专题02变量.函数与函数图象专项训练(17大题型+题型突破+压轴专练)2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

专题02变量.函数与函数图象专项训练(16.1+16.2) 题型01.变量间关系的表示方法 题型02.函数概念与解析式 题型03.自变量与函数值计算 题型04.用有序对表示位置与路线 题型05.直角坐标系中点的坐标相关问题 题型06.坐标系中描点与规律探索 题型07.坐标系中点的变换 题型08.坐标系中的动点问题 题型09.实际问题中用坐标表示位置 题型10.用方位与距离确定物体位置 题型11.点的平移坐标计算与判断 题型12.图形平移求点坐标 题型13.坐标与图形变换-轴对称 题型14.点的旋转坐标求解 题型15.原点对称的坐标计算与判断 题型16.坐标与旋转规律问题 题型17.函数图象绘制与信息获取 题型01.变量间关系的表示方法 1．在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，下表是海拔高度（千米）与此高度处气温（）的关系： 海拔高度（千米） 0 1 2 3 4 5 … 气温（） 20 14 8 2 … 根据表格中两个变量之间的关系，当时，气温____． 【答案】 【分析】本题考查了用表格表示变量间的关系，观察得到表格变量间的关系是解题的关键．先观察表格可得，海拔高度每增加千米，气温就下降，即可得到答案． 【详解】解： 观察表格可得：每增加千米，气温就下降， 海拔高度时，气温 当海拔高度时，气温 故答案为：． 2．以固定的速度（米秒）向上抛一个小球，小球的高度（米）与小球的运动时间（秒）之间的关系是，在这个关系式中，常量是_______，变量是_______． 【答案】 ， ， 【分析】本题考查了常量与变量，熟练掌握常量与变量的定义是解题的关键：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量；在某一变化过程中，数值发生变化的量称为变量． 根据常量与变量的定义即可直接得出答案． 【详解】解：由常量与变量的定义可知： 在关系式中，常量是，，变量是，， 故答案为：，；，． 3．如图（1），在长方形中，厘米，厘米，动点从点出发，沿路线运动，到点停止；点出发时的速度为1厘米/秒，秒时点的速度变为厘米/秒，秒后点以厘米/秒速度匀速运动．如图（2）是点出发秒后，的面积（平方厘米）与时间（秒）之间的关系图象．有以下结论：①；②；③点从点运动到点用时4秒；④当的值为10时，点运动的路程为20厘米；⑤当的面积是长方形面积的时，的值为4或12．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查用图象表示两个变量间的关系、一元一次方程的几何应用，能从图象中获取有用信息并正确求解是解答的关键．根据图象结合三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：由图象，当点P在边上时，，则， 又点P运动8秒时到点B处， ∴，故①正确； ∵点P运动c秒时到达点D处， ∴，故②错误； 点从点运动到点用时秒，故③正确； 当的值为10时，点在边上运动，则点运动的路程为厘米，故④错误； 由题意，长方形面积为， 当的面积是长方形面积的时，， 由图知，点P在边上时，由得； 当点P在边上时，由得， ∴， 即当的面积是长方形面积的时，的值为4或15，故⑤错误， 综上，正确结论的个数是2个， 故选：B． 4．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过，对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表： 刹车时车速（km/h） 0 10 20 30 40 50 …… 刹车距离（m） 0 5 10 …… 下列说法中错误的是（    ） A．自变量是刹车时的车速，因变量是刹车距离 B．刹车时的车速每增加千米，刹车距离就增加 C．当刹车距离为时，刹车时的车速为 D．当刹车时的车速为时，与其前方距离为的车辆不会追尾 【答案】C 【分析】根据函数的表达式特点判定，结合变量关系判定，确定函数的解析式表达方式判定即可． 【详解】A、根据函数表达方式的特点，自变量是刹车时的车速，因变量是刹车距离，正确，不符合题意； B、根据表格，刹车时的车速每增加千米，刹车距离就增加，正确，不符合题意； C、根据函数表达方式的特点，转化为解析式表达方式为，当，得到 ，解得，不正确，符合题意； D、根据函数表达方式的特点，转化为解析式表达方式为，当，得到 ，正确，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了函数的表达方式及其意义，正确理解各自表达方式的意义是解题的关键． 题型02.函数概念与解析式 5．下列四个图象中，能表示是的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，据此进行判断即可． 【详解】解：A，C，D中的图象，对于的每一个确定的值，不一定有唯一的值与其对应，那么不是的函数，不符合题意， B中的图象，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么是的函数，符合题意． 6．一棵树现在高，每个月长高，个月后这棵树的高度为()，与之间的关系式为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列函数关系式，根据树的高度随时间的增长而增长，初始高度为，每月增长，即可列出关系式求解． 【详解】解：∵树现在高，每月长高， ∴经过个月，树的高度为初始高度加上增长的高度， 即：。 故选：A． 7．如图，有一个球形容器，小厉在往容器里注水的过程中发现，水面的高度h、水面的面积S及注水量V是三个变量．下列说法：①S是V的函数；②V是S的函数；③h是V的函数；④V是h的函数，其中正确的是________．（填序号） 【答案】 ①③④ 【分析】由函数的概念求解即可． 【详解】①：由题意可知，对于注水量V的每一个数值，水面的面积都有唯一值与之对应，所以是的函数，符合题意； ②：由题意可知，对于水面的面积的每一个数值，注水量的值不一定唯一，所以不是的函数，不符合题意； ③：由题意可知，对于注水量V的每一个数值，水面的高度h都有唯一值与之对应，所以h是V的函数，符合题意； ④：由题意可知，对于水面的高度h的每一个数值，注水量V都有唯一值与之对应，所以V是h的函数，符合题意； 所以正确的是①③④． 8．甲，乙两车分别从，两地沿直路同向匀速行驶，两车相距（单位：）与行驶时间（单位：） ）的部分对应值如表，则与的对应关系可用关系式表示为__________________________． 时间 两车相距 【答案】 【分析】本题考查函数关系式，解题关键是理解表格中数据的变化规律．根据表格可得时，，时间每增加，两车的相距对应减少，由此可得与的关系式． 【详解】解：由题意可得：时，，时间每增加，两车的相距对应减少， ， 故答案为：． 题型03.自变量与函数值计算 9．在函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了确定函数自变量的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 根据分式有意义的条件，分母不能为零，从而确定自变量的取值范围． 【详解】解：由函数表达式可知，分母，解得． 故答案为：． 10．一个蓄水池有水，打开放水闸门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如下表： 放水时间 1 2 3 4 … 水池中的水量 48 46 44 42 … 水池中的水量V（单位：）与放水时间t（单位：）之间的函数关系式为________．当放水后，水池中还有________ 水． 【答案】 22 【分析】本题主要考查了函数的表示方法，需要通过读懂题意，识别函数关系式是解题的关键． 依据题意，通过水池中的水量和放水时间的关系表，分析出水池中水量每分钟减少，从而可得函数关系式，最后可求出当放水min时水池中的水量． 【详解】解：由题意知，水池中水量每分钟减少，设水池中剩余水量为，放水时间为min， ∴， ∴当时，．即当放水min时，水池中有水． 故答案为：，． 11．对于实数、，定义一种运算“”为：，在函数的图象上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了新定义，函数图象上的点与图象的关系，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据新定义求得，分别计算验证即可． 【详解】解：由题意得，， A、时，，故不在图象上，故本选项不符合题意； B、时，，故不在图象上，故本选项不符合题意； C、时，，故不在图象上，故本选项不符合题意； D、时，，故在图象上，故本选项符合题意， 故选：D． 12．函数的自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】C 【分析】从二次根式的意义，分式有意义的条件两个方面去思考求解即可． 【详解】∵ 有意义， ∴x-2≥0， ∴x≥2， ∵ 是分式， ∴ ≠0， ∴x≠2， 综上所述， 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握这两个条件，并灵活运用是解题的关键． 13．已知等腰三角形的周长为，底边长为，腰长为． (1)y与x之间的函数解析式为________，自变量x的取值范围为_________； (2)当_______时，这个等腰三角形是等边三角形． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由三角形的周长公式结合等腰三角形的周长为，即可得出与之间的函数关系式，再由三角形的三边关系即可得出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得出的取值范围； （2）根据等边三角形的性质，可得出关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：由等腰三角形周长公式可得，移项整理得，即， ， 解得：． 与之间的函数关系式为；自变量x的取值范围为； （2）解：若等腰三角形为等边三角形，则三边长度相等，即底边长等于腰长， ， 将代入周长公式，得， 解得， 所以当时，这个等腰三角形是等边三角形． 14．如图所示的是小华利用“”拼成的一列有规律的图案，仔细观察并找出规律，解答下列问题 (1)完成下表： 图n 图1 图2 图3 图4 图5 … 的个数m 4 7 ______ ______ ______ … (2)写出m与n的函数关系式，并求当时，m的值． 【答案】(1)填表见解析 (2)，88 【分析】（1）观察图形变化特点逐个填写即可； （2）根据（1）图形的变化特点得出规律，即可得出关系式，然后代入求值即可． 【详解】（1）解： 根据题意填表如下： 图n 图1 图2 图3 图4 图5 的个数 4 7 10 13 16 （2）解：第1个图中正六边形的个数有4个； 第2个图中的个数有（个）； 第3个图中的个数有（个）； 第4个图中的个数有（个）； 第5个图中的个数有（个）； 第n个图中的个数有（个）． 当时，． 题型04.用有序对表示位置与路线 15．如图，从点O出发，先向西走4步，再向南走3步到达点M，如果点M的位置用表示，那么表示的位置是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【详解】解：∵从点O出发，先向西走4步，再向南走3步到达点M，点M的位置用表示， ∴表示的位置是先向东走1步，再向北走2步，即为B点， 16．在数轴上，用有序数对表示点的平移，若得到的数为1，得到的数为3，则得到的数为（    ）． A．8 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由用有序数对表示点的平移，得到的数为1，得到的数为3，可得平移的方向：后一个数为正数表示向左平移，为负数表示向右平移，而平移的距离是后一个数的绝对值，从而可得答案. 【详解】解： 用有序数对表示点的平移，得到的数为1，得到的数为3， 数轴上的数向左边平移个单位得到的数为 数轴上的数向右边平移个单位得到的数为 可表示数轴上的数向左边平移个单位得到的数是 故选： 【点睛】本题考查的是有序实数对表示平移，正确的理解平移的方向与平移的距离是解题的关键. 17．观察图中数的排列规律并回答问题： 如果一个数在第行第列，那么记它的位置为有序数对，例如数2在第2行第1列，记它的位置为有序数对．按照这种方式，数的位置为有序数对______． 【答案】 【分析】本题考查用有序数对表示位置，数字类变化规律．根据题意找出数字之间的联系，得出规律是解题关键．根据图中数的排列可得出至中含有64个数，且奇数行都是从左边第一个数开始，从而即可求解． 【详解】解：根据题意，如图： 由图可知，至时含有4个数，至时含有9个数，至时含有16个数； …… ∴至中含有64个数，且奇数行都是从左边第一个数开始， ∵，， ∴位于第9行，第7列， ∴数的位置为有序数对． 故答案为：． 18．如图，在的方格（每小格边长为1）内有1只甲虫，它爬行规律总是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从A到B的爬行路线记为：，从B到A的爬行路线为：，其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息． (1)图中（ ， ）， （， ）； (2)若甲虫的爬行路线为，计算甲虫爬行的路程． (3)若甲虫从点A出发，爬行路线依次为，，，，最终到达点P处，请在图中标出点P的位置． 【答案】(1)，，B， (2)10 (3)见解析 【分析】本题考查坐标确定位置；理解正数与负数在实际问题中的意义是解题的关键. （1）B到D向右走3个格，向下走2个格；C到D向左走2个格，向上走1个格； （2）先确定A到B，B到C，C到D的行走路线，再将所有路线长度相加即可； （3）根据题意，画出路线图即可. 【详解】（1）解：根据题意，B到D的路线为，C到B的路线， 故答案为：，，B，； （2）解：由A到B路线为，由B到C路线为，由C到D路线为， ∴路程为； （3）解：如图： 题型05.直角坐标系中点的坐标相关问题 19．在平面直角坐标系中，点A在第二象限，距离轴2个单位长度，距离轴3个单位长度，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】平面直角坐标系中的点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，结合第二象限点的符号特征求解即可． 【详解】解：设点A的坐标为， ∵点A距离x轴2个单位长度， ∴， ∴， ∵点A距离y轴3个单位长度， ∴， ∴， ∵点A在第二象限， ∴点A的横坐标为负数，纵坐标为正数， ∴，即点A的坐标为． 20．在平面直角坐标系中，第三象限内的点到轴的距离是4，则的值为（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】A 【分析】利用第三象限点的横纵坐标均为负数和点到y轴的距离等于点横坐标的绝对值求解． 【详解】解：∵第三象限内的点到轴的距离是4， ∴， 解得． 21．若点M的坐标为，点N的坐标为，轴，则的值为（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等，根据该性质列方程即可求解． 【详解】解：轴， 点和点的横坐标相等， 点的横坐标为，点N的横坐标为， ，解得． 22．在平面直角坐标系中，点A的坐标是，若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，且点A在y轴的右侧，则a的值为______． 【答案】3 【分析】本题考查了坐标的性质．点A的坐标是，其到x轴距离为，到y轴的距离为，则；又由点A在y轴的右侧可知A的横坐标为正数，即，据此即可求出a的值． 【详解】解：由题可知， 即或， 解得， 故答案为：3． 23．在平面直角坐标系中，下列说法：①有序实数对和坐标平面内的点是一一对应的；②点在直角坐标系的y轴上，则点P的坐标为；③已知点，点，则轴；④若点在坐标轴上，则；⑤若点P到x轴的距离是2，到y轴的距离为3，则点P的坐标．其中正确的是________（填写序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题考查平面直角坐标系的概念，坐标与图形性质，根据相关知识点，逐一判断每个说法即可． 【详解】解：①根据平面直角坐标系的概念，有序实数对和坐标平面内的点是一一对应的，故①正确． ②点在轴上，轴上点的横坐标为， ， 解得：， ， 点的坐标为，故②错误． ③点，点的纵坐标相等， 轴，故③正确． ④点在坐标轴上，则或， ，故④正确． ⑤点到轴的距离是，到轴的距离为， 点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为或或或，故⑤错误． 综上，正确的是①③④． 24．已知点，解答下列各题： (1)若点P在x轴上．求出点P的坐标； (2)若点Q的坐标为，直线轴，求出点P的坐标； (3)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求出点P的坐标． 【答案】(1)点P的坐标为 (2)点P的坐标为 (3)点P的坐标为 【分析】（1）根据x轴上的点的纵坐标为0，可得关于a的方程，解得a的值，再求得点P的横坐标即可得出答案； （2）根据平行于x轴的直线的纵坐标相等，可得关于a的方程，解得a的值，再求得其横坐标即可得出答案； （3）根据第二象限的点的横纵坐标的符号特点及它到x轴、y轴的距离相等，可得关于a的方程，解得a的值，再代入要求的式子计算即可． 【详解】（1）解：∵点P在x轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； （2）解：点Q的坐标为，直线轴， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； （3）解：∵点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等， ∴， ∴， ∴，． 点P的坐标为． 题型06.坐标系中描点与规律探索 25．如图，在某平面直角坐标系的网格中，点A的坐标为，点C的坐标为，则它的坐标原点为（    ） A．点B B．点D C．点P D．点Q 【答案】C 【分析】根据点A的坐标为，点C的坐标为确定出x、y轴，即可得． 【详解】解：由题意得： ∴坐标原点为点P， 故选：C． 【点睛】本题考查了点的坐标，解题的关键是能够正确的画出x、y轴，． 26．已知点，关于轴对称，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查关于x轴对称的点的坐标特征，代数求值，解题的关键是掌握轴对称的性质． 关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，列出方程求解，最后代数求值即可． 【详解】解：∵点和点关于x轴对称， ∴，且， 解得， ∴， 故选：A． 27．如图，一动点从出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹后的路径与长方形的边所夹锐角为，第1次碰到长方形边上的点的坐标为，则第2026次碰到长方形边上的点的坐标为_____． 【答案】 【分析】先根据动点的运动规律，依次写出前几次碰到长方形边上的点的坐标，找出坐标的循环周期，再用总次数除以周期，根据余数确定第2026次碰到的点的坐标． 【详解】解：如图， 第1次碰到的点坐标：； 第2次碰到的点坐标：； 第3次碰到的点坐标：； 第4次碰到的点坐标：； 第5次碰到的点坐标：； 第6次碰到的点坐标：； 第7次碰到的点坐标：； ……； 由此可知，动点的坐标以次为一个循环周期． ， 即第2026次碰到的点的坐标与第4次碰到的点的坐标相同，为． 28．如图，平面直角坐标系中，三点的坐标分别为，，，，点M，N是x轴，线段上的动点，则的最小值为______． 【答案】4 【分析】本题考查了轴对称－最短路线问题，过点P作于H，交x轴于点E，连接．则的最小值为的长， 根据，，推出． 【详解】解：过点P作于H，交x轴于点E，连接， 点M，N是x轴，线段上的动点， 的最小值为的长， ，， ． 故对答案为：4． 29．在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动个单位．其行走路线如图所示． (1)填写下列各点的坐标：​（___，___），​（___，___），​（___，___）； (2)写出点的坐标 （是正整数）； (3)指出蚂蚁从点​到的移动方向． 【答案】（1） ，， （2） （3） 移动方向为向上 【分析】（1） 在平面直角坐标系中可以直接找出答案； （2） 根据求出的各点坐标，得出规律； （3） 点中的正好是4的倍数，根据（2）题的答案可以分别得出点和的坐标，由此可以得到蚂蚁从点到的移动方向． 【详解】（1）解：求各点坐标 蚂蚁的移动规律是：向上→向右→向下→向右，每 步为一个循环， ​：从原点向上移动个单位，坐标为 ， ：从原点向右移动个单位，坐标为 ， ​：，完成个完整循环，横坐标为，纵坐标为，坐标为； （2）解：观察循环规律： 可得：，， 横坐标：，，，即横坐标为， 纵坐标始终为 ， 点​的坐标为 （ 是正整数）； （3）解：蚂蚁从​到的移动方向 ， 符合​的规律，坐标为， 下一个点​是新循环的第一步，移动方向为向上． 题型07.坐标系中点的变换 30．已知，直线平行于轴，，那么点的坐标为________． 【答案】或 【分析】根据点坐标及直线轴可知点和点的横坐标相等，再由，分类讨论求出的纵坐标即可． 【详解】∵，直线平行于轴，， ∴分类：①点在点的上方，则，即； ②点在点的下方，则，即． 综上，点的坐标或． 31．点与点关于轴对称，则________． 【答案】 【分析】根据关于轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数求出，的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， ． 32．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点的坐标为，点、均在轴上．将绕顶点逆时针旋转得到，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，含角直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．作，勾股定理求出，，勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：作，交y轴于点F， 的坐标为 ∴， 是等边三角形，， ∴是的角平分线， ， ， 在中，， 即， 解得， ， ∵是等边三角形， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴． 故选：A． 33．如图，点A、B的坐标分别是，若将线段平移至的位置，与坐标分别是和，则线段在平移过程中扫过的图形面积为________． 【答案】32 【分析】本题主要考查坐标与图形变化平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．直接利用平移中点的变化规律求出，的值，再根据线段在平移过程中扫过的图形面积四边形的面积求解即可． 【详解】解：点、的坐标分别为，，平移后与坐标分别是和， 可知将线段向右平移5个单位，向上平移4个单位， ，， 与坐标分别是和， 如图： 线段在平移过程中扫过的图形面积． 故答案为：32． 34．如图，在平面直角坐标系中点在轴的正半轴上，点的坐标为，点的坐标为的面积为15． (1)求出点的坐标； (2)线段是由线段平移所得，其中点与点对应，点与点对应，与轴的交点为点，求的长； (3)在（2）的条件下，若点为轴上的一个动点，且点的横坐标为，并且满足，请写出的取值范围___________． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（1）首先根据题意确定的长度，结合三角形面积公式计算的长度，即可获得答案； （2）根据平移的性质，可得，然后结合求解即可； （3）首先确定点的纵坐标为，结合题意可得，进而可得，根据的面积为15建立关于t的不等式并整理，可得，然后分情况讨论，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵的面积为15，即， ∴，解得， ∵点在轴的正半轴上， ∴； （2）解：∵点的坐标为， ∴， ∵线段是由线段平移所得， ∴， ∵， ∴， 即， 解得； （3）解：由（2）可知，， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴点的纵坐标为， ∵点为轴上的一个动点，且点的横坐标为， ∴， ∴， 若，可得， 整理可得， 当时，可得，解得， 当时，可得，解得， 综上所述，的取值范围为或． 【点睛】解题的关键是运用数形结合的思想和分类讨论的思想分析问题，避免遗漏． 题型08.坐标系中的动点问题 35．已知点，点P为直线上一点，且，则点P的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设，则点P一定在点A的下方，故，，根据题意，建立绝对值方程并求解，得到两个符合条件的解． 本题考查了坐标与线段，绝对值方程的解法，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：设，则点P一定在点A的下方，故，，根据题意， 得或， 解得或， 故点P的坐标为或， 故选：C． 36．如图，直角坐标系中长方形的四个顶点坐标分别为，，，，点P从点A出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个长度单位，同时点Q从点A出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个长度单位，记P，Q在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，……，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点坐标的规律，长方形的性质，根据点坐标可得长方形的周长，设运动时间为t，由行程问题的数量关系可得，由此可得每次相遇的时间，从而找出规律计算即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∴，， ∴长方形的周长为， 设运动时间为t， ∴， 解得， ∴当时，点P、Q第一次相遇，则点P路程为，即在x的正半轴上， ∴点； 当时，点P、Q第二次相遇，则点P路程为，即在x的负半轴上， ∴点； 当时，点P、Q第三次相遇，则点P路程为，即到达点D， ∴点； 当时，点P、Q第四次相遇，则点P路程为，即在x的负半轴上， ∴点； 当时，点P、Q第五次相遇，则路程为，即到达点A， ∴点； 当时，点P、Q第六次相遇，则路程为，即在x的正半轴上， ∴点； ∴五次相遇一循环， ∴， ∴点， 故选：C． 37．如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，轴，垂足为，，，已知，，点从点出发沿折线的方向运动到点停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点的运动时间为秒． (1)在运动过程中，当点到的距离为2个单位长度时，求点的运动时间； (2)在点的运动过程中，用含的代数式表示点的坐标． 【答案】(1)t为或 (2)或或 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，掌握图形与坐标性质等知识是解题的关键． （1）由题意得，当点到的距离为2个单位长度时，运动路程为或，由此即可解决问题； （2）分三种情形：①当点P在上时，②当点P在上时；③当点P在上时，分别表示即可． 【详解】（1）解：， ， 当点到的距离为2个单位长度时，运动路程为或， 或， 为或； （2）解：①当点P在上时，； ②当点P在上时，， ∵轴， ∴轴， ∴点P横坐标都为6， ∴； ③当点P在上时，， ∵轴， ∴轴， ∴点P纵坐标都为， ∴； 综上，点的坐标为或或． 题型09.实际问题中用坐标表示位置 38．北斗七星是大熊座的一部分，古代人们把这七颗星命名为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光．因为将这七星相连所成的形状类似古代舀酒的斗，故名北斗．爱好天文的小海将自己观察到的北斗七星画在如图所示的方格纸上，建立适当的平面直角坐标系后，表示“摇光”的点的坐标为，表示“开阳”的点的坐标为，则表示“天权”的点（正好在网格点上）的坐标为______． 【答案】 【分析】根据“摇光”的点的坐标与“开阳”的点的坐标先判断平面直角坐标系的原点，确定轴，轴，根据坐标系确定表示“天权”的点的坐标即可． 【详解】解：由表示“摇光”的点的坐标为与表示“开阳”的点的坐标为得：平面直角坐标系，如图： 可知：表示“天权”的点（正好在网格点上）的坐标为． 39．如图是一片桑叶标本，完整叶片呈宽卵形，顶端微尖，边缘有锯齿．将其放在平面直角坐标系中，若表示叶片顶端A、边缘B两点的坐标分别为、，则叶柄末端C点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了用坐标确定位置，和由点的位置得到点的坐标．依据已知点的坐标确定出坐标轴的位置是解题的关键．根据，的坐标确定出坐标轴的位置，点的坐标可得． 【详解】解：，两点的坐标分别为、， 得出坐标轴如图所示位置： ∴． 故答案为：． 40．如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B，C，D处的其他甲虫，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负．如：从A到B记为，从B到A记为，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． (1)图中（____，_____），（____，_____），______ (2)若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为，，，，请在图中标出P的位置． (3)若这只甲虫的行走路线为，请计算该甲虫走过的路程． 【答案】(1)，，，，D (2)见解析 (3)10 【分析】本题主要考查了利用坐标确定点的位置的方法，解题的关键是正确的理解从一个点到另一个点移动时，如何用坐标表示． （1）根据表示向右走3，向上走4即可表示；表示向右走2，向上走0，即可表示；表示向右走1，向下走，即可判断； （2）按题目所示平移规律分别向右平移2个格点，向上平移2个格点，再向右平移2个格点，向下平移1个格点；向左平移2个格点，向上平移3个格点；向左平移1个格点，向下平移2个格点，即可得到点P的坐标，在图中标出即可； （3）根据点的运动路径，表示出运动的距离，相加即可得到行走的总路径长． 【详解】（1）解：由图可知表示向右走3，向上走4，即； 表示向右走2，向上走0，即； 表示C向右走1，向下走，到点D， 故答案为：，，，，D； （2）解：点P位置如图所示； （3）解：根据条件可知，，， ∴甲虫走过的路程为． 题型10.用方位与距离确定物体位置 41．如图，是北偏东方向的一条射线，若射线与射线成角，则射线表示的方向是（    ） A．北偏西方向 B．北偏东方向 C．南偏东方向 D．南偏东方向 【答案】D 【分析】本题考查了方位角，根据概念，结合射线的方位角以及的度数，求出，进而确定的方位角． 【详解】解：射线与射线成角， ， 是北偏东方向的一条射线， ， ， ， 即射线表示的方向是南偏东． 故选：D． 42．在平面内，下列数据不能确定物体位置的是（   ） A．钱塘明月号楼室 B．广州塔南偏西方向 C．东经，北纬 D．庆春电影院号厅的排座 【答案】B 【分析】本题考查了确定位置，解题的关键是根据坐标确定位置需要两个数据，对各选项分析判断后求解． 【详解】解：A、钱塘明月号楼室，位置明确，故本选项不符合题意； B、只有南偏西的方向，没有距离等补充数据，无法确定物体的具体位置，故本选项符合题意； C、东经，北纬，位置明确，故本选项不符合题意； D、庆春电影院号厅的排座，位置明确，故本选项不符合题意． 故选：B． 43．货轮A在岛屿O的北偏东方向上，下列符合条件的示意图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是根据方位角找出对应的图形，掌握方位角的定义是解决此题的关键． 根据方位角的定义判断即可． 【详解】解：A．货轮A在岛屿O的北偏东方向上，故本选项符合题意； B．货轮A在岛屿O的南偏西方向上，故本选项不符合题意； C．货轮A在岛屿O的南偏东方向上，故本选项不符合题意； D．货轮A在岛屿O的北偏西方向上，故本选项不符合题意； 故选：A． 44．从海岛A上观测，海岛B在海岛A的南偏东30°的位置，且距离为30海里．轮船C与轮船D均在海岛B的正北方向上，同时向海岛A发出燃料补给请求．此时轮船C与海岛A相距20海里，轮船D与海岛B相距40海里．补给船从海岛A出发向轮船C与轮船D运送燃料，下列有关轮船C与轮船D的位置说法正确的是（    ） A．轮船C的位置能唯一确定，轮船D的位置能唯一确定 B．轮船C的位置能唯一确定，轮船D的位置不能唯一确定 C．轮船C的位置不能唯一确定，轮船D的位置能唯一确定 D．轮船C的位置不能唯一确定，轮船D的位置不能唯一确定 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形，勾股定理的应用； 根据题意，海岛B位于海岛A南偏东30°方向30海里处，轮船C和D均在海岛B的正北方向．轮船D与海岛B相距40海里，因此位置唯一确定；轮船C与海岛A相距20海里，且在B的正北方向，求出，可知满足条件的点有两个，因此位置不能唯一确定． 【详解】解：如图，海岛A为原点，北为y轴正方向，东为x轴正方向．海岛B在南偏东30°方向30海里处， ∴B点坐标：，． ∵轮船D在海岛B正北方向且距B40海里， ∴D点坐标唯一：． ∵轮船C在海岛B正北方向且距A20海里，设C点坐标为，则， ∴ ∴C点有两个可能的位置，位置不能唯一确定， 故选：C． 45．下图所示的是某次海战中敌我双方战舰对峙示意图． (1)在我方潜艇的北偏东的方向上有哪些目标？要想确定敌方战舰B的位置，还需要什么数据？ (2)距离我方潜艇20n mile的有________________________________________________． 【答案】(1)敌方战舰B到我方潜艇的距离 (2)敌方战舰A和敌方战舰C 【分析】本题考查方向角，平面直角坐标系，解题的关键是熟练掌握方向角的定义，确定点的位置的方法． （1）确定点的位置要知道点的方向和距离，由此即可得到答案； （2）由图上距离，即可得到答案． 【详解】（1）解：有敌方战舰和小岛，还需要知道敌方战舰到我方潜艇的距离． （2）解：敌方战舰和敌方战舰． 题型11.点的平移坐标计算与判断 46．点在x轴的上方，将点A向上平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度后得到点B，点B到x轴的距离大于点B到y轴的距离，则x的取值范围是______． 【答案】 【分析】先根据平移表示出点B的坐标，再根据点B到x轴的距离大于点B到y轴的距离列不等式求解即可． 【详解】解：∵点在x轴的上方，将点A向上平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度后得到点B， ∴，即，且即， ∴，， ∵点B到x轴的距离大于点B到y轴的距离， ∴，即，解得：， ∴． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了点的平移、点到坐标轴的距离、解不等式、取绝对值等知识点，灵活运用相关知识是解答本题的关键． 47．对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，，将点与点称为点M的一对卫星点．例如，点与点为点的一对卫星点．将点向右平移m个单位长度，向下移动m个单位，得到点，若点的一对卫星点重合，则________． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，新定义，根据卫星点的定义列方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， 此时，，， 则点的卫星点为和， ∵这两个卫星点重合，（即两点的横、纵坐标分别相等）， ∴， 解得，， 故答案为：． 48．在平面直角坐标系中，点，，将线段平移后，得到线段，点与点对应，若点，点，则______． 【答案】7 【分析】本题考查了点的坐标的平移，代数式求值，由对应点的坐标可得线段向右平移个单位，向下平移个单位得到线段，据此求出的值，再代入计算即可求解，由对应点的坐标变化得出平移方式是解题的关键． 【详解】解：∵点的对应点是点，点的对应点是点， ∴线段向右平移个单位，向下平移个单位得到线段， ∴，， ∴， 故答案为：7． 49．在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化—平移，根据对应点的坐标确定平移规则，再根据平移规则，求出点的坐标即可． 【详解】解：∵平移后，点的对应点为， ∴点先向右平移4个单位，再向下平移5个单位，得到点， ∴点先向右平移4个单位，再向下平移5个单位，得到点， ∵点的坐标为， ∴，即； 故答案为：． 50．如图，三角形是三角形经过平移得到的，三角形三个顶点的坐标分别为，，，三角形中任意一点，平移后的对应点为. (1)请画出平移后的三角形； (2)写出点，，的坐标； (3)求三角形的面积. 【答案】(1)见解析 (2)，， (3) 【分析】（1）由平移后的对应点为可得平移规律为：向右平移5个单位，再向上平移2个单位，据此分别作出A，B，C的对应点即可； （2）根据点的移动规律写出坐标即可； （3）利用分割法求三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图，三角形即为所作； （2）解：由图形知，，； （3）解：． 题型12.图形平移求点坐标 51．把函数的图象向上平移个单位，则下列各点中，在平移后的直线上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数平移规律及函数图像上点满足函数解析式，解题的关键是得到平移后的函数； 根据函数平移规律上加下减，左加右减求出新函数，逐个选项代入判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，平移后函数为：， 当时，，故A不符合题意， 当时，，故B符合题意，D符合题意， 当时，，故C不符合题意， 故选：D． 52．如图，的三个顶点坐标分别为、、．将沿方向平移得到，其中点与原点重合．则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形-平移变换，理解平移性质，正确得到对应点的位置是解答的关键．先确定平移方式：先向下平移3个单位，再向右平移4个单位，进而求出结论． 【详解】解：∵将沿方向平移得到，其中点与原点重合， ∴平移方式可以是先向下平移3个单位，再向右平移4个单位， ∴按以上平移方式，点平移后对应点的坐标为， 故答案为：． 53．已知 ，将线段 平移至，若，，则 的值为（    ） A． B． C．6 D．9 【答案】D 【分析】本题考查平移的坐标与图形变化．熟练掌握平移规律是解题的关键． 根据点平移的性质“左减右加（横轴），上加下减（纵轴）”解答即可． 【详解】解：由题可得， 解得：， ∴， 故选：D． 题型13.坐标与图形变换-轴对称 54．点关于轴的对称点的坐标为______． 【答案】 【分析】关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数，根据规律即可得到结果． 【详解】解：点关于轴的对称点的坐标为． 55．如果点和点关于x轴对称，则的值是（   ） A． B． C．1 D．5 【答案】C 【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出a，b的值，再计算的值即可． 【详解】解：∵点和点关于x轴对称， 又∵关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数， ∴，， ∴， 故选：C． 56．如图，小萱将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点与轴上表示的点重合，点坐标为，则点关于轴的对称点的坐标为________； 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，图形与坐标，关于y轴对称点的性质，过点A，点B分别作，垂直于x轴，先证明，得点A的坐标，再根据关于y轴对称点的坐标特点为纵坐标不变，横坐标互为相反数解答即可． 【详解】解：如图，过点A，点B分别作，垂直于x轴， ， 点与轴上表示的点重合，点坐标为， ，，， ， 由题意知是等腰直角三角形， ，， ， 又， ， 在和中， ， ，， ， 点A的坐标为， 点关于轴的对称点的坐标为， 故答案为：． 题型14.点的旋转坐标求解 57．在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转，得到的对应点的坐标是__________． 【答案】 【分析】此题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握旋转前后对应边相等，对应边的夹角等于旋转角． 根据题意画出图形，再利用旋转的性质得到条件证明，即可求解． 【详解】如图，过作轴于点，过作轴于点， ∵， ∴，， 由旋转性质可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 58．如图，在平面直角坐标系中，已知点，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，则点的坐标是_______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，过点作轴于，过点作轴于，证明，得到，从而求出答案． 【详解】解：如图所示：将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，过点作轴于，过点作轴于， ∴，， ， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ， ∵， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 59．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，把线段绕点A旋转后得到线段，使点B的对应点落在x轴上，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】直接利用勾股定理得出的长，再利用旋转的性质得出的长，进而得出答案．注意题目中未说明点落在x轴正半轴还是负半轴，所以要分类求解． 【详解】∵，， ∴，， ∴， ∴． 当点落在x轴的正半轴时，， ∴； 当点落在x轴的负半轴时，， ∴． 综上可知，点的坐标是或． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理以及坐标与图形变换的性质，正确得出的长是解题的关键，同时要注意这类题的易错点——忽略分类讨论，导致漏解． 60．如图，的顶点坐标分别为，，． (1)画出关于点的中心对称图形； (2)画出绕原点逆时针旋转的，直接写出点的坐标为__________； (3)若内一点绕原点逆时针旋转的对应点为，则的坐标为__________．（用含m，n的式子表示） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了作图−−中心对称与旋转变换，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形，熟记旋转的性质是解题的关键． （1）根据关于原点对称的点的坐标特征得到的坐标，然后描点即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出的对应点，然后顺次连接，从而得到点的坐标； （3）利用绕原点逆时针旋转的对应点的规律写出Q的坐标． 【详解】（1）解：即为所求； （2）即为所求； ； （3）若内一点绕原点逆时针旋转的对应点为， 则的坐标为． 题型15.原点对称的坐标计算与判断 61．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点位于第_____象限． 【答案】四 【分析】本题主要考查点关于原点对称的坐标特点，根据点坐标的特点判定所在象限，理解并掌握点的对称性质是解题的关键． 根据点关于原点对称的点的横坐标、纵坐标均变为相反数，再根据点坐标的符号即可求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为， ∴点在第四象限， 故答案为：四． 62．若点与点关于原点对称，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征，代数式求值，掌握关于原点对称的点的坐标规律是解题关键． 根据关于原点对称的点，横坐标和纵坐标都互为相反数，列出方程求解和，再求它们的和． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：． 63．（1）和点关于____________对称； （2）如果点在第三象限则点关于原点的对称点在第________象限． 【答案】 原点 二 【分析】（1）根据A、B两点的横纵坐标互为相反数，即可判断它们关于原点对称； （2）先根据A在第三象限即可确定，从而可以确定B所在的象限，再根据与原点对称的点的特点进行求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴A、B两点的横纵坐标互为相反数， ∴A、B两点关于原点对称； （2）∵点在第三象限， ∴， ∴， ∴在第四象限， ∴点B关于原点对称的点在第二象限， 故答案为：原点，二． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，解题的关键在于能够熟练掌握关于原点对称的两点的横纵坐标互为相反数． 64．若点与点关于原点对称，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数进行求解即可． 【详解】解：点与点关于原点对称， ， 故选A． 65．下列说法中错误的是（    ） A．位于第三象限 B．若，则点在第二、四象限角平分线上 C．点和点关于原点对称，则的值为1 D．点到x轴的距离为3，则 【答案】A 【分析】根据坐标轴上点的坐标特征，各象限角平分线上点的坐标特征，关于原点对称点的性质以及点到x轴的距离等于纵坐标的长度对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：、当时，位于轴上，原说法错误，故此选项符合题意； 、若，则点在第二、四象限角平分线上，说法正确，故此选项不符合题意； 、当点和点关于原点对称时，，，，说法正确，故此选项不符合题意； 、点到x轴的距离为3，则，说法正确，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特点，关于原点对称的点的坐标特征等知识点，解题关键是理解并掌握相应概念并能灵活运用． 66．已知点，． (1)若A，B两点关于原点对称，求，的值； (2)若A，B两点关于轴对称，求，的值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，关于原点对称的点的坐标，理解题意是解决本题的关键． （1）关于原点对称的两点的横坐标和纵坐标均互为相反数，据此即可作答； （2）关于x轴对称的两点的纵坐标互为相反数，横坐标相等，据此即可作答． 【详解】（1）解：两点关于原点对称， ， ； （2）解：两点关于轴对称， ， ． 题型16.坐标与旋转规律问题 67．如图，在平面直角坐标系中，等腰的斜边，且在轴的正半轴上，点落在第一象限内．将绕原点逆时针旋转，得到，再将绕原点逆时针旋转，又得到，…依此规律继续旋转，得到，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形的变化−旋转，规律型问题．观察图象可知，点旋转8次为一个循环，利用这个规律解决问题即可． 【详解】解：∵等腰的斜边， ∴，， 观察图形可知，点旋转8次一个循环， ∵余数为1， ∴点的坐标与相同， ∴点的坐标为． 故答案为：． 68．如图，的顶点A，B分别在x轴，y轴上，，，，点坐标是_______________，将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为_______________． 【答案】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点坐标的规律问题，勾股定理，等腰直角三角形性质，旋转的性质．根据题意求出点初始坐标，再利用旋转知识得出每次旋转后的坐标，观察出每次一循环，即可得到本题答案． 【详解】解:∵，， ∴， 过点作轴交轴与点， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将绕点顺时针旋转，每次旋转， ∴第一次旋转得到的坐标为， 第二次旋转得到的坐标为， 第三次旋转得到的坐标为， 第四次旋转得到的坐标为， 第五次旋转得到的坐标为， 可以发现的坐标四次一循环， ∴第次旋转结束时:， ∴第次旋转结束时点的坐标为:， 故答案为:，． 69．如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B，O分别落在点，处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，……依次进行下去，若点，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理、图形旋转的性质和坐标规律探究，掌握通过多次旋转操作归纳坐标周期规律，再利用规律求解是解题的关键． 先利用勾股定理求出的长度，再通过前几次旋转找到点​的坐标规律，最后根据规律计算的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为，点为坐标原点 ∴， ∴在中，根据勾股定理可得： ∵ 将绕点顺时针旋转到​，点在轴上 ∴，点的坐标为 ∵将 绕点顺时针旋转到​ ，点在轴上 ∴，点的坐标为 ∵将绕点顺时针旋转到，点在轴上 ∴，点在的正上方，点的坐标为 ∵将绕点顺时针旋转到，点在轴上 ∴，点的坐标为，点的坐标为 ∵ 将绕点顺时针旋转到​ ，点在轴上 ∴，点的坐标为 ∵ 将绕点顺时针旋转到 ∴ ，点在的正上方，所以点的坐标为 通过观察点和 的坐标，可以发现规律： 对于偶数下标点，其坐标恒为，坐标为 即点的坐标为 ∵的下标为，是偶数 ∴令，解得 ∴点的坐标为 ∴点的坐标为． 故选：B． 题型17.函数图象绘制与信息获取 70．碳酸钠的溶解度与温度之间的对应关系如右图所示，下列说法不正确的是（    ） A．t是自变量 B．y是t的函数 C．对于y的每一个确定的值，t都有唯一确定的对应值 D．当时，碳酸钠的溶解度最大 【答案】C 【分析】根据函数图象一一判断选项即可得出答案． 【详解】解：．根据图象可知，当t变化时，y也随着变化，所以t是自变量，故该选项不符合题意； ．根据图象可知，y随t的变化而变化，t是自变量，y是因变量，所以y是t的函数，故该选项不符合题意； ．根据图象可知，对于y的每一个确定的值，不都是有唯一确定的对应值，故该选项符合题意； ．当时，碳酸钠的溶解度最大为，故该选项不符合题意． 71．在物理实验课上，小明用弹簧测力计将长方体铁块悬于盛有水的水槽中，使铁块完全浸没于水中（如图所示），然后匀速向上提起，直到铁块完全露出水面一定的高度，则下图中能反映弹簧测力计的读数（单位：）与铁块被提起的高度（单位：）之间的函数关系的大致图象是（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，铁块被提起的过程中，离开水面前弹簧读数不变，离开水面的过程中，读数越来越大，全部离开水面后，读数不变，由此得到图象． 【详解】解：由题意，铁块被提起的过程中，离开水面前弹簧读数不变，离开水面的过程中，读数越来越大，全部离开水面后，读数不变， 故弹簧秤的读数（单位：）与铁块被提起的高度（单位：）之间的函数关系的大致图象为B． 72．数学家华罗庚曾有一首脍炙人口的数形结合诗：“数形本是相依偎，焉能纷作两边飞，数缺形时少直观，形少数时难入微．”请用数形结合的思想判断方程的根的情况是（   ） A．有一个实数根 B．有两个实数根 C．有三个实数根 D．有四个实数根 【答案】C 【分析】在同一坐标系中画出函数与函数图象，观察图象的交点数即可得出答案． 【详解】解：令，， 列表得： x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y1 … 5 0 3 3 0 5 … y2 … -1 / 1 … 画图象：    由图象可知：函数与函数图象有个交点，即方程的有个实数根； 故选：C． 【点睛】本题考查了画反比例函数和二次函数图象，绝对值的性质，利用图象交点判断方程的根的情况等，运用数形结合思想是解题关键． 73．小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点出发，沿箭头所示方向经过点跑到点，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为（单位：秒），他与教练的距离为（单位：米），表示与的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的_____．（填四点之一） 【答案】 Q 【分析】观察函数图象，随的变化趋势是先增大，再减小，最后增大，且 时的函数值大于时的值，分别分析点、、、作为观察点时，小翔与观察点的距离变化情况，即可得出结论． 【详解】解：由图2可知，与的函数图象大致分为三段：先上升，再下降，最后上升，且起始点的纵坐标大于终点的纵坐标， 若观察点在点，小翔从到的过程中，他与点的距离等于半圆的半径，保持不变，图象应有一段水平线，与图2不符，故排除点； 若观察点在点，点与点关于点中心对称，则小翔在点和点时与点的距离相等，即和时值应相等，与图2不符，故排除点； 若观察点在点，小翔从到的过程中，他与点的距离逐渐减小，图象应一直下降，而图2最后一段是上升的，与图2不符，故排除点； 若观察点在点，小翔从出发运动到点时，距离先增大，再减小，从最右端经点运动到中点（点正上方）的过程中，距离逐渐减小，从中点运动到的过程中，距离逐渐增大，且点离点的距离大于点离点的距离，故起点值大于终点值，符合图2特征，则这个固定位置可能是点． 74．数学学习小组的同学共同探究体积为圆柱形有盖容器（如图所示）的设计方案．他们想探究容器表面积与底面半径的关系．具体研究过程如下，请补充完整： (1)探究函数：根据函数解析式③，按照如表中自变量x的值计算（精确到个位），得到了S与x的几组对应值： … 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 … … 666 454 355 303 277 266 266 274 289 310 336 … 在下面平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； (2)解决问题：根据图表回答，①半径为的圆柱形容器比半径为的圆柱形容器表面积 （填“大”或“小”）；②若容器的表面积为，容器底面半径约为 （精确到0.1）． 【答案】(1)见解析 (2)①大②2.5或5.3 【分析】本题考查了函数图象，结合图象和表格信息是解题的关键． （1）根据图象上点连线即可； （2）根据图表即可求出答案． 【详解】（1）解：函数图象如图所示： （2）解：①根据图表可知，半径为的圆柱形容器比半径为的圆柱形容器表面积大， 故答案为：大． ②根据图表可知，当，或， 故答案为：2.5或5.3． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02变量.函数与函数图象专项训练(16.1+16.2) 题型01.变量间关系的表示方法 题型02.函数概念与解析式 题型03.自变量与函数值计算 题型04.用有序对表示位置与路线 题型05.直角坐标系中点的坐标相关问题 题型06.坐标系中描点与规律探索 题型07.坐标系中点的变换 题型08.坐标系中的动点问题 题型09.实际问题中用坐标表示位置 题型10.用方位与距离确定物体位置 题型11.点的平移坐标计算与判断 题型12.图形平移求点坐标 题型13.坐标与图形变换-轴对称 题型14.点的旋转坐标求解 题型15.原点对称的坐标计算与判断 题型16.坐标与旋转规律问题 题型17.函数图象绘制与信息获取 题型01.变量间关系的表示方法 1．在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，下表是海拔高度（千米）与此高度处气温（）的关系： 海拔高度（千米） 0 1 2 3 4 5 … 气温（） 20 14 8 2 … 根据表格中两个变量之间的关系，当时，气温____． 2．以固定的速度（米秒）向上抛一个小球，小球的高度（米）与小球的运动时间（秒）之间的关系是，在这个关系式中，常量是_______，变量是_______． 3．如图（1），在长方形中，厘米，厘米，动点从点出发，沿路线运动，到点停止；点出发时的速度为1厘米/秒，秒时点的速度变为厘米/秒，秒后点以厘米/秒速度匀速运动．如图（2）是点出发秒后，的面积（平方厘米）与时间（秒）之间的关系图象．有以下结论：①；②；③点从点运动到点用时4秒；④当的值为10时，点运动的路程为20厘米；⑤当的面积是长方形面积的时，的值为4或12．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过，对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表： 刹车时车速（km/h） 0 10 20 30 40 50 …… 刹车距离（m） 0 5 10 …… 下列说法中错误的是（    ） A．自变量是刹车时的车速，因变量是刹车距离 B．刹车时的车速每增加千米，刹车距离就增加 C．当刹车距离为时，刹车时的车速为 D．当刹车时的车速为时，与其前方距离为的车辆不会追尾 题型02.函数概念与解析式 5．下列四个图象中，能表示是的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 6．一棵树现在高，每个月长高，个月后这棵树的高度为()，与之间的关系式为(    ) A． B． C． D． 7．如图，有一个球形容器，小厉在往容器里注水的过程中发现，水面的高度h、水面的面积S及注水量V是三个变量．下列说法：①S是V的函数；②V是S的函数；③h是V的函数；④V是h的函数，其中正确的是________．（填序号） 8．甲，乙两车分别从，两地沿直路同向匀速行驶，两车相距（单位：）与行驶时间（单位：） ）的部分对应值如表，则与的对应关系可用关系式表示为__________________________． 时间 两车相距 题型03.自变量与函数值计算 9．在函数中，自变量的取值范围是_____． 10．一个蓄水池有水，打开放水闸门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如下表： 放水时间 1 2 3 4 … 水池中的水量 48 46 44 42 … 水池中的水量V（单位：）与放水时间t（单位：）之间的函数关系式为________．当放水后，水池中还有________ 水． 11．对于实数、，定义一种运算“”为：，在函数的图象上的点是（    ） A． B． C． D． 12．函数的自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 13．已知等腰三角形的周长为，底边长为，腰长为． (1)y与x之间的函数解析式为________，自变量x的取值范围为_________； (2)当_______时，这个等腰三角形是等边三角形． 14．如图所示的是小华利用“”拼成的一列有规律的图案，仔细观察并找出规律，解答下列问题 (1)完成下表： 图n 图1 图2 图3 图4 图5 … 的个数m 4 7 ______ ______ ______ … (2)写出m与n的函数关系式，并求当时，m的值． 题型04.用有序对表示位置与路线 15．如图，从点O出发，先向西走4步，再向南走3步到达点M，如果点M的位置用表示，那么表示的位置是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 16．在数轴上，用有序数对表示点的平移，若得到的数为1，得到的数为3，则得到的数为（    ）． A．8 B． C．2 D． 17．观察图中数的排列规律并回答问题： 如果一个数在第行第列，那么记它的位置为有序数对，例如数2在第2行第1列，记它的位置为有序数对．按照这种方式，数的位置为有序数对______． 18．如图，在的方格（每小格边长为1）内有1只甲虫，它爬行规律总是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从A到B的爬行路线记为：，从B到A的爬行路线为：，其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息． (1)图中（ ， ）， （， ）； (2)若甲虫的爬行路线为，计算甲虫爬行的路程． (3)若甲虫从点A出发，爬行路线依次为，，，，最终到达点P处，请在图中标出点P的位置． 题型05.直角坐标系中点的坐标相关问题 19．在平面直角坐标系中，点A在第二象限，距离轴2个单位长度，距离轴3个单位长度，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 20．在平面直角坐标系中，第三象限内的点到轴的距离是4，则的值为（    ） A． B． C．4 D．6 21．若点M的坐标为，点N的坐标为，轴，则的值为（   ） A．4 B．2 C． D． 22．在平面直角坐标系中，点A的坐标是，若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，且点A在y轴的右侧，则a的值为______． 23．在平面直角坐标系中，下列说法：①有序实数对和坐标平面内的点是一一对应的；②点在直角坐标系的y轴上，则点P的坐标为；③已知点，点，则轴；④若点在坐标轴上，则；⑤若点P到x轴的距离是2，到y轴的距离为3，则点P的坐标．其中正确的是________（填写序号）． 24．已知点，解答下列各题： (1)若点P在x轴上．求出点P的坐标； (2)若点Q的坐标为，直线轴，求出点P的坐标； (3)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求出点P的坐标． 题型06.坐标系中描点与规律探索 25．如图，在某平面直角坐标系的网格中，点A的坐标为，点C的坐标为，则它的坐标原点为（    ） A．点B B．点D C．点P D．点Q 26．已知点，关于轴对称，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 27．如图，一动点从出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹后的路径与长方形的边所夹锐角为，第1次碰到长方形边上的点的坐标为，则第2026次碰到长方形边上的点的坐标为_____． 28．如图，平面直角坐标系中，三点的坐标分别为，，，，点M，N是x轴，线段上的动点，则的最小值为______． 29．在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动个单位．其行走路线如图所示． (1)填写下列各点的坐标：​（___，___），​（___，___），​（___，___）； (2)写出点的坐标 （是正整数）； (3)指出蚂蚁从点​到的移动方向． 题型07.坐标系中点的变换 30．已知，直线平行于轴，，那么点的坐标为________． 31．点与点关于轴对称，则________． 32．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点的坐标为，点、均在轴上．将绕顶点逆时针旋转得到，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 33．如图，点A、B的坐标分别是，若将线段平移至的位置，与坐标分别是和，则线段在平移过程中扫过的图形面积为________． 34．如图，在平面直角坐标系中点在轴的正半轴上，点的坐标为，点的坐标为的面积为15． (1)求出点的坐标； (2)线段是由线段平移所得，其中点与点对应，点与点对应，与轴的交点为点，求的长； (3)在（2）的条件下，若点为轴上的一个动点，且点的横坐标为，并且满足，请写出的取值范围___________． 题型08.坐标系中的动点问题 35．已知点，点P为直线上一点，且，则点P的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 36．如图，直角坐标系中长方形的四个顶点坐标分别为，，，，点P从点A出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个长度单位，同时点Q从点A出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个长度单位，记P，Q在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，……，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 37．如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，轴，垂足为，，，已知，，点从点出发沿折线的方向运动到点停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点的运动时间为秒． (1)在运动过程中，当点到的距离为2个单位长度时，求点的运动时间； (2)在点的运动过程中，用含的代数式表示点的坐标． 题型09.实际问题中用坐标表示位置 38．北斗七星是大熊座的一部分，古代人们把这七颗星命名为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光．因为将这七星相连所成的形状类似古代舀酒的斗，故名北斗．爱好天文的小海将自己观察到的北斗七星画在如图所示的方格纸上，建立适当的平面直角坐标系后，表示“摇光”的点的坐标为，表示“开阳”的点的坐标为，则表示“天权”的点（正好在网格点上）的坐标为______． 39．如图是一片桑叶标本，完整叶片呈宽卵形，顶端微尖，边缘有锯齿．将其放在平面直角坐标系中，若表示叶片顶端A、边缘B两点的坐标分别为、，则叶柄末端C点的坐标为______． 40．如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B，C，D处的其他甲虫，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负．如：从A到B记为，从B到A记为，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． (1)图中（____，_____），（____，_____），______ (2)若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为，，，，请在图中标出P的位置． (3)若这只甲虫的行走路线为，请计算该甲虫走过的路程． 题型10.用方位与距离确定物体位置 41．如图，是北偏东方向的一条射线，若射线与射线成角，则射线表示的方向是（    ） A．北偏西方向 B．北偏东方向 C．南偏东方向 D．南偏东方向 42．在平面内，下列数据不能确定物体位置的是（   ） A．钱塘明月号楼室 B．广州塔南偏西方向 C．东经，北纬 D．庆春电影院号厅的排座 43．货轮A在岛屿O的北偏东方向上，下列符合条件的示意图是（    ） A． B． C． D． 44．从海岛A上观测，海岛B在海岛A的南偏东30°的位置，且距离为30海里．轮船C与轮船D均在海岛B的正北方向上，同时向海岛A发出燃料补给请求．此时轮船C与海岛A相距20海里，轮船D与海岛B相距40海里．补给船从海岛A出发向轮船C与轮船D运送燃料，下列有关轮船C与轮船D的位置说法正确的是（    ） A．轮船C的位置能唯一确定，轮船D的位置能唯一确定 B．轮船C的位置能唯一确定，轮船D的位置不能唯一确定 C．轮船C的位置不能唯一确定，轮船D的位置能唯一确定 D．轮船C的位置不能唯一确定，轮船D的位置不能唯一确定 45．下图所示的是某次海战中敌我双方战舰对峙示意图． (1)在我方潜艇的北偏东的方向上有哪些目标？要想确定敌方战舰B的位置，还需要什么数据？ (2)距离我方潜艇20n mile的有________________________________________________． 题型11.点的平移坐标计算与判断 46．点在x轴的上方，将点A向上平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度后得到点B，点B到x轴的距离大于点B到y轴的距离，则x的取值范围是______． 47．对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，，将点与点称为点M的一对卫星点．例如，点与点为点的一对卫星点．将点向右平移m个单位长度，向下移动m个单位，得到点，若点的一对卫星点重合，则________． 48．在平面直角坐标系中，点，，将线段平移后，得到线段，点与点对应，若点，点，则______． 49．在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为___________． 50．如图，三角形是三角形经过平移得到的，三角形三个顶点的坐标分别为，，，三角形中任意一点，平移后的对应点为. (1)请画出平移后的三角形； (2)写出点，，的坐标； (3)求三角形的面积. 题型12.图形平移求点坐标 51．把函数的图象向上平移个单位，则下列各点中，在平移后的直线上的点是（    ） A． B． C． D． 52．如图，的三个顶点坐标分别为、、．将沿方向平移得到，其中点与原点重合．则点的坐标为_____． 53．已知 ，将线段 平移至，若，，则 的值为（    ） A． B． C．6 D．9 题型13.坐标与图形变换-轴对称 54．点关于轴的对称点的坐标为______． 55．如果点和点关于x轴对称，则的值是（   ） A． B． C．1 D．5 56．如图，小萱将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点与轴上表示的点重合，点坐标为，则点关于轴的对称点的坐标为________； 题型14.点的旋转坐标求解 57．在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转，得到的对应点的坐标是__________． 58．如图，在平面直角坐标系中，已知点，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，则点的坐标是_______． 59．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，把线段绕点A旋转后得到线段，使点B的对应点落在x轴上，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 60．如图，的顶点坐标分别为，，． (1)画出关于点的中心对称图形； (2)画出绕原点逆时针旋转的，直接写出点的坐标为__________； (3)若内一点绕原点逆时针旋转的对应点为，则的坐标为__________．（用含m，n的式子表示） 题型15.原点对称的坐标计算与判断 61．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点位于第_____象限． 62．若点与点关于原点对称，则的值是______． 63．（1）和点关于____________对称； （2）如果点在第三象限则点关于原点的对称点在第________象限． 64．若点与点关于原点对称，则的值为（    ） A． B． C． D． 65．下列说法中错误的是（    ） A．位于第三象限 B．若，则点在第二、四象限角平分线上 C．点和点关于原点对称，则的值为1 D．点到x轴的距离为3，则 66．已知点，． (1)若A，B两点关于原点对称，求，的值； (2)若A，B两点关于轴对称，求，的值． 题型16.坐标与旋转规律问题 67．如图，在平面直角坐标系中，等腰的斜边，且在轴的正半轴上，点落在第一象限内．将绕原点逆时针旋转，得到，再将绕原点逆时针旋转，又得到，…依此规律继续旋转，得到，则点的坐标为_____． 68．如图，的顶点A，B分别在x轴，y轴上，，，，点坐标是_______________，将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为_______________． 69．如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B，O分别落在点，处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，……依次进行下去，若点，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型17.函数图象绘制与信息获取 70．碳酸钠的溶解度与温度之间的对应关系如右图所示，下列说法不正确的是（    ） A．t是自变量 B．y是t的函数 C．对于y的每一个确定的值，t都有唯一确定的对应值 D．当时，碳酸钠的溶解度最大 71．在物理实验课上，小明用弹簧测力计将长方体铁块悬于盛有水的水槽中，使铁块完全浸没于水中（如图所示），然后匀速向上提起，直到铁块完全露出水面一定的高度，则下图中能反映弹簧测力计的读数（单位：）与铁块被提起的高度（单位：）之间的函数关系的大致图象是（ ）． A． B． C． D． 72．数学家华罗庚曾有一首脍炙人口的数形结合诗：“数形本是相依偎，焉能纷作两边飞，数缺形时少直观，形少数时难入微．”请用数形结合的思想判断方程的根的情况是（   ） A．有一个实数根 B．有两个实数根 C．有三个实数根 D．有四个实数根 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y1 … 5 0 3 3 0 5 … y2 … -1 / 1 … 73．小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点出发，沿箭头所示方向经过点跑到点，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为（单位：秒），他与教练的距离为（单位：米），表示与的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的_____．（填四点之一） 74．数学学习小组的同学共同探究体积为圆柱形有盖容器（如图所示）的设计方案．他们想探究容器表面积与底面半径的关系．具体研究过程如下，请补充完整： (1)探究函数：根据函数解析式③，按照如表中自变量x的值计算（精确到个位），得到了S与x的几组对应值： … 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 … … 666 454 355 303 277 266 266 274 289 310 336 … 在下面平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； (2)解决问题：根据图表回答，①半径为的圆柱形容器比半径为的圆柱形容器表面积 （填“大”或“小”）；②若容器的表面积为，容器底面半径约为 （精确到0.1）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $