第8章 四边形 课件 2025-2026学年 青岛版八年级数学下册

专题训练一　特殊四边形中的折叠、 旋转与动点问题 类型一 折叠问题 1．[2024·云南模拟]如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折 叠，使点A落在点A′处，若∠1＝∠2＝50°，则∠A′的度数 为( ) A．130° B．120° C．105° D．100° 2．[2025·长春期末]如图，在正方形纸片ABCD中，点P是边BC 上一点，连接AP，将正方形沿AP折叠，点B落在点E处，延长PE 交CD于点Q，连接AQ，CE.给出以下结论：①△AEQ≌△ADQ　 ②PQ＝BP＋DQ　③△PEC与△QEC的面积相等　④若BP＝CP，则 CQ＝2DQ.上述结论中，正确结论的序号有_______． ①②④ 3．[2025·南通三模]如图1，有一张菱形纸片ABCD，∠A＝45°，折叠该纸片，使得点A，C均与点D重合，折痕分别为EG，FH，设两条折痕的延长线交于点O. (1)请在图2中将图形补充完整，并求∠EOF的度数； (2)四边形DGOH是菱形吗？请说明理由． 解：(1)补全图形如图， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD， ∴∠ADC＝180°－∠A＝180°－45°＝135°. ∵折叠菱形纸片ABCD，使得点A，C均与点D重合， 折痕分别为EG，FH， ∴GE⊥AD，HF⊥CD， ∴∠OED＝∠OFD＝90°. ∵∠EOF＋∠OED＋∠OFD＋∠ADC＝360°， ∴∠EOF＝360°－90°－90°－135°＝45°； (2)四边形DGOH是菱形，理由如下： ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠C＝∠A＝45°，AD＝CD． ∵折叠菱形纸片ABCD，使得点A，C均与点D重合，折痕分别 为EG，FH， ∴AE＝DE＝ AD，∠ADG＝∠A＝45°，DF＝CF＝ CD， ∠CDH＝∠C＝45°. 又∵∠ADC＝135°， ∴∠GDC＝∠ADH＝90°. 又∵∠OED＝∠OFD＝90°， ∴∠OED＋∠ADH＝180°，∠OFD＋∠GDC＝180°， ∴GE∥DH，GD∥HF， ∴四边形DGOH是平行四边形． ∵AE＝DE＝ AD，DF＝CF＝ CD，AD＝CD， ∴DE＝DF. 又∵∠EDG＝∠FDH＝45°，∠DEG＝∠DFH＝90°， ∴△DEG≌△DFH(ASA)， ∴DG＝DH， ∴四边形DGOH是菱形． 类型二 旋转问题 4．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在 x轴和y轴上，并且OA＝5，OC＝3.若把矩形OABC绕着点O逆时针 旋转，使点A恰好落在BC边上的点A1处，则点A的对应点A1的坐标 为_______． (4，3) 5．[2023·牡丹江]如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的 顶点A，B在x轴上，AB＝2，A(1，0)，∠DAB＝60°，将菱形 ABCD绕点A旋转90°后，得到菱形AB1C1D1，则点C1的坐标是 _______________________． 6．[2025·济宁期中]综合探究 几何探究是培养推理能力、几何直观和创新意识的重要途径．解决几何综合探究问题，往往需要运用从特殊到一般、化动为静、类比等数学思想方法． 【问题情境】分别以△ABC的两边AC和BC为边作正方形ACDE和BCFG，连接DF，探究AB与DF之间满足的数量和位置关系． 【初步感知】(1)如图1，若∠ACB＝90°，写出AB与DF之间满足的数量和位置关系，并说明理由； 【深入探究】(2)如图2，改变点B的位置，其他条件不变，猜想AB与DF之间满足的数量和位置关系，并证明猜想． 解：AB＝DF，AB⊥DF.理由如下： (1)如图1，延长AB交DF于点H， ∵四边形ACDE和四边形BCFG都是正方形， ∴∠ACD＝∠BCF＝90°＝∠ACB，AC＝DC，BC＝CF， ∴△ACB≌△DCF(SAS)， ∴AB＝DF，∠CDF＝∠BAC． 又∵∠ABC＝∠DBH， ∴∠DHB＝∠ACB＝90°，即AB⊥DF， ∴AB＝DF，AB⊥DF； (2)AB＝DF，AB⊥DF. 证明：如图2，延长AB交DF于点M，交CD于点N， ∵四边形ACDE和BCFG为正方形， ∴∠ACD＝∠BCF＝90°，AC＝DC，BC＝FC， ∴∠ACD－∠BCD＝∠BCF－∠BCD，即∠ACB＝∠DCF， ∴△ACB≌△DCF(SAS)． ∴AB＝DF，∠BAC＝∠FDC． ∵∠ANC＝∠DNM， ∴∠ACD＝∠DMN＝90°. ∴AB⊥DF. ∴AB＝DF，AB⊥DF. 类型三 特殊平行四边形中的动点问题 7．如图，正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D．在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积( ) A．先变大后变小 B．保持不变 C．一直变大 D．一直变小 8．[2025·淄博期中]如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B处，点C落在点C′处，P为折痕EF上的任意一点，过点P作PG⊥BE，PH⊥BC，垂足分别为点G，H，若AD＝16，CF＝6，则PG＋PH的值为( ) A．6 B．8 C．10 D．16 9．如图，M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是边BC上一动点，且PE⊥MC于点E，PF⊥BM于点F. (1)当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长与宽应满足什么条件？ (2)在(1)的条件下，当点P运动到什么位 置时，四边形PEMF为正方形？为什么？ 解：(1)当AD＝2AB时，四边形PEMF为矩形． 理由：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠A＝∠D＝90°. ∵AD＝2AB＝2CD，AM＝DM＝ AD， ∴AB＝AM，DM＝CD， ∴∠ABM＝∠AMB＝45°， ∠DCM＝∠DMC＝45°， ∴∠BMC＝90°. ∵PE⊥MC，PF⊥BM， ∴∠MEP＝∠PFM＝90°， ∴四边形PEMF为矩形， ∴当AD＝2AB时，四边形PEMF为矩形； (2)当点P运动到BC的中点时，矩形PEMF是正方形． 理由：如图，连接MP. ∵四边形PEMF是矩形，∴∠BMC＝90°. 由(1)知∠ABM＝45°，∠DCM＝45°， ∴∠MBC＝∠MCB＝45°， ∴BM＝CM. ∵P是BC的中点， ∴MP是等腰Rt△BMC的角平分线． ∵PF⊥BM，PE⊥MC， ∴PF＝PE， ∴四边形PEMF是正方形． 10．[2024·昆明期中]如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(10，0)，C(0，3)，点D是OA的中点，动点P在线段BC上以每秒2个单位长度的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒． (1)当t＝ 时(直接写出t的值)，四边形PODB是平行四边 形； (2)在线段BC上是否存在一点Q，使得以O，D，Q，P四点为顶点 的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不 存在，请说明理由； (3)在线段PB上有一点M且PM＝5，求四边形OAMP的周长最小值． ∴t＝4.5. ∵CQ＝4， ∴Q(4，3)； 综上所述，线段BC上存在点Q，使得以O，D，Q，P四点为顶点 的四边形是菱形：t＝2秒时，Q(9，3)；t＝4.5秒时，Q(4，3)； (3)如图3，连接OP，DM，由(1)得OD＝5， ∵PM＝5， ∴OD＝PM. ∵CB∥OA， ∴四边形OPMD是平行四边形， ∴OP＝DM. ∵四边形OAMP的周长为OA＋AM＋PM＋OP＝10＋AM＋5＋DM＝15＋AM＋DM， ∴AM＋DM最小时，四边形OAMP的周长最小， ∴作点A关于BC的对称点E，连接DE交PB于点M，如图3， ∴AM＝EM， ∴AM＋DM＝DM＋EM. ∵两点之间线段最短， ∴此时DM＋EM最小，即AM＋DM最小． eq \f(1,2) eq \f(1,2) eq \f(1,2) eq \f(1,2) (1－eq \r(3)，3)或(1＋eq \r(3)，－3) eq \f(1,2) 解：(1)2.5； (2)解：①如图1，当Q点在P点的右边时， ∵四边形ODQP为菱形， ∴OP＝PQ＝OD＝5， ∴在Rt△OPC中，CP＝eq \r(OP2－OC2)＝eq \r(52－32)＝4， ∴2t＝4，∴t＝2. ∵CQ＝CP＋PQ＝4＋5＝9， ∴Q(9，3)； ②如图，当Q点在P点的左边时， ∵四边形ODPQ为菱形， ∴OQ＝PQ＝OD＝5， ∴在Rt△OCQ中，CQ＝eq \r(OQ2－OC2)＝eq \r(52－32)＝4， ∴CP＝CQ＋PQ＝4＋5＝9， ∴2t＝9， ∵AE＝AB＋BE＝3＋3＝6， ∴AM＋DM的最小值为 DE＝eq \r(AE2＋AD2)＝eq \r(62＋52)＝eq \r(61)， ∴四边形OAMP的周长最小值为15＋eq \r(61). $第4课时　平行四边形的判定定理3,4 1．[2024·河东二模]如图，在△ABD中，分别以点B，D为圆心，BD长为半径作弧，分别交于点E，F，连接EF交BD于点O，连接AO并延长，再以O为圆心，OA长为半径作弧，交AO延长线于点C，连接CB，CD，则可以判定四边形ABCD为平行四边形的依据是( ) A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．一组对边平行且相等 D．对角线互相平分 2．[2025·济宁期末]在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于O点，给出五组条件： ①AB＝DC，AD∥BC ②AB＝CD，AB∥CD ③AB∥CD，AD∥BC ④OA＝OC，OB＝OD ⑤AB＝CD，AD＝BC． 能判定此四边形是平行四边形的有( ) A．5组 B．4组 C．3组 D．2组 3．已知四边形ABCD，有下列条件： ①∠A＝∠C，∠B＝∠D ②∠A＝∠B＝∠C＝90° ③∠A＋∠B＝180°，∠A＝∠D ④∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°. 其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是_____．(填序号) ①② 4．在△ABC中，点D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥CB，点F 是DE延长线上一点，连接CF.添加下列条件：①BD∥CF　②DF ＝BC　③BD＝CF　④∠B＝∠F.能使四边形BCFD是平行四边形 的是_______．(填序号) ①②④ 5．[2025·成都期末]如图，在四边形ABCD中，∠ABC的平分线BE交AD于点E，已知AB∥CD，∠BAD＝∠BCD． (1)求证：四边形ABCD是平行四边形； (2)若AB＝6，四边形ABCD周长为32，求DE的长度． 解：(1)证明：∵AB∥CD， ∴∠BAD＋∠D＝180°， ∵∠BAD＝∠BCD， ∴∠BCD＋∠D＝180°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形； (2)∵平行四边形ABCD的周长为32， ∴AB＋AD＝16， ∵AB＝6，∴AD＝10， ∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠EBC＝∠AEB， ∴AB＝AE＝6， ∴DE＝AD－AE＝10－6＝4. 6．[2024·临沂期中]如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，EF过点O交AD于点E，交BC于点F，AG＝CH，证明：四边形EGFH是平行四边形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB，OA＝OC，∴∠EAO＝∠FCO. 又∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF(ASA)， ∴OE＝OF.∵AG＝CH， ∴OG＝OH， ∴四边形EGFH是平行四边形． 7．[2025·济宁期中]如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC上的两点，∠1＝∠2. (1)求证：AE＝CF； (2)求证：四边形EBFD是平行四边形． 证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠DAE＝∠BCF， 又∵∠1＝∠2， ∴△AED≌△CFB(AAS)； ∴AE＝CF； (2)如图，连接BD交AC于点O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，BO＝DO. ∵△AED≌△CFB， ∴AE＝CF， ∴AO－AE＝CO－CF，即OE＝OF， ∴四边形EBFD是平行四边形． 8．[2025·济南期末]如图，在▱ABCD中，已知AD＝15 cm，点P 在AD上以1 cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在CB上以4 cm/s的 速度从点C出发在CB上往返运动．两点同时出发，当点Q第一次 返回C点时点P也停止运动，设运动时间为t(s)(t>0)．当t＝ _____时，四边形PDCQ是平行四边形． 3或5 9．[2025·枣庄期末]如图，在▱ABCD中，AD>AB，∠ABC为锐角．点O是对角线AC的中点，某数学学习小组要在AC上找两点E，F，使四边形BEDF为平行四边形，现在，甲、乙两个同学给出了两种不同的方案如下： 甲方案：分别取AO，CO的中点E，F； 乙方案：作BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F； 请回答下列问题： (1)你认为按照甲方案得到的四边形是平行四边形吗？ 答： (填“是”或“不是”)； (2)你认为按照乙方案得到的四边形是平行四边形吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由； (3)请你给出一种和他们不同的方案，请用文字表达你的方案，在图中标记字母，并写出证明． 解：(1)是； (2)乙方案得到的四边形是平行四边形； 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥CB， ∴∠EAD＝∠FCB． ∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴BE∥DF，∠BEF＝∠AFD＝90°. (3)在AC上取AE＝CF，即可得到四边形BEDF为平行四边形， 证明：如图，连接BD， ∵在▱ABCD中，点O是对角线AC的中点， ∴AO＝CO，BO＝DO. ∵AE＝CF， ∴AO－AE＝CO－CF， ∴EO＝FO， ∴四边形BEDF为平行四边形． 解析：设经过t秒，四边形PDCQ是平行四边形， ∵P在AD上运动，根据题意t≤eq \f(30,4)＝7.5， 即0＜t≤7.5， ∵四边形PDCQ是平行四边形， ∴DP＝CQ， 分为以下情况：①点Q的运动方向是C→B时， 可列方程4t＝15－t，解得t＝3； ②点Q的运动方向是B→C时， 可列方程15－4×(t－eq \f(15,4))＝15－t， 解得t＝5. 综上所述，当t＝3或t＝5时，四边形PDCQ是平行四边形． ∵在△ADF和△CBE中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AFD＝∠CEB，,∠DAF＝∠BCE，,AD＝CB，)) ∴△ADF≌△CBE(AAS)， ∴BE＝DF. 又∵BE∥DF， ∴四边形BEDF是平行四边形； $第4课时　菱形的判定 1．[2024·枣庄期中]如图，将矩形ABCD对折，使边AB与CD，BC与AD分别重合，展开后得到四边形EFGH.若AB＝2，BC＝4，则四边形EFGH的面积为( ) A．2 B．4 C．5 D．6 2．[2024·威海期中]如图，对于线段AB，小慧同学按照下列 步骤画出一个四边形：(1)以点A为圆心，以大于 AB的长为半 径作弧；(2)以点B为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两 弧交于点C，D；(3)连接AC，BC，AD，BD，CD．对于四边形 ACBD，添加下列条件无法判定为菱形的是( ) A．AB＝CD B．AC＝BC C．∠ACD＝∠BCD D．AD∥BC 3．[2025·德州期末]已知∠A，按以下步骤作图，如图1～图3. (1)以点A为圆心，任意长为半径作弧，与∠A的两边分别交于点B，D (2)分别以点B，D为圆心，AD长为半径作弧，两弧相交于点C (3)分别连接DC，BC． 则可以直接判定四边形ABCD是菱形的依据是( ) A．一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．四条边相等的四边形是菱形 4．[2024·滨州期中]如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O， 点E为BC的中点，连接EO并延长交AD于点F，∠ABC＝60°，BC ＝2AB．下列结论：①AB⊥AC　②AD＝4OE　③四边形AECF是菱 形　④S△BOE＝ S△ABC．其中正确的是( ) A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 5．[2025·临沂期中]如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于 点O，添加一个条件判定▱ABCD是菱形，所添加的条件为_______ _____________(写出一个即可) AC⊥BD (答案不唯一) 6．[2024·威海期中]如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，CF∥AB，交DE的延长线于点F，连接AF，CD．当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形？写出你认为正确的条件，并进行证明． 解：AC⊥BC．理由： ∵CF∥AB， ∴∠ADF＝∠CFD，∠DAC＝∠FCA． ∵点E是AC的中点，∴AE＝CE. ∴△ADE≌△CFE(AAS)， ∴AD＝CF. 又∵CF∥AD， ∴四边形ADCF是平行四边形． ∵AC⊥BC，点D是AB的中点， ∴CD＝ AB＝AD， ∴四边形ADCF是菱形． 7．[2024·宿迁]如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝DC ＝ BC，E是BC的中点．下面是甲、乙两名同学得到的结论： 甲：若连接AE，则四边形ADCE是菱形； 乙：若连接AC，则△ABC是直角三角形． 请选择一名同学的结论给予证明． ∵AD＝CD， ∴四边形ADCE是菱形， ∴AC⊥DE， ∴∠EOC＝90°. ∵四边形ABED是平行四边形， ∴DE∥AB，∴∠BAC＝∠EOC＝90°， ∴△ABC是直角三角形． 8．[2025·青岛期中]如图，在菱形ABCD中，E是AD的中点，CE，BA的延长线交于点F，连接AC，DF. (1)求证：AF＝CD； (2)连接BD，请判断BD与DF的位置关系，并说明理由； (3)当菱形ABCD满足 时，四边形ACDF是菱形． 解：(1)证明： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD， ∴∠AFE＝∠DCE. ∵E是AD的中点， ∴AE＝DE， (2)BD⊥DF，理由： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝CD． ∵AF＝CD， ∴AB＝AD＝AF， ∴∠ABD＝∠ADB，∠ADF＝∠AFD， ∴∠BDF＝∠ADB＋∠ADF＝ ×180°＝90°， ∴BD⊥DF； (3)当菱形ABCD满足∠ABC＝60°时，四边形ACDF是菱形， 理由如下： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝CD＝BC． ∵∠ABC＝60°，AB＝BC， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC， ∴AC＝CD． ∵AF＝CD，AF∥CD， ∴四边形ACDF是平行四边形． 又∵AC＝CD， ∴平行四边形ACDF是菱形． 故答案为：∠ABC＝60°. 9．如图，在▱ABCD中，AF是∠BAD的平分线，交BC于点F，与DC的延长线交于点N.CE是∠BCD的平分线，交AD于点E，与BA的延长线交于点M，连接BE，EF. (1)试判断四边形AFCE的形状，并说明理由； (2)若BE⊥ME，证明四边形ABFE是菱形． 解：(1)四边形AFCE是平行四边形， 理由：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD＝∠BCD，AD∥BC， ∴∠FAD＝∠BFA． ∵AF是∠BAD的平分线，CE是∠BCD的平分线， ∴∠FAD＝ ∠BAD，∠BCE＝ ∠BCD， ∴∠FAD＝∠BCE， ∴∠BFA＝∠BCE， ∴AF∥CE. 又∵AD∥BC， ∴四边形AFCE是平行四边形； (2)证明：如图，∵AF是∠BAD的平分线，且∠FAD＝∠BFA， ∴∠BFA＝∠BAF， ∴BA＝BF. ∵BE⊥ME， ∴∠BEM＝90°， ∵AF∥CE， ∴∠BOA＝∠BEM＝90°，即BO⊥AF. 又∵在△ABF中，BA＝BF， ∴∠ABE＝∠FBE. ∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠FBE， ∴∠ABE＝∠AEB，∴BA＝AE， ∴BF＝AE.又∵AD∥BC， ∴四边形ABFE是平行四边形． 又∵BA＝BF， ∴四边形ABFE是菱形． 10.[折叠问题][2025·济宁二模节选]【问题背景】 在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点P在边AB上，点Q在边BC上，将纸片沿PQ折叠，使顶点B落在点E处． 【初步认识】 (1)如图1，折痕的端点P与点A重合． ①当∠CQE＝52°时，∠AQB＝ ； ②若点E恰好在线段QD上，求BQ的长； 【深入思考】 (2)当点E恰好落在边AD上时，如图2，过点E作EF∥AB交PQ于点F，连接BF.请根据题意，补全图2并证明四边形PBFE是菱形． 解：(1)①64°； ②当点E恰好在线段QD上时，如图1所示， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABQ＝∠C＝90°，AD＝BC＝10，CD＝AB＝6. 由折叠得AB＝AE＝6， ∠ABQ＝∠AEQ＝90°，BQ＝QE， ∴∠AED＝90°， (2)补图如图2： 证明：∵EF∥AB，∴∠BPF＝∠EFP. 由折叠得PB＝PE，∠BPF＝∠EPF， ∴∠EFP＝∠EPF， ∴PE＝EF，∴PB＝EF， ∴四边形PBFE是平行四边形， 又∵PB＝PE， ∴四边形PBFE是菱形． eq \f(1,2) eq \f(1,2) eq \f(1,4) eq \f(1,2) eq \f(1,2) 证明：选择甲：如图1， ∵AD＝DC＝eq \f(1,2)BC，E是BC的中点， ∴CE＝eq \f(1,2)BC＝AD． ∵AD∥BC， ∴四边形ADCE是平行四边形． ∵AD＝CD， ∴四边形ADCE是菱形； 选择乙：如图2，连接AE，DE，DE交AC于点O， ∵AD＝DC＝eq \f(1,2)BC，E是BC的中点． ∴BE＝CE＝eq \f(1,2)BC＝AD． ∵AD∥BC， ∴四边形ADCE是平行四边形，四边形ABED是平行四边形． 在△AFE与△DCE中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AFE＝∠DCE，,∠AEF＝∠DEC，,AE＝DE，)) ∴△AFE≌△DCE(AAS)， ∴AF＝CD； eq \f(1,2) eq \f(1,2) eq \f(1,2) ∴DE＝eq \r(AD2－AE2)＝eq \r(102－62)＝8. 设BQ＝QE＝x，则DQ＝8＋x，CQ＝10－x， 在Rt△DCQ中，CD2＋CQ2＝DQ2， ∴62＋(10－x)2＝(8＋x)2， 解得x＝2， ∴BQ＝2； $8．3　特殊的平行四边形 第1课时　矩形及其性质 1．[2024·青岛二模]两个矩形的位置如图所示，若∠1＝m°， 则∠2的度数为( ) A．(m－90)° B．(90－m)° C．(m－45)° D．(180－m)° 3．[2025·临沂期中]如图，在矩形ABCD中，连接BD，延长 DA至点E使AE＝BD，连接CE.已知∠CDB＝56°，则∠ECD的度 数为( ) A．72° B．73° C．74° D．75° 4．[2025·聊城三模]如图，四边形ABCD是矩形，一副三角板 如图放置，直角顶点重合于点A，∠AGE＝30°，则∠1－∠2 ＝( ) A．45°　　　 B．30°　　　 C．25° D．随△EAG的位置的变化而变化 6．[2024·厦门期中]如图，四边形ABCD为一矩形纸带，点E， F分别在边AB，CD上，将纸带沿EF折叠，点A，D的对应点分别 为点A′，D′，若∠2＝35°，则∠1的度数为_______． 72.5° 7．[2024·长春期末]如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过 点O作OE⊥AC，交AB于点E，连接CE，若矩形ABCD的周长是20 cm， 则△BCE的周长是______． 10 cm 8．[2024·济南期末]如图，矩形ABCD中，E，F是AD上的点，∠AFB＝∠DEC． 求证：AF＝DE. 证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴AB＝CD，∠A＝∠D＝90°. 又∵∠AFB＝∠DEC， ∴△BAF≌△CDE(AAS)， ∴AF＝DE. 9．[2025·威海一模节选]如图，四边形ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G，H，且与各边交于点I，J，K，L.若四边形EFGH是矩形，请判断四边形ABCD的形状并说明理由． 解：四边形ABCD是平行四边形，理由如下： ∵四边形EFGH是矩形， ∴∠EFG＝90°， ∴∠AFB＝90°， ∴∠ABF＋∠BAF＝90°. ∵四边形ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G，H， ∴∠BAD＝2∠BAF，∠ABC＝2∠ABF， ∴∠ABC＋∠BAD＝2(∠ABF＋∠BAF)＝180°， ∴AD∥BC． 同理，∠BAD＋∠ADC＝180°， ∴AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 10．[2024·镇江期中]如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，点E，F分别是BD，AC的中点，连接EF，EA，EC． (1)试判断EF与AC的位置关系，并说明理由； (2)若∠EAF＝25°，则∠ADC＝ °. (2)∵∠BAD＝∠BCD＝90°，点E是BD的中点， ∴AE＝CE＝DE，∴∠DAE＝∠ADE，∠DCE＝∠CDE. ∵∠AEB＝∠DAE＋∠ADE，∠BEC＝∠DCE＋∠CDE， ∴∠AEC＝∠AEB＋∠BEC＝2(∠ADE＋∠CDE)＝2∠ADC． ∵AE＝CE，∠EAF＝25°， ∴∠ACE＝∠EAF＝25°， ∴∠AEC＝180°－∠EAF－∠ACE＝130°， ∴∠ADC＝ ∠AEC＝65°. 故答案为：65. 11.[规律探究][2025·聊城期中]如图，矩形ABCD的对角线交 于点O，以AB，AO为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于点O1， 以AB，AO1为邻边作平行四边形AO1C2B……依此类推，如果矩形 ABCD的面积为17 cm2，则平行四边形AO2 024C2 025B的面积 为_____cm2. 12．【课本再现】(1)下面是某版本数学课本上的一道题： 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与点A和点D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为点E，F.求PE＋PF的值． 如图1，连接PO，利用△PAO与△PDO的面积之和是矩形面积的 ， 可求出PE＋PF的值．请你写出求解过程； 【知识应用】(2)如图2，在矩形ABCD中，点M，N分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿直线MN折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C′处．点P为线段MN上一动点(不与点M，N重合)，过点P分别作直线BM，BC的垂线，垂足分别为点E和F，以PE，PF为邻边作平行四边形PEGF.若DM＝13，CN＝5，求平行四边形PEGF的周长． (2)∵四边形ABCD为矩形， ∴AD＝BC，∠A＝∠ABC＝90°，AD∥BC， ∴∠DMN＝∠BNM. 连接BP，过点M作MH⊥BC于点H，如图所示， 则四边形ABHM为矩形， ∴MH＝AB． 由折叠得DM＝BM，∠DMN＝∠BMN， ∴∠BNM＝∠BMN， ∴DM＝BM＝BN＝13， ∴AD＝BC＝BN＋CN＝13＋5＝18， ∴AM＝AD－DM＝18－13＝5. 2．[2024·青海]如图，在Rt△ABC中，D是AC的中点，∠BDC＝ 60°，AC＝6，则BC的长是( ) A．3 B．6 C．eq \r(3) D．3eq \r(3) 5．[2024·潮州期中]如图，在矩形ABCD中，AB＝10 cm，点E在线段AD上，且AE＝6 cm，动点P在线段AB上，从点A出发以2 cm/s的速度向点B运动，同时点Q在线段BC上，以v cm/s的速度由点B向点C运动，当△EAP与△PBQ全等时，v的值为( ) A．2 B．4 C．4或eq \f(6,5) D．2或eq \f(12,5) 解：(1)EF⊥AC，理由： ∵∠BAD＝∠BCD＝90°，点E是BD的中点， ∴AE＝eq \f(1,2)BD，CE＝eq \f(1,2)BD， ∴AE＝CE. ∵点F是AC的中点，∴EF⊥AC； eq \f(1,2) eq \f(17,22 025) eq \f(1,4) 解：(1)∵四边形ABCD为矩形， ∴S矩形ABCD＝AB·AD＝3×4＝12，OA＝OC＝OB＝OD， S△ABD＝S△BCD，∠ABC＝90°，BC＝AD＝4， ∴AC＝eq \r(AB2＋BC2)＝eq \r(32＋42)＝5，S△AOD＝S△ABO＝S△BOC＝S△COD， ∴S△AOD＝eq \f(1,4)S矩形ABCD＝eq \f(1,4)×12＝3，OA＝OD＝eq \f(1,2)AC＝eq \f(5,2)， ∴S△AOD＝S△AOP＋S△DOP＝eq \f(1,2)OA·PE＋eq \f(1,2)OD·PF＝eq \f(1,2)OA(PE＋PF)， ∴eq \f(1,2)×eq \f(5,2)(PE＋PF)＝3， 解得PE＋PF＝eq \f(12,5)； 在Rt△ABM中，由勾股定理，得AB＝eq \r(BM2－AM2)＝eq \r(132－52)＝12， ∴MH＝12. ∵S△BMN＝S△PBM＋S△PBN，PE⊥BM，PF⊥BN， ∴eq \f(1,2)BN·MH＝eq \f(1,2)BM·PE＋eq \f(1,2)BN·PF. ∵BM＝BN， ∴PE＋PF＝MH＝12， ∴▱PEGF的周长＝2(PE＋PF)＝2×12＝24. $第8章　章末能力突破 一、选择题 1．[2024·青岛期末]如图所示，在平行四边形ABCD中，按以下 步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD 于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于 MN的长为半径作 弧，两弧相交于点P；③作射线AP，交边CD于点Q.若DC＝3QC， BC＝4，则平行四边形ABCD周长为( ) A．10 B．18 C．16 D．20 2．[2025·临沂期中]如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD边AB，BC，CD，DA的中点，连接EG，FH.则下列说法： ①EG与FH互相平分 ②若AC⊥BD，则四边形EFGH为矩形 ③若AC＝BD，则四边形EFGH为菱形． 其中正确的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．0 3．[2025·滨州期中]如图，M，N是正六边形ABCDEF对角线BE上的两点，若添加下列选项中的一个条件，其中不能判定四边形AMDN是平行四边形的是( ) A．∠AMB＝∠DNE B．∠FAN＝∠CDM C．BM＝EN D．AM＝DN 4．[2025·烟台期中]折纸不仅具有艺术审美价值，还蕴含着许多数学知识．如图，一张长方形纸片ABCD，点E，F分别是线段AD，BC上的点，先将纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为点A′，B′，A′B′与线段AD交于点G，点H是线段DC上一点，再将纸片沿GH折叠，点D的对应点为点D′，点B′恰好在GD′上，若测得∠BFE＝66°，则∠DGH的度数是( ) A．21° B．26° C．33° D．42° 6．[2025·泰安期中]如图，在矩形ABCD中，AB<BC，连接AC，分别以点A和点C为圆心，大于AC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，直线MN分别交AD，BC于点E，F，连接CE，AF.给出下面四个结论：①∠BAF＝∠DCE　②四边形AECF是菱形　③AC·EF＝AE·AB　④∠DEC＝2∠DAC．上述结论中，正确结论的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 7．如图是电力部门维修时常用的伸缩围栏，中间由多个菱形 或半菱形组合而成．伸缩围栏被设计为菱形，利用了四边形的 _________． 不稳定性 8．[2025·济南期中]如图，在△ABC中，E，F分别是AB，AC的 中点，点D在EF上，延长AD交BC于点N，BD⊥AN，AB＝6，BC＝10， 则DF＝__． 2 9．[2025·烟台期末]如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC， BD相交于点O，DH⊥BC于点H，连接OH，∠BAD＝56°，则∠DHO 的度数是_____． 28° 10．[2025·济宁期中]如图，点E是正方形ABCD对角线BD上一点， 点F在BC上且EF＝EC，连接AE，AF，若∠ECF＝α，∠AFB＝β， 则α与β的关系式为______________． α＋β＝135° ∴AE＝EC，∠BAE＝∠BCE. ∵EF＝EC，∠ECF＝α， ∴EF＝AE，∠EFC＝∠ECF＝α， ∴∠EAF＝∠EFA， ∴∠BAE＝∠BAF＋∠EAF＝∠BAF＋∠EFA＝∠EFC． ∵∠BAF＋∠AFB＝90°，∠AFB＋∠EFA＋∠EFC＝180°， ∴∠BAF＋∠AFB＋∠AFB＋∠EFA＋∠EFC＝90°＋180°， ∴2∠AFB＋2∠EFC＝270°， ∴∠AFB＋∠EFC＝135°. ∵∠ECF＝∠EFC＝α，∠AFB＝β， ∴α＋β＝135°. 三、解答题 11．[2025·济宁期中]按要求画出图形： (1)在图1的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点画一个面积为8的正方形； (2)如图2，已知点A(－3，1)，B为第二象限内的一个整点(即横纵坐标都为整数的点)，且OA＝OB． ①直接写出点B的坐标为 ； ②在平面直角坐标系中取一点C，使以A，B，O，C为顶点的四边形是平行四边形(画出一种情况即可)． (2)①(－1，3)； ②以A，B，O及合适的第四个点C为顶点的所有平行四边形如图2所示． 12．[2025·济宁期末]如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF. (1)求证：四边形EGFH是平行四边形； (2)连接BD交AC于点O，若BD＝28，AE＋CF＝EF，求EG的长． ∴△AGE≌△CHF(SAS)， ∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH， ∴∠GEF＝∠HFE， ∴GE∥HF. 又∵GE＝HF， ∴四边形EGFH是平行四边形； (2)连接BD交AC于点O，如图， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD． ∵BD＝28， ∴OB＝OD＝14. ∵AE＝CF，OA＝OC， ∴OE＝OF. ∵AE＋CF＝EF，AE＝CF， ∴2AE＝EF＝2OE， ∴AE＝OE. 又∵点G是AB的中点， ∴EG是△ABO的中位线， ∴EG＝ OB＝7. 13．[2025·枣庄期末]如图，在▱ABCD中，连接BD，∠DBC＝90°.点E在CD边上，过点E作EG⊥BC，垂足为点F，交AB延长线于点G，连接BE，CG. (1)求证：DE＝BG； (2)当E为CD中点时，四边形BECG是什么 特殊四边形？说明你的理由； (3)在满足(2)的条件下，当△BCD满足什么条件时，四边形BECG是正方形？(不必说明理由) 解：(1)证明：∵EG⊥BC， ∴∠EFC＝90°. ∵∠DBC＝90°，∴∠DBC＝∠EFC， ∴DB∥EG. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，∴BG∥DE， ∴四边形BGED是平行四边形， ∴DE＝BG； (2)四边形BECG是菱形． 理由如下： ∵E为CD中点， ∴CE＝DE. ∵DE＝BG， ∴CE＝BG. ∵四边形BGED是平行四边形， ∴DC∥BG， ∴四边形BECG是平行四边形． ∵∠DBC＝90°，E为CD中点， ∴BE＝EC， ∴四边形BECG是菱形； (3)当△BCD满足BD＝BC(答案不唯一)时，四边形BECG是正方形， 理由：由(2)知，四边形BECG是菱形， ∵BD＝BC，BD＝EG， ∴BC＝EG， ∴四边形BECG是正方形． eq \f(1,2) 5．[2024·威海期末]如图，小明把四根长度为13 cm的木条首尾相接，钉成正方形ABCD，然后利用四边形的不稳定性将其变形，得到四边形A1BCD1.若BD1＝24 cm，则A1，C之间的距离比变形前A，C之间的距离短( ) A．10 cm B．13eq \r(2) cm C．(13eq \r(2)－10)cm D．(eq \f(13\r(2),2)－5)cm 解析：在正方形ABCD中，∠ABC＝90°，BD是对角线， ∴∠ABE＝∠CBE＝45°，AB＝BC， 在△ABE和△CBE中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝BC，,∠ABE＝∠CBE，,BE＝BE，)) ∴△ABE≌△CBE(SAS)， 解：(1)由条件可知正方形的边长为eq \r(8)＝2eq \r(2)， 如图1所示，四边形ABCD即为所求； 解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠GAE＝∠HCF. ∵点G，H分别是AB，CD的中点， ∴AG＝CH， 在△AGE和△CHF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AG＝CH，,∠GAE＝∠HCF，,AE＝CF，)) eq \f(1,2) $第3课时　菱形及其性质 1．[2025·淄博期中]下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是( ) A．对角相等 B．四条边相等 C．邻边互相垂直 D．对角互补 2．[2025·武威期中]已知菱形ABCD的边长为10 cm，∠ABC＝60°，对角线AC，BD相交于点O，则OA的长为( ) A．5 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm 3．[2024·淄博期中]如图，矩形AEFG的顶点E，F分别在菱 形ABCD的边AB和对角线BD上，连接EG，CF.若EG＝5，则CF的 长为( ) A．5 B．4 C．3 D．6 5．如图，在面积为96的菱形ABCD中，对角线BD＝16，点O是线段BD上的动点，OE⊥AB于点E，OF⊥AD于点F.则OE＋OF＝( ) A．9.6 B．4.8 C．19.2 D．5.6 6．[2025·济宁期中]如图，菱形ABCD的面积为24，点E是AB的中点，点F是BC上的动点．若△BEF的面积为4，则△DEF的面积为( ) A．4 B．6 C．8 D．10 7.[2024·菏泽期中]如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝140°， 分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交 于M，N两点，作直线MN交AD于点E，连接BE，BD，则∠EBD的 度数为_____． 30° 8．[2024·开封期末]如图所示的木质活动衣帽架是由三个全 等的菱形组成，根据实际需要可调节A，E间的距离，已知菱形 ABCD的边长为20 cm，当A，E间的距离为60 cm时，这个活动衣 帽架所围成的面积为______cm2. 9．[2025·青岛一模]把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的 直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2所示的正方 形，则图1中菱形的面积是__． 4 10．[2024·临汾期末改编]如图，在菱形ABCD中，对角线AC， BD相交于点O，∠ABC＝80°，E是线段AO上一点，且BC＝CE， 则∠OBE的度数是_____． 25° 11．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，H为AB边上的 一点，∠BHD＝90°，连接OH，若OA＝5，OH＝2，则菱形ABCD 的面积为___． 20 12．[2024·烟台期中]如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB延长线于点E，CF⊥AD交AD延长线于点F. 求证：BE＝DF. 13.[将军饮马模型][2025·潍坊期末]如图，在菱形ABCD中， ∠BAD＝120°，BD＝8，E，F分别为边CD和AD的中点，连接CF， 点P是线段CF上一动点，则PE＋PD的最小值为__． 4 又∵E，F分别为边CD和AD的中点， ∴CF垂直平分AD，点E与点O关于FC对称， ∴PO＝PE. ∴PE＋PD＝PO＋PD≥OD＝4， ∴当O，P，D三点共线时，PE＋PD有最小值4. 14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点P，Q分别是边BC，线段OD上的点，连接AP，QP，AP与OB相交于点E. (1)如图1，连接QA，QC．当QA＝QP时，求证：QC＝QP； (2)如图2，若∠APB＝90°，且∠BAP＝∠ADB． ①求证：AE＝2EP； ②当OQ＝OE时，设EP＝a，求PQ的长(用含a的代数式表示)． 解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O， ∴BD⊥AC，OA＝OC， ∴QA＝QC． ∵QA＝QP， ∴QC＝QP； (2)①证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA， ∴∠ABD＝∠ADB，∠CBD＝∠CDB． ∵BD⊥AC， ∴∠ADO＝∠CDO， ∴∠ABD＝∠CBD＝∠ADO. ∵∠BAP＝∠ADB， ∴∠BAP＝∠ABD＝∠CBD． ∴AE＝BE， ∵∠APB＝90°， ∴∠BAP＋∠ABP＝90°， ∴∠BAP＝∠ABD＝∠CBD＝30°. 在Rt△BPE中， ∵∠EPB＝90°，∠PBE＝30°， ∴EP＝ BE.∵AE＝BE. ∴EP＝ AE，∴AE＝2EP； ②如图，连接QC． ∵AB＝BC，∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形． ∵∠APB＝90°， ∴BP＝CP， ∵EP＝a， ∴AE＝BE＝2a，AP＝3a. 4．[2025·牡丹江期末]如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，点E，F分别在边AB，BC上，将△BEF沿EF翻折得到△MEF，若M恰好为AD的中点，则MF的长为( ) A．eq \f(21,4)　　 B．eq \f(7,4)　　 C．eq \f(3,4) eq \r(15)　　 D．3eq \r(3) 解析：如图，连接BD，连接EC， ∵点E是AB的中点，菱形ABCD的面积为24， ∴S△AED＝eq \f(1,2)S△ABD＝eq \f(1,4)S菱形ABCD＝6. 同理S△BEC＝S△AED＝6. ∵S△BEF＝4， ∴S△BEF＝eq \f(2,3)S△BEC， ∴FC＝eq \f(1,3)BC， ∴S△DFC＝eq \f(1,3)S△BCD＝eq \f(1,6)S菱形ABCD＝4， ∴S△DEF＝S菱形ABCD－S△AED－S△BEF－S△DFC＝24－6－4－4＝10. eq \f(1,2) 600eq \r(3) 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴CD＝BC，∠ABC＝∠ADC，∴∠CBE＝∠CDF. ∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠E＝∠F＝90°， 在△CBE和△CDF中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠CBE＝∠CDF，,∠E＝∠F，,CB＝CD，)) ∴△CBE≌△CDF(AAS)， ∴BE＝DF. 解析：如图，连接AC交BD于点O，连接OP， ∵菱形ABCD，BD＝8，∠BAD＝120°， ∴OD＝eq \f(1,2)BD＝4，OC＝eq \f(1,2)AC， AD＝CD，∠CAD＝eq \f(1,2)∠BAD＝60°， ∴△ACD是等边三角形， eq \f(1,2) eq \f(1,2) 在Rt△APB中，∠APB＝90°，∠BAP＝30°， ∴AB＝2BP，BP2＋AP2＝AB2， ∴BP2＋(3a)2＝(2BP)2， ∴BP＝eq \r(3)a. ∴CP＝BP＝eq \r(3)a. ∵AO＝CO，∠AOE＝∠COQ，OE＝OQ， ∴△AOE≌△COQ， ∴AE＝CQ＝2a，∠EAO＝∠QCO. ∴AE∥CQ. ∵∠APB＝90°， ∴∠QCP＝90°. 在Rt△PCQ中，∠QCP＝90°， 由勾股定理，得PQ2＝PC2＋CQ2， ∴PQ2＝(eq \r(3)a)2＋(2a)2＝7a2 ∴PQ＝eq \r(7)a. $第8章 四边形 8．1　四边形 1．学校、工厂、企业等单位的大门都是收缩性大门，这种门的门体可以伸缩自由移动，以此来控制门的大小．这种方法应用的数学知识是( ) A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性 C．勾股定理 D．黄金分割 2．[2025·重庆期中]如图，在边长为(a＋6)cm的正方形中，剪去一个边长为(a＋1)cm的小正方形(a>0)，将余下部分拼成一个梯形，则梯形的面积为( ) A．35 cm2 B．(5a＋35) cm2 C．(14a＋37) cm2 D．(10a＋35) cm2 3．聪聪把梯形ABCD按照如图的方法转化成平行四边形EBHG，且 面积保持不变．已知梯形ABCD的面积是45 cm2，则平行四边形 EBHG的高是_____． 3 cm 4．已知直角梯形的两腰之比是1∶2，那么该梯形的最大角 为______，最小角为_____． 150° 30° 5．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠FAC＝∠ADE，AC＝AD．试说明：DE＝AF； 6．[2025·浦东新区期末改编]如图，在梯形ABCD中，AD∥BC， CA平分∠BCD，过点D作DE平行AC交线段BC延长线于点E，∠B＝ 2∠E.求证：梯形ABCD为等腰梯形． 证明：∵DE∥AC， ∴∠ACB＝∠E. ∵CA平分∠BCD， ∴∠BCD＝2∠ACB， ∴∠BCD＝2∠E. ∵∠B＝2∠E， ∴∠B＝∠BCD， ∴梯形ABCD为等腰梯形． 7．[2024·苏州期中]定义：在直角梯形中，如果有两条邻边相等，那么称这个梯形为邻等梯形，相等两邻边的夹角称为邻等角． (1)如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，对角线BD平分∠ADC．请判断梯形ABCD是否为邻等梯形并说明理由； (2)如图2，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等梯形，请在网格图中画出三个不同的格点D，并用D1，D2，D3标明． 解：(1)梯形ABCD是邻等梯形．理由： ∵AD∥BC，∠A＝90°， ∴∠ABC＝180°－∠A＝90°，∠ADB＝∠CBD， ∴四边形ABCD为直角梯形．∵对角线BD平分∠ADC， ∴∠ADB＝∠CDB， ∴∠CBD＝∠CDB， ∴CD＝CB，∴四边形ABCD为邻等梯形； (2)如图，D1，D2，D3即为所求； 解：∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠ACF.在△DAE和△ACF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DAE＝∠ACF，,AD＝CA，,∠ADE＝∠CAF，)) ∴△DAE≌△ACF(ASA)， ∴DE＝AF. $第3课时　平行四边形的判定定理1,2 1．[2024·临沂期中]如图，小华同学不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能从商店配到一块与原来相同的玻璃，他带了其中两块玻璃去商店，其编号应该是( ) A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 2．[2024·滨州期中]在四边形ABCD中，AD＝BC，要使四边形ABCD是平行四边形，则还应满足( ) A．∠A＋∠C＝180° B．∠B＋∠D＝180° C．∠A＋∠B＝180° D．∠A＋∠D＝180° 3．[2024·崇明期中]探究课上，小明画出△ABC，利用尺规作图找一点D，使得四边形ABCD为平行四边形．①～③是其作图过程：①以点C为圆心，AB长为半径画弧；②以点A为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点D；③连接CD，AD，则四边形ABCD即为所求作的图形．在小明的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是( ) A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 4．依据所标数据，下列一定为平行四边形的是( ) 5．[2024·淄博期末]如图，在周长为9的等边三角形ABC的内部有一点P，过点P作PD∥AC，PE∥AB，PF∥BC分别交三边于点D，E，F，则PD＋PE＋PF等于( ) A．9 B．8 C．4 D．3 6．[2024·济南期中]如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，若 要判定四边形ABCD为平行四边形，在不添加辅助线的前提下只 添加一个条件，则这个条件可以为___________________． AB＝CD(答案不唯一) 7．如图，在平行四边形ABCD中，G为对角线AC上一点，过点G 作AD的平行线分别交AB，CD于点F，E，连接BG，DG，若S△BGF ＝4，则S△DEG＝__． 4 解析：如图，过点G作MN∥AB，分别交AD，BC于点M，N， ∵CD∥AB， ∴AB∥CD∥MN， 同理得AD∥EF∥BC， ∴四边形AFGM，DMGE，GFBN， EGNC是平行四边形， ∴S△AMG＝S△AFG，S△DMG＝S△DEG，S△EGC＝S△GNC，S△GFB＝S△GBN. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴S△ADC＝S△ABC， ∴S▱DMGE＝S▱GFBN， ∴S△DEG＝S△BGF＝4. 8．[2024·黄石模拟]如图1是某公交汽车挡风玻璃的雨刮器，其工作原理如图2.雨刷EF⊥AD，垂足为点A，AB＝CD且AD＝BC，这样能使雨刷EF在运动时，始终垂直于玻璃窗下沿BC，请证明这一结论． 证明：∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC． ∵EF⊥AD， ∴EF⊥BC， 即雨刷EF在运动时，始终垂直于玻璃窗下沿BC． 9．[2025·德州一模]如图，△ABC≌△DEF，点A，E，B，D在同一直线上，连接AF，CD．判断AF与CD的数量关系，并说明理由． 解：AF＝CD，理由如下： ∵△ABC≌△DEF， ∴AC＝DF，∠CAB＝∠EDF， ∴AC∥DF， ∴四边形ACDF是平行四边形， ∴AF＝CD． 10．如图，已知△ABC，分别以它的三边为边长，在BC边的同侧作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF，求证：四边形ADEF是平行四边形． ∴DE＝AC． 又∵△ACF是等边三角形， ∴AC＝AF， ∴DE＝AF. 同理可得EF＝AB＝DA． ∵DE＝AF，DA＝EF， ∴四边形ADEF是平行四边形． 11．如图，在▱ABCD中，AF平分∠BAD交BC于点F，CE平分∠BCD交AD于点E. (1)若AD＝12，AB＝8，求CF的长； (2)连接BE和AF相交于点G，DF和CE相交于点H，求证：EF和GH互相平分． 解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，BC＝AD＝12， ∴∠DAF＝∠AFB， ∵AF平分∠BAD， ∴∠BAF＝∠DAF， ∴∠AFB＝∠BAF， ∴BF＝AB＝8， ∴CF＝BC－BF＝12－8＝4； (2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD＝∠BCD，AD∥BC，AD＝BC． ∵AF平分∠BAD，CE平分∠BCD， ∴∠BAF＝∠DAF＝∠FCE＝∠DCE. ∵∠DAF＝∠AFB， ∴∠FCE＝∠AFB， ∴AF∥CE. 又∵AE∥CF， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∴AE＝CF，∴DE＝BF. 又∵DE∥BF， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∴BE∥DF， ∴四边形EGFH是平行四边形， ∴EF和GH互相平分． 12.[培素养][2025·威海期末]综合实践课上，老师让同学们开展了▱ABCD的折纸活动，E是BC边上的一动点，F是AD边上的一动点，将▱ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AB边上的点M处，点D的对应点为点N，连接CM. (1)【观察发现】如图1，若∠D＝60°，ME⊥AB，BE＝2， 则EC＝ ，∠NFA＝ ； (2)【操作探究】如图2，当点N落在BA的延长线上时，求证：四边形EMNF为平行四边形． 解：(1) ，30°； (2)证明：由折叠知ME＝CE，NF＝DF，∠N＝∠D， ∴ME∥NF， ∴∠BME＝∠N. ∵▱ABCD， ∴∠B＝∠D，AD＝BC， ∴∠BME＝∠B， ∴BE＝ME＝CE， 证明：∵△ABD，△BEC都是等边三角形， ∴BD＝AB，BE＝BC，∠DBA＝∠EBC＝60°， ∴∠DBE＝60°－∠EBA，∠ABC＝60°－∠EBA，∴∠DBE＝∠ABC， 在△DBE和△ABC中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BD＝BA，,∠DBE＝∠ABC，,BE＝BC，)) ∴△DBE≌△ABC(SAS)， eq \r(3) ∴ME＝eq \f(1,2)BC． ∵AD∥BC，点N在BA延长线上， ∴∠B＝∠NAF＝∠N， ∴AF＝NF＝DF，∴NF＝eq \f(1,2)AD． ∵AD＝BC，∴ME＝NF， ∴四边形EMNF为平行四边形． $第5课时　三角形的中位线 1．[2024·巴中]如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O， 点E是BC的中点，AC＝4.若▱ABCD的周长为12，则△COE的 周长为( ) A．4 B．5 C．6 D．8 2．[2024·济宁二模]如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，若AE＝3，DF＝1，则边BC的长为( ) A．6 B．7 C．8 D．9 3．[2024·潍坊一模]如图，在△ABC中，D是BC边的中点，AE是∠BAC的平分线，AE⊥CE于点E，连接DE，若AC＝5，DE＝1，则AB等于( ) A．7 B．6.5 C．6 D．5.5 4．[2024·威海期末]如图，点F，G，H分别是AD，BD，BC边的中点，且AB＝CD，∠ABD＝30°，∠BDC＝80°，则∠GHF＝( ) A．25° B．30° C．35° D．40° 6．[2024·烟台期末]如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，若△DGF的面积为2，则△CEF的面积为( ) A．4 B．6 C．8 D．9 7．如图，E，F，G，H分别为四边形ABCD边AB，BC，CD，DA的 中点，则四边形EFGH是_________形． 平行四边 8．[2024·菏泽期中]如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E， D，F分别为边BC，AB，AC上的中点，已知DF＝4，则AE＝__． 4 9．[2025·威海期末]如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，过点A 作AE⊥BD的延长线于点E，点F为AC的中点，连接EF，若AB＝7， BC＝3，则EF的长为__． 2 解析：如图，延长AE，BC交于点G， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠GBE. ∵AG⊥BE， ∴∠AEB＝∠GEB． ∵BE＝BE， ∵△ABE≌△GBE(ASA)， ∴AB＝BG＝7，AE＝EG， ∴点E是AG的中点． ∵点F是边AC的中点， ∴EF是△ACG的中位线， ∴EF＝ CG. ∵BC＝3， ∴CG＝BG－BC＝4， ∴EF＝2. 10．[2025·德州期中]如图，点D，E分别是Rt△ABC两直角边AB，AC上的点，连接BE，已知点F，G，H分别是DE，BE，BC的中点．若BD＝CE，那么FG与GH有什么数量和位置关系？请说明理由． ∵∠A＝90°， ∴∠ABE＋∠AEB＝90°， ∴∠FGH＝∠FGE＋∠EGH＝∠ABE＋∠AEB＝90°， ∴FG＝GH且FG⊥GH. 11．[2024·淄博期末]如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点，延长线段AD交NM的延长线于点E，延长线段BC交NM的延长线于点F. (1)求证：∠AEN＝∠F； (2)若∠A＋∠ABC＝122°，求∠F的大小． (2)∵PN∥AD， ∴∠PNB＝∠A． ∵∠DPN是△PNB的一个外角， ∴∠DPN＝∠PNB＋∠ABD＝∠A＋∠ABD． ∵PM∥BC， ∴∠F＝∠PMN，∠MPD＝∠DBC， ∴∠MPN＝∠DPN＋∠MPD＝∠A＋∠ABD＋∠DBC ＝∠A＋∠ABC＝122°. 12．[2024·滨州期中]如图，在四边形ABCD中，M，N，E，F分别为AD，BC，BD，AC的中点，求证：MN与EF互相平分． 13．[2025·淄博期末]如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别 是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，点G，H分别为AE，EF的中 点，连接GH.若∠B＝60°，AB＝6，BC＝8，则GH的最大值 为____． 14．[2025·淄博期末]【知识回顾】(1)已知，如图1，在△ABC中，点E是边AB的中点，点F是边AC的中点，连接EF.则EF与BC的数量关系为 (用符号语言表达)； 【知识应用】(2)如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC，点M，N分别为AB，DC的中点，连接MN.请猜想线段AD，BC，MN之间的数量关系，并说明理由． 解：(1)EF＝ BC； (2)BC＋AD＝2MN，理由如下： 连接AN并延长交BC的延长线于点G， ∵AD∥BC， ∴∠DAN＝∠CGN，∠ADN＝∠GCN. ∵N是CD的中点， ∴DN＝CN， ∴△DAN≌△CGN(AAS)， ∴AD＝CG，AN＝NG. ∵M是AB的中点，N是AG的中点， ∴MN＝ BG＝ (BC＋CG)＝ (BC＋AD)， ∴BC＋AD＝2MN. 5．[2025·淄博期末]如图，在△ABC中，∠C＝120°，AC>BC>5，E，F分别是边AC，BC上的点，且AE＝BF＝5，连接EF.分别取EF，AB的中点M，N，连接MN，则MN的长为( ) A．eq \f(3,2) B．2 C．eq \f(5,2) D．3 eq \f(1,2) 解：FG＝GH且FG⊥GH.理由如下： ∵F，G，H分别是DE，BE，BC的中点， ∴FG∥DB，GH∥EC，FG＝eq \f(1,2)BD，GH＝eq \f(1,2)EC． ∵DB＝EC， ∴FG＝GH. ∵FG∥DB，GH∥EC， ∴∠DBE＝∠FGE，∠EGH＝∠AEG. 解：(1)证明：∵P是BD的中点，M是DC的中点， ∴PM∥BC，PM＝eq \f(1,2)BC，∴∠PMN＝∠F. 同理PN∥AD，PN＝eq \f(1,2)AD， ∴∠PNM＝∠AEN. ∵AD＝BC，∴PM＝PN， ∴∠PMN＝∠PNM，∴∠AEN＝∠F; ∵PM＝PN， ∴∠PMN＝∠PNM＝eq \f(1,2)×(180°－122°)＝29°， ∴∠F＝∠PMN＝29°. 证明：如图，连接ME，EN，NF，MF， ∵M，N，E，F分别为AD，BC，BD，AC的中点， ∴ME∥AB且ME＝eq \f(1,2)AB，NF∥AB且NF＝eq \f(1,2)AB， ∴ME∥NF且ME＝NF， ∴四边形MENF是平行四边形， ∴MN与EF互相平分． eq \r(13) eq \f(1,2) eq \f(1,2) eq \f(1,2) eq \f(1,2) $第2课时　矩形的判定 1．[2024·泸州期中]下列命题错误的是( ) A．对角线相等的四边形是矩形 B．平行四边形的对角线互相平分 C．矩形的四个内角都是直角 D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 2．[2025·青岛期末]我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a，b，c，d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否为矩形，以下测量方案正确的是( ) A．测量是否有三个角是直角 B．测量对角线是否相等 C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相垂直 3．[2024·泸州]已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定▱ABCD为矩形的是( ) A．∠A＝90° B．∠B＝∠C C．AC＝BD D．AC⊥BD 4．[2022·聊城]要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是( ) A．测量两条对角线是否相等 B．测量两个角是否为90° C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等 D．测量两组对边是否分别相等 5．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是( ) A．AB＝BE B．CE⊥DE C．∠ADB＝90° D．BE⊥DC 6．[2025·潍坊期末]如图，一个书架的两条侧边、上下底边的 长度分别相等．为了检查该书架是否为矩形，小亮先用绳子连 接一组对角的顶点，在绳子上记录一条对角线的长度，再连接 另一组对角的顶点，检验两条对角线长度是否一致．检查过程 中用到一个你学过的几何定理，请写出该定理的具体内容：___ ___________________________． 对 角线相等的平行四边形是矩形 7．[2024·泰安期中]如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10， △ABC的面积为24，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于 点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为____． 8．[2024·长春]如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°， O是边AB的中点，∠AOD＝∠BOC．求证：四边形ABCD是矩形． ∵∠A＝∠B＝90°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠A＝90°， ∴四边形ABCD是矩形． 9．[2024·聊城期中]如图，四边形ABCD为平行四边形，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延长AE，BC交于点F，连接DF，∠ACF＝90°.求证：四边形ACFD是矩形． 10．[2025·威海一模]如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10 cm，BC＝8 cm，动点P从点D出发，以1 cm/s的速度向点A运动，同时动点M从点B出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t(单位：s)，下列结论： ①当t＝4 s时，四边形ABMP为矩形 ②当t＝5 s时，四边形CDPM为平行四边形 ③当CD＝PM时，t＝4 s或6 s ④点P，M在运动中会存在一个时刻， 使得S四边形ABMP＝S四边形CDPM.其中正确的是( ) A．①② B．③④ C．②④ D．③ 11．[2024·青岛二模]如图，以△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形ABD，等腰直角三角形BCE和等腰直角三角形ACF，连接DE，EF. (1)求证：△ABC≌△DBE； (2)当∠BAC满足什么条件时，四边形ADEF 是矩形？请证明你的结论． 解：(1)证明：∵△BCE和△ABD为等腰直角三角形， ∴∠DBA＝∠EBC＝90°，DB＝AB，EB＝BC， ∴∠DBE＋∠EBA＝90°，∠ABC＋∠EBA＝90°， ∴∠DBE＝∠ABC， ∴△ABC≌△DBE(SAS)； (2)当∠BAC＝135°时，四边形ADEF是矩形，证明： ∵△ABC≌△DBE， ∴DE＝AC，∠EDB＝∠BAC． ∵FA＝AC，∴DE＝FA， ∵∠EDA＝∠EDB－∠BDA＝∠BAC－45°， ∠DAF＝360°－∠FAC－∠BAD－∠BAC ＝360°－90°－45°－∠BAC ＝225°－∠BAC， ∴∠EDA＋∠DAF＝180°， ∴DE∥FA， ∴四边形ADEF是平行四边形， ∵∠BAC＝135°，∠CAF＝90°，∠BAD＝45°， ∴∠DAF＝90°， ∴四边形ADEF是矩形． eq \f(24,5) 证明：∵O是边AB的中点， ∴OA＝OB， 在△AOD和△BOC中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠B＝90°，,OA＝OB，,∠AOD＝∠BOC，)) ∴△AOD≌△BOC(ASA)， ∴AD＝BC． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠FCE. ∵E为线段CD的中点，∴DE＝CE. 在△ADE和△FCE中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ADE＝∠FCE，,DE＝CE，,∠AED＝∠FEC，)) ∴△ADE≌△FCE(ASA)，∴AE＝FE， ∴四边形ACFD是平行四边形． ∵∠ACF＝90°，∴四边形ACFD是矩形． $第2课时　平行四边形的性质3 1．[2025·崇川区期末]如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E，F.若AB＝5，AD＝6，OE＝3，则四边形ADFE的周长为( ) A．14 B．15 C．16 D．17 2．如图，在▱ABCD中，AB＝4 cm，BC＝6 cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是( ) A．2 cm<OA<6 cm B．2 cm<OA<10 cm C．1 cm<OA<5 cm D．4 cm<OA<10 cm 4．[2024·辽宁]如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE ∥AC，CE∥BD，若AC＝3，BD＝5，则四边形OCED的周长为( ) A．4 B．6 C．8 D．16 5．[2025·聊城期中]如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，∠BCD＝60°，AD＝2AB，连接OE.下列说法正确的有( ) ①S▱ABCD＝AB·BD　 ②AC平分∠BCD ③AB＝DE　 ④S△CDE＝S△BOC A．①② B．②③ C．①③ D．①③④ 6．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝5，AC＋ BD＝20，则△AOB的周长为___． 15 7．如图，平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点A，C在x轴上，已知 点B(－1，2)，OA＝OC，则点D的坐标是_________． (1，－2) 8．[2024·济宁期末]如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于 点O，OE⊥AC于点O，若△DCE的周长为20，则▱ABCD的周长 为___． 40 9．[2025·菏泽期中]如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O， 点E，F在AC上，且AF＝CE.求证：BE＝DF. 解：∵▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O， ∴BO＝DO，AO＝CO. ∵AF＝CE， ∴AF－OA＝CE－OC， ∴FO＝EO. 又∵∠FOD＝∠EOB， ∴△FOD≌△EOB(SAS)， ∴BE＝DF. 10．如图，▱ABCD和▱EBFD的顶点A，C，E，F在同一条直线上，求证：AE＝CF. 证明：连接BD，交EF于点O， ∵四边形ABCD，EBFD是平行四边形， ∴OE＝OF，AO＝OC， ∴OE－OA＝OF－OC， ∴AE＝CF. 11.[培素养][2025·潍坊期末]劳动课上，老师要将一块平行四边形的试验田均分给甲、乙两组进行花卉栽培，且试验田中的灌溉点O在分界线上，以满足甲、乙两组共同使用灌溉点． (1)如图1，在▱ABCD中，老师决定把相对的两块三角形试验田(△AOD与△BOC)分给甲组，剩下的部分分给乙组．方案公布后，两个小组的同学议论纷纷，有的认为这样不公平．在学习平行四边形的性质之后，你认为这种方案公平吗？请说明理由； (2)如图2，你能否找到一种仅借助直尺将试验田(▱ABCD)分成两块的方法，使两个小组分得的试验田一样大，并且共用灌溉点？请在图2上画出来． 解：(1)公平． 理由：过点O作GH⊥AD交AD于点H，交BC于点G，如图1， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC． ∵GH⊥AD， ∴GH⊥BC， (2)如图2，作出平行四边形的两条对角线，过对角线的交点和O点的直线能将平行四边形平分． 12．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，点P是AC所在直线上的一个动点(点P不与点A，C重合)，分别过点A，C向直线BP作垂线，垂足分别为点E，F. 【问题呈现】(1)如图1，当点P与点O重合时，线段OE和OF的数量关系是 ； 【类比探究】(2)当点P运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并判断(1)中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．(提示：直角三角形斜边上的中线长为斜边的一半) 解：(1)OE＝OF； (2)仍然成立，证明如下： 补全图形如图2，延长EO，延长CF，交于点G， ∵AE⊥BP，CF⊥BP， ∴AE∥CF， ∴∠EAO＝∠GCO. ∵点O为AC的中点， ∴AO＝CO. 又∵∠AOE＝∠COG， ∴△AOE≌△COG(ASA)， ∴OE＝OG. ∵∠GFE＝90°， ∴OF＝ EG＝OE. 3．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BC，且AB＝13，AD＝5，则OB的长度为( ) A．eq \r(61) B．eq \r(11) C．4 D．eq \r(51) ∴S△AOD＋S△BOC＝eq \f(1,2)AD·OH＋eq \f(1,2)BC·OG＝eq \f(1,2)AD·GH＝eq \f(1,2)S▱ABCD． ∴△AOD和△BOC的面积之和等于平行四边形ABCD的面积的一半， ∴方案公平； eq \f(1,2) $第5课时　正方形 1．[2024·济宁期中]矩形、菱形、正方形都具有的性质 是( ) A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角 2．[2025·临沂期中]如图，先将正方形纸片ABCD对折，折痕为MN，再把B点折叠在折痕MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为H，沿AH和DH剪下得到△ADH，则下列选项正确的是( ) A．AH＝DH≠AD B．AH＝DH＝AD C．AH＝AD≠DH D．AH≠DH≠AD 3．[2025·青岛期中]如图，正六边形ABCDEF和正方形BCGH，连接AH，HC，则∠AHC的度数为( ) A．120° B．100° C．60° D．125° 4．[2025·潍坊期末]如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是对角线BD，AC上的点，连接CE，EF，DF，若EF∥BC，且∠CEF＝α，则∠AFD的大小为( ) A．α B．2α C．45°－α D．45°＋α 5.[一线三直角模型][2025·泰安期中]如图，在平面直角坐标 系中，正方形AOBC的一个顶点B的坐标为(1，3)，则正方形顶 点A的坐标是_________． (－3，1) 6．[2025·济南期中]如图，E为边长为6的正方形ABCD的对角 线BD上一点，BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥ BE于点R，则PQ＋PR的值为____． 7．[2024·淄博期中]如图，已知平行四边形ABCD和正方形CEFG， 其中点E在AD上，若∠ECD＝35°，∠AEF＝15°，则∠B＝_____． 70° 8．[2025·临沂期末]如图，在正方形ABCD中，点P在对角线AC 上运动，点E在边AD上运动，PF⊥PE，与AB交于点F. ①点P，E在运动过程中PE＝PF ②点P，E在运动过程中AE＋EP＝AB ③当F点经过点B时，△PEA≌△FPC ④当点P为AC中点时，S四边形AEPF＝ S四边形ABCD． 以上说法正确的是_____． ①④ 9．[2025·威海期中改编]如图，点P在正方形ABCD的对角线AC上，连接PB，PD，点E在边BC的延长线上，且PE＝PB．求证：DP⊥PE. 解：如图， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝DC，∠ACB＝∠ACD，∠ABC＝90°. 又∵PC＝PC，∴△BCP≌△DCP(SAS)， ∴∠PBC＝∠PDC． ∵PE＝PB， ∴∠PBE＝∠PEB， ∴∠PDC＝∠PEB． ∵∠1＝∠2， ∴∠DPE＝∠DCE. ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°. ∴∠DCE＝90°， ∴∠DPE＝90°. ∴DP⊥PE. 10．[2024·济南期末]如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，BE＝CF，连接AF，DE交于点G，求证： (1)△ADF≌△DCE； (2)AF⊥DE. 证明：(1)∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD＝BC，∠ADC＝∠DCB＝90°. ∵BE＝CF， ∴BC－BE＝CD－CF，即CE＝DF. (2)由(1)知△ADF≌△DCE， ∴∠DAF＝∠CDE. ∵∠ADC＝90°，即∠CDE＋∠EDA＝90°， ∴∠DAF＋∠EDA＝90°， ∴∠AGD＝180°－(∠DAF＋∠EDA)＝90°， ∴AF⊥DE. 11．[2024·菏泽期中]如图，在△ABC中，O是AC边上一动点，过点O作BC的平行线，交∠BCA的平分线于点E，交外角∠ACD的平分线于点F. (1)求证：EO＝OF； (2)连接AE，AF，当点O沿AC运动到AC的中点时，四边形AECF是什么特殊四边形？说明理由； (3)若点O是AC边的中点，四边形AECF是否能成为正方形？如果能，对△ABC有什么要求？ 解：(1)证明：∵EF∥BC， ∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF. 又∵CE平分∠BCO，CF平分∠DCO， ∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF， ∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC， ∴EO＝CO，FO＝CO， ∴EO＝FO； (2)当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形；理由： ∵点O运动到AC的中点， ∴AO＝CO. 又∵EO＝FO， ∴四边形AECF是平行四边形． ∵FO＝CO，∴AO＝CO＝EO＝FO， ∴AO＋CO＝EO＋FO，即AC＝EF， ∴四边形AECF是矩形； (3)△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，理由： 由(2)知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形， ∴AC＝EF，AO＝CO，EO＝FO. ∵四边形AECF是正方形， ∴AC⊥EF，∴∠EOC＝90°. ∵EF∥BC，∴∠ACB＝180°－∠EOC＝90°， ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°. 12.[规律探究][2025·东营期中]如图，以边长为1的正方形 ABCD的边AB为对角线作第二个正方形AEBO1，再以BE为对角线 作第三个正方形EFBO2……如此作下去，则所作的第2 025个正 方形的面积S2 025＝_____． 13.[最值问题][2025·济南期中]如图，正方形ABCD的边长为6， 点E为射线DC上的动点，连接BE，作BF⊥BE，且BF＝BE，连接CF， 则CF的最小值为__． 6 解析：如图，连接AF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC，∠BAD＝∠ADC＝∠ABC＝∠BCD＝90°， AB＝BC， ∴∠ABF＋∠CBF＝90°，∠BCE＝90°. ∵BF⊥BE， ∴∠CBF＋∠CBE＝90°， ∴∠ABF＝∠CBE. 又∵BF＝BE， ∴△ABF≌△CBE(SAS)， ∴∠BAF＝∠BCE＝90°， ∴∠BAF＝∠BAD＝90°， ∴点F在直线AD上， ∴CF⊥AD时，CF的值最小， ∴点F与点D重合时，CF的值最小， 此时CF＝CD＝6. 3eq \r(2) eq \f(1,4) 在△ADF和△DCE中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(DF＝CE，,∠ADC＝∠DCB，,AD＝CD，)) ∴△ADF≌△DCE(SAS)； eq \f(1,22 024) $8．2　平行四边形 第1课时　平行四边形及其性质1，2 1．如图，在▱ABCD中，EG∥AB，FH∥CD，则图中平行四边形的个数是( ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．[2025·德州期中]如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F.若∠B＝65°，则∠EAF的度数为( ) A．55° B．45° C．35° D．65° 3．[2025·临沂期中]如图，四边形ABCD为平行四边形，则点B的坐标为( ) A．(－2，－1) B．(－1，－2) C．(－1，－1) D．(－2，－2) 4．[2025·泰安期中]平行四边形ABCD中，EF是其对角线BD的 垂直平分线，分别交AD，BC于点E，F，若该平行四边形的周长 为6，那么△ABE的周长为__． 3 5．如图，▱ABCD中，BE，CF分别平分∠ABC，∠BCD交AD于点E， 点F，已知AB＝6，BC＝10，则EF的长为__． 2 6．[2025·威海期末]如图，在▱ABCD中，点E，F分别为边AB， CD的中点，将平行四边形ABCD沿着EF折叠，点B，C分别落在 B′，C′处，若∠C′FD＝66°，则∠A的度数为_____． 57° 7．如图，在▱ABCD中，BC＝6，BC边上的高为3，点P是▱ABCD内 任意一点，则阴影部分的面积为__． 9 8．[2025·烟台期末]如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，交BE于点G. (1)求证：AF＝DE； (2)若AD＝16，EF＝12，请求出▱ABCD的周长． 解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB＝CD， ∴∠AEB＝∠CBE. ∵BE是∠ABC的平分线， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AE＝AB． 同理得DF＝CD， ∴AE＝DF， ∴AE－EF＝DF－EF， ∴AF＝DE； (2)∵AD＝16， ∴AF＋EF＋DE＝16. ∵AF＝DE，EF＝12， ∴AF＋12＋AF＝16， ∴AF＝2， ∴AB＝AE＝AF＋EF＝2＋12＝14， ∴▱ABCD的周长为2(AB＋AD)＝2×(16＋14)＝60. 9．[2024·临沂期中]如图，在▱ABCD中，AC＝BC，AE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.证明：BE＝CF. 证明：∵AE⊥BC，DF⊥AC， ∴∠AEB＝∠DFC＝90°. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠BAC＝∠ACD． ∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC， ∴∠B＝∠ACD， ∴△AEB≌△DFC(AAS)，∴BE＝CF. 10．[2025·烟台期末]如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝16 cm，BC＝21 cm，CD＝13 cm.动点P从点B出发，沿射线BC以每秒3 cm的速度运动．动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1 cm的速度向点D运动；当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，当以点P，C，D，Q为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为( ) A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④ 12．如图，在平行四边形ABCD中，点M在边AD上，且AM＝DM.CM， BA的延长线相交于点E. (1)求证：AE＝AB； (2)如果BM平分∠ABC，求证：BM⊥CE. (2)∵BM平分∠ABC， ∴∠ABM＝∠CBM. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠CBM＝∠AMB， ∴∠ABM＝∠AMB， ∴AB＝AM. ∵AB＝AE，AM＝DM， ∴BC＝AD＝2AM，BE＝2AB， ∴BC＝BE， ∴△BCE是等腰三角形． ∵BM平分∠ABC， ∴BM⊥CE. A．2或eq \f(37,4)秒 B．eq \f(5,2)秒 C．eq \f(5,2)或eq \f(37,4)秒 D．eq \f(37,4)秒 11．[2025·东营期末]如图，在▱ABCD中，∠ABC＝45°，BC＝4，点F是CD边上一个动点，以FA，FB为邻边作另一个▱AEBF，当F点由D点向C点运动时，下列结论： ①▱AEBF的面积先由小变大，再由大变小 ②▱AEBF的面积始终不变 ③线段EF的最小值为4eq \r(2) ④S△AEB＝eq \f(1,2)S▱ABCD． 其中说法正确的是( ) 解析：∵▱ABCD和▱AEBF， ∴S△ABE＝S△ABF＝eq \f(1,2)S▱ABCD＝eq \f(1,2)S▱AFBE， 故①错误，②正确，④正确； 过点C作CG⊥AB于点G，连接EF交AB于点H， ∵∠ABC＝45°，BC＝4， ∴∠GCB＝45°， ∴BG＝CG， ∴BG2＋CG2＝16， ∴CG＝2eq \r(2)， ∴当EF⊥AB时，EF＝2CG＝4eq \r(2)，故③正确； 综上，正确的有②③④. 证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠E＝∠DCM， 在△AEM和△DCM中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠E＝∠DCM，,∠AME＝∠DMC，,AM＝DM，)) ∴△AEM≌△DCM(AAS)， ∴AE＝CD，∴AE＝AB； $第8章综合测试卷 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．[2024·东营期末]菱形、矩形、正方形都具有的性质 是( ) A．对角线互相平分 B．四个角都相等 C．四条边都相等 D．对角线相等且互相平分 2．[2025·淄博期末]如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交边AD于点E，已知∠AEB＝40°，则∠D的度数为( ) A．70° B．75° C．80° D．85° 3．[2024·济南一模]如图，将矩形直尺的一个顶点与三角尺的直角顶点重合放置，测得∠2＝58°，则∠1的度数为( ) A．22° B．32° C．42° D．62° 4．如图，正方形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，点E在BD上，且BE＝BC，则∠ACE的度数为( ) A．22.5° B．27.5° C．30° D．35° 5．[2024·济南期中]如图，在▱ABCD中，分别以点A，C为圆心， 大于 AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，分 别交边AD，BC于点E，F，连接AF，若△ABF的周长为10，则 ▱ABCD的周长为( ) A．18 B．20 C．22 D．24 6．如图，将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E.若∠DBC＝22.5°，则在不添加任何辅助线的情况下，图中45°的角(虚线也视为角的边)有( ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 8．[2025·青岛期中]如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠的部分为四边形，若测得点A，C之间的距离为3，点B，D之间的距离为4，则线段AB的长为( ) A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 9．[2025·潍坊期中]在同一平面内，如果两个多边形(含内部)有除边界以外的公共点，则称两多边形有“公共部分”．如图，若正方形ABCD由9个边长为1的小正方形镶嵌而成，另有一个边长为1的正方形与这9个小正方形中的m个有“公共部分”，则m的最大值为( ) A．4 B．5 C．6 D．7 10．[2025·泰安期末]如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O， DE平分∠ADC交BC于点E，且∠ABC＝120°，AB＝ BC，连接OE. 下列结论：①△DCE是等边三角形　②OE＝ AD　③S▱ABCD＝ CD·BD　④S△DEC＝2S△ODE.其中正确的个数有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题(每小题3分，共15分) 11．[2025·黄浦期末]如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，连接AC， BD，已知梯形ABCD的面积为17，△BDC的面积为12，那么△ADC 的面积为__． 5 12．[2023·济南期末]如图，两个全等的矩形纸片重叠在一起， 矩形的长和宽分别是8和4，则重叠部分的四边形ABCD的周长等 于___． 20 13．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A， B，C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系， 使点A，B，C的坐标分别为(1，1)，(4，3)，(6，－2)，在平 面直角坐标系中找一点D，使以A，B，C，D四 点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有 符合条件的点D的坐标：___________________ _________． (9，0)，(－1，6)， (3，－4) 14．[2024·日照期中]如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝ AD，点D到AB的距离为3，∠BAD＝60°，点F为AB的中点，点E 为AC上的任意一点，则EF＋EB的最小值为__． 3 15．[2025·济宁期中]如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别 为边AB，CD的中点，BD是对角线，AG∥DB，交CB的延长线于点G， 连接GF，若AD⊥BD．下列结论：①DE∥BF　②四边形BEDF是菱 形　③S△BFG＝ S▱ABCD　④FG⊥AB．其中正确的是_______． ①②③ 三、解答题(共8小题，共75分) 16．(6分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，连接CD，EF，求证：CD＝EF. 证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB的中点， ∴CD＝ AB， ∵E，F分别是边AC，BC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF＝ AB， ∴CD＝EF. 17．(6分)如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，若AD＝BC，求证：∠A＝∠B． 证明：如图，过点C作CE∥AD，交AB于点E， ∴∠CEB＝∠A． ∵AB∥DC， ∴四边形AECD为平行四边形， ∴AD＝CE. ∵AD＝BC， ∴BC＝CE， ∴∠CEB＝∠B，∴∠A＝∠B． 18．(8分)[2024·济宁期末]如图，在▱ACFD中，点B，E分别在AC，DF上，AB＝FE，AF分别交BD，CE于点M，N. (1)求证：四边形BCED是平行四边形； (2)已知DE＝6，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长． 解：(1)证明：∵四边形ACFD是平行四边形， ∴AC＝DF，AC∥DF. ∵AB＝FE， ∴AC－AB＝DF－FE，即BC＝DE， ∴四边形BCED是平行四边形； (2)∵BN平分∠DBC， ∴∠DBN＝∠CBN.由(1)，得四边形BCED是平行四边形， ∴BC＝DE＝6，EC∥DB， ∴∠CNB＝∠DBN， ∴∠CNB＝∠CBN， ∴CN＝BC＝6. 19．(10分)[2025·济南期末]如图，在四边形ABCD中，AD＝6，BC＝16，AD∥BC，AB＝8，∠ABC＝60°，点E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动，运动到D点时停止；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒． (1)线段PD＝ ；CQ＝ ；QE＝ ；(用含t的代数式表示) (2)当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？ 20．(10分)[2025·枣庄期中]如图，在△ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB延长线上一动点，连接EF，过点C作AB的平行线CD，与线段EF的延长线交于点D，连接CE，BD． (1)求证：四边形BECD是平行四边形； (2)若∠ABC＝120°，AB＝BC＝4，则在点E的运动过程中： ①当BE＝ 时，四边形BECD是矩形； ②当BE＝ 时，四边形BECD是菱形； ③在①②中选择一个进行证明． (2)①2；②4；③若选①： ∵四边形BECD是矩形， ∴∠CEB＝90°. ∵∠ABC＝120°， ∴∠CBE＝60°，∴∠BCE＝30°， ∴在Rt△CBE中，BE＝ BC． ∵BC＝4， ∴BE＝2，即当BE＝2时，四边形BECD是矩形； 若选②：∵四边形BECD是菱形， ∴BE＝CE. ∵∠ABC＝120°， ∴∠CBE＝60°， ∴△CBE为等边三角形， ∵BC＝4， ∴BE＝BC＝4，即当BE＝4时，四边形BECD是菱形． 21．(10分)[2024·泰安期中](1)如图1，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DP∥OC，且DP＝OC，连接CP，判断四边形CODP的形状并说明理由； (2)如图2，如果题目中的菱形变为矩形，结论应变为什么？(直接写出结论) (3)如图3，如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由． 解：(1)四边形CODP是矩形．理由： ∵DP∥OC，DP＝OC， ∴四边形CODP是平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，即∠COD＝90°， ∴四边形CODP是矩形； 22．(12分)[2024·临沂期中]阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 瓦里尼翁平行四边形 我们知道，如图1，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接点E，F，G，H，得到的四边形EFGH是平行四边形． 这个平行四边形EFGH被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半． 任务： (1)材料中的依据1是指： ， 依据2是指： ，并补全证明； (2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形ABCD及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH，使得四边形EFGH为矩形；(要求同时画出四边形ABCD的对角线) (3)在图1中，分别连接AC，BD，请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长与对角线AC，BD长度的关系，并证明你的结论． (2)如图3，画四边形ABCD，且AC⊥BD交BD于点O，点E，H，G，F分别是边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接点E，H，G，F，则四边形EFGH为矩形， 理由：∵点E，H，G，F分别是边AB，BC，CD，DA的中点，∴EF∥BD，GH∥BD，EH∥AC，FG∥AC， ∴EF∥GH，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形． ∵AC⊥BD，EF∥BD，∴AC⊥EF， ∵FG∥AC，∴EF⊥FG，∴平行四边形EFGH是矩形； (3)瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长等于AC＋BD， 理由：如图4， ∵四边形EFGH是四边形ABCD的瓦里尼翁平行四边形， ∴点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点， 23．(13分)[2025·吕梁期末]【问题情境】 如图1，将菱形纸片ABCD分别沿过点B，D的直线折叠，使得点A，C的对应点A′，C′分别落在菱形的边AD，BC上，折痕分别为BE，DF. 【猜想证明】 (1)试判断四边形BEDF的形状，并说明理由； 【问题解决】 (2)如图2，G为菱形纸片ABCD折叠后得到的四边形BEDF中DF边上一点，将△BFG沿BG折叠至△BHG位置(F的对应点H落在四边形BEDF内部)，连接HD，若HD∥BG，试猜想∠HBF与∠EDH的数量关系，并加以证明； (3)在(2)的条件下，M为直线GF上一点，N为射线GH上一点，若∠MBN＝∠HBF＝60°，BE＝2，MG＝0.5，直接写出NG的长． 解：(1)四边形BEDF为矩形， 理由：由折叠得BE⊥AD，DF⊥BC， ∴∠DEB＝∠DFB＝90°. 在菱形ABCD中，AD∥BC， ∴∠EBF＝180°－∠DEB＝90°， ∴∠DEB＝∠DFB＝∠EBF＝90°， ∴四边形BEDF为矩形； (2)∠HBF＝2∠EDH，证明：由折叠得∠HBG＝∠FBG， ∴∠HBF＝2∠GBF.在矩形BEDF中，∠EDF＝∠BFD＝90°，∴∠EDH＋∠HDG＝90°，∠FGB＋∠GBF＝90°. ∵HD∥BG， ∴∠FGB＝∠HDG， ∴∠EDH＝∠GBF， ∴∠HBF＝2∠EDH； (3)∵∠HBF＝2∠EDH＝60°， ∴∠EDH＝30°， ∴∠HDG＝90°－30°＝60°. ∵HD∥BG，∴∠FGB＝∠HDG＝60°. ∵翻折，∴∠HGB＝∠FGB＝60°， ∴∠DGH＝180°－2×60°＝60°， ∴△DGH为等边三角形，DG＝HG. ∵翻折， ∴FG＝HG， ∴HG＝DG＝GF＝ DF＝1，①当点M在点G右侧，如图1所示， ∵MG＝0.5， ∴MF＝GF－MG＝1－0.5＝0.5. ∵∠MBN＝∠HBF， ∴∠NBH＝∠MBF. ∵翻折，∴BH＝BF且∠BHN＝∠BFM＝90°，∴△NBH≌△MBF(ASA)， ∴HN＝FM＝0.5，∴GN＝GH＋NH＝1＋0.5＝1.5； ②当点M在点G左侧，如图2所示， ∵MG＝0.5， ∴MF＝MG＋GF＝1＋0.5＝1.5， 同理可得△NBH≌△MBF， ∴HN＝FM＝1.5， ∴GN＝GH＋NH＝1＋1.5＝2.5. 综上所述，NG＝2.5或1.5. eq \f(1,2) 7．[2025·济宁期末]如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD三个顶点坐标分别为A(－1，－2)，D(1，1)，C(5，2)，则顶点B的坐标为( ) A．(3，－1) B．(4，－1) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，－1)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，－1)) eq \f(1,4) eq \f(1,2) eq \f(1,4) eq \f(1,2) eq \f(1,2) 解：(1)6－t；2t；8－2t或2t－8； (2)∵AD∥BC，∴以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，PD＝EQ，①当点Q运动到点E和点C之间时，则8－2t＝6－t，解得t＝2；②当点Q运动到点E和点B之间时，则2t－8＝6－t，解得 t＝eq \f(14,3)；综上所述，当运动时间t为2秒或eq \f(14,3)秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形． 解：(1)∵AB∥CD，∴∠BCD＝∠CBE. ∵点F是BC的中点， ∴BF＝CF，在△BEF和△CDF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BCD＝∠CBE，,BF＝CF，,∠BFE＝∠CFD，)) ∴△BEF≌△CDF(ASA)， ∴CD＝BE，又∵AB∥CD， ∴四边形BECD是平行四边形； eq \f(1,2) (2)∵DP∥OC，DP＝OC， ∴四边形CODP是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴CO＝eq \f(1,2)AC，DO＝eq \f(1,2)BD，AC＝BD， ∴CO＝DO， ∴四边形CODP是菱形； (3)四边形CODP是正方形．理由： ∵DP∥OC，DP＝OC， ∴四边形CODP是平行四边形， ∵四边形ABCD是正方形， ∴CO＝eq \f(1,2)AC，DO＝eq \f(1,2)BD，AC＝BD，AC⊥BD， ∴CO＝DO，∠COD＝90°， ∴四边形CODP是正方形． 证明：如图2，连接AC，分别交EH，FG于点P，Q，过点D作DM⊥AC于点M，交HG于点N. ∵H，G分别为AD，CD的中点， ∴HG∥AC，HG＝eq \f(1,2)AC．(依据1) 易知DN＝NM＝eq \f(1,2)DM. ∵四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形， ∴HG∥AC，即HG∥PQ，HE∥GF，即HP∥GQ. ∴四边形HPQG是平行四边形．(依据2) ∴S▱HPQG＝HG·MN＝eq \f(1,2)HG·DM. ∵S△ADC＝eq \f(1,2)AC·DM＝HG·DM， ∴S▱HPQG＝eq \f(1,2)S△ADC，同理…… 解：(1)三角形的中位线定理；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；补全证明：同理，S▱EPQF＝eq \f(1,2)S△ABC， ∴S▱EFGH＝eq \f(1,2)S四边形ABCD； ∴EF＝eq \f(1,2)AC，GH＝eq \f(1,2)AC，HE＝eq \f(1,2)BD，GF＝eq \f(1,2)BD， ∴瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长为 EF＋GF＋GH＋HE＝eq \f(1,2)AC＋eq \f(1,2)BD＋eq \f(1,2)AC＋eq \f(1,2)BD＝BD＋AC． eq \f(1,2) $专题训练二　三角形的中位线及 中点四边形 类型一 连接两点构造三角形的中位线 1．[2025·东营期末]如图，在▱ABCD中，∠C＝120°，AB＝2， 点H，G分别是边DC，BC上的动点，连接AH，HG，点E为AH的中 点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最小值为____． 2．[2024·保定期末]如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC＝BD，点M，P，N分别是边AB，BC，CD的中点，连接MN，交BD于点E，交AC于点F，Q是MN的中点，连接PQ. (1)求证：PQ⊥MN； (2)判断△OEF的形状，并说明理由． 解：(1)证明：如图，连接PM，PN. ∵点M，P分别是边AB，BC的中点， ∴PM为△ABC的中位线， ∴PM＝ AC． 同理可知PN＝ BD． 又∵AC＝BD，∴PM＝PN. ∵Q是MN的中点， ∴PQ⊥MN； (2)△OEF是等腰三角形．理由如下： ∵点M，P分别是边AB，BC的中点， ∴PM为△ABC的中位线，∴PM∥AC， 同理可得PN∥BD， ∴∠PMN＝∠OFE，∠OEF＝∠PNM. ∵PM＝PN，∴∠PMN＝∠PNM， ∴∠OFE＝∠OEF. ∴OE＝OF，即△OEF是等腰三角形． 类型二 利用角平分线、垂直构造三角形的中位线 3．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD，AE分别是角平分线和中线，过点C作CF⊥AD于点F，连接EF，则线段EF的长为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC 的中点． (1)如图1，BE的延长线与AC边相交于点D， 求证：EF＝ (AC－AB)； (2)如图2，若EF＝2，AC＝3，求线段AB的长． 类型三 利用倍长法构造三角形的中位线 5．如图，在梯形ABCD中，F为CD的中点，BA⊥AF，AE＝BE， 若AB＝4，BC＝6，CD＝4，DA＝5，则EF＝__． 2 6．[2025·临沂期中]阅读下列材料，解决问题． 倍长法是一种延长某一条线段，使其为原来的两倍的辅助线作法．最常见的是在遇到三角形的中线时，延长中线构造出全等三角形来解决问题，也就是“倍长中线法”．在遇到三角形中线时，除了延长中线构造全等三角形之外，我们也可以延长三角形的一条边，构造中位线来解决问题．举例如下：如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AD，E是BD的中点，若AD＝6，AC＝8，BC＝12.求AE的长度. 解：如图1，延长DA至点F，使得AF＝AD，连接BF， ∴DF＝AD＋AF＝2AD＝12， ∴DF＝BC＝12. ∵AD∥BC，即DF∥BC， ∴四边形FBCD是平行四边形， ∴BF＝CD…… (1)请补全材料中的解题过程； (2)如图2，△ABC与△BEF均为等腰直角三角形，其中∠ABC＝ ∠BEF＝90°，AB＝BC，EF＝BE.连接AF，CF，M为AF的中点， 连接ME，求证：ME＝ CF. (2)证明：如图所示，延长FE到N，使得EN＝EF，连接AN，BN， ∵M为AF的中点，EN＝EF， ∴ME是△ANF的中位线， ∴ME＝ AN. ∵∠BEF＝90°， ∴∠BEN＝180°－90°＝90°. ∵EF＝EB＝EN， ∴△BEN是等腰直角三角形， ∴∠BNF＝∠BFN＝45°， ∴BF＝BN，∠FBN＝180°－45°－45°＝90°， ∴∠ABN＝∠CBF＝90°－∠ABF. 又∵AB＝BC， ∴△ABN≌△CBF(SAS)，∴AN＝CF， ∴ME＝ CF. 类型四 已知中点，取其他边的中点构造三角形的中位线 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是 以点A为圆心，2为半径的圆上一点，连接BD，点M为BD中点，线 段CM长度的最大值为__． 6 ∵5－1≤CM≤5＋1， ∴4≤CM≤6， ∴CM长度的最大值为6. 8．如图，在▱ABCD中，∠ABC和∠DAB的角平分线BE与AE交于点E，且点E恰好在边CD上． (1)求证：E为CD的中点； (2)点F为AE的中点，连接CF，交BE于点G，求证：BG＝3EG. 证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD＝BC， ∴∠DEA＝∠BAE，∠CEB＝∠ABE. ∵AE平分∠DAB，BE平分∠ABC， ∴∠DAE＝∠BAE，∠CBE＝∠ABE， ∴∠DAE＝∠DEA，∠CBE＝∠CEB， ∴ED＝AD，CB＝CE， ∴CE＝DE，∴E为CD的中点． (2)如图，取BE的中点H，连接FH， 则BH＝EH， ∵点F为AE的中点， ∴FH是△ABE的中位线， ∴FH∥AB，且AB＝2FH. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴FH∥CD， ∴∠CEG＝∠FHG. 由(1)得CD＝2CE，∴FH＝CE. 又∵∠CGE＝∠FGH， ∴△CEG≌△FHG(AAS)， ∴EG＝HG，∴EH＝2EG. ∵BH＝EH， ∴BH＝2EG＝2HG，∴BG＝3EG. 类型五 中点四边形 9．[2025·临沂期末]顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，菱形的中点四边形是( ) A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 10．[2025·莆田期中]如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行， AB＝4，E，F，G，H分别是AD，BC，BD，AC的中点．当CD＝__时， 四边形EGFH是菱形． 4 11．[2025·福州模拟]如图，菱形ABCD的面积为10，E，F，G， H分别是边AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH的面积为__． 5 12．[2025·广东三模]如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC ＝90°，以AC为边向外作等边三角形ACD，连接BD，交AC于O点， E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．若OA＝2，则四边 形EFGH的面积为_______． eq \f(\r(3),2) eq \f(1,2) eq \f(1,2) eq \f(1,2) 解：(1)证明：∵AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E， ∴∠BAE＝∠DAE，∠AEB＝∠AED＝90°. 又∵AE＝AE， ∴△BAE≌△DAE(ASA)，∴BE＝DE，AB＝AD． ∵BF＝FC， ∴EF＝eq \f(1,2)DC＝eq \f(1,2)(AC－AD)＝eq \f(1,2)(AC－AB)． (2)如图2，延长AC交BE的延长线于点D． 同理得△BAE≌△DAE(ASA)， ∴BE＝DE，AB＝AD， ∵点F为BC的中点， ∴BF＝FC， ∴EF＝eq \f(1,2)CD＝eq \f(1,2)(AD－AC)＝eq \f(1,2)(AB－AC)＝2， ∵AC＝3，∴AB＝7. eq \f(1,2) 解：(1)补全解题过程： ∵AC⊥AD，∴∠DAC＝90°， ∴CD＝eq \r(AC2＋AD2)＝10， ∴BF＝10. ∵E是BD的中点，AF＝AD， ∴AE是△DBF的中位线， ∴AE＝eq \f(1,2)BF＝5； eq \f(1,2) eq \f(1,2) 解析：如图，取AB的中点E，连接EM，CE，AD， ∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝eq \r(62＋82)＝10. ∵点E为AB中点， ∴CE＝eq \f(1,2)AB＝5. ∵M是BD的中点，E是AB的中点， ∴ME＝eq \f(1,2)AD＝1. 2＋2eq \r(3) $