第四、五单元 比例+自行车里的数学 数学广角——鸽巢问题（举一反三）-【培优小练习·课后五道题】2025-2026学年六年级下册数学（人教版）

第四单元 比例 ①比例的意义和基本性质 第1天 比例的意义 1.适时适量地饮用蜂蜜水可以调节肠胃功能，增强人体的免疫力。下表是妈妈调 制蜂蜜水时蜂蜜和水的配比情况。分别写出两种蜂蜜水中蜂蜜与蜂蜜水的体积 比，并判断这两个比能否组成比例。金跨学科·生物科普 蜂蜜水A 蜂蜜水B 蜂蜜的体积mL 2 3 水的体积mL 10 15 2.周末，爸爸开车自驾游，出发1.5小时行驶了120km。照这样的速度，还要2.5 小时行驶完剩下的200km。请根据题意写出两个不同的比例。新考法·开放式题 第2天 比例的基本性质 1.小红说得对吗？ 我40秒拍了32下。 那你1分钟可 以拍48下。 小明 小红 2.一个比例的两个外项的和是96，其中一个外项是另一个外项的7倍，一个内项 是一位数中最大的合数，请写出符合条件的比例。 8 (第四单元比例 第3天解比例 1.解比例。 12.3 2.4=x 10:x=8 3 :0.25 0.6_1.5 16=x 2.两个长方形A和B,部分重叠在一起（如图)，重叠部分的面积是A的}，是B 的。已知B的面积是75cm2,A的面积是多少平方厘米？ ②正比例和反比例 第1天正比例 1.已知甲的。与乙的号相等（甲、乙均不为0），甲与乙成正比例关系吗？为什么？ 2.小乐和小智参加了50m短跑此赛。同一时间，两人跑 路程/m 小乐 的路程如图所示，当小乐到达终点时，小智离终点还有 47 小智 多少米？ 时间/秒 9 培优小练习（课后五道题） 数学六年级下册RJ 第2天) 反比例 工厂要完成生产一批零件的任务，每小时生产零件的数量与完成任务所需要的时 间如下表。 每小时生产零件的数量/万个 3 4 6 8 完成任务所需要的时间/时 48 36 24 18 （1)这项任务一共需要生产( )万个零件。 (2)若每小时生产零件的数量为a万个，完成任务所需要的时间为t小时，则a、 t之间的关系用式子表示是( ),a与t成( )比例关系。 (3)如果每小时生产9万个零件，那么完成这项任务一共需要多少小时？ ③比例的应用 第1天比例尺（1) 1.建于我国唐朝武周时期的明堂高大宏伟，有史书记载其高约为88m,是世界历 史上体量最大的木质建筑，后毁于战乱。下面是后人根据史书记载及推测所绘 的明堂图，请你通过测量，计算出这幅图的比例尺。跨学科·历史文化 2.在现今信息社会中，许多科技越来越离不开信息网络的支持，而信息网络的基 石就是芯片。一个圆形芯片的实际面积是0.1256cm2,把它画在一张图纸上的面 积是314cm,这张图纸的比例尺是多少？ 10 (第四单元比例 第2天【 比例尺（2) 1.一块长方形地，长与宽的比是6：5，将其按1：1000的比例尺画在图上，所得 平面图形的周长是44cm。这块长方形地的实际面积是多少平方米？ 2.下面是一个果园的平面图。平面图是由两个边长都是1.5c的正方形重合在一 起构成的（涂色部分是重合部分），其中一个正方形的顶点正好在另一个正方 形的中心位置。平面图的比例尺是1：6000，两个正方形不重合部分的实际面积 是多少平方米？④新考法·推理探究 第3天图形的放大与缩小 1.把一个正方体按1：2缩小，缩小后正方体的棱长和与原来正方体的棱长和之比 是多少？表面积之比呢？体积之比呢？ 2.将下面的图形按一定的比缩小。 11 培优小练习（课后五道题） 数学六年级下册RJ 第4天用正比例解决问题 1.用食盐浸泡菠萝，不仅可以使菠萝的口感更好，还能减少过敏的发生。优优的妈妈 用6g食盐和249g水配制了食盐水，将菠萝浸泡0.5小时后，果然菠萝的口感更好了。 优优想配制170g同样的食盐水，她需要多少克食盐？④跨学料·化学素养 2.100m赛跑，小明到达终点时领先小刚10m,领先小华15m。如果小刚和小华按 原来的速度继续跑向终点，那么当小刚到达终点时，小华还差多少米到达终点？ 第5天 用反比例解决问题 1.李叔叔开了一个饲料厂，厂里有一批原料，原计划每天用15t,可以用60天。饲 料厂改进加工技术后，实际每天比原计划节约原料20%，这批原料可多用多少天？ 2.陈老师要买一些跳绳，由于跳绳降价10%出售，用同样多的钱可以多买8根。陈 老师原来可以买多少根跳绳？ 12 (★自行车里的数学 ★自行车里的数学 1.杂技演员骑独轮车通过一段钢丝，独轮车的车轮直径为40cm,车轮转了29圈。 如果骑双轮自行车通过这段钢丝（从前轮上钢丝到后轮下钢丝），那么需蹬多 少圈？（π取3) 双轮自行车的前、后齿轮的 齿数比为5：3，前、后车轮 圆心间的距离是120cm,前、 后车轮直径均为45cm。 2.右图是两个互相啮合的齿轮，它们转动时，在同一时间内， 大齿轮和小齿轮转过的总齿数是相同的。 (1)大齿轮和小齿轮在同一时间内转动时，哪个齿轮转得快？ 哪个齿轮转的圈数多？ (2)转过的总齿数一定时，每个齿轮的齿数和该齿轮转过的圈数成什么比例关系？ 3.一辆变速自行车，有2个前齿轮，齿数分别为48和40，有4个后齿轮，齿数分 别为28、20、18和16，这辆自行车前、后齿轮有多少种组合？能变化出多少种 速度？④新考法·推理探究】 13 第五单元 数学广角一鸽巢问题 鸽巢问题 1.黑色、白色、黄色筷子各有8根，混放在不透明的袋子中。如果想从这些筷子 中取出颜色不同的2双筷子（一双筷子为其中一种颜色，另一双筷子为另一种 颜色)，那么至少要取出多少根才能保证达到要求？ 2.一个布袋中有40块相同的木块，木块上的号码是1、2、3、4的各有10块。一 次至少取出多少块木块，才能保证其中至少有3块木块上的号码相同？ 3.有53个桃子，分给10只猴子。如果要保证每只猴子至少分得1个桃子，且每 只猴子分到的桃子数都不同，那么这些桃子够分吗？为什么？ 4.在下面每个格子中任意写上数字“0”或“1”，至少有几列的填法是完全一样的？ 填一填，想一想。@新考法·推理探究 通过填数字，你有什 么发现？为什么？ 14）第三单元 圆柱与圆锥 ①圆柱 第1天圆柱的认识(5) 1.@解析本题属于立体图形的认识与测量， 根据题意，用“长方体的长除以茶叶筒的高” 乘“长方体的宽除以茶叶筒的底面直径” 乘“长方体的高除以茶叶筒的底面直径”。 2.@解析长方形的长=圆柱的底面周长+ 一条直径。 第2天圆柱的表面积(5) 1.⊙解析要解决这道题，需先计算一根圆 柱形“龙井柱”的侧面积（因为圆柱上、 下底面与其他结构连接，只刷侧面)，再 乘数量，最后乘每平方米用漆量。 2.回解析该零件的表面积等于正方体的表 面积减去圆柱两个底面的面积和，再加上圆 柱的侧面积。用到正方体的表面积公式、圆 的面积公式和圆柱的侧面积公式。 第3天圆柱的体积(1)(6) 1.@解析)本题考查圆柱的体积计算，圆柱的 体积公式为V=S×h(S是底面积，h是高)。 2.@解析先根据“截木材后表面积的增加 量”求出底面积，再结合木材长度计算体积， 注意单位换算。 第4天圆柱的体积（2)(P6) 1.@解析要解决这个问题，我们需要明确 邮件箱的形状是半圆柱形，先求出圆柱的 体积，再除以2求出半圆柱的体积。 2.@解析先根据圆的面积公式求出圆柱形 水桶的底面积，再求出鱼缸中水的体积（用 鱼缸的长×宽×水深的积减去假山的体 积)，最后用水的体积除以水桶的底面积， 求出倒入水桶后水的深度。 ②圆锥 第1天圆锥的认识(7) 1.⊙解析沿着等腰三角形底边上的高旋转 (答案详解 一周，形成的立体图形的底面半径是等腰 三角形底边的一半，高是等腰三角形底边 上的高，据此解答即可。 2.囟解析要解决这个问题，需利用圆锥侧 面展开图（扇形）的弧长等于圆锥底面的 周长这一关系来推导。 第2天圆锥的体积(7) 1.@解析由于墙角是一个直角，所以沙堆不 是一个完整的圆锥，而是一个圆锥的4。根 据沙堆的底部弧长为3.14m,可得圆锥的底 面周长是3.14×4-12.56（m),然后根据圆的 周长计算公式求出圆锥的底面半径，再根据圆 锥的体积计算公式求出圆锥的体积，接着乘 子就得到沙堆的体积，最后用沙堆的体积乘 1500就是这堆沙子的质量，注意单位换算。 2.回解析沙漏上部分的沙子近似于一个圆 锥，其底面直径是2cm,高是3cm,可根 据公式算出上部分沙子的体积。1分钟上部 分漏下的沙子的体积是3.14cm,用下部分 沙子的体积除以3.14，所得结果就是计量的 时间。 第四单元比例 ①比例的意义和基本性质 第1天比例的意义(8) 1.@解析)要解决这道题，需先分别计算两 种蜂蜜水中蜂蜜与蜂蜜水的体积比，再根 据比例的意义判断是否能组成比例。 2.@解析表示两个比相等的式子叫作比例。 此题根据比例的意义即可写出两个不同的 比例。 第2天比例的基本性质(P8) 1.@解析要判断小红说得对不对，需先计 算小明每秒拍的次数，再推算1分钟(60秒) 拍的次数。也可以通过比较比值的方式解 决，比值表示小明拍1下用的时间。 39 培优小练习（课后五道题）数学六年级下册RJ 2.囟解析本题需先确定外项和内项，再根 据比例的基本性质（两个外项的积=两个 内项的积)推导比例。 第3天解比例(9) 1.@解析解比例依据比例的基本性质：在 比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 2.@解析本题通过重叠部分面积的等量关 系建立比例，求解长方形A的面积。 ②正比例和反比例 第1天正比例(9) 1.@解析由题意得甲× 6=乙x 9,根据 2 比例的基本性质可知甲：乙=2：人 9：6= 3,即甲与乙的比值一定，所以甲与乙成 4 正比例关系。 2.回解析)根据图象得出小乐和小智在相同 时间内跑的路程比，列比例求解。 第2天反比例(P10) @解析(1)根据零件总个数=每小时生产 零件的数量×完成任务所需要的时间求解。 （2)根据第(1)题可知，每小时生产零件 的数量×完成任务所需要的时间=144（万 个)，即at=144。a与t是两种相关联的量， 且乘积一定，所以a与t成反比例关系。 (3)把a=9代入第（2)题中的关系式即 可求解。 ③比例的应用 第1天比例尺(1)P10) 1.@解析要计算比例尺，需先测量图上高 度，再结合实际高度（88m)计算。 2.@解析通过圆的面积推导出实际半径和 图上半径，再用图上半径：实际半径求出 比例尺。 第2天比例尺（2)(11) 1.(@解析)本题考查比例尺和长方形的面积 计算。 2.@解析)要求两个正方形不重合部分的面 积，应先求出正方形的实际边长，再求出重 合部分（涂色部分）的面积，最后用两个正 方形面积的和减去重合部分面积的2倍。 第3天图形的放大与缩小(P11) 1.@解析设这个正方体的棱长为2a, 则按1：2缩小后的棱长为a。原来正 方体的棱长和为2a×12,即24a,表 面积为2a×2a×6,即24a2,体积为 2a×2a×2a,即8a;缩小后正方体的棱长 和为a×12,即12a,表面积为a×a×6, 即a2,体积为a×a×a,即a3。所以缩 小后正方体与原来正方体的棱长和之比是 12a:24a=1:2,表面积之比是6a2:24a2= 1:4,体积之比是a3:8a3=1:8。 2.@解析)图形放大或缩小的本质是保持形状 不变，仅改变大小，即对应角的度数不变，各 边的长度按相同的比放大或缩小。比如原图的 三角形、四边形，每条边都按1：2缩短，角 度保持与原图一致，从而保证图形形状不变。 第4天用正比例解决问题(12) 1.@解析)本题考查正比例的应用，配制同 样的食盐水，则食盐与水的比值一定，列 出比例求解。 2.@解析)解本题的核心是“时间相同时， 速度比等于路程比”，从而求解小华的剩 余路程。 第5天用反比例解决问题(12) 1.⊙解析)根据原料总量一定，可得每天用 的质量与可用的天数成反比例。先求出实 际每天用的质量，然后求出实际用的天数， 最后求出多用的天数。 2.©解析本题利用“总钱数不变，单价与 数量成反比例关系”求解。设原来跳绳的单 价为1元，原来可买x根，总钱数为x元。 现在的单价为1×（1-10%)元，即（1 10%)元，现在可买的数量为(x+8)根， 由此列出方程求解。 ★自行车里的数学(P13) 1.@解析)双轮自行车通过钢丝要比独轮车 多行一个双轮自行车前、后车轮圆心间的距 离，先根据独轮车车轮的转动圈数和独轮 车车轮直径求出双轮自行车需前进的距离是 3×40×29+120=3600(cm),再根据自 行车前进距离=蹬的圈数×车轮周长× 前齿轮齿数 5 后齿轮齿教，可知蹬的圈数是3600÷兮÷ (3×45)=16（圈)。 2.@解析（1)在同一时间内，大齿轮和小 齿轮转过的总齿数相同。小齿轮的齿数少， 要达到相同的总齿数，需要转得更快，所 以小齿轮转得快。转过的圈数=总齿数÷ 每个齿轮的齿数，总齿数相同，小齿轮齿 数少，因此小齿轮转过的圈数多。 (2)总齿数=每个齿轮的齿数×转过的 圈数。总齿数一定，即两种量中相对应的 两个数的乘积一定。根据比例关系的定义， 此时每个齿轮的齿数和该齿轮转过的圈数 成反比例关系。 3.@解析)先确定前齿轮有几种齿数，再确 定后齿轮有几种齿数，最后根据乘法原理 计算组合数。 第五单元 数学广角鸽巢问题 鸽巢问题(P14) 1.@解析假设先取出1根黑色的筷子，接 着取出1根白色的筷子，然后取出1根黄色 的筷子，下面任意取出1根筷子都能组成1 双颜色相同的筷子。假设组成了黄色的筷子， 接着把其余6根黄色的筷子取出来，最后任 (答案详解 意取出1根筷子，一定能组成另外1双颜色 相同的筷子，所以至少要取出11根筷子。 2.@解析)号码有1、2、3、4共4种，每 种先取2块（最不利情况：每种都取到2 块，仍未满足“至少有3块木块上的号码 相同”)，共取4×2=8（块）。再取1块， 无论是什么号码，都会出现“至少有3块 木块上的号码相同”的情况。因此至少取 出8+1=9（块)。 3.@解析)本题需计算“每只猴子至少分得 1个且数量不同”时的最少桃子数，再与 53比较。要使每只猴子分到的桃子数不同 且至少有1个，最少的分配方式是1,2， 3,…,10。计算总和：1+2+3+…+ 10=55(个)。因为55>53，所以这些桃 子不够分。 4.⊙解析)本题考查抽屉原理，需先确定“填 法的种类”（抽屉数)，再结合列数（物 体数)分析。每个格子填“0”或“1”， 有2行，则填法有2×2=4（种）（00、 01、10、11)。图中有9列，根据抽屉原理， 9÷4=2(组)…1（列)，所以至少有 2+1=3（列)填法完全一样。 第六单元 整理和复习 ①数与代数 第1天数的认识数的意义(P15) 1.@解析一个小数的小数点向右移动了一 位，相当于这个小数扩大到原来的10倍， 此时前后相差了原数的（10-1)倍。 2.@解析)多个整数相加，判断和的奇偶性， 可以根据加数的奇数个数来确定。奇数个 奇数相加得奇数，偶数个奇数相加得偶数。 第2天数的认识数位、计数单 位、读写、改写(P15) 1.@解析（1)整数中每一级末尾的0都不 读出来，其余数位连续几个0都只读一个0。培优小练习（课后五道题）数学六年级下册RJ 第一年按“一年整存整取”，后两年按“二 年整存整取”为 10000×1.75%×1=175(元) （10000+175)×2.25%×2≈457.88（元） 175+457.88=632.88（元) 方案三： 按“三年整存整取”为 10000×2.75%×3=825（元) 因为825>632.88>534.24，故将这笔钱存 三年定期收益最大。 2.5000×1.5%×1=75(元) 5000×0.35%×1=17.5(元) 75+17.5=92.5(元) 5000×3.55%×1=177.5(元) 177.5>92.5,银行赚了。 177.5-92.5=85（元)》 第三单元 圆柱与圆锥 ①圆柱 第1天圆柱的认识(P5) 1.(40÷8)×(25÷5)×(10÷5)=50(筒) 2.33.12÷(3.14+1)=8(cm) 第2天圆柱的表面积(5) 1.3.14×1.2×19.2×4×0.8≈231.5（kg) 2.5×5×6-3.14×（2÷2)2×2+3.14×2× 5=175.12(dm2) 第3天圆柱的体积（1）(6) 1.12.56×6.5=81.64(cm3) 2.12.56÷[(3-1)×2]×3×10=94.2(dm3) 第4天圆柱的体积（2）(P6) 1.3.14×（4÷2)2×6÷2=37.68(dm3) 2.3.14×（4÷2)2=12.56（dm2) (5×4×3.14-6.28)÷12.56=4.5(dm) ②圆锥 第1天圆锥的认识(7) 1.3.14×（4÷2)2=12.56(（cm2) 3.14×4=12.56（cm) 2.3.14×20×2× =314(cm） 4 31.4÷3.14÷2=5(cm) 第2天圆锥的体积(7) 1.3×314×（314x4与314÷2) 3×4=3.14(m) 1500×3.14=4710（kg)4710kg=4.71t 2.x34×(2÷2)2x3=314(cm) 185.26÷3.14=59(分) 第四单元 比例 ①比例的意义和基本性质 第1天比例的意义(8) 1.蜂蜜水A:2:(2+10)=2:12 蜂蜜水B:3:(3+15)=3:18 这两个比能组成比例，因为2：12= 6 3:18=石所以2：12=3：18。 2.1.5:2.5=120:200 1.5:120=2.5:200（答案不唯一) 第2天比例的基本性质(8) 1.1分钟=60秒40：32=60：48，小红 说得对。 2.较小的外项为96÷（1+7)=12，较大的 外项为12×7=84，一个内项是一位数中 最大的合数，所以这个内项是9，另一个 内项为12×84÷9=112，符合条件的比例： 12:9=112:84、12:112=9:84 84:9=112:12、84:112=9:12。 第3天解比例(P9) 1.x=0.6x=20 3 x=40 1 1 2.由题意知A×3=B×5,所以A:B=3:5。 解：设A的面积是xcm。 x:75=3:5 x=45 ②正比例和反比例 第1天正比例(9) 1.成此联系。因甲×名=乙×号胛： 乙-号：名-音（一宠），所以甲与乙成 正比例关系。 2.解：设离终点还有xm。 器-06 50 x=10 3 第2天反比例(P10) (1)144（2)at=144反 (3)144÷9=16(时) ③比例的应用 第1天比例尺(1)10) 1.量得题图中明堂高度是2.5cm。 88m=8800cm2.5:8800=1:3520 (答案速查 2.0.1256÷3.14=0.04(cm2）0.04=0.2×0.2 314÷3.14=100(cm2)100=10×10 10:0.2=50：1 第2天比例尺(2)P11) 1.解：设长方形地的实际周长为xcm。 44:x=1:1000x=44000 44000cm=440m 440÷2=220（m)） 20×6年5=120(m) 20×65=10(m) 120×100=12000(m2) 2.1.5÷ 6000=9000(cm）9000cm=90m 1 90×90×4=2025(m2) 90×90×2-2025×2=12150(m2) 第3天图形的放大与缩小(11) 1.缩小后正方体的棱长和与原来正方体的棱 长和之比是1：2；缩小后正方体的表面 积与原来正方体的表面积之比是1：4； 缩小后正方体的体积与原来正方体的体积 之比是1：8。 2.（画法不唯一) 第4天用正比例解决问题(P12) 1.解：设她需要xg食盐。 x:（170-x)=6:249 x=4 33 培优小练习（课后五道题）数学六年级下册J 2.解：设当小刚到达终点时，小华还差xm 到达终点。 100-10 100 100-15=100-x 18100 17=100-x 50 9 第5天用反比例解决问题12) 1.解：设这批原料可用x天。 15×(1-20%)×x=15×60 x=75 多用的天数：75-60=15（天) 2.解：设陈老师原来可以买x根跳绳。 (1-10%)×(x+8)=x x=72 ★自行车里的数学(P13) 1.3×40×29+120=3600（cm) 3600÷号÷(3×45)=16（圈） 2.（1)小齿轮转得快，小齿轮转的圈数多。 (2)每个齿轮的齿数和该齿轮转过的圈数 成反比例关系。 3.有8种组合，能变化出8种速度。 第五单元 数学广角一鸽巢问题 鸽巢问题(P14) 1.1+1+1+1+6+1=11(根) 2.4×2+1=9（块) 3.1+2+…+10=55(个)55>53，不够。 4.至少有3列的填法完全一样。9÷4= 2(组)…1（列）2+1=3（列）发现略。 第六单元 整理和复习 ①数与代数 第1天数的认识数的意义(15) 1.2.43÷（10-1)=0.27 2.结果是奇数。判断方法：993÷2=496… 1,则在1~993的自然数中，有496个偶数， 有(496+1)个奇数，496个偶数之和是偶数， 497个奇数之和是奇数。偶数+奇数=奇数， 所以原式之和一定是奇数。 第2天数的认识数位、计数单 位、读写、改写(P15) 1.(1)55050500(2)50000555 2.63、62、61、60 第3天数的认识因数与倍数(P16) 1.12=2×2×318=2×3×3 24=2×2×2×32×3=6（m) 12÷6=2（段) 18÷6=3(段) 24÷6=4(段) 2+3+4=9（段) 2.252×4÷28=36 第4天数的运算—四则运算(P16) 1.3×4-5=73×7-6=15 2.9900 3.231=3×7×11a=131 第5天数的运算—简便运算(P17) 1.253625 2.900吾 第6天数的运算一解决一般实际 问题(P17) 1.30×8÷(30+10)=6(天)