10.5.5 带电粒子在电场中的运动 电场中有约束轨道的问题 讲义-2025-2026学年高二上学期物理人教版必修第三册

本讲义聚焦电场中有约束轨道的核心问题，系统梳理带电物体在轻杆、圆环等约束下的直线与圆周运动，通过迁移重力场运动模型，结合电场力性质与能量分析，构建从受力分析到运动性质、能量变化的完整学习支架。 资料以多样化题型（单选、多选、解答）为载体，突出科学思维中的模型建构与科学推理，如通过带电小球在细管中机械能守恒问题培养分析能力。课中辅助教师突破重难点，课后助力学生巩固知识，查漏补缺，提升解决复杂电场运动问题的能力。

10.5.5 电场中有约束轨道的问题﹣高中物理必修三重难点突破 素养目标 1.能分析带电物体在约束轨道上运动时的受力情况； 2.能将重力场中的运动模型迁移到电场中； 3.能结合电场力的性质及能的性质分析解决有约束轨道的问题。 知识梳理 1.带电粒子在电场中受轻杆、圆环、管道等约束的情况下，常见的运动形式有直线运动和圆周运动。 2.首先明确约束轨道对研究对象运动的限制，从而分析其运动过程和运动性质。 3.对在有约束轨道上运动的带电体进行受力分析，分析其所受各个力的合力，注意在电场力作用下，约束轨道对研究对象产生的弹力的方向和大小的变化情况，结合牛顿运动定律、动能定理分析其运动性质和能量的变化情况。 一、单选题 1．如图所示，电荷量分别为和的两个点电荷连线水平，相对连线对称放置的内壁光滑的绝缘细管在竖直平面内，细管的上下端口恰好在连线的中垂线上。电荷量为的小球以初速度从上端管口无碰撞进入细管，在运动过程中始终机械能守恒，则（    ）    A． B．小球从细管下端飞出时速度大小为 C．小球运动过程中电势能始终保持不变 D．细管各处电场强度大小相等 2．用特殊材料做成的、质量均为的A、B两球，套在一根水平光滑直杆上，并将A球固定，以A的位置为坐标原点，杆的位置为x轴，建立坐标系，如图甲所示。两球间存在沿x轴的作用力，且大小随间距的变化而变化。两球之间因受到相互作用力而具有一定的势能，若其间的作用力做正功则势能减少，做负功则势能增加。根据这一规律，测出了其间的势能随位置坐标x的变化规律，如图乙所示。其中图线最低点的横坐标，图线右端的渐近线为虚线a（对应）。运动中不考虑其它阻力的影响，杆足够长，以下说法错误的是（　　） A．将小球B从处由静止释放后，它开始向x轴正方向运动 B．将小球B从处由静止释放后，它在运动中能达到的最大速度为 C．将小球B从处由静止释放后，它不可能第二次经过的位置 D．将小球B从处由静止释放后，它仅有一次经过的位置 3．如图所示，内壁光滑的绝缘真空细玻璃管竖直放置，A、B端分别固定带电小球a、b，另一带电小球c(其直径略小于管内径)位于AB中点O，处于静止状态，小球均带正电．轻晃玻璃管可观察到小球c在O点附近的M、N点间上下运动．下列说法正确的是 A．M、N两点的电势相等 B．小球c在运动过程中机械能守恒 C．小球a的电荷量等于小球b的电荷量 D．小球c从O点运动到N点电场力做负功 二、多选题 4．如图（a）所示，两个带正电的小球A、B（均可视为点电荷）套在一根倾斜的光滑绝缘直杆上，其中A球固定，电荷量，B球的质量。以A为坐标原点，沿杆向上建立直线坐标系，B球的总势能（重力势能与电势能之和）随位置x的变化规律如图（b）中曲线I所示，直线Ⅱ为曲线I的渐近线。图中M点离A点距离为6m。令A所在平面为参考平面，无穷远处电势为零，重力加速度取，静电力恒量，下列说法正确的是（　　） A．杆与水平面的夹角 B．B球的电荷量 C．若B球以4J的初动能从M点沿杆向上运动，到最高点时电势能减小2J D．若B球从离A球2m处静止释放，则向上运动过程中加速度先减小后增大 5．如图所示，内壁光滑、足够长的绝缘细玻璃管水平固定，管内固定着两个电荷量分别为、的带电小球M、N，管内位于小球N右侧的P点与M、N两小球共线，且M、N两小球在P点处激发的合电场的电场强度为零。若把另一带电小球E（图中未画出）放在管内P点处，小球E可能处于稳定平衡状态或不稳定平衡状态，判断方法如下：将小球E稍微偏离P点，若小球E受到合力的方向指向P点，则小球E处于稳定平衡状态，若合力方向背离P点，则小球E处于不稳定平衡状态。已知小球E的直径略小于细玻璃管的内径，所有小球均可视为点电荷。下列说法正确的是（　　） A．若小球E带正电，则小球E在管内P点处于稳定平衡状态 B．若小球E带负电，则小球E在管内P点处于稳定平衡状态 C．若小球E带负电，将其从管内P点向左移动一段距离后，由静止释放，在库仑力作用下小球E一定做往复运动 D．若小球E带负电，将其从管内P点向右移动一段距离后，由静止释放，在库仑力作用下小球E一定做往复运动 6．如图所示，内壁绝缘光滑的半径为R的环形细玻璃管固定在竖直面上（玻璃管内径远远小于圆环半径），O是环心，A、C是玻璃管上水平两点，，B、D是环管的最低点和最高点。在AC下方存在匀强电场，有一个质量为m、带正电的小球（其直径略小于管壁内径），从A点静止释放，结果小球第一次恰好能越过最高点。取重力加速度为g，，以后运动中（　　） A．小球每次从A经B到C的动能都一直在增大 B．从A点释放开始，每转过一圈，小球的机械能增加量相同 C．小球第一次经过最低点的加速度大小为 D．小球每经过最高点时，后一次速度与前一次速度差保持不变 三、解答题 7．如图（a），长度L=0.8m的光滑杆左端固定一带正电的点电荷A，其电荷量QA=1.8×10−7C，一质量m=0.02kg，带电量为q的小球B套在杆上。将杆沿水平方向固定于某非均匀外电场中，以杆左端为原点，沿杆向右为x轴正方向建立坐标系。点电荷A对小球B的作用力随B位置x的变化关系如图（b）中曲线I所示，小球B所受水平方向的合力随B位置x的变化关系如图（b）中曲线II所示，其中曲线II在0.16≤x≤0.20和x≥0.40范围可近似看作直线。求：（静电力常量k=9×109N·m2/C2） （1）小球B所带电量q及电性； （2）非均匀外电场在x=0.3m处沿细杆方向的电场强度E； （3）在合电场中，x=0.4m与x=0.6m之间的电势差U。 （4）已知小球在x=0.2m处获得v=0.4m/s的初速度时，最远可以运动到x=0.4m。若小球在x=0.16m处受到方向向右，大小为0.04N的恒力作用后，由静止开始运动，为使小球能离开细杆，恒力作用的最小距离s是多少？ 8．如图甲所示，M、P、N为直角三角形的三个顶点，与间的夹角，中点处固定一电荷量为Q的正点电荷，粗糙绝缘杆长为沿方向建立x轴（取M点处），今在杆上穿一带正电的小球（可视为点电荷），自N点由静止释放，小球下滑至横坐标处时，杆对它的弹力恰好为零，小球的重力势能和电势能随位置x的变化图像如图乙a、b所示，图中电势能，，已知小球的电荷量，质量，取，，重力加速度，静电力常量。 （1）求固定在中点处正点电荷的电荷量Q； （2）求小球在横坐标处的电势能； （3）若该小球从M点以初速度沿x轴向上运动，恰好能运动到N点，然后返回到M点，求小球返回到M点时的动能。 9．如图所示，固定于同一条竖直线上的A、B是两个带等量异种电荷的点电荷，电荷量分别为+Q和—Q，A、B相距为2d，MN是竖直放置的光滑绝缘细杆，另有一个穿过细杆的带电小球p，质量为m、电荷量为+q（可视为点电荷，不影响电场的分布），现将小球p从与点电荷A等高的C处由静止开始释放，小球p向下运动到距C点距离为d的O点时，速度为v，已知MN与AB之间的距离为d，静电力常量为k，重力加速度为g。求： （1）C、O间的电势差； （2）小球p经过O点时的加速度。 10．如图所示，一光滑绝缘细直杆MN，长为L，水平固定在匀强电场中，电场强度大小为E，方向与竖直方向夹角为θ。