专题01分式专项训练(24大题型+题型突破+压轴专练+期中复习)2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

专题01分式专项训练 题型01.分式的概念辨析 题型02.分式的规律探究与构造 题型03.分式的化简求值 题型04.分式值的特殊取值问题 题型05.分式基本性质的应用与判断 题型06.分式的符号与系数化简 题型07.分式的约分与最简分式 题型08.分式通分与最简公分母 题型09.分式的乘除运算 题型10.分式的乘方 题型11.含乘方的分式乘除混合运算 题型12.分式的加减运算 题型13.分式恒等变形与求值 题型14.分式加减实际应用 题型15.分式混合运算与化简求值 题型16.分式方程的基础 题型17.分式方程的解相关问题 题型18.列分式方程 题型19.分式方程的行程问题 题型20.分式方程的工程问题 题型21.分式方程的经济问题 题型22.分式方程的和差倍分问题 题型23.整数指数幂运算 题型24.科学记数法 题型01.分式的概念辨析 1．代数式，，，，，中，属于分式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了分式的判断等知识点，解题关键是掌握分式的定义． 根据分式的定义，对每个代数式逐一分析，再作出判断． 【详解】解：是整式，它不是分式； 中是常数，分母不含字母，它是整式，它不是分式； 分母含字母，它是分式； 是整式，它不是分式； 分母含字母，它是分式； 分母含字母，它是分式， ∴属于分式的有、、，共3个， 故选：B． 2．若分式的值不存在，则需x的值为（   ） A．0 B．1 C．－1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查的是分式无意义的条件，根据分式的值不存在即分式无意义可得，进一步求解即可. 【详解】解：∵分式的值不存在， ∴， 解得：. 故选：B 3．若分式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式有意义时分母不为0，列不等式求解即可得到x的取值范围． 【详解】∵分式有意义的条件为分母不等于0， 分式的分母为， ∴， 解得， 故选：B． 4．若分式的值为0，则实数x的值为（   ） A．2 B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的值为零的条件．根据分子为零且分母不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：∵， ∴且， 解得， 当时，，满足条件， ∴实数的值为2． 故选：A． 5．若分式的值为零，则______． 【答案】-2 【分析】根据分式的值为零的条件分子为零、分母不为零可以求出的值． 【详解】解：根据题意，得 ，且、； 解得； 故答案是：． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为；分母不为这两个条件缺一不可，熟记分式值为0的条件是解题的关键． 6．若代数式有意义，则实数x的取值范围为__________． 【答案】且 【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：， 解得且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键． 7．已知分式，当时，分式的值为0；当时，分式没有意义，则ab的值为__________． 【答案】8 【分析】由时，分式的值为0，可得，解得，由时，分式没有意义，可得，解得，然后代入求值即可． 【详解】解：∵时，分式的值为0， ∴，解得． ∵时，分式没有意义， ∴，解得． ∴． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解一元一次方程，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 8．已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． (1)求的值． (2)当分式的值为正整数时，求整数的值． 【答案】(1)， (2)整数的值为0，1，3 【分析】本题考查了分式有意义的条件和分式的计算，熟练掌握分式有意义的条件和分式的计算是解题的关键． （1）根据使得分式无意义，时分式的值为0，即可解得； （2）将，代入，得到分式为，逐一代入整数的值即可求解． 【详解】（1）解： 当时，分式无意义， ， 解得， 当时，此分式的值为0， ， 解得， （2）解： ，， ， 当，， ，， ，， 综上，整数的值为0，1，3． 题型02.分式的规律探究与构造 9．小明用元钱去购买某种练习本．这种练习本原价每本元（），现在每本降价1元，购买到这种练习本的本数为______． 【答案】 【分析】先由已知条件求出现在每本练习本的单价，再根据“金额÷单价＝数量”列出代数式便可． 【详解】解：根据题意得，现在每本单价为（b﹣1）元， 则购买到这种练习本的本数为（本）． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是列代数式，掌握列代数式的方法是解题的关键． 10．已知，，，，，，，即当n为大于1的奇数时，；当n为大于1的偶数时，．计算的结果为________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的规律性问题，从题目所给的式子中发现并总结出一般规律是解题的关键． 先找到一般规律：的值每个一循环，再求出，由可得，于是得解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 的值每个一循环， ， 且， ， 故答案为：． 11．一个分式同时满足：①字母仅含有；②当时，分式的值为；③当时，分式的值为,这个分式可以是_____（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件：分子等于且分母不等于是解题的关键． 根据分式值为的条件，分子为且分母不为，因此分子需包含因式；再根据分式值为的条件，代入建立方程求解分母． 【详解】解：设分式为 ，其中 和 是关于 的多项式， 由 时分式值为， 得 且 ， 故 含有因式 ， 令 ， 由 时分式值为-2，得 ， 即 ，解得 ， 故可设 ， 验证当 时，，满足条件， 因此分式可为 ． 故答案为：（答案不唯一）． 12．一组按照规律排列的分式：，，，（，），则第个分式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数式类规律探索，解答本题的关键是发现每一项的变化特点，求出相应的项．观察分式的规律：符号交替为负、正、负、正，的指数为奇数序列，，，，，的指数为，，，，，归纳出第项公式，再代入计算即可． 【详解】解：第个分式的符号为，的指数为，的指数为， 第个分式为， 当时，第个分式为． 故选：D． 13．阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． ，这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：； 解决下列问题： (1)分式 是________________（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式化为整式与真分式的和的形式： =____________； (3)若假分式的值为正整数，则整数的值为________________； (4)将假分式化为带分式（写出完整过程）． 【答案】(1)真分式 (2) (3) (4) 【分析】（1）根据定义即可求出答案； （2）根据定义进行化简即可得到答案； （3）根据题意列出方程即可求出的值； （4）先化为，在计算即可． 【详解】（1）解：由题意得： 分式 是真分式， 故答案为：真分式； （2）解：根据题意可得： ， 故答案为：； （3）解：由（2）可得：， 当为正整数时， 或， ， 故答案为：； （4）解：根据题意可得： ． 【点睛】本题主要考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型． 题型03.分式的化简求值 14．如果，那么______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 15．已知都是实数，若，则________． 【答案】 1 【分析】本题考查了算术平方根、绝对值和平方的非负性，分式的求值． 根据算术平方根、绝对值和平方的非负性，各项均为零，求出a、b、c的值，再代入代数式计算． 【详解】解：∵，，，， ∴，，， 解得，，， ∴． 故答案为：． 16．已知，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】将，进行变形得到：，，，利用整体思想，将变形为：，再代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ； ∵，当时，，方程不成立， ∴， ∴方程两边同除以得：， ∴， ∴，即：； 故选B． 【点睛】本题考查分式求值．将已知条件进行变形，利用整体思想代入求值，是解题的关键． 17．（1）已知，且，求分式的值． （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1）-3（2）3 【分析】本题考查了分式的值，通过将分式的分子、分母分别分解因式，以及掌握整体代入思想是解题的关键． （1）由得，将其整体代入分式的分子和分母，化简即可； （2）先将分式的分子、分母分别分解因式，约分化为最简结果，然后代入求值即可． 【详解】解：（1），且， ，且， ． （2）， ， ． 题型04.分式值的特殊取值问题 18．若分式的值为正数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式值的正负性问题，若对于分式（）时，说明分子、分母同号；分式（）时，分子、分母异号，据此列不等式（组）解答． 【详解】解：∵分式的值为正数，， ∴， ∴． 故选C． 19．若分式的值为正整数，则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用分式的运算法则把原式进行化简，再根据分式的值为正整数求出的取值可以为多少． 【详解】解：原式， ， ， ， ， 要使分式有意义，则， ， 故选：． 【点睛】本题考查了分式的值，根据分式运算法则进行化简是解答本题的关键． 20．若分式的值是负数，则的取值范围是（     ） A． B．或 C．或 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的值及一元一次不等式组的解法，熟练掌握分式的值及一元一次不等式组的解法是解题的关键；由题意易得或，然后进行求解即可． 【详解】解：由分式的值是负数，可分： 当时，解得：； 当时，解得：； 综上所述，满足条件x的取值范围为：或 故选C． 21．若分式的值为正整数，则实数m可取的所有整数值是_____． 【答案】0 【分析】本题考查分式的值为整数时求字母的取值．先对分式进行变形，然后根据分式值为整数的条件来确定m的取值． 【详解】解：∵， ∴是3的因数， ∵分式的值为正整数， ∴或， ∴或， ∵时，原分式无意义，舍去， ∴， 故答案为：0． 22．当整数x取何值时，分式的值是整数？ 【答案】当整数x取，0，2，3，5，6，8，12时，分式的值是整数 【分析】本题考查的是分式的值，把分式化为，再进一步求解即可． 【详解】解：， ∴能整除8的，又使分母不为0的可以为，，，， ∴或或或， ∴当整数x取，0，2，3，5，6，8，12时，分式的值是整数． 题型05.分式基本性质的应用与判断 23．分式可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的符号变形法则，利用分式的基本性质，提取分子的负号即可得到正确结果． 【详解】解：∵==． 24．已知为大于的实数，要使等式成立，则内应填入(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的性质，根据题意两边同乘，得，即可求解． 【详解】解：∵，且保证， ∴两边同乘，得， ∴. 故选：C． 25．将分式中的、都扩大到倍，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大到倍 C．扩大到倍 D．扩大到倍 【答案】B 【分析】将原分式中的、分别替换为、，根据分式的基本性质化简，再和原分式比较即可得到结果． 【详解】解：∵把、都扩大到3倍后，则用替换，替换， ∴ ∵原分式为， ∴新分式的值是原分式的倍， 即分式的值扩大到倍． 26．下面三个式子：，其中正确的有_____个． 【答案】1 【分析】此题考查了利用分式的基本性质进行符号的变形，通过分式的化简和比较，判断每个等式的正确性． 【详解】解：对于第一个等式，，故不正确； 对于第二个等式，左边，等于右边，故正确； 对于第三个等式，（除非，但一般情况不成立），故不正确． 因此正确的有1个． 故答案为：1． 27．分式中的x、y的值分别扩大为原来的5倍，则此分式的值扩大为原来的 ____倍． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质，将分式中的x、y的值分别扩大为原来的5倍，整理即可得到． 【详解】解：将分式中的x、y的值分别扩大为原来的5倍， 得到：． ∴将分式中的x、y的值分别扩大为原来的5倍， 则此分式的值扩大为原来的 5倍． 故答案为：5． 【点睛】此题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟知分式的基本性质并且会应用． 题型06.分式的符号与系数化简 28．不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质即可求解． 【详解】解：由题意可知将分式的分子分母同时乘得： ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键，分式的基本性质是分手的分子分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变． 29．不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了分式的基本性质，解答此题的关键是要明确：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质，把分式的分子、分母同时乘5，判断出所得结果为多少即可． 【详解】解：， 故选：A． 30．将分式中分子、分母系数化为整数，结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要将分式的分子、分母的系数化为整数，需要找到分子、分母中各项系数的分母的最小公倍数，然后根据分式的基本性质，将分子、分母同时乘以这个最小公倍数． 【详解】解：． 31．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母中的最高次项的系数为正数． （1）______； （2）______； （3）______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． （1）将分母中的负号提到分式前面即可； （2）分子和分母都乘以即可； （3）分子和分母都乘以即可． 【详解】（1） 故答案为： （2） 故答案为： （3） 故答案为： 题型07.分式的约分与最简分式 32．当时，分式的值为_______________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的约分，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 将分母因式分解后约分，简化计算，最后将代入计算即可． 【详解】解： 当时， 原式 故答案为：． 33．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列分式中，是“和谐分式”的是__________（填序号）． ①；②；③；④． 【答案】② 【详解】 ①的分子、分母都不能因式分解，故该分式不是“和谐分式”；②的分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，故该分式是“和谐分式”；③的分母可以因式分解，但是分子、分母中都含有x＋y，可以约分，故该分式不是“和谐分式”；④的分子可以因式分解，但是分子、分母中都含有a＋b，可以约分，故该分式不是“和谐分式”． 34．下列各分式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对各选项分子进行因式分解，判断分子分母是否存在公因式，无公因式的即为最简分式． 【详解】解：选项：分子分母中不含有能约分的式子，是最简分式； 选项：，不是最简分式； 选项：，不是最简分式； 选项：，不是最简分式． 35．分式可化简为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将分式分母先因式分解，再约分，即可求解． 【详解】解： 故先：A． 【点睛】本题考查了分式的约分，涉及到因式分解，分式的约分，按运算顺序，先因式分解，再约分． 36．约分： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】此题考查的是分式的约分，掌握分式的基本性质是解决此题的关键． （1）根据分式的基本性质约分即可； （2）根据分式的基本性质约分即可； （3）先利用平方差公式和提公因式进行因式分解，再根据分式的基本性质约分即可； （4）先根据，对分子进行变形，再根据分式的基本性质约分即可． （5）先利用平方差公式和完全平方差公式进行提公因式分解，再根据分式的基本性质约分即可； 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． （5）解：． 题型08.分式通分与最简公分母 37．分式，的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此进行判断即可． 【详解】解：分式，的最简公分母是． 38．下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】A. 分子分母同时扩大10倍，分式的值不变； B.除以一个分式，转化为乘以这个分式的倒数，继而解题； C.分子分母互为相反数，其商为-1； D.先通分，再计算分式的加法． 【详解】A. ，故A不符合题意； B. ，故B不符合题意； C. ，故C不符合题意； D. ，故D符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查分式的基本性质、分式的混合运算等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 39．当时，的值是_______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质—通分和约分，由，得，然后整体代入即可求解，掌握分式基本性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 40．分式与的最简公分母是__________． 【答案】 【分析】根据最简公分母的定义即可求出答案． 【详解】解：， 与的最简公分母是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简公分母，解题的关键是掌握公分母的求法，注意分母是多项式能因式分解的要先因式分解． 41．通分： (1)，，； (2)，，． 【答案】(1)， ， (2)，， 【分析】本题考查了通分的定义，异分母分式的通分，关键是确定它们的最简公分母． （1）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答； （2）先对原分式的分母用提公因式法、平方差公式进行因式分解，求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：最简公分母为， ， ， ； （2）解：，，， 最简公分母为， ， ， ． 题型09.分式的乘除运算 42．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的乘法进行计算即可求解． 【详解】解： ， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式的乘法的运算法则是解题的关键． 43．嘉嘉的作业纸被撕下来一部分，如图，则被撕下部分的式子可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式乘除运算，熟练掌握分式乘除运算法则，是解题的关键．先求出，即可得出被撕下部分的式子． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴被撕下部分的式子可能是． 故选：A． 44．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是分式乘除运算，熟练掌握分式乘除法则是解题关键，应用分式乘除法则计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 45．定义两种运算：，，则_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的乘除运算．熟练掌握新定义运算，分式的乘除运算法则，是解题的关键． 先根据题意得出与的表达式，再根据分式混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 46．计算：______． 【答案】 【分析】直接根据分式的乘方以及乘除法法则进行计算即可得到答案． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的乘方以及乘除法混合运算，正确掌握运算法则是解答本题的关键． 47．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的乘除运算，解题思路为将除法转化为乘法，对多项式因式分解后约去公因式，即可计算得到结果，用到分式乘除运算法则和因式分解的知识． 【详解】（1） 解： ． （2）解： ． 题型10.分式的乘方 48．计算的结果是_________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简，掌握相关运算法则是解题关键． 直接计算乘方即可． 【详解】解：， 故答案为：． 49．计算______． 【答案】 【分析】先算分式的乘方，然后再按分式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了分式的乘方和运算乘法运算，掌握分式的乘方运算法则是解答本题的关键． 50．若，则（   ） A．6 B．9 C．12 D．81 【答案】B 【分析】先计算分式的乘方，再把所给的等式利用分式的乘除混合运算法则化简，然后结合积的乘方运算法则即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴． 题型11.含乘方的分式乘除混合运算 51．计算：________． 【答案】 【分析】本题主要考查分式乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，根据含乘方的分式混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 52．当，时，____． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除运算，首先根据分式的乘除运算法则进行计算，把分式化简可得原式，然后再把，代入化简后的代数式计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 故答案为： ． 53．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查含乘方的分式乘除混合运算．原式先计算乘方运算，再计算乘除法运算即可得到结果． 【详解】解： ． 故选：A． 54．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘除法法则是解题的关键． （1）（2）先算乘方，再把除法化为乘法运算，再计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． 题型12.分式的加减运算 55．化简：______． 【答案】 【分析】本题为分式化简题，利用同分母分式减法法则计算，再对分子因式分解后约分，即可得到结果． 【详解】解： ． 56．已知：，则=____________． 【答案】/0.25 【分析】本题主要考查了分式的求值，由已知条件可得，然后将所求分式变形为，再把代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 57．化简：______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加法运算，先约分再相加即可．本题也可以先通分再约分，但相比先约分再计算要麻烦些，因此在有多种方法可解的情况，寻找最简捷的方法． 【详解】解：； 故答案为：． 58．计算的结果是______． 【答案】1 【分析】先化简，再进行分式的加减即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了分式的加减，解题关键是熟练运用分式加减法则进行准确计算． 59．下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的加减运算，需要通分和化简，选项A在计算过程中符号处理错误，导致等式不成立；选项B、C、D通过通分和化简后等式均成立． 【详解】解：A、∵ ，， ∴， 通分得 ， 又 ∵， ∴ ，但右边为，故等式不成立； B、∵ ，， ∴ 左边，与右边相等，故正确； C、∵ 分母相同， ∴，与右边相等，故正确； D、通分后公分母为， ∴，，， 左边 = ，与右边相等，故正确； 故选：A． 60．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的加减运算，需将整式转化为同分母分式，再依据同分母分式的加减法则计算． 【详解】解：∵原式=， ∴将化为分母为的分式，得， ∵同分母分式相加，分母不变，分子相加， ∴分子计算：， ∴原式． 故选：C． 61．数学课上，老师让计算．佳佳的解答如下： 解：原式① ② ③ ＝3④ 对佳佳的每一步运算，依据错误的是（    ） A．①：同分母分式的加减法法则 B．②：合并同类项法则 C．③：逆用乘法分配律 D．④：等式的基本性质 【答案】D 【分析】根据分式的加减法法则计算即可． 【详解】解：①：同分母分式的加减法法则，正确； ②：合并同类项法则，正确； ③：提公因式法，正确； ④：分式的基本性质，故错误； 故选：D． 【点睛】此题考查了分式的加减，熟练掌握法则及运算律是解本题的关键． 62．计算： (1) (2) (3) (4)； (5)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)， 【分析】本题主要考查了分式的加减混合运算，以及分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式加减的运算法则． （1）（2）（3）（4）利用分式的加减运算法则进行计算即可； （5）先利用分式的加减计算法则进行化简，然后代数求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： 将代入上式得， 原式． 题型13.分式恒等变形与求值 63．已知，且，则________． 【答案】2 【分析】本题考查分式的加减，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会恒等变形，由题意，可得，因为，所以，推出，由此即可解决问题． 【详解】解析：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 64．如图，若x为正整数，则表示的值的点落在（　　） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 先将分式化简、变形为，由为正整数知，据此可得，从而得出答案． 【详解】解： ， ∵为正整数， ， ， ， ∴表示的值的点落在段②． 故选：B． 65．已知，为实数，且，，则下列关于的说法正确的是（   ）． A．有最大值，且最大值为 B．有最小值，且最小值为 C．有最大值，且最大值为 D．有最小值，且最小值为 【答案】D 【分析】本题考查不等式的性质、代数式的消元变形，通过消元将二元问题转化为一元问题，再结合不等式范围推导最值，是解题的关键． 由得，代入得，进而将表示为，分析其取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， 代入，得， 即， 整理得， ∴解得， ∵， 又∵， ∴， ∴， 当时，等号成立，即取得最小值， ∴有最小值． 故选：． 题型14.分式加减实际应用 66．绿化队原来用漫灌方式浇绿地，天用水吨，现改用喷灌方式，可使这些水多用3天，则现在比原来每天节约用水吨数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的减法，正确进行分式的减法运算是关键．首先表示出原来与现在每天的用水量，然后求差即可． 【详解】解：原来每天用水量：吨， 改用喷灌方式后的每天用水量：吨， 则现在比原来每天节约用水：吨． 故选：A． 67．生活中有这么一个现象：“糖水加糖就更甜”．设有一杯克的糖水里含有克糖，如果在这杯糖水里再加入克糖（加入的克糖可以全部溶化），则糖水更甜了（糖水浓度更大了），其中．根据这一现象，可以列出的不等式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】有一杯克的糖水里含有克糖，则糖占糖水的百分比是，设有一杯克的糖水里含有克糖，如果在这杯糖水里再加入克糖（加入的克糖可以全部溶化），则糖占糖水的百分比是，则，根据得，即可得． 【详解】解：有一杯克的糖水里含有克糖，则糖占糖水的百分比是， 设有一杯克的糖水里含有克糖，如果在这杯糖水里再加入克糖（加入的克糖可以全部溶化），则糖占糖水的百分比是， ∵ = = = = ∵， ∴， ∴， 即， , 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是理解题意，掌握分式混合运算的运算法则和运算顺序． 68．某车间接到生产任务，要求生产240个零件．原计划每小时生产个零件，实际每小时生产的零件个数比原计划每小时生产的零件个数多了10个，那么实际比原计划可以提前____________小时完成生产任务． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减运算的应用，根据题意正确列出分式即可． 【详解】解：根据题意：， 故答案为：． 69．甲、乙二人在公园健身步道起点同时进行健走运动，他们沿着一个方向到同一个终点，甲一半路程以速度a行走，另一半路程以速度b行走：乙一半时间以速度a行走，另一半时间以速度b行走．起点到终点的路程为s． (1)分别用含a，b，s的式子表示甲、乙二人到达终点所需的时间和； (2)谁先到达终点？并说明理由． 【答案】(1)， (2)时，两人同时到；时，乙先到． 【分析】本题主要考查分式的性质以及化简，熟练掌握分式的性质及化简，利用作差法比较大小是解决本题的关键． （1）根据题意，甲利用时间等于路程除以速度，分别计算两段路程所需的时间再相加，乙先求出平均速度，再计算时间即可； （2）将两人所需的时间作差，化简后讨论差的正负即可判断． 【详解】（1）解：由题意得： 甲所需的时间为： 乙所需的时间为： （2）解：∵ ∵ ∴当时，，两人同时到； 当时，，，即，则乙先到． 答：时，两人同时到；时，乙先到． 题型15.分式混合运算与化简求值 70．计算的结果是___． 【答案】1 【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先将除法转化为乘法进行计算，再进行分式的减法运算，合并同分母分式即可． 【详解】解： ， 故答案为：1． 71．已知是实数，并且，则代数式的值是____． 【答案】2020 【分析】先由已知等式变形得到与，再将这两个关系代入所求代数式，通过化简计算得出结果． 【详解】解：， ， ． ∴ ． 72．若为负整数，且，则的值所对应的点落在图中数轴上的部分为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据题意先将分式除法进行化简计算，继而得到本题答案． 【详解】解：, 是负整数，且， 则， ， 则， ， 则在第③段． 73．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，先将除法运算转换为乘法运算，然后对括号内的代数式通分化简，利用完全平方公式，最后通过约分得到最简结果. 【详解】解：         ， 化简结果为 ． 故选： C． 74．先化简：，然后从的范围内选一个合适的整数代入求值． 【答案】，当时，原式；当时，原式；． 【分析】先对括号内通分作差，再将除法化为乘法，结合因式分解约分化简，再根据分式有意义的条件取合适的整数值代入计算求值即可． 【详解】解： ， ，， ，， ，且为整数， 的合适取值为2或3， 当时，原式；当时，原式． 题型16.分式方程的基础 75．下列方程中不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据“分母中含有未知数的方程叫做分式方程”逐一判断选项． 【详解】解：A选项：分母含未知数t，是分式方程； B选项：分母含未知数x，是分式方程； C选项：分母含未知数x，是分式方程； D选项：所有分母中均不含未知数，不是分式方程； 76．当________时，分式与分式互为相反数． 【答案】8 【分析】本题考查解分式方程，根据互为相反数的两个数和为列出方程，求解后检验即可得到结果． 【详解】解：由题意，分式与互为相反数，故它们的和为零， 即， 由于，所以， 代入方程得， 即， 解得， 经检验，当时，分母，符合题意． 77．解下列分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【详解】（1）解：方程两边同乘得， ， ， 检验：当时，， 原方程的解为； （2）解：方程两边同乘得， ， ， ， 检验：当时，， 是增根，原方程无解． 题型17.分式方程的解相关问题 78．若关于的分式方程的解为非负数，则实数的最小值为___________． 【答案】 1 【分析】本题考查分式方程的解，解分式方程得到解，根据解为非负数和分母不为零的条件，确定a的取值范围，进而求出a的最小值。 【详解】解：， 解得， ∵解为非负数，得，即； 又， ∴， ∴，即， ∴且， 故a的最小值为1， 故答案为：1． 79．若分式方程有增根，则k的值是________． 【答案】1 【分析】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出k的值． 【详解】解：， ， 因为方程有增根， 所以， 所以， 所以把代入整式方程，得， 解得， 故答案为：1． 80．若关于的分式方程 有增根，则的值为 （    ） A．0 B．3 C． D．1 【答案】B 【分析】将分式方程化简为整式方程，根据方程有增根，得或，求出对应的的值，再进行检验即可． 【详解】解：方程两边同时乘以， 得， 化简得， 若方程有增根，则， 故或， 当时，代入上式得， 检验，当时，方程有增根； 当时，代入上式得， 检验当时，方程无解； 综上，的值为． 81．已知关于的分式方程． (1)当时，求分式方程的解． (2)若该分式方程有增根，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入分式方程，再解方程求出的值，最后检验即可； （2）先去分母，把分式方程化为整式方程，用表示出整式方程的解，由分式方程有增根得出，再解关于的一元一次方程，求出的值即可． 【详解】（1）解：当时，原分式方程为， 去分母，得， 解得：． 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． （2）解：， 去分母，得， 解得：． ∵该分式方程有增根， ∴，即， ∴， 解得， ∴当时，该分式方程有增根． 题型18.列分式方程 82．《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求慢马速度．若设慢马的速度为x里/天，则可列分式方程为_____． 【答案】 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据题意，慢马的速度为里/天，则快马的速度为里/天．慢马所需时间比规定时间多一天，快马所需时间比规定时间少3天，通过规定时间相等列方程即可． 【详解】解：设慢马的速度为x里/天，则快马的速度为里/天， 由题意，得； 故答案为：． 83．“一骑红尘妃子笑”描述唐玄宗为杨贵妃运送荔枝的场景．通过查阅资料岭南到长安相距里，且荔枝的保鲜时间短，忽略换马、换人的时间，用慢马运送比预定时间晚小时到达，用快马比预定时间早小时到达，已知快马的速度是慢马的倍，求预定的时间．设预定的时间为小时，由题意可列方程（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题为分式方程的实际应用问题，根据速度、路程和时间之间的关系，分别表示出快马与慢马的速度，再结合快马速度是慢马的倍，即可列出对应方程． 【详解】解：∵预定时间为小时，慢马比预定时间晚小时到达， ∴慢马行驶时间为小时，慢马速度为， ∵快马比预定时间早小时到达， ∴快马行驶时间为小时，快马速度为， 又∵快马速度是慢马的倍， ∴可得方程． 84．某工厂计划生产个口罩，但在实际生产时……求该工厂实际每天生产口罩的个数．在这个问题中，若设该工厂实际每天生产口罩个，由题意，可列出的方程为，则问题中“……”所表示的条件应该是________． 【答案】每天比原计划多生产个，结果提前天完成 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再设出未知数，列出方程．根据方程，左边表示原计划生产时间减去实际生产时间，差值为天，表明实际生产时间比原计划少天，即提前天完成；同时，分母表示原计划每天生产个数，实际每天生产个，因此实际每天比原计划多生产个． 【详解】解：设实际每天生产口罩个，则原计划每天生产个； 原计划生产时间为天，实际生产时间为天； 方程表示原计划时间比实际时间多天，即实际提前天完成，且实际每天生产比原计划多个． 故答案为：每天比原计划多生产个，结果提前天完成． 题型19.分式方程的行程问题 85．学生骑共享单车上学已成为一种时尚．小明家距学校3千米，若骑共享单车上学可比他步行上学少用分钟，已知他骑车的速度是他步行速度的倍，设小明步行的速度为每小时x千米，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的实际应用，需先统一时间单位，再根据“骑车上学比步行上学少用分钟”的等量关系列方程。 【详解】解：∵分钟小时，小明步行速度为千米/小时，骑车速度为千米/小时， ∴步行上学用时为小时，骑车上学用时为小时， ∵骑车比步行少用小时，即步行用时小时+骑车用时， ∴可列方程：， 故选：D； 86．甲、乙两辆汽车分别从A、B两城同时沿高速公路驶向C城．已知A、C两城的路程为672千米，B、C两城的路程为400千米，甲车的速度是乙车的1.2倍，结果乙车比甲车提前2小时到达C城．求乙车的速度． 【答案】乙车的速度为80千米/时 【分析】设乙车的速度为千米/小时，则甲车速度为千米/小时，根据“乙车比甲车提前2小时到达C城”列分式方程即可求解 【详解】解：设乙车的速度为千米/小时，则甲车速度为千米/小时． 根据题意列方程：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：乙车的速度为80千米/小时． 87．某商场在一楼至二楼间安装了一部自动扶梯，以匀速向上行驶甲、乙两同学同时从扶梯上匀速走到二楼，且甲每分钟走动的级数是乙的两倍．已知甲走了24级到扶梯顶部，乙走了16级到扶梯顶部（甲、乙两同学每次只跨一级台阶）． （1）扶梯露在外面的部分有多少级？ （2）如果与扶梯并排有一从二楼到一楼的楼梯道，台阶数与扶梯级数相同，甲乙各自到扶梯顶部后按原速再下楼梯到楼梯底部再乘扶梯，若楼梯与扶梯之间的距离忽略不计，问甲第1次追上乙时是在扶梯上还是在楼梯上？他已经走动的级数是多少级？ 【答案】（1）扶梯露在外面的部分有48级；（2）在楼梯上，176级 【分析】（1）如果扶梯露在外面的部分有x级，乙每分钟走动的级数为a级，则甲每分钟走动的级数为2a级，扶梯每分钟向上运动b级．题中有两个等量关系，甲走24级的时间等于扶梯走（2a＋b）级的时间；乙走16级的时间等于扶梯走（a＋b）级的时间，据此列出方程组，求出x的值即可； （2）如果设甲第一次追上乙时走过自动扶梯m遍，走过楼梯n遍，那么乙走过自动扶梯（m−1）遍、走过楼梯（n−1）遍．根据两人所走的时间相等，列出方程．将（1）中求得的y与x的关系式y＝2x代入，可得6n＋m＝16．由已知条件可知m、n中一定有一个是正整数，且0≤m−n≤1．通过试验可以求出m，n的具体值，进而求出结果． 【详解】解：（1）设扶梯露在外面的部分有x级，乙每分钟走动的级数为a级，则甲每分钟走动的级数为级，扶梯每分钟向上运动级， 由题意得：， ①÷②得：， 整理得：， 代入②得． 答：扶梯露在外面的部分有48级； （2）设追上乙时，甲扶梯走了遍，楼梯走了遍，则乙走扶梯遍，走楼梯遍． 由题意得：， 整理得：， 这里，中必有一个是整数，且． ①若为整数，则． ∴（不合，舍去），（不合，舍去）（符合条件） （不合，舍去）（不合，以后均不合，舍去） ②若n为整数，， ∴，，，…，这些均不符合要求， ∴，此时，甲在楼梯上． ∴（级）． 【点睛】本题考查分式方程在行程问题中的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题属于竞赛题型，有一定难度．难点在于自动扶梯在上升，具有一定的速度，同时甲、乙也在上楼梯，变化量较多．解题时要善于抓住不变量，只有不变量才是列方程的依据．另外，本题求解时设的未知数x、y，只设不求，这种方法在解复杂的应用题时常用来帮助分析数量关系，便于解题． 题型20.分式方程的工程问题 88．某工程甲单独做天完成，乙单独做比甲慢3天完成，现由甲、乙合作5天后，余下的工程由甲单独做3天才能全部完成，则下列方程中符合题意的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的实际应用（工程问题），解题的关键是明确工作效率、工作时间与工作量的关系，根据总工作量为1列方程． 先确定甲、乙的工作效率，再计算甲、乙合作5天的工作量与甲单独做3天的工作量，根据总工作量为1列方程，逐一验证选项． 【详解】解：由题意，甲单独做天完成，故甲的工作效率为； 乙单独做比甲慢3天，故乙的工作时间为天，工作效率为． 甲、乙合作5天的工作量为，甲单独做3天的工作量为，总工作量为1，因此方程为． 故A、C、D选项错误，B选项正确． 89．甲、乙两工程队承接某段高铁隧道挖掘工程．已知甲工程队每天的挖掘长度是乙工程队每天挖掘长度的1.5倍，并且挖掘240米的高铁隧道甲工程队比乙工程队少用4天．求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘多少米的隧道？ 【答案】甲工程队每天可挖掘30米的隧道，乙工程队每天可挖掘20米的隧道． 【分析】本题考查了分式方程的应用．设乙工程队每天可挖掘x米的隧道，则甲工程队每天可挖掘米的隧道，根据挖掘240米的高铁隧道甲工程队比乙工程队少用4天，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设乙工程队每天可挖掘x米的隧道，则甲工程队每天可挖掘米的隧道， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴． 答：甲工程队每天可挖掘30米的隧道，乙工程队每天可挖掘20米的隧道． 90．为改善道路通行条件，某市在周年国庆前夕将城市一段主干道进行拓宽改造．该项工程若由甲工程队单独施工，恰好能在规定时间内完成；若由乙工程队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的倍．如果由甲、乙两个工程队先合作施工天，那么余下的工程由甲工程队单独施工还需天完成．问这项工程的规定时间是多少天？ 【答案】这项工程的规定时间是天 【分析】设这项工程的规定时间是天，根据各劳动分量之和等于工作总量，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设这项工程的规定时间是天，则甲工程队单独施工需要天，乙单独施工需要天，由题意，得： ， 解得； 经检验，是原方程的解且符合题意； 答：这项工程的规定时间是天． 题型21.分式方程的经济问题 91．某学校篮球社团准备了720元经费去商店采购x个篮球．甲、乙两个商店销售同种品牌篮球，标价都为每个y元，但有不同的促销活动．甲商店：购买篮球，消费满688元，送两个篮球；乙商店：篮球打七折销售．小明通过计算发现，如果去甲商店购买，经费正好用完；如果去乙商店购买，还能剩余48元．下面四个方程：①；②；③；④．正确的是（　　） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，结合单价=总价÷数量，数量=总价÷单价，即可得出答案． 【详解】解：设采购x个篮球，可得方程为； 设标价都为每个y元，可得方程为； 故选项A符合题意． 故选：A． 92．2026年春晚舞台上，人形机器人表演再次惊艳全球，展现了“中国智造”的无限活力和无限未来，点燃了全世界对人形机器人赛道的憧憬，向全世界传达了中国科技自立自强的最强声音．某公司计划购买甲、乙两种机器人．已知甲种机器人的单价比乙种机器人的单价少5万元，花1200万元购进甲种机器人的数量是花650万元购进乙种机器人数量的2倍． (1)求购买一个甲种机器人、一个乙种机器人各需多少万元？ (2)若该公司打算购进甲、乙两种机器人共30个，且经费预算不超过1900万元，则该公司最少可以购进多少个甲种机器人？ 【答案】(1)购买一个甲种机器人需60万元，购买一个乙种机器人需65万元 (2)该公司最少可以购进10个甲种机器人 【分析】（1）设购买一个乙种机器人需要x万元，则购买一个甲种机器人需要万元．然后根据题意列分式方程求解即可； （2）设该公司购进甲种机器人m个，则购进乙种机器人个．再根据题意列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设购买一个乙种机器人需要x万元，则购买一个甲种机器人需要万元． 由题意，得，解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． ∴， 答：购买一个甲种机器人需60万元，购买一个乙种机器人需65万元． （2）解：设该公司购进甲种机器人m个，则购进乙种机器人个． ， ， ， ， ∵m为整数， ∴m的最小值为10． 答：该公司最少可以购进10个甲种机器人． 93．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为am，其中． (1)去年实践基地收获500kg蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)今年从该基地中截取出一个边长为am的正方形地块，用来种植A类蔬菜，而剩余土地用来种植B类蔬菜，最终收获A类蔬菜300kg，B类蔬菜200kg．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． (3)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加16m，宽增加am，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数a的值． 【答案】(1)甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； (2)类蔬菜的单位面积产量大，理由见解析 (3)整数的值为或． 【分析】（1）设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，根据“工作时间工作总量工作效率”，结合“甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟”，可列出关于的分式方程，解方程并检验后即可得出的值（即乙组的工作效率），再将其代入中，即可求出甲组的工作效率； （2）根据“单位面积产量总产量种植面积”，可用含的代数式表示出，两类蔬菜的单位面积产量，然后利用作差法即可得出结论； （3）设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数），利用长方形的面积公式，结合扩建后的长方形基地面积是原来的倍，可建立关于的一元一次方程，解方程即可得出用含的代数式表示的的值，再结合“，为整数，且为正整数”，即可得出答案． 【详解】（1）解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜， 由题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； （2）解：类蔬菜的单位面积产量大，理由如下： 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， ， ， ， 又，， ， ， ， 答：类蔬菜的单位面积产量大； （3）解：设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数）， 由题意得： ， 解得：， ，为整数，且为正整数， 或， 的值为或． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用（分式方程的其它实际问题），一元一次方程的应用（几何问题），列代数式，异分母分式加减法，不等式的性质等知识点，读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程和代数式是解题的关键． 题型22.分式方程的和差倍分问题 94．莜麦是世界公认的营养价值很高的粮种之一．某莜麦标准化种植基地在改良前总产量为，改良后总产量不变，但种植面积减少了25亩，平均亩产量为原来的1.5倍，则改良前的平均亩产量为_______ 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设改良前的平均亩产量为，则改良后的平均亩产量为，根据“改良后总产量不变，但种植面积减少了25亩”列出分式方程，解分式方程即可得出答案． 【详解】解：设改良前的平均亩产量为，则改良后的平均亩产量为， 由题意得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴改良前的平均亩产量为， 故答案为：． 95．如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本语文书的厚度是每本数学书厚度的倍． (1)若厚度和为的数学书比厚度和为的语文书多30本，求书架上每本数学书和每本语文书的厚度； (2)在（1）的条件下，若书架上已摆放10本语文书，则最多还可以摆多少本数学书？ 【答案】(1)每本数学书的厚度为，每本语文书的厚度为 (2)最多还可以摆90本数学书 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）设每本数学书的厚度为，则每本语文书的厚度为，根据题意列出方程，解出的值即可解答； （2）设还可以摆本数学书，根据题意列出不等式即可求解． 【详解】（1）解：设每本数学书的厚度为，则每本语文书的厚度为， 由题意得，， 解得：， 经检验，是方程的解且符合题意， 则， 答：每本数学书的厚度为，每本语文书的厚度为． （2）解：设还可以摆本数学书， 由题意得，， 解得：， 答：最多还可以摆90本数学书． 96．2025年春晚舞台上，宇树人形机器人表演扭秧歌，吸引了大量的关注，并带动整个人形机器人行业的畅销，某公司推出了、两款人形机器人在网上进行预约销售，每件款人形机器人的售价比每件款人形机器人的售价少，根据网上预约的情况，该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为900万元时，款人形机器人比款人形机器人多售出5件． (1)求该公司每件款、款人形机器人在网上的售价分别是多少万元？ (2)若该公司在网上进行预约销售了、两款人形机器人共25件，且总销售额不低于470万元，则最少预约销售了款人形机器人多少件？ 【答案】(1)每件A款人形机器人售价为20万元.每件B款人形机器人售价为18万元 (2)最少预约销售了A款人形机器人10件 【分析】（1）设每件A款人形机器人的售价为x万元，则每件B款人形机器人的售价为万元，再根据相同销售额下销量差为5件列分式方程求解即可； （2）设预约销售A款人形机器人m件，则预约销售B款人形机器人件，根据总销售额的要求列一元一次不等式，求解得到最小销售数量． 【详解】（1）解：设每件A款人形机器人的售价为x万元，则每件B款人形机器人的售价为万元，根据题意得 ， 解得 ， 检验：当时，，所以是原分式方程的解， 则， 答：每件A款人形机器人售价为20万元，每件B款人形机器人售价为18万元； （2）解：设预约销售A款人形机器人m件，则预约销售B款人形机器人件，根据题意得 ， 解得， 答：最少预约销售了A款人形机器人10件． 题型23.整数指数幂运算 97．已知，则从大到小关系是_____． 【答案】 【分析】求出的值，进而比较即可． 【详解】解：∵， ∴． 98．下列计算中，正确的是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整数指数幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据整数指数幂的相关运算法则分别计算判断即可． 【详解】解：A、，原写法错误，不符合题意； B、，原写法错误，不符合题意； C、，原写法错误，不符合题意； D、，写法正确，符合题意， 故选：D． 99．若，，，则______． 【答案】1 【分析】本题考查了平方根的性质，绝对值的意义，积的符号法则及幂的运算，需熟练掌握相关性质及运算法则是解此题的关键．首先确定a和b的值，此题中a和b分别有两个不同的值，根据确定a和b的符号，分情况讨论，随后计算的值，最终确定的值． 【详解】解：∵，，， ∴或， ①当，时， ， ②当，时， ， 综上，的值为1． 故答案为：1． 100．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)9 【分析】本题考查了幂的运算法则，包括同底数幂的乘法、积的乘方以及负整数指数幂和零指数幂的运算，解题的关键是熟练掌握这些法则，并能够灵活运用． （1）先进行乘方运算确定符号，再进行同底数幂的乘法，最后合并同类项． （2）分别计算各项(负指数、零指数、乘方)，再进行加减运算． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 题型24.科学记数法 101．已知1纳米米，将纳米用科学记数法表示，结果是__________米． 【答案】 【分析】绝对值小于的数可以用科学记数法表示，一般形式为，其中，由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数决定，据此换算求解即可. 【详解】解：纳米米米. 102．嫦娥五号返回器携带月球样品安全着陆，标志着中国航天业向前又迈出了一大步．嫦娥五号返回器在接近大气层时，飞行1m大约需要．数据用科学记数法表示为__________． 【答案】 【详解】解：. 103．如表所示的是小颖作业中的一道题目，“”处都是0但发生破损，小颖查阅后发现本题答案为1，则破损处“0”的个数为（   ） 已知：，求的值． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】解：∵本题答案为1， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴破损处“0”的个数为． 104．用科学记数法表示下列各数： (1)3515000； (2)10300000； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法表示数时，将数写成的形式，其中， 为整数．对于大于10的数，为正整数；对于小于1的正数，为负整数． （1）根据科学记数法的定义作答即可； （2）根据科学记数法的定义作答即可； （3）根据科学记数法的定义作答即可； （4）根据科学记数法的定义作答即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题01分式专项训练 ☆ 题型突破期中复习导航 题型01.分式的概念辨析 题型02.分式的规律探究与构造 题型03.分式的化简求值 题型04.分式值的特殊取值问题 题型05.分式基本性质的应用与判断 题型06.分式的符号与系数化简 题型07.分式的约分与最简分式 题型08.分式通分与最简公分母 题型09.分式的乘除运算 题型10.分式的乘方 题型11.含乘方的分式乘除混合运算 题型12.分式的劬加减运算 题型13.分式恒等变形与求值 题型14.分式加减实际应用 题型15.分式混合运算与化简求值 题型16.分式方程的基础 题型17.分式方程的解相关问题 题型18.列分式方程 题型19.分式方程的行程问题 题型20.分式方程的工程问题 题型21.分式方程的经济问题 题型22.分式方程的和差倍分问题 题型23.整数指数幂运算 题型24.科学记数法 题型突破考点突破 题型01.分式的概念辨析 1.代数式子， ”,22,1，+1中，屈于分式的有) 3， xx+2 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.若分式的值不存在，则需x的值为《） A.0 B.1 C.-1 D.2 3若分式华有意义，则：的取位花同是( A.x≠1 B.x≠-2 C.x>1 D.x>-2 4.若分式-的值为0，则实数x的值为() x+3 A.2 B.0 C.1 D.-3 m+2 5.若分式m-2m+的值为零，则m= 试卷第1页，共3页 x+1 6.若代数式x+x-2有意义，则实数x的取值范围为 7.已知分式-b,当x=2时，分式的值为0：当x=-2时，分式没有意义，则b的值 2x+a 为 8.已知当x=-2时，分式一b无意义：当x=1时，此分式的值为0. x+a (1)求a,b的值 2当分式2口的值为正整数时，求整数x的值. x+b 题型02.分式的规律探究与构造 9.小明用Q元钱去购买某种练习本.这种练习本原价每本b元(b>1),现在每本降价1元， 购买到这种练习本的本数为一· 1 1 1 10.已知a>0,3=日5，=-S-1,5=3,5=-9,-l,S,…，即当n为大 1 于1的奇数时，，当n为大于1的钢数时，，=-5小.计算 S,+S2+S,+…+S6的结果为 11.一个分式同时满足：①字母仅含有x;②当x=-3时，分式的值为0；③当x=1时，分 式的值为-2，这个分式可以是（写出一个即可）， 一发服规列胎分元名兰合，仁a,:0,州费9个分式泥 a'a’ () bI8 B.bls C.b1 619 A. D.- a a 13.阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数 都可以化为带分数，如： 8-6+2=2+2=22」 33 3 3 我们定义：在分式中，对于只含有一个字 母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小 于分母的次数时，我们称之为“真分式”， x-1,,这样的分式就是假分式；再如： x+1'x-1 3,2x这样的分式就是真分式。类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式 x+1'x2+1 的和的形式)，如：-」_x+-2 2 =1- x+1x+1 解决下列问题： 试卷第1页，共3页 0分式京是 (填“真分式”或“假分式”)： (②)将假分式+化为整式与真分式的和的形式： 4a+1 2a-1 2a-1 3)若假分式4+1 的值为正整数，则整数a的值为 2a-1 (④将假分式，2x一化为带分式（写出完整过程）. x-1 题型03.分式的化简求值 14.如果a-b2 15.已知a、6c都是实数，若Va-2+2b++c+2ay=0,则a-C 2 4a+8b 16,已知2-3x1=0,则-5x+的值为() A.4 B.5 C.±4 D.±5 17.(1)已知2a-6=0,且6≠0，求分式a+2的值. a-b (2)已知4-6-1=0，求代数式3a-2+30的值. a2-2ab+b2 题型04.分式值的特殊取值问题 18老分式的值为正数，则() A.x>0 B.x<0 C.x>1 D.x<1 19.若分式x-2+2的值为正整数，则x的取值可以是《) 十 2x-84-x A.4 B.3 C.2 D.1 20.若分式x2的值是负数，则x的取值范围是() x-1 A.1<x<2 B.x>1或x<-2 C.1<x<2或x<-2 D.-2<x<2且x≠1 3m-6 21.若分式m中m-2的值为正整数，则实数m可取的所有整数值是一· 22.当整数x取何值时，分式t-4x+8的值是整数？ x-4 题型05.分式基本性质的应用与判断 23.分式-b 可变形为() a-b 试卷第1页，共3页 A.b a-b B.b -a-b C.b D.b a+b atb 24.已知x为大于0的实数，要使等式十2+成立，则内应填入 A.x(x+1) B.x+1 C.2x D.x+2 25.将分式中的4、b时大到3倍，侧则分式的值《) A.不变 B.扩大到3倍 C.扩大到9倍 D.扩大到6倍 26.下面三个式子：-a-b=-a-b,-a+b=-a-b-a+b。a+b 其中正确的有个。 2xy 27.分式 中的x、y的值分别扩大为原来的5倍，则此分式的值扩大为原来的倍. x-V 题型06.分式的符号与系数化简 28.不改变分式二3x+1，的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数， -x2+7x-2 应该是() 3x+1 3x+1 A.x2-7x+2 B. x2+7x+2 3x-1 C. x2-7x+2 D. 3x-1 x2-7x-2 29.不改变分式0.2x-1 的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为() 0.4x+3 A. x-5 B. 2x-1 2x-1 2x-10 C. D. 2x+15 4x+3 4x+30 4x+30 1,1 30,将分式红中分子、分每系数化为鉴取，结果为(） 2x 3y 3y+2x 3x-2y A. 3y-2x B. 3x+2y C. 2x+3y 2x-3y 2x-3y D. 2x+3y 31.不改变分式的值，使下列分式的分子和分母中x的最高次项的系数为正数. (1) -3x+x2 -2x2+x (2)-2-1 -x+y (3)x-x2 -x2+x 题型07.分式的约分与最简分式 32,当=-2025时，分式的植为 试卷第1页，共3页 33.如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，那么我们称这个分 式为“和谐分式”.下列分式中，是“和谐分式”的是 (填序号). a262；③+y P+7:②026 ①x1 2P；④-6 (a+b)2 34.下列各分式中，是最简分式的是() A.+y B.-y2 C.+x D. y x-y x+v xy 35.分式2-y ,x可化简为() 1 B.1 1 A.y-x C. D. x+y x+v x-V 36.约分： (1)2ary 3a2 -2a(a+b) (②)3b(a+b) 3)24 y+2y9 (④a-x) (x-a): ⑤42-4a+4 a2-41 题型08.分式通分与最简公分母 11 37.分式2)'3的最简公分母是（） A.6xy B.6x2y3 C.6x3y4 D.12xy5 38.下列计算错误的是() 4. 0.2a+b2a+10b B. 0.3a-b3a-10b y2 y3 x c88-l D.1+23 a b a+b 39.当12附，30+5ab-3b 的值是 a b a-3ab-b 数分式n当是的威前公分时是 41.通分： ①4,3c Sb 5b’10a'6’-2ac 试卷第1页，共3页 1 2x ②2x-42'6x-3x’x2-4 题型09.分式的乘除运算 42.化简-L+4x+4的结果是（) x+2x2-1 A.+1 x-2 B.+2 C.-1 D.+2 x+1 x+2 x-1 43.嘉嘉的作业纸被撕下来一部分，如图，则被撕下部分的式子可能是() A.x+1 B.x-1 C.x D. 1 x-1 44,计算2x÷.兰的结果是（) y x A.2x B.22 C. D.22 x 2x x2 45,定义两种运算：aab=1 +6’a*b b a2-b,则man÷(m*n= 46.计算： 47.计算： 02.210 3y26x21x29 (2)+4x+42 x2-4x-2 题型10.分式的乘方 2 48.计算 -4a3b 的结果是 3c 49.计算 （_a =3,则ab=() A.6 B.9 C.12 D.81 题型11.含乘方的分式乘除混合运算 试卷第1页，共3页 51.计第：)- 52.当a=2,6=-3时，(×(= 5.计(2〔2） 的结果是() A阳 B. 8a C.-16a D.16a 54.计算： r 2a'b 2 (2) ÷(a2-ab3. a2-b2 a2+2ab+b2 ab+b2 题型12.分式的加减运算 55.化简：m2_n2 m-n m-n 56.已知：1-1 2,则2a+3ab-2b a b a-2ab-b k2-1 57.化简： 2(k+1） +1=一 58.计算-16+8的结果是 x2-8x+164-x 59,下列计算错误的是() 12.22 A. B. 2x,x-2yy-1 m2-93-mm+3 C.a3a 4b 5 2,3_10bc-8ac+9ab a-6a-ba-6=4 D. 6a'b3ab*4abe 12a'b'c 60.化简2a-1+a的结果是（) a-1 A.1+a B.a-1 C.1+a2 D.1+a a-1 a-1 61,数学误上，老师让计算，2。+泸。佳佳的解答如下： 解：原式=2a+a-3边① a-b 试卷第1页，共3页 =-3a-3b@ a-b 3(a-b③ a-b =3④ 对佳佳的每一步运算，依据错误的是() A.①：同分母分式的加减法法则 B.②：合并同类项法则 C.③：逆用乘法分配律 D.④：等式的基本性质 62.计算： 0)2m+3m+2 m-1m-1 (2)1-a-2 a+2a2+4a+4 3x 63)x-3)3-x (4) 2x2 -x+y; x+y (⑤)先化简，再求值：2+3+2a+12 a+33-aa2-9 其中a=2. 题型13.分式恒等变形与求值 63.已知a+寸=b+-2,且a-b+2≠0，则b-a+6 a+1 b-1 64.如图，若x为正整数，则表示《-3。-L的值的点落在《) x2-6x+9x+1 ① ② ③ ④ -、小 -0.2 0.4 1 1.6 2.2 A.段① B.段② C.段③ D.段④ 65.已知m,n为实数，且m-n=6,m之-2n,则下列关于”+的说法正确的是（). m A,有最大值，且最大值为： B.有最小值，且最小值为： C有经大值，且设大值为子 D.有最小值，且最小馆为子 题型14.分式加减实际应用 66.绿化队原来用漫灌方式浇绿地，Q天用水m吨，现改用喷灌方式，可使这些水多用3天， 则现在比原来每天节约用水吨数是() 试卷第1页，共3页 A.mm B.mm C.mm D.mm aa+3 a+3 a a a-3 a-3 a 67.生活中有这么一个现象：“糖水加糖就更甜”.设有一杯b克的糖水里含有Q克糖，如果在 这杯糖水里再加入m克糖（加入的m克糖可以全部溶化），则糖水更甜了（糖水浓度更大了）， 其中b>a>0,m>0.根据这一现象，可以列出的不等式为( ) A88+细 B名8阳 C.a<atm D. aa+m > bb 68.某车间接到生产任务，要求生产240个零件.原计划每小时生产☑个零件，实际每小时 生产的零件个数比原计划每小时生产的零件个数多了10个，那么实际比原计划可以提前 小时完成生产任务· 69.甲、乙二人在公园健身步道起点同时进行健走运动，他们沿着一个方向到同一个终点， 甲一半路程以速度α行走，另一半路程以速度b行走：乙一半时间以速度α行走，另一半时 间以速度b行走.起点到终点的路程为s. (I)分别用含α，b,s的式子表示甲、乙二人到达终点所需的时间和t2; (2)谁先到达终点？并说明理由 题型15.分式混合运算与化简求值 0计算女的结果是一 71.已知a是实数，并且a2-2020a+4=0,则代数式a2-2019a 8080+4的值是— a2+4 72.若a负整数，且a*-1,则 。的值所对应的点落在图中数轴上的部分为(） ① ② ③ ④ ⑤ 0 2-3 A.② B.③ C.①或② D.④或⑤ a+b-b÷a-b 73.化简2a-0a 的结果是() 试卷第1页，共3页 a-b A.a+b B.a+b C.a-b D. 2 2a 74.先化简： x2-4 x2+2 x2-2x+1 然后从1≤x≤3的范围内选一个合适的整数代入求值， x-1 题型16.分式方程的基础 75.下列方程中不是分式方程的是() A.+1=3 C.11 =0 D.+3x10 x+1x-1 34-7 76.当x= 时，分式与分式耳为相反数 x-5 77.解下列分式方程： 023 xx+1 @1-l+ 3 题型17.分式方程的解相关问题 78.若关于X的分式方程】-2的解为非负数，则实数的最小值为 x-22-x 2+21 9.若分式方程1 2=一2有增根，则k的值是」 ⑧0，若关于x的分式方程学 (x-(x+2有增根，则m的值为() m A.0 B.3 C.-1 D.1 81.已知关于的分式方程4-， =2 x-33-x (1)当a=1时，求分式方程的解， (2)若该分式方程有增根，求a的值. 题型18.列分式方程 82.《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市， 需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需时间比规定时间少3天，已知快马的速 度是慢马的2倍，求慢马速度.若设慢马的速度为x里/天，则可列分式方程为 83.“一骑红尘妃子笑”描述唐玄宗为杨贵妃运送荔枝的场景.通过查阅资料岭南到长安相距 2000里，且荔枝的保鲜时间短，忽略换马、换人的时间，用慢马运送比预定时间晚10小时 试卷第1页，共3页