8.3　特殊的平行四边形课件 2025-2026学年 青岛版数学八年级下册

第3课时　菱形的性质 基础　主干落实 重点　典例研析 素养 当堂测评 课时学习目标 素养目标达成 1.理解菱形的概念,明确菱形和平行四边形的区别和联系 抽象能力 2.探索并证明菱形的性质,会用菱形性质解决相关问题 推理能力、几何直观、模型观念 3掌握菱形的面积公式,会求菱形的面积 几何直观、模型观念 ‹#› 基础　主干落实 新知要点 1.菱形的定义与性质: (1)定义:有一组______________的平行四边形.  (2)性质:①具有平行四边形所有的性质. ②边:____________都相等.  ③对角线互相__________,并且每一条对角线__________一组对角.  ④是轴对称图形,有两条对称轴,它的对角线所在的直线是它的对称轴. 　邻边相等　 　四条边　 　垂直　 　平分　 ‹#› 对点小练 1.如图,在菱形ABCD中, (1)∠A=100°,BD是菱形ABCD的一条对角线,则∠BDC的度数是________.  (2)若∠A=120°,AB=3,则BD=_________;AC=_______.  　40°　 　3　 　3　 ‹#› 新知要点 2.菱形面积: S菱形=底×高=两条对角线乘积的__________.  对点小练 2.(2025·云南中考)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O.若 AC=6,BD=5,则菱形ABCD的面积是________.  　一半　 　15　 ‹#› 重点　典例研析 重点1菱形的性质(几何直观、推理能力) 【典例1】如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,连接EF. (1)求证:AE=AF; (2)若∠B=60°,求∠AEF的度数. ‹#› 【自主解答】(1)∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=AD,∠B=∠D, 又∵AE⊥BC,AF⊥CD, ∴∠AEB=∠AFD=90°. 在△AEB和△AFD中, , ∴△ABE ≌△ADF(AAS), ∴AE=AF. ‹#› (2)∵四边形ABCD是菱形, ∴∠B+∠BAD=180°,∵∠B=60°, ∴∠BAD=120°. 又∵∠AEB=90°,∠B=60°,∴∠BAE=30°. 由(1)知△ABE ≌△ADF, ∴∠DAF=∠BAE=30°, ∴∠EAF=120°-30°-30°=60°. ∵AE=AF, ∴△AEF是等边三角形, ∴∠AEF=60°. ‹#› 【举一反三】 (2024·菏泽质检)如图,在菱形ABCD中,点E,F是对角线BD上的两点,DF=BE,连接AE,AF,CE. (1)求证:△ADF≌△CBE; (2)若BD=6,∠BAD=120°,且△AEF是等边三角形,求CE的长. ‹#› 【解析】(1)∵四边形ABCD是菱形, ∴AD=BC,AD∥BC, ∴∠ADF=∠CBE, 在△ADF和△CBE中, , ∴△ADF≌△CBE(SAS); ‹#› (2)∵AD∥BC,∠BAD=120°,∴∠ABC=60°, ∵四边形ABCD是菱形, ∴∠ABE=∠CBE=30°,AB=BC,∵BE=BE, ∴△ABE≌△CBE(SAS),∴AE=CE, ∵△AEF为等边三角形, ∴∠AEF=60°,AE=EF=AF, ∴∠BAE=60°-∠ABE=30°, ∴∠BAE=∠ABE,∴BE=AE, 同理AF=DF,∴BE=EF=DF, ∵BD=6,∴AE=BE=BD=2,∴CE=AE=2. ‹#› 【技法点拨】 菱形的边和对角线的应用 1.菱形“边”的应用:菱形的四条边相等,可以知一边求菱形的周长,也可以求证线段相等. 2.菱形“对角线”的应用:菱形对角线互相垂直,可求证垂直(直角三角形等),可计算菱形的边长、周长、对角线的长以及面积问题. ‹#› 重点2菱形性质的实际应用(几何直观、推理能力) 【典例2】(教材再开发·P31习题8.3T4拓展)蜜蜂采蜜时,如果蜜源很远它就会跳 起“8字舞”,告诉同伴蜜源的方向.如图所示,两个全等菱形的边长为1 cm,一只蜜 蜂由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动,飞行2 020 cm后停下, 则这只蜜蜂停在_______点.  　E　 ‹#› 【举一反三】 如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的,根据实际需要可以调节 A,E间的距离.若A,E间的距离调节到90 cm,菱形的边长AB=30 cm,则∠DCB的度 数是( ) 　　　　　　　　 　　　　　　　　 A.80° B.100° C.120° D.140° C ‹#› 【技法点拨】 利用菱形的性质解决问题的方法 利用菱形的性质,可解决实际问题中有关菱形边角的计算(或证明线段、角的相等)问题.一般是根据菱形的性质,将有关的边、角的求解问题,转化到三角形中(或证明三角形的全等),再利用学过的知识进行求解(或证出线段、角的相等),从而解决问题. ‹#› 素养 当堂测评 1.(4分·模型观念)下列性质中菱形不一定具有的性质是( ) A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直 C.对角线相等 D.既是轴对称图形又是中心对称图形 2.(4分·2025·湖南中考)如图,在四边形ABCD中,对角线AC与BD互相垂直平 分,AB=3,则四边形ABCD的周长为( ) A.6 B.9 C.12 D.18 C C ‹#› 3.(4分·推理能力)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=80°,点E在对角线BD上,且BE= BA,那么∠AEB的度数是________.  　70°　 ‹#› 4.(8分·推理能力)如图,点E,F分别在菱形ABCD的边BC,CD上,且BE=DF. 求证:∠BAE=∠DAF. 【证明】∵四边形ABCD是菱形, ∴∠B=∠D,AB=AD, 在△ABE和△ADF中,, ∴△ABE≌△ADF(SAS), ∴∠BAE=∠DAF. ‹#› 本课结束 ‹#› $第5课时　正方形的性质与判定 基础　主干落实 重点　典例研析 课时学习目标 素养目标达成 1.理解正方形的概念,明确正方形和菱形以及矩形的区别和联系 抽象能力 2.探索并证明正方形的性质和判定,会用其解决相关问题 推理能力、几何直观、模型观念 ‹#› 基础　主干落实 新知要点 1.正方形的性质 (1)四个角都是__________;  (2)四条边都__________;  (3)对角线__________且__________________;  (4)是轴对称图形,有四条对称轴,两条对角线及对边中点的连线所在的直线是 它的对称轴. 　直角　 　相等　 　相等　 　互相垂直平分　 ‹#› 对点小练 1.(1)正方形、矩形、菱形都具有的性质是( ) A.对角线互相平分 B.对角线相等 C.对角线互相垂直 D.对角线平分一组对角 (2)如图,在正方形ABCD中, ①若对角线的长为2,则其面积为_______.  ②若点E是对角线AC上一点,且AE=AB,则∠EBA的度数是__________.  　4　 　67.5°　 A ‹#› 新知要点 2.正方形的判定 ‹#› 对点小练 2.(2025·乐山中考)如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O.小乐同学欲添加 两个条件使得四边形ABCD是正方形,现有三个条件可供选择:①AC⊥BD; ②AC=BD;③∠ADC=90°.则正确的组合是 __________ (只需填一种组合即可).  　①②　 ‹#› 重点　典例研析 重点1正方形的性质(几何直观、推理能力) 【典例1】(教材溯源·P32T11拓展·黄石中考)如图,正方形ABCD中,点M,N分别在AB,BC上,且BM=CN,AN与DM相交于点P. (1)求证:△ABN≌△DAM; (2)求∠APM的大小. ‹#› 【自主解答】(1)∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=AD=BC,∠DAM=∠ABN=90°, ∵BM=CN,∴BC-CN=AB-BM,即BN=AM, 在△ABN和△DAM中, ∴△ABN≌△DAM(SAS); (2)由(1)知△ABN≌△DAM,∴∠MAP=∠ADM, ∴∠MAP+∠AMP=∠ADM+∠AMP=90°, ∴∠APM=180°-(∠MAP+∠AMP)=90°. ‹#› 【举一反三】 1.如图,四边形ABCD是正方形,点E在AD上,连接BE,过点A作BE的垂线交CD于 点F,点G为垂足,下列选项中的结论,不正确的是( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.AE=DF B.∠DFA=∠AEB C.AG=GF D.S△ABG=S四边形EGFD C ‹#› 2.(2024·北京期中)如图,点P是正方形ABCD的对角线BD上一点,PE⊥BC,PF⊥CD, 垂足分别为点E,F,连接AP,EF,若AP=2,则EF=_______.  　2　 ‹#› 【技法点拨】 正方形性质应用的分析方法 已知条件 分析思路 已知只有正方形时 从正方形的边、角入手分析:分析哪些边相等,哪个内角等于90° 已知中出现正方形的“对角线”时 从正方形的对角线性质入手分析: ①对角线互相垂直、互相平分,相等,特别注意每条对角线平分一组内角. ②对角线所在的直线是正方形的对称轴 ‹#› 重点2正方形的判定(几何直观、推理能力) 【典例2】如图,四边形AECF是菱形,对角线AC,EF交于点O,点D,B是对角线EF所在直线上两点,且DE=BF,连接AD,AB,CD,CB,∠ADO=45°. (1)求证:四边形ABCD是正方形; (2)若四边形ABCD的面积为72,BF=4,求菱形AECF的面积. ‹#› 【自主解答】(1)∵菱形AECF的对角线AC和EF交于点O, ∴AC⊥EF,OA=OC,OE=OF, ∵DE=BF, ∴OE+DE=OF+BF,∴BO=DO. 又∵AC⊥BD, ∴四边形ABCD是菱形, ∵∠ADO=45°, ∴∠DAO=∠ADO=45°, ∴AO=DO,∴AC=BD, ∴菱形ABCD是正方形; ‹#› (2)∵正方形ABCD的面积为72, ∴AC·BD=72, ∴×4BO2=72, ∴BO=DO=CO=AO=6,∴AC=12, ∵BF=4,∴OF=2, ∵四边形AECF是菱形, ∴EF=2EO=2OF=4,AC⊥EF, ∴S菱形AECF=AC·EF=24. ‹#› 【举一反三】 1.下列说法正确的是( ) A.对角线相等的菱形是正方形 B.有一组邻边相等的平行四边形是正方形 C.有一个角是直角的平行四边形是正方形 D.各边都相等的四边形是正方形 A ‹#› 2.(2024·南京鼓楼区二模)已知:如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,点G为AD的中点,连接CG,CG的延长线交BA的延长线于点F,连接DF. (1)求证:AB=AF; (2)当△ABC满足_______时,四边形ACDF为正方形.  ‹#› 【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD,AB∥CD, ∴∠AFG=∠GCD, ∵点G是AD的中点, ∴AG=DG, 在△AGF和△DGC中, , ∴△AGF≌△DGC(AAS), ∴AF=CD,∴AB=AF; ‹#› (2)当AB=AC,∠BAC=90°时,四边形ACDF是正方形. 由(1)知,AF=CD, 又∵AB∥CD,∴AF∥CD, ∴四边形ACDF是平行四边形, 由(1)知,AB=AF, ∵AB=AC,∴AF=AC, ∴四边形ACDF是菱形, ∵∠BAC=90°,∴∠CAF=90°, ∴四边形ACDF是正方形. 答案:AB=AC,∠BAC=90° ‹#› 本课结束 ‹#› $第4课时　菱形的判定 基础　主干落实 重点　典例研析 素养 当堂测评 课时学习目标 素养目标达成 探索并证明菱形的判定定理,会用判定定理解决相关问题 推理能力、几何直观、模型观念 ‹#› 基础　主干落实 新知要点 菱形的判定方法: (1)定义:有一组______________的平行四边形.  (2)边:____________都相等的四边形.  (3)对角线互相__________的平行四边形.  　邻边相等　 　四条边　 　垂直　 ‹#› 对点小练 如图,在四边形ABCD中,AD=BC,AC⊥BD于点O.请添加一个条件:________ ____________________________________,使四边形ABCD成为菱形. AD∥BC (AB=CD或OB=OD或∠ADB=∠CBD等) ‹#› 重点　典例研析 重点1菱形的判定(几何直观、推理能力) 【典例1】(教材再开发·P28例5拓展)如图,在矩形ABCD中,过对角线BD的中点O作BD的垂线EF,分别交AD,BC于点E,F. (1)证明:△BOF ≌△DOE; (2)连接BE,DF,证明:四边形EBFD是菱形. ‹#› 【自主解答】(1)如图所示, ∵四边形ABCD是矩形, ∴AD∥BC, ∴∠1=∠2,∠3=∠4, ∵O是BD的中点, ∴BO=DO, 在△BOF与△DOE中,, ∴△BOF ≌△DOE(AAS); ‹#› (2)∵△BOF ≌△DOE,∴ED=BF, 又∵ED∥BF, ∴四边形EBFD是平行四边形, ∵EF⊥BD,∴四边形EBFD是菱形. ‹#› 【举一反三】 (2025·遂宁中考)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E,F在对角线BD上,BE= EF=FD,且AF⊥AB,CE⊥CD. (1)求证:△ABF≌△CDE; (2)连接AE,CF,若∠ABD=30°,请判断四边形AECF的形状,并说明理由. ‹#› 【解析】(1)∵AB∥CD, ∴∠ABF=∠CDE, ∵AF⊥AB,CE⊥CD, ∴∠BAF=∠DCE=90°, ∵BE=EF=FD, ∴BE+EF=FD+EF,即BF=DE, 在△ABF和△CDE中, , ∴△ABF≌△CDE(AAS). ‹#› (2)四边形AECF是菱形.理由如下: 如图所示:∵∠ABD=30°,AB∥CD, ∴∠CDB=∠ABD=30°, ∵BE=EF,∠BAF=90°, ∴AE是Rt△ABF斜边BF上的中线,∴AE=BF, 在Rt△ABF中,∠ABD=30°, ∴AF=BF,∴AE=AF=BF, 同理可得CE=CF=DE,∵BF=DE,∴AE=AF=CE=CF, ∴四边形AECF是菱形. ‹#› 【技法点拨】 菱形的常用判定方法的选择 已有条件 需要条件 平行四边形 邻边相等 对角线互相垂直 每条对角线平分一组对角 一般四边形 四条边都相等 对角线互相垂直平分 对角线互相平分,且每一条对角线平分一组对角 ‹#› 重点2菱形性质和判定的综合应用(几何直观、推理能力) 【典例2】(教材溯源·P31T6·随州中考)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,DE∥AC,CE∥BD. (1)求证:四边形OCED是菱形; (2)若BC=3,DC=2,求四边形OCED的面积. ‹#› 【自主解答】(1)∵DE∥AC,CE∥BD, ∴四边形OCED是平行四边形, ∵四边形ABCD是矩形, ∴AC=BD,OC=AC,OD=BD, ∴OC=OD,∴平行四边形OCED是菱形; (2)矩形ABCD的面积为BC·DC=3×2=6,∴△OCD的面积为×6=, ∴菱形OCED的面积为2×=3. ‹#› 【举一反三】 如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D为BC的中点,E为AD的中点.过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F,连接BF. (1)求证:四边形ADBF为菱形; (2)若AB=8,菱形ADBF的面积为40,求AC的长. ‹#› 【解析】(1)∵AF∥BC, ∴∠AFE=∠DCE,∠FAE=∠CDE, ∵E为AD的中点,∴AE=DE, ∴△AFE ≌△DCE(AAS),∴EF=EC, ∵D为BC的中点,∴AD∥FB, ∵AF∥BC,∴四边形AFBD是平行四边形, ∵∠BAC=90°,D是BC的中点, ∴AD=BD=BC, ∴四边形ADBF是菱形; ‹#› (2)∵四边形ADBF是菱形,∴S菱形ADBF=2S△ABD, ∵点D是BC的中点, ∴S△ABC=2S△ABD, ∴S菱形ADBF=S△ABC=40, ∴AB·AC=40,∴×8·AC=40, ∴AC=10,∴AC的长为10. ‹#› 【技法点拨】 计算菱形面积的两种方法 (1)如果已知菱形两条对角线长分别为a,b,选择S=ab. (2)已知菱形一边长(或周长)和一内角度数(30°,45°,60°)时,选择S=底边×高. ‹#› 素养 当堂测评 1.(4分·推理能力)依据所标识的数据,下列平行四边形一定为菱形的是( ) C ‹#› 2.(4分·2025·龙东中考)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,请 添加一个条件_______________________,使平行四边形ABCD为菱形.  　AB=AD(答案不唯一)　 ‹#› 3.(4分·推理能力)如图,在等腰三角形ABC中,CB=CA,将其沿AB折叠使点C与点 D重合,延长AB至点F,DB至点E,∠EBF=55°,则∠C的度数是________.  　70°　 ‹#› 4.(8分·几何直观、推理能力)如图,四边形ABCD是平行四边形,BM∥DN,且分别交对角线AC于点M,N,连接MD,BN. (1)求证:∠DMN=∠BNM; (2)若∠BAC=∠DAC.求证:四边形BMDN是菱形. ‹#› 【解析】(1)连接BD,交AC于点O, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OB=OD, ∵BM∥DN,∴∠MBO=∠NDO, 又∠BOM=∠DON, ∴△BOM ≌△DON, ∴BM=DN, ∴四边形BMDN为平行四边形, ∴BN∥DM,∴∠DMN=∠BNM; ‹#› (2)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴BC∥AD,∴∠BCA=∠DAC, ∵∠BAC=∠DAC,∴∠BAC=∠BCA, ∴AB=BC,∴四边形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD,∴MN⊥BD, ∴平行四边形BMDN是菱形. ‹#› 本课结束 ‹#› $8.3　特殊的平行四边形 第1课时　矩形的性质 基础　主干落实 重点　典例研析 素养 当堂测评 课时学习目标 素养目标达成 1.理解矩形的概念,明确矩形与平行四边形的区别与联系;探索并证明矩形的性质,会用矩形性质解决相关问题 推理能力、几何直观、模型观念 2.理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一重要结论 推理能力、模型观念 ‹#› 基础　主干落实 新知要点 1.矩形的定义及性质 (1)定义:有一个角是__________的平行四边形.  (2)性质:①具有平行四边形的所有性质. ②角:四个角都是__________.  ③对角线:对角线__________.  　直角　 　直角　 　相等　 ‹#› 对点小练 1.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O, (1)若∠ACB=70°,则∠AOB=_________.  (2)若∠BAC=30°,BC=3,则BD=_______.  　140°　 　6　 ‹#› 新知要点 2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的__________.  对点小练 2.(2023·郴州中考)在△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,则AB边上的中线CD=_______.  　一半　 　5　 ‹#› 重点　典例研析 重点1矩形的性质(几何直观、推理能力) 【典例1】(教材溯源·P23T1改编·2024·陕西中考)如图,四边形ABCD是矩形,点E和点F在边BC上,且BE=CF,求证:AF=DE. 【自主解答】∵四边形ABCD为矩形, ∴AB=CD,∠B=∠C=90°, ∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF, 即BF=CE. 在△ABF和△DCE中,, ∴△ABF≌△DCE(SAS),∴AF=DE. ‹#› 【举一反三】 如图,在矩形ABCD中,点E在边BC上,点F在BC的延长线上,且EF=BC. 求证:△ABE≌△DCF. 【证明】∵四边形ABCD是矩形, ∴AB=CD,∠ABC=∠DCB=∠DCF=90°, ∴∠ABE=∠DCF=90°,∵EF=BC, ∴BC-EC=EF-EC,∴BE=CF, 在△ABE和△DCF中,, ∴△ABE≌△DCF(SAS). ‹#› 【技法点拨】 矩形性质的三点应用 (1)证明线段平行、相等或倍分关系. (2)证明角相等或求角的度数. (3)解决与全等有关的问题. ‹#› 重点2直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(几何直观、推理能力) 【典例2】已知:如图,∠ABC=∠ADC=90°,点O是线段AC的中点. (1)求证:OB=OD; (2)若∠CAD=60°,OB=6,求△AOD的周长. ‹#› 【自主解答】(1)∵∠ABC=∠ADC=90°,点O是AC的中点, ∴OB=AC,OD=AC,∴OB=OD; (2)∵OB=6,OD=OB, ∴OD=6, ∵∠ADC=90°,点O为AC的中点, ∴OA=OD, ∵∠CAD=60°, ∴OA=AD=OD=6, ∴△AOD的周长是OA+AD+OD=6+6+6=18. ‹#› 【举一反三】 1.如图,点C为线段AB的中点,∠AMB=∠ANB=90°,则△CMN是__________三角形.  2.(2025·扬州中考)如图,在△ABC中,点D,E分别是边AB,BC的中点,点F在线段DE 的延长线上,且∠BFC=90°.若AC=4,BC=8,则DF的长是_______ .  　等腰　 　6　 ‹#› 【技法点拨】 　直角三角形斜边上中线的性质及其拓展 (1)性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,在Rt△BAC中,∠BAC=90°,D为BC的中点,则AD=BC. (2)拓展:①∠1=∠2,∠3=∠4;②∠ADB=2∠3=2∠4,∠ADC=2∠1=2∠2. ‹#› 素养 当堂测评 1.(4分·推理能力、运算能力)将三角尺按如图所示放置在一张矩形纸片上, ∠EGF=90°,∠FEG=30°,∠1=130°,则∠BFG的度数为( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.130° B.120° C.110° D.100° C ‹#› 2.(4分·推理能力、运算能力·2025·兰州中考)如图,四边形ABCD是矩形,对角线 AC,BD相交于点O,点E,F分别在边AB,BC上,连接EF交对角线BD于点P.若P为EF 的中点,∠ADB=35°,则∠DPE=( ) A.95° B.100° C.110° D.145° C ‹#› 3.(8分·几何直观、推理能力)(2024·无锡中考)如图,在矩形ABCD中,E是BC的中点,连接AE,DE.求证: (1)△ABE≌△DCE; (2)∠EAD=∠EDA. 【证明】(1)∵四边形ABCD是矩形, ∴AB=DC,∠B=∠C=90°,∵E是BC的中点,∴BE=CE, 在△ABE和△DCE中,, ∴△ABE≌△DCE(SAS); (2)∵△ABE≌△DCE,∴AE=DE,∴∠EAD=∠EDA. ‹#› 本课结束 ‹#› $第2课时　矩形的判定 基础　主干落实 重点　典例研析 素养 当堂测评 课时学习目标 素养目标达成 探索并证明矩形的判定,会用矩形判定解决相关问题 推理能力、几何直观、模型观念 ‹#› 基础　主干落实 新知要点 矩形的判定方法: 1.定义:有一个角是__________的平行四边形.  2.三个角都是__________的四边形.  3.对角线__________的平行四边形.  　直角　 　直角　 　相等　 ‹#› 对点小练 (2025·德阳中考)如图,要使平行四边形ABCD是矩形,需要增加的一个条件可以 是( ) A.AB∥CD　　 B.AB=BC C.∠B=∠D D.AC=BD D ‹#› 重点　典例研析 重点1矩形的判定(几何直观、推理能力) 【典例1】如图,在▱ABCD中,DE平分∠ADB,交AB于点E,BF平分∠CBD,交CD于点F. (1)求证:DE=BF; (2)若AD=BD,求证:四边形DEBF是矩形. ‹#› 【自主解答】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD, ∴∠ADB=∠CBD,∵DE平分∠ADB,BF平分∠CBD, ∴∠EDB=∠ADB,∠DBF=∠CBD, ∴∠EDB=∠DBF,∴DE∥BF, 又∵AB∥CD,∴四边形DEBF是平行四边形.∴DE=BF. (2)∵AD=BD,DE平分∠ADB, ∴DE⊥AB,∴∠DEB=90°, 又∵四边形DEBF是平行四边形, ∴四边形DEBF是矩形. ‹#› 【举一反三】 (2024·长春中考)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,O是边AB的中点, ∠AOD=∠BOC. 求证:四边形ABCD是矩形. 【证明】∵O是边AB的中点,∴OA=OB, 在△AOD和△BOC中,, ∴△AOD≌△BOC(ASA),∴DA=CB, ∵∠A=∠B=90°,∴DA∥CB,∴四边形ABCD是平行四边形, 又∵∠A=90°,∴平行四边形ABCD是矩形. ‹#› 重点2 矩形性质和判定的综合应用(几何直观、推理能力) 【典例2】如图,在▱ABCD中,AE⊥BC于点E,延长BC至点F,使CF=BE,连接DF,DE,AF与DE交于点O. (1)求证:四边形AEFD为矩形; (2)若AB=3,OE=2,BF=5,求DF的长. ‹#› 【自主解答】(1)∵BE=CF, ∴BE+CE=CF+CE,即BC=EF, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,AD=BC, ∴AD=BC=EF, 又∵AD∥EF, ∴四边形AEFD为平行四边形, ∵AE⊥BC,∴∠AEF=90°, ∴四边形AEFD为矩形; ‹#› (2)由(1)知,四边形AEFD为矩形, ∴DF=AE,AF=DE=2OE=4, ∵AB=3,AF=4,BF=5, ∴AB2+AF2=BF2, ∴△BAF为直角三角形,∠BAF=90°, ∴S△ABF=AB·AF=BF·AE, ∴AB·AF=BF·AE, 即3×4=5AE,∴AE=, ∴DF=AE=. ‹#› 【举一反三】 如图,四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AO=CO,BO=DO,且∠ABC+ ∠ADC=180°. (1)求证:四边形ABCD是矩形. (2)DE⊥AC垂足为点E,交BC于点F,若∠ADF∶∠FDC=2∶1,则∠BDF的度数是多少? ‹#› 【解析】(1)∵AO=CO,BO=DO, ∴四边形ABCD是平行四边形, ∴∠ABC=∠ADC, ∵∠ABC+∠ADC=180°, ∴∠ABC=∠ADC=90°, ∴平行四边形ABCD是矩形; ‹#› (2)由(1)得∠ADC=90°,四边形ABCD是矩形, ∵∠ADF∶∠FDC=2∶1, ∴∠FDC=30°, ∵DF⊥AC,∴∠DCO=90°-30°=60°, ∵AO=CO,BO=DO,AC=BD, ∴OC=OD, ∴∠ODC=∠DCO=60°, ∴∠BDF=∠ODC-∠FDC=30°. ‹#› 素养 当堂测评 1.(4分·推理能力、几何直观)下列各图中,是矩形的是( ) D ‹#› 2.(4分·推理能力)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AC=6,若 要使平行四边形ABCD为矩形,则OB的长度应为_______.  　3　 ‹#› 3.(8分·推理能力、几何直观)如图,在▱ABCD中,E为BC的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F,连接BF,AC,若AD=AF,求证:四边形ABFC是矩形. ‹#› 【证明】∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,AB=CD, ∴∠BAE=∠CFE,∠ABE=∠FCE, ∵E为BC的中点,∴EB=EC, ∴△ABE≌△FCE(AAS), ∴AB=CF. ∵AB∥CF, ∴四边形ABFC是平行四边形, ∵BC=AF, ∴平行四边形ABFC是矩形. ‹#› 本课结束 ‹#› $