杆的M端固定一个带负电小球A，电荷量大小为Q；另一带负电的小球B穿在杆上，可自由滑动，电荷量大小为q，质量为m，现将小球B从杆的N端由静止释放，小球B开始向右端运动，已知k为静电力常量，g为重力加速度，求： （1）小球B对细杆的压力的大小； （2）小球B开始运动时加速度的大小； （3）小球B速度最大时，离M端的距离。 11．如图所示，光滑绝缘粗细均匀的直细杆竖直固定，A点固定一个电荷量为的点电荷A，一个质量为m且带电量为的小球套在杆上（可自由运动），AO垂直于杆，AO长为4L，AB与水平方向的夹角为37°，C、B关于O点对称。当小球在B点由静止释放，能经过C点。不计小球的大小，静电力常量为k，重力加速度为g，，，求： (1)小球在B点释放后瞬间的加速度； (2)小球经过C点时的速度大小。 12．如图所示，ABCD为竖直放置的光滑绝缘细管道，其中AB部分是半径为R的圆弧形管道，BCD部分是固定的水平管道，两部分管道恰好相切于B。水平面内的M、N、B三点连线构成边长为L的等边三角形，MN连线过C点且垂直于BCD。两个带等量异种电荷的点电荷分别固定在M、N两点，电荷量分别为+Q和-Q。现把质量为m、电荷量为+q的小球（小球直径略小于管道内径，小球可视为点电荷），由管道的A处静止释放。已知静电力常量为k，重力加速度为g。求： (1)小球运动到B处时受到电场力的大小； (2)小球运动到圆弧最低点B处时，小球对管道压力的大小。 13．如图所示，水平面内的等边三角形的边长为，顶点恰好位于光滑绝缘直轨道的最低点，点到两点的距离均为点在边上的竖直投影点为。轴上、两点固定两个等量的正点电荷，在点将质量为、电荷量为的小球套在轨道上（忽略它对原电场的影响）将小球由静止释放，已知静电力常量为，重力加速度为，且，忽略空气阻力，求： （1）轨道上点的电场强度； （2）小球运动至点时的加速度； （3）小球刚到达点时的动能。    14．如图所示，整个空间存在水平向右的匀强电场E=1.0×103N/C，半径为R=0.2m的光滑半圆形细管MPN固定在竖直平面内，管口M、N的连线水平，在细管右侧某处有一光滑绝缘的水平轨道CD，轨道左端C处静止放置一个绝缘不带电、质量mB=1.0kg的小球B，轨道右侧足够长．现将质量为mA=1.0kg、电量q=5.0×10-3C的带正电小球A从管口M（小球直径略小于细管直径）静止释放，从管口N离开细管之后恰能沿水平方向从C点进入轨道CD，与小球B发生弹性碰撞（碰撞过程无电荷转移、无机械能损失），两小球均可视为质点，在以后运动过程中两小球始终在水平轨道上，重力加速度g=10m/s2．求： （1）小球经过细管最低点P时对细管的压力； （2）第一次弹性碰撞前的瞬间小球A的速度vA0大小； （3）设小球A、B在C点右侧K处（图中未画出）发生第16次碰撞，求CK的距离． 15．如图所示，一内壁光滑的绝缘圆管固定在竖直平面内，圆管的圆心为O，D点为圆管的最低点，A、B两点在同一水平线上，，圆环的半径（圆管的直径忽略不计），过的虚线与过的虚线垂直相交于C点，在虚线的上方存在水平向右的、范围足够大的匀强电场；虚线的下方存在竖直向下的、范围足够大的匀强电场，电场强度大小等于，圆心O正上方的P点有一质量为m、电荷量为的绝缘小物体（可视为质点），间距为。现将该小物体无初速度释放，经过一段时间，小物体刚好沿切线无碰撞地进入圆管内，并继续运动，重力加速度用g表示。 （1）虚线上方匀强电场的电场强度为多大？ （2）小物体由P点运动到D点时轨道对小球的支持力多大？ 16．如图所示，半径为R的绝缘光滑半圆管道沿竖直方向固定，管道与绝缘水平面相切于B点，为圆管的直径，过圆心O的水平线下侧存在水平向右的匀强电场。质量为m、电荷量为的小球静止在圆管内的C点，连线与水平方向的夹角。质量为、电荷量为的滑块由水平面上A点静止释放，间距，经过一段时间与小球发生弹性碰撞，碰后小球运动到D点时与圆管间没有作用力。假设碰撞时间极短且无电荷量转移，滑块的大小以及小球的直径均小于圆管的内径，且圆管的内径可忽略，，重力加速度为g。 (1)求电场强度E的大小； (2)求滑块与水平面间的动摩擦因数； (3)改变使小球到达D点时速度大小为，求小球运动到D点时与圆管间的作用力以及小球再次进入电场后的最小动能。 17．如图所示，在光滑的水平桌面上，水平放置的粗糙直线轨道AB与水平放置的光滑圆弧轨道BCD相切于B点，整个轨道位于水平桌面内，圆心角，线段OC垂直于OD，圆弧轨道半径为R，直线轨道AB长为L＝5R。整个轨道处于电场强度为E的匀强电场中，电场强度方向平行于水平桌面所在的平面且垂直于直线OD。现有一个质量为m、带电荷量为＋q的小物块P从A点无初速度释放，小物块P与AB之间的动摩擦因数，，，忽略空气阻力。求： （1）小物块第一次通过C点时对轨道的压力大小； （2）小物块第一次通过D点后离开D点的最大距离； （3）小物块在直线轨道AB上运动的总路程。 18．如图所示，一个半径的圆弧形绝缘光滑轨道固定在竖直平面内，轨道的一个端点M和圆心O的连线与竖直方向的夹角，N为轨道最高点，O、N恰好处于同一竖直线上，水平面上方空间存在水平向左的匀强电场，水平面上有一点P，点P、M的连线恰好与圆弧轨道相切于M点，。现有一带正电滑块（可视为质点）从P点以一定的初速度沿PM做直线运动，滑块从M点进入圆弧轨道后，恰好能沿圆弧轨道运动并从N点射出。已知重力加速度取，，。求： (1)滑块沿圆弧轨道运动过程中的最小速度的大小； (2)滑块在P点时的初速度大小； (3)滑块在水平面上的落点到P点的距离。 19．如图所示，一长绝缘木板靠在光滑竖直墙面上，质量为m，木板右下方有一质量为2m、电荷量为+q的小滑块，滑块与木板间的动摩擦因数为μ，木板与滑块处在场强大小为的匀强电场中，电场方向水平向左，若电动机通过一根绝缘细绳拉动滑块，使之匀加速向上移动，当滑块与木板分离时，滑块的速度大小为v，此过程中电动机对滑块的做功为W0（重力加速度为g） （1）求滑块向上移动的加速度大小；             （2）写出从滑块开始运动到与木板分离的过程中木板增加的机械能随时间变化的函数关系式。 20．如图所示，ABC是位于竖直平面内、半径R＝0.5m的半圆弧的光滑绝缘轨道，B为半圆轨道的中点，A与水平绝缘轨道平滑连接，整个轨道处在水平向左的匀强电场中，电场强度。今有一质量为、带电荷量的小滑块（可视为点电荷），若已知滑块与水平轨道间的动摩擦因数，取重力加速度大小。 (1)若小滑块从水平轨道某位置由静止释放，恰能运动到半圆轨道的最高点C，则到达C处的速度是多大？ (2)按（1）中位置释放，则滑块通过B点时对轨道压力是多大？ (3)若小滑块从半圆轨道内侧B点由静止释放，小滑块在水平轨道上的总路程为多少？ 试卷第8页，共9页 试卷第7页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 《10.5.5 电场中有约束轨道的问题﹣高中物理必修三重难点突破》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C D D CD BD BC 1．C 【详解】A．小球机械能守恒，说明电场力不做功，即电场力与速度方向始终垂直，小球在初始位置的电场强度方向右上方，说明在该位置的场强大于在该位置的场强，则，A错误； B．由于机械能守恒，重力势能减小，则小球从细管下端飞出时速度大小应大于，B错误； C．电场力不做功，电势能不变，C正确； D．根据场强叠加原理，细管各处到两电荷的距离一直发生变化，电场强度大小不相等，D错误。 故选C。 2．D 【详解】由图知，在时，两个小球之间为排斥力，在时，两个小球之间为吸引力，且无穷远处与6cm处势能相等，均为0.28J，从而当小球B在12cm处由静止释放后，小球B将做往复运动，多次经过x0=20cm位置。同理当小球B在4cm、8cm处由静止释放后，其做往复运动。当小球B从处由静止释放后，运动到x0=20cm时势能最小，故速度最大，由能量守恒 由图像知，代入解得最大速度为1m/s，故ABC正确，不符合题意；D错误，符合题意。 故选D。 3．D 【详解】AC．小球c开始静止在O点，知重力和电场力平衡，可知b球对c球的库仑力大于a球对c球的库仑力，则小球a的电量小于小球b的电量，小球a和小球b的电量不等，故关于ab中点O对称的两点M、N电势不等，故AC错误； B．小球在振动的过程中，除重力做功以外，电场力做功，机械能不守恒，故B错误； D．小球c从O点运动到N点的过程是减速向下运动，合力向上，重力向下，则电场力向上，电场力做负功，故D正确。 4．CD 【详解】A．因随着两球距离的不断增加，电势能逐渐趋近于零，则渐近线Ⅱ表示B的重力势能随位置的变化关系，即 由图像可知直线斜率k=0.5，则有 解得 故A错误； B．由图乙中的曲线Ⅰ知，在处总势能最小，动能最大，该位置M点受力平衡，则有 解得 故B错误； C．M点的电势能 在M点B球总势能为6J，B球以4J的初动能从M点沿杆向上运动，根据能量守恒定律，当B的动能为零，总势能为10J，由图可知，总势能为10J时，有：，此时的电势能为 所以电势能的变化为 可知到最高点时电势能减小2J，故C正确； D．由于B球在位置M点受力平衡，B球从离A球2m处静止释放到M的过程中，根据牛顿第二定律可知 库仑力减小，向上运动过程中加速度大小减小；从M继续向上运动过程中，根据牛顿第二定律可知 库仑力减小，向上运动过程中加速度大小增大，所以B球的加速度也先减小后增大，故D正确。 故选CD。 5．BD 【详解】A．若小球E带正电，则将E向左移动后，由场强方向得E的受力方向背离P点，不平衡，故A错误； B．若小球E带负电，则将E向左移动后，由场强方向得E的受力方向背离P点，平衡，故B正确； C．若把E移动到MN电荷之间，正负电荷之间某点的场强为0，则无法往复运动，故C错误； D．若把E向右移动，则无场强为0的点，由静止释放，在库仑力作用下小球E一定做往复运动，故D正确。 故选BD。 6．BC 【详解】A．小球从A点静止释放，第一次恰好能越过最高点，小球速度为零。由动能定理有 解得 qE与mg的合力指向右下方，根据等效场思想，小球从B向C过程转过时存在动能最大值，故动能先增大后减小，A错误； B．根据功能关系，小球机械能增加量等于电场力做的功，小球每转一圈，电场力做功 所以机械能增加相同，B正确； C．小球第一次经过最低点B点时，由动能定理有 此时法向加速度和切向加速度分别为 ， 合加速度为 C正确； D．每转一圈动能增加相同，因此，每次经过最高点速度平方增加相同，后一次速度与前一次速度差不同，D错误。 故选BC。 7．（1）1.0×10−6C，正电；（2）3.0×104N/C，方向水平向左；（3）−800V；（4）0.065m 【详解】（1）小球A带正电，根据点电荷A对小球B的作用力随B位置x的变化关系如图（b）中曲线I所示，可判断知点电荷A对小球B的作用力方向与x轴正方向相同，即为库仑斥力，故小球B带正电；由图（b）中曲线I可知，当x=0.3m时，有 因此 （2）设在x=0.3m处点电荷与小球间作用力为F2，有 因此 电场在x=0.3m处沿细杆方向的电场强度大小为，方向水平向左； （3）根据图像可知在x=0.4m与x=0.6m之间合力做功为 由公式 可得 （4）根据图（b）中曲线II围成的面积表示合电场力做的功，可知小球从x=0.16m到x=0.2m处，合电场力做功为 小球从到处，合电场力做功为 == 由图可知小球从到处，合电场力做功为 由动能定理可得 +++=0 解得恒力作用的最小距离 8．（1）；（2）；（3） 【详解】(1)由题图乙可知，从M点到处，小球的电势能增加，从处到N点，小球的电势能减少，因此在处，小球离点电荷最近在处，对小球进行受力分析，在垂直杆方向，有 其中 由几何关系知 联立以上各式并代入数据得 （2）由题图乙可知，小球在处的电势能与重力势能相等，则可得 （3）设小球从M点到N点的过程，克服摩擦力做的功为W，从M点到N点的过程有 解得 由对称性可知，小球从N点返回到M点的过程，克服摩擦力做的功也为W，从M点到N点再返回到M点的过程有 代入数据解得 9．（1）；（2） 【详解】（1）小球由C运动到O时，由动能定理得 解得 （2）小球p经过点O时受力如图所示 由边角关系知，，由库仑定律得 它们的合力为 由牛顿第二定律得 解得 10．（1）；（2）；（3） 【详解】（1）小球B在垂直于杆的方向上合力为零，则有 由牛顿第三定律知小球B对细杆的压力 （2）在水平方向上，小球所受合力向右，由牛顿第二定律得 解得 （3）当小球B的速度最大时，加速度为零，有 解得 11．(1)，方向竖直向下 (2) 【详解】（1）由几何关系有， 根据牛顿第二定律有 求得 加速度方向竖直向下 （2）由题意有，B点与C点为等势点，小球从B到C库仑力不做功，则对小球分析，由动能定理有 求得 12．（1）；（2）。 【详解】（1）设小球在圆弧形管道最低点B处分别受到+Q和-Q的库仑力分别为F1和F2，则：   ① 小球沿水平方向受到的电场力为F1和F2的合力F，由平行四边形定则得： F=2F1cos60°  ② 联立①②得：   ③； （2）管道所在的竖直平面是+Q和-Q形成的合电场的一个等势面，小球在管道中运动时，小球受到的电场力和管道对它的弹力都不做功，只有重力对小球做功，小球的机械能守恒，有：   ④ 解得：   ⑤ 设在B点管道对小球沿竖直方向的压力为，在竖直方向对小球应用牛顿第二定律得：   ⑥ 解得：   ⑦ 设在B点管道对小球在水平方向的压力为，则：   ⑧ 圆弧形管道最低点B处对小球的压力大小为：   ⑨ 由牛顿第三定律可得小球对圆弧管道最低点B的压力大小为：   ⑩ 13．（1），沿轴正方向；（2）0；（3） 【详解】（1）根据题意，由几何关系有 故 则轨道上点的电场强度大小 方向沿轴正方向。 （2）根据题意，由几何关系 知 根据对称性可知，点的电场强度方向沿轴正方向，且 小球在点时的受力如图所示    沿杆方向的合力为 解得 （3）根据等量同种电场分布和对称关系可知，两点电势相等，电荷从到的过程中电场力做功 根据动能定理可得 解得 14．(1) 40N，竖直向下  (2) 1 m/s  (3) 48m 【详解】(1)A球从A到P，由动能定理得 A球在P点，由牛顿第二定律得 解得 =40N 由牛顿第三定律得细管受到的压力 =40N 方向竖直向下 (2)A球从M到N，由动能定理得 解得 vN=m/s A球从N到C，做斜上抛运动，则竖直方向： =0.2s 水平方向 =5m/s2 第一次碰撞前A球速度为 =1m/s (3)取水平向右为正方向，对A、B球第1次弹性碰撞，有 解得 vA1=0， vB1=1 m/s 设第1、2次碰撞的时间间隔为t1，第1次碰撞后A球初速度vA1=0、做加速度a=5m/s2的匀加速直线运动，B球以vB1=1 m/s做匀速直线运动，则有 解得 =0.4s 设第2次碰撞前A、B球速度分别为、，则 =2m/s =1m/s 对A、B球第2次弹性碰撞，有 解得 vA2=1 m/s， vB2=2m/s 设第2、3次碰撞的时间间隔为t2，则有 解得 =0.4s 可得第3次碰撞前瞬间A、B球速度分别为=3m/s ， = vB2=2m/s同理， 对第3次弹性碰撞，碰撞后瞬间A、B球速度分别为 vA3=2m/s，vB3=3m/s 故每相邻两次碰撞后B球速度是等差数列，公差为d=1m/s，第15次碰撞后vB15=15m/s，每相邻两次碰撞的时间间隔相等t=0.4s 综上，CK距离 S==48m 15．（1）；（2） 【详解】（1）设虚线上方电场强度为E1，虚线下方电场强度为E2，小物体在重力和电场力的作用下做匀加速直线运动，小物体从B点切线方向进入，则此时速度方向与竖直方向的夹角为，即加速度方向与竖直方向的夹角为，则有 解得 （2）小物体由Р点运动到D点时，根据动能定理可得 由几何知识可得 又因为 联立以上式子，求得 物体在D点时，根据牛顿第二定律有 求得，轨道对小球的支持力大小为 16．(1) (2) (3)，方向竖直向下， 【详解】（1）小球静止在C时，小球受平衡力的作用，受力分析如图所示 由力的平衡条件得 解得 （2）碰后小球在D点时与圆管间没有作用力，则有 解得 对碰后的小球由C到D的过程，由动能定理得 解得 设碰前瞬间滑块的速度大小为，对滑块与小球碰撞的过程，系统的动量守恒、机械能守恒 则有， 解得 对滑块由A到与小球碰撞的过程，由动能定理得 解得 （3）小球在D点时，由牛顿第二定律得 解得，方向竖直向下 小球离开D点进入电场前做平抛运动，在竖直方向上有，又 解得 此时的速度与水平方向的夹角为，则有 解得 假设小球的合速度与小球的合力垂直时，小球未落地，此时小球的动能最小，设此时小球的速度为v，速度与竖直方向的夹角为，小球从进入电场到运动到该位置的过程，在竖直方向上有 水平方向上有 又由牛顿第二定律得 ，故假设成立 小球动能的最小值为 解得 17．（1）5.4qE；（2）R；（3）15R 【详解】（1）设小物块第一次到达C点时的速度大小为vC1，根据动能定理有 解得 在C点根据向心力公式得 解得 根据牛顿第三定律得 （2）设小物块第一次到达D点时的速度大小为vD1，根据动能定理有 解得 小物块第一次到达D点后先以速度vD1逆着电场方向做匀减速直线运动，设运动的最大距离为xm，根据动能定理得 解得 （3）分析可知小物块最终会在圆弧轨道上做往复运动，到达B点的速度恰好为零时，动能和电势能之和不再减小。设小物块在直线轨道AB上运动的总路程为s，则根据功能关系得 解得 s＝15R 18．(1) (2) (3) 【详解】（1）根据小球沿PM做直线运动可知，小球所受的电场力与重力的合力沿MP方向，如图（a）所示， 则小球所受电场力与重力的合力大小为 根据小球恰好能沿圆弧轨道运动并从N点射出可知，小球在圆弧轨道上经过等效最高点G时速度有最小值vG，如图（b）所示， 此时小球所受电场力与重力的合力提供向心力，即 解得 （2）设小球在P点时的初速度大小为v0，小球从P点运动到G点的过程中，根据动能定理有 解得 （3）小球从G点运动到N点的过程中，根据动能定理有 解得 小球从N点水平飞出后，在水平方向上做初速度为vN的匀加速运动，加速度大小为 小球在竖直方向上做自由落体运动，设小球从N点飞出到落地的时间为t，则 解得 小球在水平面上的落点到N点的距离为 所以小球在水平面上的落点到P点的距离为 19．（1）；（2） 【详解】（1）对滑块，据动能定理可知: 得 因为 则 （2）当 即 有 20．(1) (2)4.2N (3)2m 【详解】（1）恰能运动到半圆轨道的最高点C，在C处轨道与滑块间没有弹力，根据牛顿第二定律 可得 （2）小滑块从B运动到C，根据动能定理可得 滑块通过B点时，电场力F＝qE，轨道对滑块的支持力为，根据牛顿第二定律 联立可得，由牛顿第三定律可知滑块通过B点时对轨道压力大小为 （3） 如图所示，设滑块在水平轨道上所受摩擦力为 ，在水平轨道上无法静止，最终将以等效最低点D（该点与圆心的连线与竖直方向夹角为，）为中心，在A与A'间往复运动， 滑块最终在圆弧轨道的AA'部分上做往复运动，则 解得s＝2m 答案第10页，共13页 答案第11页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $