精品解析：甘肃省2026届高三第二次模拟考试数学试题

2026年高三年级第二次模拟考试试题 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 向量，则向量（ ） A. B. C. D. 2. 椭圆的离心率为，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 3. 集合（为虚数单位），则（ ） A. B. 2 C. D. 4. 数列是公差为正数的等差数列，其前项和为，则（ ） A. 0 B. 4 C. 6 D. 8 5. 函数的最小值为（ ） A. -1 B. C. -3 D. -5 6. 凸显地方特色､挖掘融入本土化元素的设计理念，让甘肃省博物馆的文创产品火爆出圈.这些文创产品中有以铜奔马为灵感创作的“牛肉面马师傅”“马梭梭”“马有才”等组成的“绿马”类毛绒产品；有从本地土特产汲取灵感的“定西土豆”“陇西黄芪”“天水樱桃”等组成的“不土特产”类毛绒产品：还有用“西兰花”“丸子”等组成的“麻辣烫”系列毛绒产品.做自媒体的小张购买了以上三类毛绒产品各两款，并打算从中选择4个向粉丝做重点推介，其中至少选择一个“绿马”类产品，则不同的选择方法数为（ ） A. 14 B. 20 C. 24 D. 120 7. 正四面体的棱长为2，点分别在棱上，则线段长度的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 8. 函数，若，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 16 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 数列是各项为正数的等比数列，其前项和为，则（ ） A. B. 数列是公比为2的等比数列 C. D. 10. 函数，且，则以下结论正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在区间上为增函数 C. 当时， D. 函数为奇函数 11. 正方形的顶点坐标分别为，曲线分别与交于点，则以下结论正确的是（ ） A. B. 坐标原点到曲线上任意一点距离的最小值为2 C. 曲线与直线有两个交点 D. 曲线上存在点，使 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某超市有两个人工收银区和一个自助收银区，通过统计，顾客在区进行付款的概率分别为，在区付款时购买该超市提供的环保购物袋的概率分别为，若顾客从该超市购物且购买了环保购物袋的概率为，则实数__________. 13. 函数是定义在上的偶函数，其导函数为，对于，都有，若，则实数的取值范围是__________. 14. 圆锥的母线长为2，底面半径为1，过圆锥顶点和底面圆周上任意两点作圆锥的截面，当底面圆心到截面的距离为时，重心的轨迹所围成图形的面积是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 中，角的对边分别为，. （1）求； （2）若，为中点，，求. 16. 2026年7月1日起，由工业和信息化部制定的《电动汽车用动力蓄电池安全要求》将开始实施，这标志着国家对新能源汽车的安全性提出了更高的要求.某新能源车企为提升产品安全性的同时提高生产效率，对旗下一款车型的核心零部件开展质量检测与生产数据分析，该企业统计了近5个月核心零部件的月生产量（单位：千件）与月检测成本（单位：万元），得到如下数据： 2 3 4 5 6 3.2 4.2 5.1 5.8 6.7 （1）求关于的回归直线方程，并估计月产量达1万件时的月检测成本； （2）该企业对核心零部件的检测采用以下方案：从一批次的该零部件中随机抽取3件进行初检，若初检中不合格零部件数量不超过1件，则判定此批次零部件合格，否则对剩余的产品进行全面复检.若该零部件的不合格率为，且每件零部件的检测结果相互独立，该零部件需要进行复检的概率为，若是关于的函数，求证：函数的图象关于点对称. 参考公式： 17. 如图，在多面体中，为矩形，分别与平面垂直，分别是的中点. （1）求证：平面； （2）若共面，求平面和平面所成角的余弦值. 18. 已知抛物线过点. （1）求抛物线的方程； （2）过作抛物线的切线，连接，作的平行线交于两点，交于点，若，判断是否为定值，若是，求出此定值；若不是，说明理由. 19. 已知，其中，是自然对数的底. （1）当时，求函数的最小值； （2）若函数在定义域内为增函数，求的取值集合； （3）求证： （i）对于； （ii）对于，都有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高三年级第二次模拟考试试题 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 向量，则向量（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为向量， 所以向量. 2. 椭圆的离心率为，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【详解】椭圆方程，焦点在轴上，令. 其中，，离心率，则. 代入得，，. 解得，又，故. 3. 集合（为虚数单位），则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简集合中的两个复数得到确定元素，再根据交集定义取出中的实数即可得到结果. 【详解】因为，； 因此集合，根据交集定义可得 . 4. 数列是公差为正数的等差数列，其前项和为，则（ ） A. 0 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质，先解出，进而得到，再利用等差数列求和公式计算即可． 【详解】解：由题可得， 解得或（舍去）， ，解得， ， ． 5. 函数的最小值为（ ） A. -1 B. C. -3 D. -5 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 ，其中， 所以的最小值为. 6. 凸显地方特色､挖掘融入本土化元素的设计理念，让甘肃省博物馆的文创产品火爆出圈.这些文创产品中有以铜奔马为灵感创作的“牛肉面马师傅”“马梭梭”“马有才”等组成的“绿马”类毛绒产品；有从本地土特产汲取灵感的“定西土豆”“陇西黄芪”“天水樱桃”等组成的“不土特产”类毛绒产品：还有用“西兰花”“丸子”等组成的“麻辣烫”系列毛绒产品.做自媒体的小张购买了以上三类毛绒产品各两款，并打算从中选择4个向粉丝做重点推介，其中至少选择一个“绿马”类产品，则不同的选择方法数为（ ） A. 14 B. 20 C. 24 D. 120 【答案】A 【解析】 【详解】总产品数：类，每类款，共款. 从款中选款的总方法数：. 不选“绿马”类（仅从另两类款中选款）的方法数：. 至少选个“绿马”类的方法数：. 7. 正四面体的棱长为2，点分别在棱上，则线段长度的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】如图，将正四面体放于正方体中，使分别为相对两面的对角线， 由于异面直线间公垂线段最短， 当分别为的中点时，易知为的公垂线，且其长度等于正方体的棱长， 由图可知正方体的棱长为， 则线段长度的最小值为. 8. 函数，若，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数推导出与的关系，再根据函数的单调性得到与关系，最后根据基本不等式求解即可. 【详解】， 又在单调递增， ， ，即. ，当且仅当时，等号成立. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 数列是各项为正数的等比数列，其前项和为，则（ ） A. B. 数列是公比为2的等比数列 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意求得等比数列通项公式计算可判断A；根据等比数列定义计算可判断B；根据等比数列前项和公式计算可判断C；根据对数的运算法则及等差数列前项和公式计算可判断D. 【详解】设等比数列的首项为，公比为， 因为，所以， 化简可得，解得或（舍去） 因为，所以， 即，所以. 对于A，，故A正确； 对于B，因为， 所以数列是公比为4的等比数列，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，因为， 所以 ，故D正确. 10. 函数，且，则以下结论正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在区间上为增函数 C. 当时， D. 函数为奇函数 【答案】CD 【解析】 【分析】根据周期函数的定义代入验证可判断A；根据增函数的定义举特殊值代入计算可判断B；根据分组求和计算可判断C；根据奇函数定义可判断D. 【详解】选项，若函数的最小正周期为，则由周期函数定义成立， 而， 化简得，所以错误. 选项，当时，， 若在区间上为增函数，则由增函数的定义，任取时，都有成立. 取，满足， 此时，， 而，所以函数值随的增大而减小，因此错误. 选项，当时，， 所以， 由分组求和可得，因此，选项正确. 选项，因为， 函数为奇函数，所以化简可得， 因此函数为奇函数，选项正确. 11. 正方形的顶点坐标分别为，曲线分别与交于点，则以下结论正确的是（ ） A. B. 坐标原点到曲线上任意一点距离的最小值为2 C. 曲线与直线有两个交点 D. 曲线上存在点，使 【答案】AB 【解析】 【分析】作出曲线的图象，根据双曲线的定义及对称性计算可判断A；结合图象可判断BCD. 【详解】由题意可知曲线的图象由双曲线（为其焦点）在第二象限及轴负半轴上的点， 圆在第三象限内的点，双曲线为其焦点）在第四象限及轴负半轴上的点共同构成， 其图象分布在双曲线的渐近线的左下区域，如图所示: 对于A，由题意，为双曲线左支（为其焦点）上一点，由双曲线的定义可知， 而，因此，如图所示，曲线关于对称，由对称性可得， 所以，故A正确； 对于B，设曲线在第二象限上任意一点，根据双曲线方程及范围，， 曲线在第三象限上任意一点及和到原点的距离为2， 根据对称性，曲线在第四象限上任意一点到原点的距离也都大于2，故B正确； 对于C，如图所示，直线与平行，且在其右上区域，所以曲线与直线没有交点，故C错误； 对于D，要满足，点必须在以为直径的圆上， 如图所示，此圆除原点外，其余点均在直线的右上方区域，与曲线无交点，故D错误. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某超市有两个人工收银区和一个自助收银区，通过统计，顾客在区进行付款的概率分别为，在区付款时购买该超市提供的环保购物袋的概率分别为，若顾客从该超市购物且购买了环保购物袋的概率为，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据全概率公式计算即可求解. 【详解】由题意可知顾客在区进行付款的概率分别为， 设顾客从该超市购买了环保购物袋为事件， 由题意可知 ， 则 ，解得. 13. 函数是定义在上的偶函数，其导函数为，对于，都有，若，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先判断在上单调递增，由函数为偶函数，将不等式等价转化，得到或，求解即得. 【详解】因为对于，都有，所以在上单调递增， 是定义在上的偶函数，且. 由，可得，则有， 即或，或. 故实数的取值范围为. 14. 圆锥的母线长为2，底面半径为1，过圆锥顶点和底面圆周上任意两点作圆锥的截面，当底面圆心到截面的距离为时，重心的轨迹所围成图形的面积是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用线面垂直关系确定点在底面上的投影的位置，求出的长度，再结合三角形重心的性质得到的长度，最后通过作垂线确定点的轨迹为圆并计算其面积. 【详解】如图，设为中点，连接，作平面，连接， 又平面，则， 又，所以， 所以，又，所以， 所以，所以垂足必在上，由题意可知，则， ， 由于为等腰三角形， 所以重心在底边的中线靠近点的三等分点处， ， 作，垂足为， 则， 可知点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，其面积为. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 中，角的对边分别为，. （1）求； （2）若，为中点，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两角和的正弦公式及正弦定理求解即可. （2）根据向量的平行四边形法则、向量的数量积、余弦定理及诱导公式求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以，即， 由正弦定理可得：，所以， 由于，故. 【小问2详解】 因为为中点，所以，则， 所以，即，解得或（舍）， 由余弦定理知，，所以， 所以，则，所以， 所以. 16. 2026年7月1日起，由工业和信息化部制定的《电动汽车用动力蓄电池安全要求》将开始实施，这标志着国家对新能源汽车的安全性提出了更高的要求.某新能源车企为提升产品安全性的同时提高生产效率，对旗下一款车型的核心零部件开展质量检测与生产数据分析，该企业统计了近5个月核心零部件的月生产量（单位：千件）与月检测成本（单位：万元），得到如下数据： 2 3 4 5 6 3.2 4.2 5.1 5.8 6.7 （1）求关于的回归直线方程，并估计月产量达1万件时的月检测成本； （2）该企业对核心零部件的检测采用以下方案：从一批次的该零部件中随机抽取3件进行初检，若初检中不合格零部件数量不超过1件，则判定此批次零部件合格，否则对剩余的产品进行全面复检.若该零部件的不合格率为，且每件零部件的检测结果相互独立，该零部件需要进行复检的概率为，若是关于的函数，求证：函数的图象关于点对称. 参考公式： 【答案】（1），10.16万元. （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据最小二乘法即可求解； （2）首先根据二项分布的概率公式求出，然后根据函数对称性的定义即可证明. 【小问1详解】 由条件可知：， 列出下表 0 1 2 0.1 0.8 1.7 3.6 0.8 0 0.8 3.4 4 1 0 1 4 将以上数据代入公式，可得， 所以， 当时，（万元）， 故可估计月产量达1万件时的月检测成本为10.16万元. 【小问2详解】 设表示3件产品中不合格产品的件数，则， 故， ， ， 又∵函数的定义域为函数的图象关于点对称. 17. 如图，在多面体中，为矩形，分别与平面垂直，分别是的中点. （1）求证：平面； （2）若共面，求平面和平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）由中位线的性质得到，进而证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系，利用四点共面的条件求出点坐标，进而求出两个平面的法向量，最后利用向量夹角公式求出二面角的余弦值. 【小问1详解】 如图，连接， 是矩形，是的中点， 是的中点， 平面，平面， ， 因为是的中点，， 平面，平面， 平面. 【小问2详解】 如图，以D为原点建立空间直角坐标系， 则由已知，，，， 连接，，平面，平面， 平面， 又，平面，平面， 平面， 又平面，平面，且， ∴平面平面， 共面， 平面平面，平面平面， ，同理， 所以四边形为平行四边形， ，且为中点， 可得，则， 设平面的一个法向量为， 则，取， 则平面的一个法向量为， 取平面的一个法向量为， ， 所以平面和平面所成角的余弦值为. 18. 已知抛物线过点. （1）求抛物线的方程； （2）过作抛物线的切线，连接，作的平行线交于两点，交于点，若，判断是否为定值，若是，求出此定值；若不是，说明理由. 【答案】（1）； （2）是定值. 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入抛物线方程，直接解出参数p，即可确定抛物线的表达式； （2）先求切线方程，再由平行关系设直线方程，与抛物线联立得到根与系数的关系；结合长度条件进行代数代换与化简，最终证明比值为常数，完成定值判断. 【小问1详解】 由于过点，则， 所以抛物线的方程为； 【小问2详解】 由得， 所以过的切线的方程为，即， 设，可知， , 则， 在切线上，， 在直线上，， 又， ， 由得 ， 由可得： 同理， 所以是定值. 19. 已知，其中，是自然对数的底. （1）当时，求函数的最小值； （2）若函数在定义域内为增函数，求的取值集合； （3）求证： （i）对于； （ii）对于，都有. 【答案】（1） （2） （3）（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由导数判断单调性后可得； （2）求导后分析单调性得到最值，再构造函数，利用导数分析单调性求出最值可得； （3）（i）由（2）的结论证明即可；（ii）令，代入（i）化简再累加求和可得. 【小问1详解】 当时，，则， 当时，，则为减函数；当时，，则为增函数， 所以当时，有极小值，也是最小值，因此，. 【小问2详解】 可知， 令，则， 当时，，则为减函数；当时，，则为增函数， ， 令，则， 当时，，则为增函数，当时，，则为减函数， ， 所以当时，恒成立，在上为增函数， 当时，存在使，函数不满足在上为增函数， 所以当时，在定义域内为增函数，所以的取值集合是 【小问3详解】 （i）由（2）可知，当时，为增函数， 所以当时，， 即当时，， 故当时，，则有， 化简可得； （ii）令，则由（i）可得 ， 即， 则， ， ， ， 将以上个式子左右分别相加， 可得： ， 即， 整理得， 即.. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $