8.2　平行四边形 课件 2025-2026学年青岛版数学八年级下册

第2课时　平行四边形的性质定理3及综合 基础　主干落实 重点　典例研析 素养 当堂测评 课时学习目标 素养目标达成 1.掌握平行四边形对角线的性质 运算能力、推理能力 2.熟练应用平行四边形对角线的性质 模型观念、应用意识 ‹#› 基础　主干落实 新知要点 平行四边形对角线的性质 (1)文字叙述:对角线______________.  (2)符号语言:∵四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD相交于点O,∴OA=OC, OB=OD. 　互相平分　 ‹#› 对点小练 下列说法正确的是( ) A.平行四边形是轴对称图形 B.平行四边形的邻边相等 C.平行四边形的对角线互相垂直 D.平行四边形的对角线互相平分 D ‹#› 重点　典例研析 重点1平行四边形的性质——对角线(运算能力、推理能力) 【典例1】(教材溯源·P10例3·南京中考)如图,在▱ABCD中,点M,N分别在边BC,AD上,且AM∥CN,对角线BD分别交AM,CN于点E,F.求证:BE=DF. ‹#› 【自主解答】连接AC交BD于点O, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AO=OC,BO=DO. ∵AM∥CN,∴∠EAC=∠FCA, 在△AEO与△CFO中, , ∴△AOE≌△COF(ASA), ∴OE=OF, ∴BO-OE=OD-OF,∴BE=DF. ‹#› 【举一反三】 1.如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是( ) A.AC=BD B.OA=OC C.AC⊥BD D.∠ADC=∠BCD 2.(2025·河北中考)平行四边形的一组邻边长分别为3,4,一条对角线长为n.若n为 整数,则n的值可以为__________________.(写出一个即可)  B 　2(答案不唯一)　 ‹#› 【技法点拨】 平行四边形对角线性质的拓展 1.由任意一条对角线分割成的两个三角形全等; 2.由两条对角线分割成的四个小三角形: (1)面积都相等; (2)相对的两个三角形全等; (3)相邻两个三角形的周长之差为平行四边形两邻边的差; 3.过平行四边形两条对角线的交点的直线平分这个平行四边形的周长和面积. ‹#› 重点2平行四边形性质的综合运用(运算能力、推理能力) 【典例2】如图,将▱ABCD沿对角线AC翻折,点B落在点E处,CE交AD于点F,若∠B=80°,∠ACE=2∠ECD,FC=a,FD=b,求▱ABCD的周长. ‹#› 【自主解答】∵∠B=80°,四边形ABCD为平行四边形,∴∠D=80°.由折叠可知 ∠ACB=∠ACE,又AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB, ∴∠ACE=∠DAC,∴△AFC为等腰三角形.∴AF=FC=a. 设∠ECD=x,则∠ACE=2x, ∴∠DAC=2x,在△ADC中,由三角形内角和定理可知,2x+2x+x+80°=180°,解得x=20°. 由三角形外角定理可得∠DFC=4x=80°, 故△DFC为等腰三角形, ∴DC=FC=a, ∴AD=AF+FD=a+b,故▱ABCD的周长为2(DC+AD)=2(a+a+b)=4a+2b. ‹#› 【举一反三】 1.如图,在平行四边形ABCD中,E为边AD上一点,将△DEC沿CE翻折得到△FEC, 点F在AC上,且满足AF=EF,若∠D=48°,则∠ACE的度数为________.  　54°　 ‹#› 2.如图,在▱ABCD中,过AC中点O的直线分别交CB,AD的延长线于点E,F. (1)求证:BE=DF; (2)连接FC,若EF⊥AC,DF=2,△FDC的周长为16,求▱ABCD的周长. ‹#› 【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,AO=CO,AD=BC, ∴∠OAF=∠OCE,∠E=∠F, 在△AOF和△COE中, , ∴△AOF≌△COE(AAS),∴AF=CE, ∴AF-AD=CE-BC,∴BE=DF; ‹#› (2)连接CF, ∵EF⊥AC,AO=CO, ∴EF垂直平分AC,∴AF=CF, ∵△FDC的周长为16, ∴DF+CF+CD=16, 即2+AD+2+CD=16, ∴AD+CD=12, ∴▱ABCD的周长为2(AD+CD)=24. ‹#› 素养 当堂测评 1.(4分·几何直观、模型观念)如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,则 下列结论错误的是( ) A.AB=CD且AB∥CD　　 B.OB=OD　 C.AB=AD　　 D.∠ABC=∠ADC C ‹#› 2.(4分·应用意识、运算能力)如图,过平行四边形ABCD对角线交点O的线段 EF,分别交AD,BC于点E,F,当AE=ED时,△AOE的面积为4,则四边形EFCD的 面积是( ) A.8 B.12 C.16 D.32 C ‹#› 3.(8分·运算能力、模型意识)在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,已知AO比AB短3 cm,BO比AB长2 cm,BO是AO的2倍,求AC,BD的长. 【解析】设AB=x cm, 则AO=(x-3)cm,BO=(x+2)cm, ∵BO是AO的2倍,∴x+2=2(x-3), 解得x=8, ∴AO=5 cm,BO=10 cm, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AC=2AO=10 cm,BD=2BO=20 cm. ‹#› 本课结束 ‹#› $8.2　平行四边形 第1课时　平行四边形的概念及性质定理1,2 基础　主干落实 重点　典例研析 素养 当堂测评 课时学习目标 素养目标达成 1.理解并掌握平行四边形及其有关概念 几何直观 2.掌握平行四边形的性质 运算能力、推理能力 3.能综合运用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题,并能进行有关证明 应用意识、模型观念 ‹#› 基础　主干落实 新知要点 1.平行四边形的定义 (1)文字叙述:两组对边分别__________的四边形.  记作:____________  读作:平行四边形ABCD (2)符号语言: ∵AB∥CD,AD∥BC, ∴四边形ABCD是平行四边形. 　平行　 　▱ABCD　 对点小练 1.在四边形ABCD中,若AB∥CD,AD________BC,则四边形ABCD为平行四边形.  　∥　 ‹#› 新知要点 2.性质 (1)边:对边平行且相等. (2)角:对角相等,邻角互补. 对点小练 2.如图,在▱ABCD中,一定正确的是( ) A.AD=CD B.AC=BD C.AB=CD D.CD=BC C ‹#› 新知要点 3.有关计算 (1)周长:______________;(2)面积:___________.  对点小练 3.在▱ABCD中,周长为10,AB=4,BC=_______.  　邻边和×2　 　底×高　 　1　 ‹#› 重点　典例研析 重点1利用平行四边形的性质进行证明(几何直观、推理能力) 【典例1】(教材溯源·P8例1·2024·吉林中考)如图,在▱ABCD中,点O是AB的中点,连接CO并延长,交DA的延长线于点E.求证:AE=BC. 【自主解答】∵点O是AB的中点, ∴AO=OB, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,∴∠E=∠BCO, 又∠AOE=∠BOC, ∴△AOE≌△BOC(AAS), ∴AE=BC.   ‹#› 【举一反三】 (2024·湖北中考)▱ABCD中,E,F为对角线AC上两点,且AE=CF,连接BE,DF.求证BE=DF. 【证明】∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD,AB∥CD,∴∠BAE=∠DCF, 在△BAE和△DCF中,, ∴△BAE≌△DCF(SAS),∴BE=DF. ‹#› 重点2利用平行四边形的性质进行计算(几何直观、运算能力) 【典例2】如图,在▱ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F. (1)若AB=4,AD=6,求CE的长; (2)若∠F=62°,求∠BAE和∠D的度数. 【自主解答】(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴BC∥AD,AD=BC=6, ∴∠FAD=∠AEB.∵AE平分∠BAD, ∴∠BAE=∠DAF, ∴∠BEA=∠BAE,∴BA=BE. ∵AB=4,∴BE=4,∴CE=BC-BE=2. ‹#› (2)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥DC,∠B=∠D, ∴∠BAE=∠F. ∵∠F=62°,∴∠BEA=∠BAE=62°, ∴∠B=56°,∴∠D=56°. ‹#› 【举一反三】 如图,在▱ABCD中,∠ABC的平分线交AD于点E,∠BCD的平分线交AD于点F, 若AB=3,AD=4,则EF的长是( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.1 B.2 C.2.5 D.3 B ‹#› 素养 当堂测评 1.(4分·几何直观、运算能力)已知在平行四边形ABCD中,∠A+∠C=130°,则∠D 的度数是( ) A.50° B.65° C.115° D.130° 2.(4分·2025·新疆中考)如图,在▱ABCD中,∠BCD的平分线交AB于点E,若AD=2,则 BE=_______.  C 　2　 ‹#› 3.(4分·几何直观、应用意识)如图所示,在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD 的顶点A,B,D的坐标分别为(0,0),(5,0),(3,2),则顶点C的坐标是_________.  　(8,2)　 ‹#› 4.(8分·应用意识、模型意识)如图,点E是▱ABCD的边CD的中点,连接AE并延长,交BC的延长线于点F. (1)若AD的长为2,求CF的长. (2)若∠BAF=90°,试添加一个条件,并写出∠F的度数. 【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥CF, ∴∠DAE=∠CFE,∠ADE=∠FCE, ∵点E是CD的中点, ∴DE=CE, ‹#› 在△ADE和△FCE中, , ∴△ADE≌△FCE(AAS), ∴CF=AD=2; (2)∵∠BAF=90°, 添加一个条件:当∠B=60°时,∠F=90°-60°=30°(答案不唯一). ‹#› 本课结束 ‹#› $第3课时　平行四边形的判定定理1,2 基础　主干落实 重点　典例研析 素养 当堂测评 课时学习目标 素养目标达成 1.会证明平行四边形的判定定理1,2 几何直观、推理能力 2.理解平行四边形的判定定理1,2,并学会简单运用 应用意识、模型观念 ‹#› 基础　主干落实 新知要点 1.判定定理1 (1)文字叙述:两组对边分别相等的四边形是平行四边形. (2)符号语言:∵AD=BC,________, ∴四边形ABCD是平行四边形. AB=CD 对点小练 1.在四边形ABCD中,AB=4,BC=5,当CD=_______,DA=_______时,四边形ABCD是 平行四边形.  　4　 　5　 ‹#› 新知要点 2.判定定理2 (1)文字叙述:一组对边________________的四边形是平行四边形.  (2)符号语言:∵AD∥BC,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形. 　平行且相等　 ‹#› 对点小练 2.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,要使四边形ABCD是平行四边形,下列添加 的条件正确的是( ) A.AD=BC　 B.∠B=∠C C.∠A=∠D　 D.AB=CD D ‹#› 重点　典例研析 重点1两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形(几何直观、模型观念) 【典例1】(教材再开发·P12补充例题)如图,E,F是▱ABCD对角线AC上的两点,AE=CF. (1)求证:△ABE≌△CDF; (2)连接DE,BF,求证:四边形DEBF是平行四边形. ‹#› 【自主解答】(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,AB=CD,∴∠BAE=∠DCF, 在△ABE和△CDF中, , ∴△ABE≌△CDF(SAS); (2)连接DE,BF,如图所示: 由(1)得:△ABE≌△CDF, ∴BE=DF,同理:DE=BF, ∴四边形DEBF是平行四边形. ‹#› 【举一反三】 如图,已知EF∥AC,B,D分别是AC和EF上的点,∠EDC=∠CBE.求证:四边形BCDE是平行四边形. 【证明】∵EF∥AC, ∴∠EDC+∠C=180°. 又∵∠EDC=∠CBE, ∴∠CBE+∠C=180°, ∴EB∥DC, ∴四边形BCDE是平行四边形. ‹#› 【技法点拨】 平行四边形判定的方法 1.定义法:两组对边分别平行(无需证明). 2.判定1:两组对边分别相等(利用三角形全等证明). ‹#› 重点2一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(几何直观、模型观念) 【典例2】如图,在四边形ABCD中,AC与BD交于点O,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别为点E,F,且AF=CE,∠BAC=∠DCA.求证:四边形ABCD是平行四边形. 【自主解答】∵AF=CE, ∴AF-EF=CE-EF,∴AE=CF. ∵∠BAC=∠DCA,∴AB∥CD. 在△ABE与△CDF中, , ∴△ABE≌△CDF(ASA),∴AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形. ‹#› 【举一反三】 1.(2024·深圳质检)四边形ABCD中,AB∥CD,AB=3,当CD=_______时,这个四边形 是平行四边形.  2.如图,点B,E,C,F在一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF. (1)求证:△ABC≌△DEF; (2)连接AD,求证:四边形ABED是平行四边形. 　3　 ‹#› 【证明】(1)∵BE=CF, ∴BE+EC=CF+EC, ∴BC=EF,在△ABC和△DEF中, , ∴△ABC≌△DEF(SSS); (2)由(1)得:△ABC≌△DEF, ∴∠B=∠DEF,∴AB∥DE, 又∵AB=DE, ∴四边形ABED是平行四边形. ‹#› 素养 当堂测评 1.(4分·几何直观、模型观念)如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O, 下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是( ) A.AB∥DC,AD=BC B.AB=BC,AD=CD　 C.AD∥BC,AD=BC D.AD=BC,AO=CO C ‹#› 2.(4分·推理能力、运算能力)如图,将两条宽度相同的纸条重叠在一起,使 ∠BAD=60°,则∠BCD等于( ) A.30° B.45° C.60° D.120° C ‹#› 3.(4分·推理能力、运算能力)如图,四边形ABCD中,对角线BD⊥AD,BD⊥BC,AD= 11-x,BC=x-5,则当x=_______时,四边形ABCD是平行四边形.  　8　 ‹#› 4.(8分·几何直观、模型观念)如图,点A,F,C,D在一条直线上,AB∥DE且AB=DE, AF=DC,求证:四边形BCEF是平行四边形. 【证明】∵AB∥DE,∴∠BAF=∠EDC, 在△AFB和△DCE中,, ∴△AFB≌△DCE(SAS), ∴FB=CE,∠AFB=∠DCE, ∴∠BFC=∠ECF,∴FB∥CE, 又∵FB=CE, ∴四边形BCEF是平行四边形. ‹#› 本课结束 ‹#› $第4课时　平行四边形的判定定理3,4及综合 基础　主干落实 重点　典例研析 素养 当堂测评 课时学习目标 素养目标达成 1.能证明对角线互相平分的四边形是平行四边形 几何直观、推理能力 2.理解平行四边形的判定定理3,4,并学会简单运用 应用意识、模型观念 ‹#› 基础　主干落实 新知要点 1.平行四边形的判定定理3 两组对角分别__________的四边形是平行四边形.  对点小练 1.在四边形ABCD中,∠A=∠C,∠B=∠D,则四边形ABCD是__________四边形.  　相等　 　平行　 ‹#› 新知要点 2.平行四边形的判定定理4 (1)文字叙述:对角线______________的四边形是平行四边形.  (2)符号语言:∵AO=OC,BO=OD, ∴四边形ABCD是平行四边形. 　互相平分　 ‹#› 对点小练 2.在四边形ABCD中,已知OA=OC,再添加一个条件能判断四边形ABCD是平行 四边形的是( ) A.AB=CD　　 B.AD=BC C.OB=OD D.∠BAD+∠ADC=180° C ‹#› 重点　典例研析 重点1平行四边形的判定定理3,4(几何直观、模型观念) 【典例1】(1)(教材溯源·P14例5·杭州中考)如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在对角线BD上,且BE=EF=FD,连接AE,EC,CF,FA. ①求证:四边形AECF是平行四边形. ②若△ABE的面积等于2,求△CFO的面积. (2)在四边形ABCD中,∠A=36°,∠B=144°,∠C=36°. 求证:四边形ABCD是平行四边形. ‹#› 【自主解答】(1)①∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AO=CO,BO=DO,∵BE=DF,∴EO=FO, ∴四边形AECF是平行四边形; ②∵BE=EF,∴S△ABE=S△AEF=2, ∵四边形AECF是平行四边形, ∴S△AEF=S△CEF=2,EO=FO,∴S△CFO=1. (2)在四边形ABCD中,∠A=36°,∠B=144°,∠C=36°,∠A+∠B+∠C+∠D=360°, ∴∠D=360°-∠A-∠B-∠C=144°,∠A=∠C, ∴∠B=∠D, ∴四边形ABCD是平行四边形. ‹#› 【举一反三】 1.如果四边形ABCD中∠A,∠B,∠C,∠D的大小之比是2∶3∶2∶3,那么四边形 ABCD是平行四边形,判定的依据是____________________________________ ________.  　两组对角分别相等的四边形是平行四 边形　 ‹#› 2.已知,如图所示,AB,CD相交于点O,AC∥DB,AO=BO,E,F分别是OC,OD的中点. 求证:四边形AFBE是平行四边形. 【证明】∵AC∥BD,∴∠C=∠D. 在△AOC和△BOD中, ∴△AOC≌△BOD(AAS),∴CO=DO. ∵E,F分别是OC,OD的中点, ∴OF=OD,OE=OC,∴EO=FO,又∵AO=BO, ∴四边形AFBE是平行四边形. ‹#› 【技法点拨】 用对角线互相平分判定平行四边形的几种情况 1.当出现线段的中点时; 2.当出现两条线段互相平分时; 3.当要证的平行四边形与已知的平行四边形有一条公共对角线,而另一条对角线在一条直线上时. ‹#› 重点2平行四边形判定定理的综合应用(几何直观、模型观念) 【典例2】如图所示,E,F是四边形ABCD的对角线AC上的两点. (1)若AB=CD,只添加一个条件:_______,使四边形ABCD为平行四边形;  (2)在(1)的条件下,若BE⊥AC,DF⊥AC,求证:四边形BEDF是平行四边形. ‹#› 【自主解答】(1)只添加一个条件:AB∥CD(答案不唯一), ∵AB=CD,AB∥CD,∴四边形ABCD为平行四边形; 答案:AB∥CD(答案不唯一) (2)如图所示,连接BF,DE,∵BE⊥AC,DF⊥AC, ∴BE∥DF,∠BEA=∠DFC=90°,∵AB∥CD,∴∠BAE=∠DCF, 在△BAE和△DCF中, , ∴△BAE≌△DCF(AAS),∴BE=DF,又∵BE∥DF, ∴四边形BEDF是平行四边形. ‹#› 【举一反三】 如图所示,请在下列四个关系中,选出两个恰当的关系作为条件,推出四边形ABCD是平行四边形,并予以证明.(写出一种即可) 关系:①AD∥BC,②AB=CD,③∠A=∠C,④∠B+∠C=180°. 已知:在四边形ABCD中,_______,_______,  求证:四边形ABCD是平行四边形. ‹#› 【解析】已知:①③,①④,②④,③④均可,其余均不可以. 方法一: 已知:在四边形ABCD中,①AD∥BC,③∠A=∠C, 求证:四边形ABCD是平行四边形. 证明:∵AD∥BC, ∴∠A+∠B=180°, ∵∠A=∠C, ∴∠C+∠B=180°. ∴AB∥CD, ∴四边形ABCD是平行四边形. ‹#› 方法二: 已知:在四边形ABCD中,①AD∥BC,④∠B+∠C=180°, 求证:四边形ABCD是平行四边形. 证明:∵∠B+∠C=180°,∴AB∥CD,又∵AD∥BC, ∴四边形ABCD是平行四边形; 方法三: 已知:在四边形ABCD中,②AB=CD,④∠B+∠C=180°, 求证:四边形ABCD是平行四边形. 证明:∵∠B+∠C=180°,∴AB∥CD,又∵AB=CD, ∴四边形ABCD是平行四边形; ‹#› 方法四: 已知:在四边形ABCD中,③∠A=∠C,④∠B+∠C=180°, 求证:四边形ABCD是平行四边形. 证明:∵∠B+∠C=180°, ∴AB∥CD,又∵∠A=∠C, ∴∠A+∠B=180°,∴AD∥BC, ∴四边形ABCD是平行四边形. ‹#› 素养 当堂测评 1.(4分·推理能力、几何直观)如图,已知AB∥CD,增加下列条件可以使四边 形ABCD成为平行四边形的是( ) 　　　　　 　　　　　　　　　 　 A.∠1=∠2 B.AD=BC C.OA=OC D.AD=AB C ‹#› 2.(4分·几何直观、模型观念)在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,在下列 条件中,①AB∥CD,AD∥BC;②AB=CD,AD=BC;③AB∥CD,AD=BC;④OA=OC, OB=OD;⑤AB∥CD,∠BAD=∠BCD,能判定四边形ABCD为平行四边形的有 ______________(填序号).  　①②④⑤　 ‹#› 3.(8分·推理能力、几何直观)如图,在▱ABCD中,点E,F分别在BC,AD上,AC与EF相交于点O,且AO=CO. (1)求证:△AOF≌△COE; (2)连接AE,CF,则四边形AECF_______(填“是”或“不是”)平行四边形.  ‹#› 【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,∴∠OAF=∠OCE, 在△AOF和△COE中, , ∴△AOF≌△COE(ASA); (2)四边形AECF是平行四边形,理由如下: 由(1)得:△AOF≌△COE,∴FO=EO,又∵AO=CO, ∴四边形AECF是平行四边形. 答案:是 ‹#› 本课结束 ‹#› $第5课时　三角形的中位线定理 基础　主干落实 重点　典例研析 素养 当堂测评 课时学习目标 素养目标达成 1.理解三角形中位线的定义,会证明三角形的中位线定理 几何直观、推理能力 2.能应用三角形中位线定理解决相关的问题 运算能力、应用意识、模型观念 ‹#› 基础　主干落实 新知要点 1.三角形中位线的定义 (1)文字叙述:连接三角形________________叫做三角形的中位线; (2)符号语言:∵AD=BD,AE=CE, ∴DE是△ABC的中位线. 2.中位线定理 (1)文字叙述:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半; (2)符号语言:∵DE为△ABC的中位线, ∴DE∥BC,且DE=BC. 两边中点的线段 ‹#› 对点小练 1.如图所示,线段DE是△ABC的中位线,若BC=20 cm,则DE=___________;若 ∠ADE=32°,则∠B=________°.  2.如图所示,点D,E分别是△ABC的边BA,BC的中点,DE=6,则AC的长为________.  　10 cm　 　32　 　12　 ‹#› 重点　典例研析 重点 三角形中位线定理(几何直观、模型观念) 【典例】(2024·北京中考节选)如图,在四边形ABCD中,E是AB的中点,DB,CE交于点F,DF=FB,AF∥DC.求证:四边形AFCD为平行四边形. 【自主解答】∵E是AB的中点, ∴AE=BE, ∵DF=BF,∴EF是△ABD的中位线, ∴EF∥AD,∴CF∥AD, ∵AF∥CD, ∴四边形AFCD为平行四边形. ‹#› 【举一反三】 1.(2025·广东中考)如图,点D,E,F分别是△ABC各边上的中点,∠A=70°,则 ∠EDF=( ) 　　　　　　　　　　　　　 　　 A.20° B.40° C.70° D.110° C ‹#› 2.为双减赋能,某校开展劳动实践课程,协助工人测量公园假山两点A,B之间的距 离.如图所示,在地面上取一点C,使C到A,B两点均可直接到达,找到AC和BC的中 点D,E,测得DE的长为28 m,则假山两点A,B之间的距离为( ) A.14 m B.28 m C.46 m D.56 m 3.(2024·浙江中考)如图,D,E分别是△ABC边AB,AC的中点,连接BE,DE.若 ∠AED=∠BEC,DE=2,则BE的长为_______.  D 　4　 ‹#› 4.如图,在△ABC中,ED,EF是△ABC的中位线,连接EC和DF交于点O. (1)求证:OE=EC; (2)求证:DF=AB. 【证明】(1)∵ED,EF是△ABC的中位线, ∴ED∥FC,EF∥DC,ED=FC,EF=DC, ∴四边形EFCD是平行四边形,∴OE=EC; (2)∵ED,EF是△ABC的中位线, ∴D,F分别是AC,BC的中点,∴DF=AB. ‹#› 5.在△ABC中,点E,G分别是边AB,BC的中点,AF平分∠BAC,BF⊥AF于点F,延长BF交AC于点D,连接FG. (1)若AB=6,BC=9,FG=2.求△ABC的周长; (2)若点D恰好是AC的中点,BM为△ABC外角的平分线,交DE的延长线于点H,求证:AH⊥BM. ‹#› 【解析】(1)∵AF平分∠BAC,BF⊥AF, ∴∠BAF=∠DAF,∠BFA=∠DFA=90°, 又AF=AF, ∴△AFB≌△AFD(ASA), ∴AD=AB=6,BF=FD, ∵G是边BC的中点,BF=FD, ∴FG是△BCD的中位线, ∴DC=2FG=4, ∴AC=AD+DC=6+4=10, ∴△ABC的周长=AB+AC+BC=6+10+9=25; ‹#› (2)由题意可知,DE为△ABC的中位线, ∴DE∥BC,∴∠BHE=∠NBH, ∵BM平分∠ABN, ∴∠ABH=∠NBH, ∴∠ABH=∠EHB, ∴HE=BE=AE, ∴∠EHA=∠EAH, ∵∠EHA+∠EAH+∠EHB+∠ABH=180°, ∴∠EHA+∠EHB=90°, ∴AH⊥BM. ‹#› 素养 当堂测评 1.(4分·推理能力、运算能力)(2024·广安中考)如图,在△ABC中,点D,E分别 是AC,BC的中点,若∠A=45°,∠CED=70°,则∠C的度数为( ) A.45° B.50° C.60° D.65° D ‹#› 2.(4分·几何直观、运算能力)如图所示,在四边形ABCD中,AD=BC,点P是对角线 BD的中点,E,F分别是AB,CD的中点,若∠EPF=130°,则∠PEF的度数为( ) A.25° B.30° C.35° D.50° A ‹#› 3.(8分·推理能力、模型观念)如图所示,在四边形ABCD中,AC=BD,AC,BD交于点O,E,F分别是AB,CD的中点,EF分别交AC,BD于点H,G.求证:OG=OH. 【证明】取BC边的中点M,连接EM,FM, ∵M,F分别是BC,CD的中点,∴MF∥BD,MF=BD, 同理:ME∥AC,ME=AC, ∵AC=BD,∴ME=MF,∴∠MEF=∠MFE, ∵MF∥BD,∴∠MFE=∠OGH, 同理∠MEF=∠OHG, ∴∠OGH=∠OHG,∴OG=OH. ‹#› 本课结束 ‹#› $