣60°＝60°； Ⅱ）当顺时针旋转时， ∵A''B∥CH， ∴A''B∥AG， ∴∠A''BG＝∠AGB＝60°， ∴α＝∠ABA''＝∠A''BG+∠ABG＝60°+60°＝120°； 当BP∥CH，如图， Ⅰ）当逆时针旋转时， ∵∠ABP＝3∠PBG，∠ABG＝60°， ∴∠ABP＝45°，∠GBP＝15°， 同理可得：∠ABP'＝50°， ∴α＝∠ABP+∠ABP'＝45°+60°＝105°； Ⅱ）当顺时针旋转时，∠P''BG＝60°， ∴α＝∠PBG+∠P''BG＝15°+60°＝75°； 综上，将△ABP绕点B旋转α（0°＜α≤180°）当逆时针旋转时，α＝60°或105°， 当顺时针旋转时，α＝75°或120°，△ABP的一边与CH平行． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $