期中专项训练1 平面向量概念及其运算法则-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

期中专题 专题训练01 平面向量概念及其运算法则 考点点拨 考点1 向量的模的概念 1．（2025高一·全国）已知，若，则________. 2．（25-26高一下·全国）几何表示：用有向线段表示向量，有向线段的长度表示________，有向线段的方向表示________ 3．（24-25高一下·全国）向量的模 向量的大小，也就是向量的长度，称为的__________，记作__________． 考点2 零向量和单位向量的理解 1．（23-24高二上·广东湛江·开学考试）下列命题正确的个数是（    ） （1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量； （3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（19-20高一下·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．零向量是没有方向的向量 B．零向量的长度为0 C．任意两个单位向量的方向相同 D．同向的两个向量可以比较大小 3．（19-20高一上·江苏常州·月考）设分别是与同向的单位向量，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 考点3 求相等向量 1．（24-25高一下·甘肃酒泉·期末）下列条件中能得到的是（    ） A． B．与的方向相同 C．，且 D．且 2．（24-25高一下·天津武清·月考）下列说法正确的是（   ）． A．向量的模是一个正实数 B．若与不共线，则与都是非零向量 C．若，则 D．两个相等向量的起点、方向、长度必须都相同 3．（2025高二下·黑龙江）如图，在平行四边形中，与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 考点4 求共线向量 1．（25-26高一上·河北唐山·月考）下列说法中正确的是（   ） A．平行向量一定是共线向量 B．单位向量都相等 C．长度相等的向量叫相等向量 D．共线向量都是在同一条直线上的向量 2．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．零向量没有方向 C．相等向量的长度相等 D．共线向量是在同一条直线上的向量 3．（24-25高一下·上海嘉定·期末）以下关于平面向量的说法正确的是（    ） A．若，则 B．若则 C．若是共线的单位向量.则 D．若，则不是共线向量 考点5 向量加法运算法则及应用 1．（25-26高一下·广东深圳·月考）在平行四边形中，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·河南周口·月考）（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·湖南衡阳·月考）在平行四边形中，是上靠近点的三等分点，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 考点6 向量减法运算法则及应用 1．（25-26高一下·河北邢台·月考）（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·河南新乡·月考）如图，在平行四边形中，（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·北京西城·期末）在平行四边形中，为的中点．记，则（   ） A． B． C． D． 考点7 求相反向量 1．（25-26高一下·全国·课后作业）非零向量与是相反向量，下列不正确的是（   ） A． B． C． D．方向相反 2．（21-22高二上·全国·课后作业）下列等式中，正确的个数为（    ） ①；②；③；④. A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024高一下·全国·专题练习）已知为非零向量，则下列说法错误的是（    ） A．若，则与方向相同 B．若，则与方向相反 C．若，则与有相等的模 D．若，则与方向相同 考点8 平面向量混合运算 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知向量，，，则（   ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线 2．（25-26高一上·山西忻州·期末）如图，在中，，，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·福建宁德·期中）设向量满足，则（    ） A． B． C． D． 考点9 根据向量关系判断三角形的心 1．（2026高二上·北京·学业考试）已知为等边三角形的中心，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·全国·单元测试）为平面上一动点，是平面上不共线的三点，且满足，则点的轨迹必过的（   ） A．垂心 B．外心 C．内心 D．重心 3．（24-25高一下·江苏宿迁·开学考试）已知△ABC，向量满足条件，，则△ABC是（    ） A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 考点10 用定义求向量的数量积 1．（2026·山西临汾·一模）已知向量，满足，，，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 2．（25-26高一下·安徽阜阳·月考）已知单位向量，的夹角为60°，则（ ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西咸阳·二模）窗花是中国古老的传统民间艺术之一，如图1是一个正八边形窗花，正八边形边长为2，图2是该窗花的几何示意图形，则（    ） A． B． C． D． 考点11 已知数量积求模 1．（25-26高一下·四川资阳·月考）若向量，满足，则（ ） A． B． C． D． 2．（2026·浙江杭州·二模）已知向量，满足，，设，且，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 3．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知向量的夹角为，，则（    ） A． B． C．48 D．75 考点12 向量夹角的计算 1．（25-26高一下·福建南平·月考）已知向量，为单位向量，，则，的夹角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．120° 2．（2026·湖北十堰·二模）已知单位向量，满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·云南怒江·开学考试）已知非零向量，满足，则，角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 考点13 已知模求数量积 1．（25-26高一下·广东江门·月考）已知，，且，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 2．（2026·辽宁朝阳·一模）已知单位平面向量，满足，则（    ） A． B． C． D．2 3．（25-6高二上·贵州遵义）已知向量，满足，，则（   ） A．-2 B． C． D．2 考点14 已知模求参数 1．（2026·广东）若，均为单位向量，且，则实数k的值可以是（    ）． A． B． C．1 D．3 2．（2025·安徽·模拟预测）已知单位圆上有两点，，设向量，，若，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．2 3．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知向量的夹角为，且，若，则（    ） A． B． C． D． 考点15 求投影向量 1．（25-26高一下·河北邢台·月考）已知的外心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·江苏无锡·月考）已知单位向量满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·河南·月考）已知平面向量，，若在上的投影向量为，则（   ） A． B．1 C． D．2 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中专题 专题训练01 平面向量概念及其运算法则 考点点拨 考点1 向量的模的概念 1．（2025高一·全国）已知，若，则________. 【答案】 【分析】直接由勾股定理求值即可. 【详解】由勾股定理可知，，即. 故答案为：. 2．（25-26高一下·全国）几何表示：用有向线段表示向量，有向线段的长度表示________，有向线段的方向表示________ 【答案】 向量的大小 向量的方向 3．（24-25高一下·全国）向量的模 向量的大小，也就是向量的长度，称为的__________，记作__________． 【答案】 模 考点2 零向量和单位向量的理解 1．（23-24高二上·广东湛江·开学考试）下列命题正确的个数是（    ） （1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量； （3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】（1）向量可以用有向线段表示，但不能把两者等同，故错误； （2）根据对零向量的规定零向量是有方向的，是任意的，故错误； （3）根据对零向量的规定，零向量的方向是任意的，故正确； （4）根据对零向量的规定，零向量的大小为0，所以零向量的长度为0，故正确． 故选：B 2．（19-20高一下·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．零向量是没有方向的向量 B．零向量的长度为0 C．任意两个单位向量的方向相同 D．同向的两个向量可以比较大小 【答案】B 【详解】解析：零向量的长度为0，方向是任意的，故A错误，B正确；任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同，故C错误；不管是同向的向量还是不同向的向量，都不能比较大小，故D错误. 故选：B 3．（19-20高一上·江苏常州·月考）设分别是与同向的单位向量，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题,分别是与同向的单位向量,即, 故,即选项C正确； 因为的方向未知,故选项A,B,D不正确, 故选:C 考点3 求相等向量 1．（24-25高一下·甘肃酒泉·期末）下列条件中能得到的是（    ） A． B．与的方向相同 C．，且 D．且 【答案】D 【详解】因等价于长度相等，方向相同. 对于A，由不能确定方向是否相同，故A错误； 对于B，与的方向相同，但长度不确定是否相等，故B错误； 对于C，当，且时，若的方向相反，则不成立，故C错误； 对于D，当且时，长度相等，方向相同，故D正确. 故选：D. 2．（24-25高一下·天津武清·月考）下列说法正确的是（   ）． A．向量的模是一个正实数 B．若与不共线，则与都是非零向量 C．若，则 D．两个相等向量的起点、方向、长度必须都相同 【答案】B 【详解】对于A，零向量的模是0，A错误； 对于B，由零向量与任意向量共线知，若与不共线，则与都是非零向量，B正确； 对于C，向量的模是非负实数，可以比较大小，而向量不能比较大小，C错误； 对于D，相等的两个向量起点是任意的，D错误. 故选：B 3．（2025高二下·黑龙江）如图，在平行四边形中，与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为四边形是平行四边形，所以与相等的向量是， 故选：D. 考点4 求共线向量 1．（25-26高一上·河北唐山·月考）下列说法中正确的是（   ） A．平行向量一定是共线向量 B．单位向量都相等 C．长度相等的向量叫相等向量 D．共线向量都是在同一条直线上的向量 【答案】A 【详解】平行向量又叫共线向量，故A正确； 单位向量方向可能不同，所以不一定相等，故B错误； 长度相等且方向相同的向量叫相等向量，故C错误； 共线向量可能在同一条直线上，也可能在平行线上，故D错误. 2．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．零向量没有方向 C．相等向量的长度相等 D．共线向量是在同一条直线上的向量 【答案】C 【详解】对A，由，不能得到方向相同，所以未必成立，故A错误； 对B：零向量的方向是任意的，故B错误； 对C：根据相等向量的概念，C正确； 对D：共线向量是指方向相同或相反的向量，故D错误. 故选：C 3．（24-25高一下·上海嘉定·期末）以下关于平面向量的说法正确的是（    ） A．若，则 B．若则 C．若是共线的单位向量.则 D．若，则不是共线向量 【答案】A 【详解】对于A，若，则，故正确； 对于B，若，则不一定成立，故B错误； 对于C，若是共线的单位向量，则或，故C错误； 对于D，若，则是共线向量，故D错误. 故选：A. 考点5 向量加法运算法则及应用 1．（25-26高一下·广东深圳·月考）在平行四边形中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】平行四边形中，，,所以. 2．（25-26高一下·河南周口·月考）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由向量的运算法则，可得. 3．（25-26高一下·湖南衡阳·月考）在平行四边形中，是上靠近点的三等分点，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由题意知，所以，所以， 又， 所以. 考点6 向量减法运算法则及应用 1．（25-26高一下·河北邢台·月考）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 2．（25-26高一下·河南新乡·月考）如图，在平行四边形中，（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，， 所以. 3．（25-26高三上·北京西城·期末）在平行四边形中，为的中点．记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算计算判断. 【详解】因为四边形是平行四边形，所以， 又因为为的中点，所以， 在平行四边形中，， . 故选：A. 考点7 求相反向量 1．（25-26高一下·全国·课后作业）非零向量与是相反向量，下列不正确的是（   ） A． B． C． D．方向相反 【答案】A 【详解】因为非零向量与是相反向量，所以，模长相等，方向相反. 故选：A 2．（21-22高二上·全国·课后作业）下列等式中，正确的个数为（    ） ①；②；③；④. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】根据相反向量的概念可知，向量的相反向量的相反向量等于它本身，所以，故①正确； 因为任意向量加上零向量等于这个向量，所以，故②正确； 因为任意向量加上它的相反向量等于零向量，所以，故③正确； 因为任意向量减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，并且任意向量加上零向量等于这个向量，,故④正确. 所以①②③④正确，则正确的个数为4. 故选：D. 3．（2024高一下·全国·专题练习）已知为非零向量，则下列说法错误的是（    ） A．若，则与方向相同 B．若，则与方向相反 C．若，则与有相等的模 D．若，则与方向相同 【答案】C 【详解】由向量三角不等式可知，只有当非零向量同向时，有，，故A，D正确；只有当非零向量反向时，有，，故B正确，C错误． 故选：C． 考点8 平面向量混合运算 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知向量，，，则（   ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线 【答案】B 【详解】对于A选项，因为，，故、不一定共线，A错误； 对于B选项，， 故、、三点共线，B正确； 对于C选项，因为，， 所以、不一定共线，C错误； 对于D选项，因为，，则、不一定共线，D错误. 故选：B. 2．（25-26高一上·山西忻州·期末）如图，在中，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，， ， 又，，， ， ，. 故选：D. 3．（24-25高一下·福建宁德·期中）设向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得， 故选：D 考点9 根据向量关系判断三角形的心 1．（2026高二上·北京·学业考试）已知为等边三角形的中心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，作BC中点D，则，因为为等边三角形的中心，则， 所以，，， 则. 2．（25-26高一下·全国·单元测试）为平面上一动点，是平面上不共线的三点，且满足，则点的轨迹必过的（   ） A．垂心 B．外心 C．内心 D．重心 【答案】D 【详解】如图，设为边的中点，， ， 共线， 即点在底边的中线上． 故选：D． 3．（24-25高一下·江苏宿迁·开学考试）已知△ABC，向量满足条件，，则△ABC是（    ） A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】C 【详解】如图，点是的中点，所以， 因为，即，即， 则点三点共线，且，所以点是的重心， 又，所以点是的外心，则，即， 所以，同理，则， 所以是等边三角形. 故选：C. 考点10 用定义求向量的数量积 1．（2026·山西临汾·一模）已知向量，满足，，，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】 2．（25-26高一下·安徽阜阳·月考）已知单位向量，的夹角为60°，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得． 3．（2026·陕西咸阳·二模）窗花是中国古老的传统民间艺术之一，如图1是一个正八边形窗花，正八边形边长为2，图2是该窗花的几何示意图形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵任意凸多边形的外角和都等于， ∴， ∵， ∴． 考点11 已知数量积求模 1．（25-26高一下·四川资阳·月考）若向量，满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得，， 由得，，即，所以. 又，所以，即，所以. 所以. 2．（2026·浙江杭州·二模）已知向量，满足，，设，且，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】由题意得， 则， 代入，得， 所以当时，取最小值. 3．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知向量的夹角为，，则（    ） A． B． C．48 D．75 【答案】A 【详解】因为，所以，即，则， 所以，解得， 所以. 考点12 向量夹角的计算 1．（25-26高一下·福建南平·月考）已知向量，为单位向量，，则，的夹角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．120° 【答案】C 【详解】因为，所以 ， 由于， 所以. 2．（2026·湖北十堰·二模）已知单位向量，满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，而，则， 因此，又，所以与的夹角为． 3．（25-26高三下·云南怒江·开学考试）已知非零向量，满足，则，角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以，则， 所以. 考点13 已知模求数量积 1．（25-26高一下·广东江门·月考）已知，，且，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【详解】由题意得， 因为，所以. 已知，，则，， 代入可得原式. 2．（2026·辽宁朝阳·一模）已知单位平面向量，满足，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】显然，解得， 于是. 3．（25-6高二上·贵州遵义）已知向量，满足，，则（   ） A．-2 B． C． D．2 【答案】A 【分析】由数量积运算律计算即可求解. 【详解】因为，， 所以. 故选：A 考点14 已知模求参数 1．（2026·广东）若，均为单位向量，且，则实数k的值可以是（    ）． A． B． C．1 D．3 【答案】C 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 由于，均为单位向量，所以， 所以，由于， 解得，所以只有C符合. 2．（2025·安徽·模拟预测）已知单位圆上有两点，，设向量，，若，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】由题可得，，， 因为，，且， 所以， ，解得. 故选：B 3．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知向量的夹角为，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以，即， 因为，向量的夹角为， 所以， 所以，即. 故选：A. 考点15 求投影向量 1．（25-26高一下·河北邢台·月考）已知的外心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，故为的中点，而又为的外心， 故，故.设，则， 故， 故在向量上的投影向量为 . 2．（25-26高一下·江苏无锡·月考）已知单位向量满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，，， 则在上的投影向量为. 3．（25-26高一下·河南·月考）已知平面向量，，若在上的投影向量为，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】由题意得，， 由投影向量的计算公式得，则，即，解得． 学科网（北京）股份有限公司 $