专题7.1 复数的概念（11类必考点）讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

专题7.1 复数的概念 【知识梳理】 1 【考点1： 求复数的实部与虚部】 4 【考点2：复数的相等】 4 【考点3： 复数的分类及辨析】 5 【考点4：已知复数的类型求参数】 6 【考点5：复数的坐标表示】 7 【考点6： 在各象限内点对应复数的特征】 8 【考点7： 实轴、虚轴上点对应的复数】 10 【考点8： 根据复数对应坐标的特点求参数】 10 【考点9： 求复数的模 】 12 【考点10：由复数模求参数】 13 【考点11：与复数模相关的轨迹（图形）问题】 13 【知识梳理】 1．数系的扩充与复数的相关概念 (1)复数的引入 为了解决这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定： ①，即i是方程的根； ②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立. 在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果 记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中. (2)复数的概念 我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫 做复数集.这样，方程在复数集C中就有解x=i了. (3)复数的表示 复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部. (4)复数的分类 对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数. 显然，实数集R是复数集C的真子集，即. 复数z=a+bi可以分类如下： 复数， 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示. 2．复数相等 在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当 a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等. 3．复数的几何意义 (1)复平面 根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面 直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系. 如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来 表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. (2)复数的几何意义——与点对应 由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一 的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义. (3)复数的几何意义——与向量对应 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一 对应的.这样就可以用平面向量来表示复数. 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定. 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义. 4．复数的模 向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它 的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R). 5．共轭复数 (1)定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0 的两个共轭复数也复数z的共轭复数用表示，即若z=a+bi，则.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身. (2)几何意义 互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复 平面内所对应的点重合，且在实轴上. (3)性质 ①. ②实数的共轭复数是它本身，即z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数. 6．复数的模的几何意义 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数 的模的几何意义. (2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以 原点为圆心，r为半径的圆，|z|<r表示圆的内部，|z|>r表示圆的外部. [方法技巧] 求解与复数概念相关问题的技巧 复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意求解．　　 【考点1： 求复数的实部与虚部】 1．（北京市朝阳区2026届高三年级第二学期质量检测一数学试卷）复数的实部与虚部的和是（   ） A． B． C．0 D．2 2．（25-26高二上·贵州·期中）复数的虚部为（   ） A．2025 B． C．1121 D．1120 3．（25-26高二上·湖南·期中）已知，复数的实部是虚部的3倍，则（    ） A． B．2 C．1 D． 4．（25-26高三上·福建厦门·期中）若复数，则的虚部为______. 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是____________． 【考点2：复数的相等】 1．（24-25高一下·陕西商洛·期中）若与均为实数，且，则的值为（    ） A．3 B．4 C． D． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）若，则实数x，y的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，则实数________，________． 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）；求满足上述条件的实数x，y的值； 5．（25-26高一·上海·课堂例题）已知，其中、．求x、y的值． 【考点3： 复数的分类及辨析】 1．（25-26高二上·河南·开学考试）在，，，，，这几个数中，纯虚数的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）在，，，，，这几个数中，纯虚数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列命题正确的是（    ） A．复数不是纯虚数 B．若，则复数是纯虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若复数，则当且仅当时，为虚数 4．（多选）（25-26高一下·安徽安庆·月考）下列命题不正确的是（    ） A．复数不可能是纯虚数 B．若复数，则当且仅当时，为虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若，则复数为纯虚数 5．（25-26高一下·全国·课后作业）写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)0． 【考点4：已知复数的类型求参数】 1．（四川凉山州2026届高中毕业班第二次诊断性考试数学试题）复数是实数，则实数（    ） A．0 B．1 C． D．0或1 2．（2025·广东广州·一模）“”是“复数为纯虚数”的（   ） A．充分非必要条件 B．充要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知, ．若，求实数m的取值范围． 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）当m为何值时，复数,是： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数． 5．（25-26高一下·全国·课后作业）设复数， (1)当实数m为何值时，z是纯虚数？ (2)当实数m为何值时，z是实数？ 【考点5：复数的坐标表示】 1．（25-26高三上·贵州遵义·期末）如图，复数在复平面内对应的点为，则（   ）    A． B． C．1 D． 2．（25-26高三下·四川成都·开学考试）在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则z的共轭复数（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）在复平面内点A，B，C所对应的复数分别为，，，若，则点D表示的复数是___________． 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知复数，，，它们在复平面上的对应点分别是正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数. 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）在复平面内，已知平行四边形的三个顶点对应的复数分别为0，，．求： (1)向量对应的复数； (2)向量对应的复数； (3)点对应的复数． 【考点6： 在各象限内点对应复数的特征】 1．（25-26高一下·河南南阳·月考）设，若复数在复平面内的对应点在第三象限，则x的取值集合为______． 2．（25-26高一下·江苏无锡·月考）已知复数. (1)若复数是实数，求实数的值； (2)若在复平面内，复数表示的点在第四象限，求实数的取值范围. 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）设复数，对应的点满足下列关系，求的范围或取值. (1)点在第二象限； (2)点在直线上. 4．（25-26高一下·湖南衡阳·月考）已知，为虚数单位，复数. (1)若，求的值； (2)若复数对应的点在第三象限，求的取值范围； 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）在复平面内，若复数对应的点： (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在第二、四象限； (4)在直线上，分别求实数的取值范围． 【考点7： 实轴、虚轴上点对应的复数】 1．（24-25高一下·北京通州·期末）已知是复平面内表示复数的点，若复数是虚数，则点P（    ） A．在虚轴上 B．不在虚轴上 C．在实轴上 D．不在实轴上 2．（25-26高一下·全国·课后作业）在复平面内，复数对应的点在虚轴上，则的值为（    ） A．或 B． C．且 D．或 3．（25-26高一下·湖南衡阳·月考）已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则_____________． 4．（25-26高一下·全国·单元测试）若复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则实数的取值集合为__________. 5．（25-26高一上·上海·课后作业）已知复数，. (1)表示的复数对应的点在实轴上的有几个？ (2)表示的复数对应的点在虚轴上的有几个？ 【考点8： 根据复数对应坐标的特点求参数】 1．（25-26高一下·浙江宁波·开学考试）在复平面内，复数对应的点恰好位于第四象限，则的取值范围是（        ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·上海杨浦·期中）设，若复数在复平面内的对应点在第三象限，则x的取值集合为___________； 3．（24-25高一下·云南楚雄·月考）在复平面内，当实数m取什么值时，复数对应的点分别满足下列条件？ (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在直线上. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）在复平面内，若复数对应的点，满足下列条件时，分别求实数m的取值范围． (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在第二、四象限； (4)在直线上. 5．（25-26高二上·广西钦州·期中）已知复数，（）， (1)若z为纯虚数，求m的值； (2)若复数z对应的点位于第二象限，求m的取值范围； (3)若复数z对应的点位于直线上，求复数z. 【考点9： 求复数的模 】 1．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知复数，则（   ） A．5 B． C．3 D． 2．（2026·河北石家庄·一模）若复数满足，则（    ） A． B．13 C． D．5 3．（2026·广东深圳·一模）复数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2026·湖南湘潭·二模）___________． 5．（25-26高一下·全国·课后作业）在复平面内画出复数，，对应的向量，，，并求出各复数的模． 【考点10：由复数模求参数】 1．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）设复数，且，则（   ） A．4 B．8 C． D． 2．（25-26高二下·浙江温州·月考）已知复数满足，则实数的可能取值为（   ） A．2 B． C．1 D． 3．（25-26高三下·陕西西安·开学考试）已知复数在复平面内对应的点在第一象限，且，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．-4 4．（2026年普通高校招生“星梦杯”统一模拟考试数学试卷）已知复数z的实部与虚部互为相反数，且，则_______． 5．（2025·上海闵行·一模）若复数的实部为1，虚部为正数，且，则________ 【考点11：与复数模相关的轨迹（图形）问题】 1．（24-25高一下·广东湛江·期中）已知复数z在复平面内对应的点为Z，则满足的点的集合组成的图形的面积是（   ） A． B． C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）若，则复数在复平面内的点的集合组成的图形是______． 3．（24-25高一下·广东深圳·期中）已知复数满足，则在复平面内复数对应的点的集合构成区域的面积为________. 4．（24-25高一下·广东广州·期末）设，在复平面内，复数z所对应的点为Z，那么满足条件点Z的集合构成图形的面积为__________. 5．（2026高三·全国·专题练习）判别下列各式在复平面所表示的图形． (1) (2) (3) 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.1 复数的概念 【知识梳理】 1 【考点1： 求复数的实部与虚部】 4 【考点2：复数的相等】 5 【考点3： 复数的分类及辨析】 6 【考点4：已知复数的类型求参数】 8 【考点5：复数的坐标表示】 10 【考点6： 在各象限内点对应复数的特征】 13 【考点7： 实轴、虚轴上点对应的复数】 15 【考点8： 根据复数对应坐标的特点求参数】 17 【考点9： 求复数的模 】 20 【考点10：由复数模求参数】 21 【考点11：与复数模相关的轨迹（图形）问题】 23 【知识梳理】 1．数系的扩充与复数的相关概念 (1)复数的引入 为了解决这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定： ①，即i是方程的根； ②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立. 在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果 记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中. (2)复数的概念 我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫 做复数集.这样，方程在复数集C中就有解x=i了. (3)复数的表示 复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部. (4)复数的分类 对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数. 显然，实数集R是复数集C的真子集，即. 复数z=a+bi可以分类如下： 复数， 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示. 2．复数相等 在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当 a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等. 3．复数的几何意义 (1)复平面 根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面 直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系. 如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来 表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. (2)复数的几何意义——与点对应 由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一 的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义. (3)复数的几何意义——与向量对应 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一 对应的.这样就可以用平面向量来表示复数. 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定. 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义. 4．复数的模 向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它 的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R). 5．共轭复数 (1)定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0 的两个共轭复数也复数z的共轭复数用表示，即若z=a+bi，则.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身. (2)几何意义 互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复 平面内所对应的点重合，且在实轴上. (3)性质 ①. ②实数的共轭复数是它本身，即z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数. 6．复数的模的几何意义 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数 的模的几何意义. (2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以 原点为圆心，r为半径的圆，|z|<r表示圆的内部，|z|>r表示圆的外部. [方法技巧] 求解与复数概念相关问题的技巧 复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意求解．　　 【考点1： 求复数的实部与虚部】 1．（北京市朝阳区2026届高三年级第二学期质量检测一数学试卷）复数的实部与虚部的和是（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】C 【详解】因为复数的实部为1，虚部为，所以实部与虚部的和是. 2．（25-26高二上·贵州·期中）复数的虚部为（   ） A．2025 B． C．1121 D．1120 【答案】D 【分析】由虚部的概念即可求解. 【详解】由可知，虚部为1120. 故选：D 3．（25-26高二上·湖南·期中）已知，复数的实部是虚部的3倍，则（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】根据复数的实部、虚部定义计算可得结果. 【详解】易知复数的实部为，虚部为； 所以，解得. 故选：B 4．（25-26高三上·福建厦门·期中）若复数，则的虚部为______. 【答案】 【分析】根据复数的概念，即可求解. 【详解】由复数，可得复数的虚部为. 故答案为： 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是____________． 【答案】 【分析】根据复数的概念求解即可. 【详解】复数的虚部为2，的实部为，故新复数为． 故答案为： 【考点2：复数的相等】 1．（24-25高一下·陕西商洛·期中）若与均为实数，且，则的值为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】由复数相等的充要条件即可得出答案. 【详解】由复数相等的充要条件，即两个复数相等，则它们的实部相等，虚部相等，可得. 故选：C. 2．（25-26高一下·全国·课后作业）若，则实数x，y的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据复数相等进行求解即可. 【详解】. 故选：D 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，则实数________，________． 【答案】 2 【分析】根据复数相等的定义，列出方程组，即可得答案. 【详解】因为， 所以，解得 故答案为：；2 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）；求满足上述条件的实数x，y的值； 【答案】 【分析】利用复数相等的条件得到方程组，即可求解. 【详解】，故，解得. 5．（25-26高一·上海·课堂例题）已知，其中、．求x、y的值． 【答案】或或或 【分析】利用复数的相等列出方程组，求解即可． 【详解】解：， 且， 解得：或且或， 或或或． 【考点3： 复数的分类及辨析】 1．（25-26高二上·河南·开学考试）在，，，，，这几个数中，纯虚数的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据纯虚数的定义判断即可. 【详解】，是纯虚数；，，是实数；是虚数，但不是纯虚数； 综上，纯虚数的个数为2. 故选：C. 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）在，，，，，这几个数中，纯虚数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据纯虚数的概念，即可得答案. 【详解】，是纯虚数，，，是实数，是虚数． 故选：C 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列命题正确的是（    ） A．复数不是纯虚数 B．若，则复数是纯虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若复数，则当且仅当时，为虚数 【答案】B 【分析】根据复数的基本概念判断. 【详解】对于A，当，，时，复数是纯虚数，A错误； 对于B，当时，复数是纯虚数，B正确； 对于C，是纯虚数，则即，C错误； 对于D，复数，，未注明为实数，D错误. 故选：B. 4．（多选）（25-26高一下·安徽安庆·月考）下列命题不正确的是（    ） A．复数不可能是纯虚数 B．若复数，则当且仅当时，为虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若，则复数为纯虚数 【答案】ABC 【分析】根据复数的分类条件，逐项判断即可. 【详解】对于A，当，时，复数为纯虚数，故A错误； 对于B，当，时，，为虚数，故B错误； 对于C，当时，为实数，故C错误； 对于D，当时，，为纯虚数，故D正确. 故选：ABC. 5．（25-26高一下·全国·课后作业）写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)0． 【答案】(1)实部为2，虚部为3，是虚数 (2)实部为，虚部为，是虚数 (3)实部为，虚部为1，是虚数 (4)实部为，虚部为0，是实数 (5)实部为0，虚部为，是纯虚数 (6)实部为0，虚部为0，是实数 【分析】根据复数得出实部及虚部，进而根据复数类型定义判断复数是实数还是虚数或纯虚数即可. 【详解】（1）实部为2，虚部为3，是虚数； （2）实部为，虚部为，是虚数； （3）实部为，虚部为1，是虚数； （4）实部为，虚部为0，是实数； （5）实部为0，虚部为，是纯虚数； （6）实部为0，虚部为0，是实数； 【考点4：已知复数的类型求参数】 1．（四川凉山州2026届高中毕业班第二次诊断性考试数学试题）复数是实数，则实数（    ） A．0 B．1 C． D．0或1 【答案】B 【分析】利用实数定义计算即可得. 【详解】由题意可得，解得. 2．（2025·广东广州·一模）“”是“复数为纯虚数”的（   ） A．充分非必要条件 B．充要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【分析】先根据纯虚数的概念求得，再结合充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】若复数为纯虚数，则，解得， 所以“”是“复数为纯虚数”的充要条件. 故选：B 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知, ．若，求实数m的取值范围． 【答案】 【分析】根据实数的性质，结合复数的性质进行求解即可. 【详解】，，均为实数，且的实部小于的实部， ，解得， ，故实数m的取值范围是． 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）当m为何值时，复数,是： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数． 【答案】(1)或 (2)且 (3) 【分析】（1）根据实数的定义进行求解即可； （2）根据虚数的定义进行求解即可； （3）根据纯虚数的定义进行求解即可. 【详解】（1）， 当m满足，即或时，z为实数． （2）当m满足，即且时，z为虚数． （3）当m满足即时，z为纯虚数． 5．（25-26高一下·全国·课后作业）设复数， (1)当实数m为何值时，z是纯虚数？ (2)当实数m为何值时，z是实数？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据纯虚数的定义，结合对数的真数为正数进行求解即可； （2）根据复数表示实数的性质，结合对数的真数为正数进行求解即可. 【详解】（1）因为复数是纯虚数， 所以，解得， 所以当时，z是纯虚数． （2）因为复数是实数， 所以，解得，所以当时，z是实数． 【考点5：复数的坐标表示】 1．（25-26高三上·贵州遵义·期末）如图，复数在复平面内对应的点为，则（   ）    A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】先在复平面内找到对应的坐标,再利用复数的几何意义写出复数即可. 【详解】根据复数的几何意义，若，则在复平面内对应的点的坐标为. 依据已知显然的坐标为，所以. 故选：A. 2．（25-26高三下·四川成都·开学考试）在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则z的共轭复数（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据复数几何意义得，再利用共轭复数定义即可得解. 【详解】根据题意，则. 故选：D. 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）在复平面内点A，B，C所对应的复数分别为，，，若，则点D表示的复数是___________． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义，结合相等向量的意义求解. 【详解】由点A，B，C对应的复数分别为，，，得，则， 设，则，由， 得，则，解得， 所以点D表示的复数为. 故答案为： 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知复数，，，它们在复平面上的对应点分别是正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数. 【答案】 【详解】设第四个顶点对应的复数为，如图. 则， . ， ，解得，故点对应的复数为. 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）在复平面内，已知平行四边形的三个顶点对应的复数分别为0，，．求： (1)向量对应的复数； (2)向量对应的复数； (3)点对应的复数． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）由复数写出对应点的坐标，从而得相应向量的坐标，由向量运算的坐标表示计算出向量，然后再由坐标得出对应的复数； （2）由复数写出对应点的坐标，从而得相应向量的坐标，由向量运算的坐标表示计算出向量，然后再由坐标得出对应的复数； （3）由向量运算的坐标表示计算出向量，然后再由坐标得出对应的复数. 【详解】（1）复平面内平行四边形的三个顶点对应的复数分别为0，，， ∴向量对应的复数，向量对应的复数为． ， ∴向量对应的复数为． （2）， ∴向量对应的复数为． （3）， ∴向量对应的复数为， ∴点对应的复数为． 【考点6： 在各象限内点对应复数的特征】 1．（25-26高一下·河南南阳·月考）设，若复数在复平面内的对应点在第三象限，则x的取值集合为______． 【答案】 【分析】根据复数在复平面内的对应点在第三象限，列出相应不等式组求解即可． 【详解】若复数在复平面内的对应点在第三象限，则 ， 解得：， 故答案为：． 2．（25-26高一下·江苏无锡·月考）已知复数. (1)若复数是实数，求实数的值； (2)若在复平面内，复数表示的点在第四象限，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）根据复数的虚部为0求解即可； （2）根据复数的实部大于0，虚部小于0求解即可. 【详解】（1）因为复数是实数， 所以， 解得或； 所以实数的值为或； （2）因为复数表示的点在第四象限， 所以， 即， 解得或， 所以实数的取值范围为. 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）设复数，对应的点满足下列关系，求的范围或取值. (1)点在第二象限； (2)点在直线上. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据复数对应的点坐标在第二象限解不等式可得结果； （2）由点在直线上解方程，可得或. 【详解】（1）复数对应的点坐标为， 如满足点在第二象限，则须有 解得. （2）如点在上， 则有，即或. 4．（25-26高一下·湖南衡阳·月考）已知，为虚数单位，复数. (1)若，求的值； (2)若复数对应的点在第三象限，求的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数的分类求解即可； （2）根据复数的几何意义求解即可. 【详解】（1）因为， 所以，解得； （2）因为复数对应的点在第三象限， 所以，解得. 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）在复平面内，若复数对应的点： (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在第二、四象限； (4)在直线上，分别求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3)或 (4) 【分析】（1）当复数在虚轴上时，其实部为0，列式即可解出答案； （2）当复数在第二象限时，其实部小于0，虚部大于0，列式即可解出答案； （3）当复数在第二、四象限时，实部与虚部异号，列式即可解出答案； （4）当复数在上时，其实部等于虚部，列式即可解出答案. 【详解】（1）复数的实部为，虚部为, 由题意可得，解得或； （2）由题意可得，解得； （3）由题意可得， 或； （4）由题意可得，解得． 【考点7： 实轴、虚轴上点对应的复数】 1．（24-25高一下·北京通州·期末）已知是复平面内表示复数的点，若复数是虚数，则点P（    ） A．在虚轴上 B．不在虚轴上 C．在实轴上 D．不在实轴上 【答案】D 【分析】根据复数的分类和其几何意义即可得到答案. 【详解】由题意得，则点P不在实轴上，则C错误，D正确， 若，则A错误，若，则其在虚轴上，则B错误， 故选：D. 2．（25-26高一下·全国·课后作业）在复平面内，复数对应的点在虚轴上，则的值为（    ） A．或 B． C．且 D．或 【答案】A 【分析】根据复数的几何意义，构造方程得解. 【详解】∵复数对应的点在虚轴上，∴，∴或. 故选：A. 3．（25-26高一下·湖南衡阳·月考）已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则_____________． 【答案】或. 【分析】根据复数的几何意义可得出关于实数的等式，即可得解. 【详解】由复数表示的点的坐标为： ， 又该复数对应的点在虚轴上， 所以，解得或， 故答案为：或. 4．（25-26高一下·全国·单元测试）若复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则实数的取值集合为__________. 【答案】 【分析】根据复平面的概念以及复数的坐标表示列式可求出结果. 【详解】因为为实数，且复数在复平面内对应的点位于虚轴上， 所以，解得或. 故答案为：. 5．（25-26高一上·上海·课后作业）已知复数，. (1)表示的复数对应的点在实轴上的有几个？ (2)表示的复数对应的点在虚轴上的有几个？ 【答案】(1)10个 (2)10个 【分析】（1）利用点的特征确定复数个数即可. （2）利用点的特征确定复数个数即可. 【详解】（1）若点在实轴上，则，此时， 均满足题意，故共有10个这样的复数. （2）若点在虚轴上，则，此时， 均满足题意，故共有10个这样的复数. 【考点8： 根据复数对应坐标的特点求参数】 1．（25-26高一下·浙江宁波·开学考试）在复平面内，复数对应的点恰好位于第四象限，则的取值范围是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易知复数， 其对应点的坐标为，因此， 解得，即的取值范围是. 2．（25-26高三上·上海杨浦·期中）设，若复数在复平面内的对应点在第三象限，则x的取值集合为___________； 【答案】. 【分析】应用复数的几何意义得出不等关系，再应用对数运算计算求解. 【详解】因为复数在复平面内的对应点在第三象限， 则，所以 则x的取值集合为； 故答案为：. 3．（24-25高一下·云南楚雄·月考）在复平面内，当实数m取什么值时，复数对应的点分别满足下列条件？ (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在直线上. 【答案】(1)或. (2). (3). 【分析】（1）令复数的实部为零，解方程即可求得结果； （2）根据第二象限点坐标特征解不等式可得结果； （3）依题意可得复数的实部与虚部相等，解方程即可. 【详解】（1）复数的实部为，虚部为， 由题意得，解得或. （2）由题意得 所以，即的取值范围为. （3）由已知得， 故. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）在复平面内，若复数对应的点，满足下列条件时，分别求实数m的取值范围． (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在第二、四象限； (4)在直线上. 【答案】(1)或 (2) (3)或 (4) 【分析】（1）由实部为0，列式即可解出答案； （2）由实部小于0，虚部大于0，列式即可解出答案； （3）由实部、虚部异号，列出不等式求解即可； （4）由实部等于虚部，列式即可解出答案. 【详解】（1）复数的实部为，虚部为． 由题意得， 解得或． （2）由题意，， ． （3）由题意，， 或． （4）由已知得，故． 5．（25-26高二上·广西钦州·期中）已知复数，（）， (1)若z为纯虚数，求m的值； (2)若复数z对应的点位于第二象限，求m的取值范围； (3)若复数z对应的点位于直线上，求复数z. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）按照复数的相关概念列方程组求解； （2）利用复数的几何意义列不等式组求解； （3）将复数z对应的点的坐标代入直线方程求解. 【详解】（1）若z为纯虚数，则， 解得； （2）若复数z对应的点位于第二象限，则， 解得； （3）若复数z对应的点位于直线上，则， 解得或， 则或. 【考点9： 求复数的模 】 1．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知复数，则（   ） A．5 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】由复数，则 2．（2026·河北石家庄·一模）若复数满足，则（    ） A． B．13 C． D．5 【答案】A 【详解】由得 3．（2026·广东深圳·一模）复数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】依题意，. 4．（2026·湖南湘潭·二模）___________． 【答案】 【详解】. 5．（25-26高一下·全国·课后作业）在复平面内画出复数，，对应的向量，，，并求出各复数的模． 【答案】作图见解析，，，. 【分析】根据复数的几何表示方法和复数的模的计算公式，结合图象，即可求解. 【详解】三个复数对应的向量，，，如图所示． ， ， ． 【考点10：由复数模求参数】 1．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）设复数，且，则（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合复数的模长公式运算求解即可. 【详解】因为复数， 则，解得. 故选：D. 2．（25-26高二下·浙江温州·月考）已知复数满足，则实数的可能取值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【详解】设复数(其中)，则，将代入，整理得：， 即，所以，得， 将代入第一个方程得： ，即， 两边平方得：，所以， 因为，且分母不能为0，所以，即， 所以从判断选项来看，的可能取值只有. 3．（25-26高三下·陕西西安·开学考试）已知复数在复平面内对应的点在第一象限，且，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．-4 【答案】B 【详解】因为，所以，解得． 因为在复平面内对应的点在第一象限，所以． 4．（2026年普通高校招生“星梦杯”统一模拟考试数学试卷）已知复数z的实部与虚部互为相反数，且，则_______． 【答案】或 【分析】根据给定条件，设出复数的代数形式，再由模的结果计算即得. 【详解】由题可设， 则. 因为，所以，所以. 所以或. 5．（2025·上海闵行·一模）若复数的实部为1，虚部为正数，且，则________ 【答案】 【分析】根据复数的相关概念，以及复数的模长公式，建立方程，可得答案. 【详解】由复数的实部为1，虚部为正数，设，其中， 由，则，解得，所以. 故答案为：. 【考点11：与复数模相关的轨迹（图形）问题】 1．（24-25高一下·广东湛江·期中）已知复数z在复平面内对应的点为Z，则满足的点的集合组成的图形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数的几何意义，结合圆的面积公式求解即可. 【详解】由题意可得，满足的点的集合组成的图形是以原点O为圆心，以2及3为半径的两个圆所夹的圆环， 则其面积为. 故选：B. 2．（2026高三·全国·专题练习）若，则复数在复平面内的点的集合组成的图形是______． 【答案】原点为圆心，半径为3的圆及其内部 【分析】设，依题意得，进而得到答案. 【详解】设，则， 所以，即， 所以复数在复平面内的点的集合组成的图形是原点为圆心，半径为3的圆及其内部， 故答案为：原点为圆心，半径为3的圆及其内部 3．（24-25高一下·广东深圳·期中）已知复数满足，则在复平面内复数对应的点的集合构成区域的面积为________. 【答案】 【分析】利用复数的模的几何意义判断复平面内动点所在的区域形状，用面积公式计算即可. 【详解】设，， ，，即， 则复数对应的点所在区域为以为圆心，分别以1和3为半径的两个同心圆围成的圆环部分， . 故答案为：. 4．（24-25高一下·广东广州·期末）设，在复平面内，复数z所对应的点为Z，那么满足条件点Z的集合构成图形的面积为__________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义确定图形，进而求出面积. 【详解】由，则在复平面内点Z构成的图形是以原点为圆心， 分别以1和为半径的两个圆构成的圆环， 所以所求面积为. 故答案为： 5．（2026高三·全国·专题练习）判别下列各式在复平面所表示的图形． (1) (2) (3) 【答案】(1)表示以原点为圆心，半径为1的圆周． (2)表示以为圆心，半径为和的两个圆之间的圆环，包括半径为的圆周但不包括半径为的圆周. (3)动点到和的距离相等，表示线段的垂直平分线． 【分析】（1）设，，结合模的定义列方程，根据方程的几何意义求解即可. （2）设，，求，列不等式，结合不等式的几何意义求解即可. （3）设，，由条件结合模的定义列方程，结合两点距离公式确定轨迹即可. 【详解】（1）设，，所以，则，即， 所以在复平面表示以原点为圆心，半径为1的圆周． （2）设，，则，所以， 则，即， 所以在复平面表示以为圆心，半径为和的两个圆之间的圆环，包括半径为的圆周但不包括半径为的圆周. （3）设，，则，， 所以，， 则，即， 所以在复平面表示动点到和的距离相等，表示线段的垂直平分线． 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $