专题7.3 复数的三角表示（4类必考点）讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

专题7.3 复数的三角表示 【知识梳理】 1 【考点1：复数的三角表示】 3 【考点2：三角表示下复数的几何意义】 6 【考点3：复数乘、除运算的三角表示】 11 【考点4：三角表示下复数的乘方与开方】 14 【知识梳理】 1．复数的三角表示式 (1)复数的三角表示式 如图，我们可以用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角θ来表示复数z. 一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式. 概念名称 概念的说明 模r r是复数z的模，) 辐角θ θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，且 三角形式 r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式，该式的结构特征是：模非负，角相同，余弦前，加号连 (2)辐角的主值 显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.例如，复数i的辐角是 ，其中k可以取任何整数.对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值.通常记作argz，即0argz<2π. (3)三角形式下的复数相等 每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等. 2．复数乘法运算的三角表示及其几何意义 (1)复数乘法运算的三角表示 根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到 ， 即. 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和. (2)几何意义 两个复数z1，z2相乘时，可以像图那样，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量 绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2.这是复数乘法的几何意义. 3．复数除法运算的三角表示及其几何意义 (1)复数除法运算的三角表示 设，，且，因为，所以根据复数除法的定义，有. 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐 角减去除数的辐角所得的差. (2)几何意义 如图，两个复数z1，z2相除时，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按 顺时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按逆时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是商.这是复数除法的几何意义. 【考点1：复数的三角表示】 1．（25-26高一下·全国·月考）复数，若，则的值可以是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】先将复数化为三角形式，再根据复数的幂运算法则求出，最后根据建立等式求解. 【详解】，则， 由于得：， 故,解得， 因为，所以的值可以是5，11，17，. 故选：C. 2．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）设的辐角主值为，则的辐角可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据复数的乘法化简，再应用复数的三角表示结合诱导公式计算求解辐角. 【详解】． 又，， ，，， ，， ． 的辐角主值为，则的辐角可以是或． 故选：AC． 3．（多选）（2026·河南南阳·一模）一般地，任何一个复数（，）都可以写成的三角形式，其中，，是复数的模，是复数的辐角，并规定范围内的辐角的值为辐角主值，则方程的复数根的辐角主值是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】设方程的复数根为（，），根据条件，利用复数相等得或，再转化成三角形式，即可求解. 【详解】设方程的复数根为（，），则， 即，则，解得或， 所以或， 又，， 且，所以方程的复数根的辐角主值是，. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）若非零复数，则________. 【答案】 【分析】由题意可得，根据复数的乘法运算即可求得答案. 【详解】由于非零复数，故， 故 . 故答案为： 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）_________． 【答案】 【详解】 ． 6．（25-26高一下·全国·课堂例题）将复数的代数形式化为三角形式． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助复数的三角表示的定义计算即可得答案. （2）借助复数的三角表示的定义计算即可得答案. 【详解】（1）． （2）． 7．（25-26高一下·全国·课后作业）写出下列复数的三角形式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据复数的三角形式及诱导公式计算即可. 【详解】（1） （2） 8．（25-26高一下·全国·课堂例题）把下列复数表示成代数形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】求出各题中的三角函数值即可求解. 【详解】（1） （2） （3） （4）． 【考点2：三角表示下复数的几何意义】 1．（25-26高三下·湖北武汉·月考）已知复数，其中为虚数单位，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数三角形式的乘法法则可得. 【详解】由题可知. 故选：C. 2．（2026·河南信阳·模拟预测）在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量在上的投影向量对应复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由复数的几何意义可得旋转后的向量所对应的复数为并化简 ，再结合投影向量的定义求解． 【详解】因为把复数对应的向量按顺时针方向旋转， 所以旋转后的向量所对应的复数为， 所以旋转后的向量， 又因为，， 所以向量在上的投影向量是，即对应复数是. 故选：. 3．（2024·上海·高考真题）如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图可得复数的模长、虚部的大小以及坐标，据此进行计算可得答案. 【详解】由图可知，满足条件的复数在单位圆内（含边界），故； 又复数对应点的纵坐标大于等于，故其虚部大于等于， 所以阴影部分（含边界）对应的复数集合为， 如图可得，可得， 所以，所以阴影部分（含边界）对应的复数集合是. 故选：D. 4．（25-26高一·全国·随堂练习）图中四边形ABCD，DCEF，FEGH都是正方形，用复数方法证明：．    【答案】证明见解析 【分析】根据题意，建立以为坐标原点的直角坐标系，分别表示出对应的复数，并将复数改写成三角表示的形式并进行乘法运算即可得出结论. 【详解】以为坐标原点，以方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，如下图所示：    令，可得点， 所以对应的复数分别为， 所以分别为的辐角，且； 可得 ； 所以可得 5．（25-26高一·全国·随堂练习）在复平面内，复数，，，它们对应的向量分别为、、，如何直观地理解与、与之间的位置关系呢？ 【答案】答案见解析 【分析】根据复数的三角形式以及复数乘法的几何意义可得出结论. 【详解】解：因为，所以，， ，所以，， 所以，先将沿原方向伸长倍，再逆时针旋转，可得到， 将反向伸长为原来的倍，可得到. 6．（25-26高一·全国·课堂例题）如图，设复平面上的点表示复数，将点绕原点旋转90°得到的点表示哪一个复数？    【答案】. 【分析】先写出未旋转前向量对应的复数，再根据旋转的规则计算旋转后的向量对应的复数. 【详解】设向量，分别表示，，由知，是矩形的对角线． 将矩形绕原点旋转90°，则，分别变成，，矩形变成矩形， 于是，所对应的复数应分别由，所对应的复数乘得到， 即对应的复数为，对应的复数为． 因此，矩形的对角线表示的向量所对应的复数为， 即点表示复数． 7．（25-26高一上·上海·课堂例题）设、、在复平面上对应的点分别为A、B、C，.若，，，求四边形的面积. 【答案】 【分析】写出复数的三角形式，根据三角形式几何意义得到，且，，且，利用三角形面积公式得到，相加后得到答案. 【详解】，得，由， 得. 因为，所以，即，且. 因为，所以，即，且. 设四边形的面积为， 则 . 8．（24-25高一下·湖南邵阳·期中）已知复数，，求当满足什么条件时， (1)在复平面内对应的点关于实轴对称； (2). 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由题意可得，从而可求得答案， （2）由题意得，化简可得答案. 【详解】（1）因为在复平面内，与对应的点关于实轴对称， 所以，即， 解得， 所以. （2）由，得，即，   整理得，所以. 【考点3：复数乘、除运算的三角表示】 1．（2026·广东·一模）已知为虚数单位，复数，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】利用复数的三角形式的乘法公式计算即得. 【详解】因， 则. 2．（25-26高一下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数乘法的三角表示公式计算即可. 【详解】因为，所以 . 故选：C. 3．（2026·山东烟台·一模）已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】因为复数， 所以， 所以复数在复平面内对应的点的坐标为， 又，， 所以在复平面内对应的点位于第一象限. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）计算：. 【答案】 【分析】利用三角形式的复数乘法法则计算即可. 【详解】 . 5．（25-26高一下·全国·课后作业）已知复数，，求的辐角的主值． 【答案】 【分析】利用复数的乘法运算化简，再结合辐角主值的定义求出. 【详解】 ， 因为辐角主值属于，所以的辐角的主值为． 6．（25-26高一下·全国·课后作业）求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用复数的三角形式进行复数的乘法与乘方运算即可证明. 【详解】左边 右边． 所以原等式成立． 7．（25-26高一下·全国·课堂例题）计算下列各式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据复数三角形式的乘法运算直接求解即可. 【详解】（1）原式 . （2）原式. （3） . 8．（25-26高一下·全国·课后作业）在复平面内，把复数对应的向量绕原点逆时针旋转后所得向量对应的复数为，绕原点顺时针旋转后所得向量对应的复数为 (1)求复数； (2)若复数，求复数. 【答案】(1)， (2) 【分析】(1)根据复数的三角形式旋转后可得新复数； (2)根据复数三角形式的除法运算律求解即可. 【详解】（1）复数逆时针旋转后得, 顺时针旋转后得. （2）由（1）得. 【考点4：三角表示下复数的乘方与开方】 1．（25-26高三上·江西南昌·月考）设有复数，，令，则复数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数三角形式的乘方运算，化简计算即可得到答案. 【详解】根据复数的三角形式，复数，模为，极角为， 则.又因为， 所以， 所以， ，所以. ， 故选：A 2．（25-26高三上·广东·期末）任意一个复数（，）都可以表示成三角形式，即（）（，）.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数：，，则，已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由棣莫弗定理可知，若，则，求出，代入公式化简即可. 【详解】由棣莫弗定理可知，若，则， 因为，所以， 所以， 故选：A. 3．（25-26高三上·河南南阳·期末）任何一个复数（其中，i为虚数单位）都可以表示成三角形式（其中，），数学家棣莫弗由此还发现了棣莫弗定理：.已知复数，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，然后由棣莫弗定理得，即可求解其虚部. 【详解】由题意可得， 故， 即的虚部为. 故选：C. 4．（25-26高三上·湖北·期中）任意一个复数都可以表示成三角形式，即.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数，，则，已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将化为三角形式，根据棣莫弗定理可求得的值，即可求得答案. 【分析】由题意可得， 故， 所以， 故选：C. 5．（多选）（25-26高三上·湖南长沙·月考）任何一个复数（其中）都可以表示成：的形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（　　） A．当时， B．若或，则 C． D．当，且为偶数时，复数为纯虚数 【答案】AB 【分析】根据棣莫弗定理，结合三角函数知识，及共轭复数，纯虚数的概念逐项验证可得答案. 【详解】选项A：当时，由棣莫弗定理得，， 所以，所以选项A正确； 选项B显然有，由棣莫弗定理得，，所以选项B正确； 选项C ，所以选项C错误； 选项D：当时，由棣莫弗定理得，， 当时，，此时不为纯虚数， 所以当为偶数时，复数不一定为纯虚数，所以选项D错误． 故选：AB 6．（25-26高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将复数转化为三角形式，再结合三角运算即可化简； （2）利用以及复数的三角运算化简即可. 【详解】（1）原式 ． （2）因为， 所以原式 ． 7．（25-26高一下·安徽阜阳·月考）在复平面内，复数对应的向量为(O为坐标原点)，设，以射线为始边，为终边逆时针旋转所得的角为，则，此为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理: ，，则.由棣莫弗定理导出了复数乘方公式: . (1)将复数表示为三角形式; (2)根据复数乘方公式，化简: 【答案】(1). (2) 【分析】（1）求出的值即可得答案； （2）由题意可得，再利用诱导公式求解即可. 【详解】（1）由题意得，当时， ， 故； （2） ， 故. 8．（24-25高一下·贵州贵阳·期末）形如z=a+bi（a，b∈R）的数称为复数的代数形式.任何一个复数z=a+bi都可以表示成r（cosθ+isinθ）的形式， 即 其中r为复数z的模，θ是以x轴非负半轴为始边，向量 所在射线（射线OZ）为终边的角，称为复数的辐角，规定范围内的辐角θ的值为辐角的主值，记为 argz. 叫做复数的三角形式.根据复数乘法运算的三角表示知： .推广，到n次幂有： 此结论称为棣莫弗定理.下面我们利用棣莫弗定理探究1的3次方根：设z=r（cosθ+isinθ）（）是1的3次方根，则 所以 因为相等的复数的模相等，辐角可以相差的整数倍.所以,所以1的3次方根是 .由三角函数周期性可得，1的3次方根为： 请结合材料回答以下问题： (1)将 表示成三角形式 （辐角取主值）； (2)在复数范围内，求出1的8次方根； (3)在复数范围内是否存在满足以下条件的集合 （i） ; （ii） 任意m 都有 若存请确定集合S；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在这样的集合， 【分析】（1）根据复数的三角形式的定义计算可求解； （2）设是 1 的 8 次方根，有，求解即可； （3）取，验证可得结论. 【详解】（1）由，, 则，, 由，则， 所以； （2）1 的三角形式： 设是 1 的 8 次方根，则：， 解得：，， 取，得到 8 个不同的根： 所以， 即1 的 8 次方根为：，， ，， ，， ，； （3）取， ， ， 则 ， 因为，，所以， 所以是的整数倍，故. 所以在复数范围内存在满足以下条件的集合 （i） ; （ii） 任意m 都有 . 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.3 复数的三角表示 【知识梳理】 1 【考点1：复数的三角表示】 3 【考点2：三角表示下复数的几何意义】 4 【考点3：复数乘、除运算的三角表示】 7 【考点4：三角表示下复数的乘方与开方】 9 【知识梳理】 1．复数的三角表示式 (1)复数的三角表示式 如图，我们可以用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角θ来表示复数z. 一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式. 概念名称 概念的说明 模r r是复数z的模，) 辐角θ θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，且 三角形式 r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式，该式的结构特征是：模非负，角相同，余弦前，加号连 (2)辐角的主值 显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.例如，复数i的辐角是 ，其中k可以取任何整数.对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值.通常记作argz，即0argz<2π. (3)三角形式下的复数相等 每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等. 2．复数乘法运算的三角表示及其几何意义 (1)复数乘法运算的三角表示 根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到 ， 即. 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和. (2)几何意义 两个复数z1，z2相乘时，可以像图那样，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量 绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2.这是复数乘法的几何意义. 3．复数除法运算的三角表示及其几何意义 (1)复数除法运算的三角表示 设，，且，因为，所以根据复数除法的定义，有. 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐 角减去除数的辐角所得的差. (2)几何意义 如图，两个复数z1，z2相除时，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按 顺时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按逆时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是商.这是复数除法的几何意义. 【考点1：复数的三角表示】 1．（25-26高一下·全国·月考）复数，若，则的值可以是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 2．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）设的辐角主值为，则的辐角可以是（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（2026·河南南阳·一模）一般地，任何一个复数（，）都可以写成的三角形式，其中，，是复数的模，是复数的辐角，并规定范围内的辐角的值为辐角主值，则方程的复数根的辐角主值是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）若非零复数，则________. 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）_________． 6．（25-26高一下·全国·课堂例题）将复数的代数形式化为三角形式． (1) (2) 7．（25-26高一下·全国·课后作业）写出下列复数的三角形式． (1)； (2)． 8．（25-26高一下·全国·课堂例题）把下列复数表示成代数形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【考点2：三角表示下复数的几何意义】 1．（25-26高三下·湖北武汉·月考）已知复数，其中为虚数单位，则（   ） A．1 B． C． D． 2．（2026·河南信阳·模拟预测）在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量在上的投影向量对应复数是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·上海·高考真题）如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一·全国·随堂练习）图中四边形ABCD，DCEF，FEGH都是正方形，用复数方法证明：．    5．（25-26高一·全国·随堂练习）在复平面内，复数，，，它们对应的向量分别为、、，如何直观地理解与、与之间的位置关系呢？ 6．（25-26高一·全国·课堂例题）如图，设复平面上的点表示复数，将点绕原点旋转90°得到的点表示哪一个复数？    7．（25-26高一上·上海·课堂例题）设、、在复平面上对应的点分别为A、B、C，.若，，，求四边形的面积. 8．（24-25高一下·湖南邵阳·期中）已知复数，，求当满足什么条件时， (1)在复平面内对应的点关于实轴对称； (2). 【考点3：复数乘、除运算的三角表示】 1．（2026·广东·一模）已知为虚数单位，复数，则（   ） A．1 B． C．2 D． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·山东烟台·一模）已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）计算：. 5．（25-26高一下·全国·课后作业）已知复数，，求的辐角的主值． 6．（25-26高一下·全国·课后作业）求证：． 7．（25-26高一下·全国·课堂例题）计算下列各式： (1)； (2)； (3). 8．（25-26高一下·全国·课后作业）在复平面内，把复数对应的向量绕原点逆时针旋转后所得向量对应的复数为，绕原点顺时针旋转后所得向量对应的复数为 (1)求复数； (2)若复数，求复数. 【考点4：三角表示下复数的乘方与开方】 1．（25-26高三上·江西南昌·月考）设有复数，，令，则复数（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·广东·期末）任意一个复数（，）都可以表示成三角形式，即（）（，）.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数：，，则，已知复数，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·河南南阳·期末）任何一个复数（其中，i为虚数单位）都可以表示成三角形式（其中，），数学家棣莫弗由此还发现了棣莫弗定理：.已知复数，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·湖北·期中）任意一个复数都可以表示成三角形式，即.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数，，则，已知复数，则（   ） A． B． C． D． 5．（多选）（25-26高三上·湖南长沙·月考）任何一个复数（其中）都可以表示成：的形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（　　） A．当时， B．若或，则 C． D．当，且为偶数时，复数为纯虚数 6．（25-26高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 7．（25-26高一下·安徽阜阳·月考）在复平面内，复数对应的向量为(O为坐标原点)，设，以射线为始边，为终边逆时针旋转所得的角为，则，此为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理: ，，则.由棣莫弗定理导出了复数乘方公式: . (1)将复数表示为三角形式; (2)根据复数乘方公式，化简: 8．（24-25高一下·贵州贵阳·期末）形如z=a+bi（a，b∈R）的数称为复数的代数形式.任何一个复数z=a+bi都可以表示成r（cosθ+isinθ）的形式， 即 其中r为复数z的模，θ是以x轴非负半轴为始边，向量 所在射线（射线OZ）为终边的角，称为复数的辐角，规定范围内的辐角θ的值为辐角的主值，记为 argz. 叫做复数的三角形式.根据复数乘法运算的三角表示知： .推广，到n次幂有： 此结论称为棣莫弗定理.下面我们利用棣莫弗定理探究1的3次方根：设z=r（cosθ+isinθ）（）是1的3次方根，则 所以 因为相等的复数的模相等，辐角可以相差的整数倍.所以,所以1的3次方根是 .由三角函数周期性可得，1的3次方根为： 请结合材料回答以下问题： (1)将 表示成三角形式 （辐角取主值）； (2)在复数范围内，求出1的8次方根； (3)在复数范围内是否存在满足以下条件的集合 （i） ; （ii） 任意m 都有 若存请确定集合S；若不存在，请说明理由. 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $