专题01分式期中复习讲义(25大题型+题型突破+压轴专练)2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

专题01分式期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.吃透分式概念：有意义 / 无意义 / 值为 0 的核心条件 2.熟用分式性质：约分、通分，找准最简公分母 3.精通分式运算：乘除/加减 / 乘方+四则混合，步骤规范 4.掌握分式方程：去分母转整式方程+必验根，理解增根成因 5.熟记整数指数幂：0次/负次幂法则+小数值科学记数法 6.会建模：列分式方程解行程 / 工程 / 销售等实际问题 1.提升分式运算准确率，快速化简求值 2.掌握 “分式→整式”“实际问题→数学模型” 转化思想 3.培养分母非零、增根分析的严谨逻辑 4.能独立完成应用题的审题、列方程、验解全流程 1.基础题：概念 / 性质 / 简单运算 / 指数幂，一分不丢 2.中档题：混合运算、化简求值、常规分式方程，熟练秒杀 3.综合题：含参分式方程（无解 / 增根）、应用题，精准突破 4.避坑：杜绝漏验根、忽略分母非零、符号 / 运算顺序错误 题型01.分式的概念辨析 题型02.分式的规律探究与构造 题型03.分式的化简求值 题型04.分式值的符号与取值范围 题型05.分式值为整数的整数解问题 题型06.分式基本性质的应用与判断 题型07.分式的符号与系数化简 题型08.分式的约分与最简分式 题型09.分式通分与最简公分母 题型10.分式的乘除运算 题型11.分式的乘方 题型12.含乘方的分式乘除混合运算 题型13.分式的加减运算 题型14.分式恒等变形与求值 题型15.分式加减实际应用 题型16.分式混合运算与化简求值 题型17.分式方程的基础 题型18.分式方程的解相关问题 题型19.列分式方程 题型20.分式方程的行程问题 题型21.分式方程的工程问题 题型22.分式方程的经济问题 题型23.分式方程的和差倍分问题 题型24.整数指数幂运算 题型25.科学记数法 解答题7题 知识点01.分式的概念与基本性质 1. 分式定义 形如 （A、B 为整式，且 B 中含有字母，B0）的式子叫分式。 A：分子；B：分母（分数线兼具除号与括号功能） 判别关键：分母含字母（π 是常数，非字母，如 不是分式） 有理式：整式 + 分式 2. 分式有 / 无意义、值为 0 的条件（高频考点） 分母不等于 0，即B0（分子无限制） 分母等于 0，即B=0（分子无限制）无意义：B=0 分子为 0 且分母不为 0（双重条件，需同时满足），即。 3. 分式的基本性质（运算核心依据） 分子与分母同乘（或同除）同一个不等于 0 的整式，分式值不变： 4. 约分与最简分式 约分：约去分子、分母的公因式（先因式分解再约分） 最简分式：分子、分母无公因式（除 1 外） 5. 通分与最简公分母 通分：异分母→同分母（依据基本性质） 最简公分母：各分母所有因式最高次幂的积 知识点02.分式的四则运算 1. 乘法法则 文字：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母。 字母：（b0,d0） 2. 除法法则 文字：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 字母：== (b.c d0) 3. 同分母分式加减 法则：分母不变，分子相加减。 字母：±（c0） 注意：分子相加减时要添括号，最后约分。 4. 异分母分式加减 法则：先通分，化为同分母分式，再按同分母法则计算。 字母：±=（b0,d0） 5.分式的混合运算 运算顺序：先乘方→再乘除→最后加减；有括号先算括号内。 运算技巧：① 灵活运用因式分解、约分简化计算；② 整式可看作分母为 1的分式；③ 结果必须化为最简分式或整式。 知识点03.分式方程 1.概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2.关键特征： (1)是方程（含有未知数的等式）。 (2)分母中必须含有未知数。 3.分式方程的解法（核心步骤） (1)找最简公分母：对各分母因式分解，确定所有分母的最简公分母。 (2)去分母：方程两边同乘最简公分母，约去分母，化为整式方程。 (3)解整式方程：求解转化后的一元一次 / 一元二次整式方程。 (4)检验（必做步骤）： 把整式方程的解代入最简公分母： 若最简公分母≠0，该解是原分式方程的解； 若最简公分母 = 0，该解为增根，原分式方程无解。 (5)写出结论：明确方程的解或无解。 4.分式方程解的三种情况 (1).有唯一解：检验后最简公分母不为 0； (2).无解：①整式方程无解 ②整式方程的解都是增根； (3).有增根：仅说明该根使分母为 0，不代表方程无解。 知识点04.分式方程的实际应用（高频考点） 1. 常见应用题型 工程问题、行程问题、销售利润问题、浓度问题、工作量问题等。 2. 解题步骤 审：分析题意，找等量关系； 设：设未知数（直接 / 间接设元）； 列：根据等量关系列分式方程； 解：按分式方程解法求解并双重检验（①是否为增根 ②是否符合实际意义）； 答：规范作答。 3. 常见等量关系模板 工程问题：工作效率 × 工作时间 = 工作总量；合作效率 行程问题：时间；顺水 / 逆水速度差异列方程 销售问题：数量 题型01.分式的概念辨析 【典例】在代数式中，分式共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查分式的定义，根据分式定义逐一判断即可，需注意是常数不是字母. 【详解】根据分式定义：若是整式，且式子的分母中含有字母，则该式子是分式. 逐个判断给出的代数式： ∵ ，的分母均为常数，中是常数，分母不含字母，这三个都是整式，不是分式； ∵ ，，这三个的分母都含有字母，符合分式定义，都是分式. ∴ 分式共有3个，故选B. 【跟踪专练1】已知分式（，为常数），当时，分式无意义；当时，分式的值为零，则____________． 【答案】0 【分析】本题考查的是分式值为零的条件、分式有意义的条件，熟记分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零、分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键． 分式无意义时分母为零，分式值为零时分子为零且分母不为零，由此可求出、，代入即可求出的值． 【详解】解：当 时，分式无意义，则分母 ，即 ，解得 ； 当 时，分式值为零，则分子 ，即 ，解得 ； 因此 ． 故答案为：． 【跟踪专练2】分式有意义的条件是_____． 【答案】 【分析】根据分式有意义，分母不为，即可得出结果． 【详解】解：若分式有意义， 则， 得． 【跟踪专练3】对于分式，当时，分式的值为零，当时，分式无意义，则___________，___________． 【答案】 0 【分析】此题主要考查了分式值为零的条件和分式无意义的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，注意：“分母不为零”这个条件不能少． 根据分式无意义的条件，当时，分母为零；根据分式值为零的条件，当时，分子为零．分别代入得到关于a和b的方程，解方程组即可． 【详解】∵对于分式，当时，分式的值为零， ∴ ∴， ∴， ∵当时，分式无意义， ∴ ∴ ∴联立①②得， 解得． 故答案为：0，． 题型02.分式的规律探究与构造 【典例】已知（且），，，，，则等于______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的规律性问题．通过计算序列的前几项，发现序列具有周期性，周期为3，再根据2026除以3的余数确定的值，即可作答． 【详解】解：∵（且）， ∴， 则， ∴， 因此，序列每3项循环一次，即周期为3， 则， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】已知分式满足条件“只含有字母x，且当时无意义．”请写出一个这样的分式____________ 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据分式无意义的条件，确定分母需含使时为0的因式，再构造只含字母x的分式． 【详解】解：当时，分母的值为0，分式无意义． 据此可写出满足条件的分式，如（答案不唯一）． 【跟踪专练2】某校组织全体师生人到革命圣地野三坡进行研学活动，租车公司提供的车每辆能乘坐人，宋老师发现除自己外，其他人刚好能将座位坐满，则学校从租车公司共租用车辆（   ） A．辆 B．辆 C．辆 D．辆 【答案】B 【分析】根据题意，总人数为，但宋老师自己除外，因此实际乘车人数为，每辆车可坐人，且其他人刚好坐满所有座位，说明车辆数为． 本题考查了列代数式，分式的应用，熟练掌握列代数式的基本方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得实际乘车人数为，每辆车可坐人，且其他人刚好坐满所有座位，说明车辆数为． 故选：B． 【跟踪专练3】杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和．若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组成一系列新的数，依次记作，由图可知若，则（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】B 【分析】根据题中数据，发现规律，再由裂项相消的方法求和后解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，的规律是， 则， ， ， 解得． 题型03.分式的化简求值 【典例】若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的求值，根据结合，进行求解即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴． 故选：A． 【跟踪专练1】若，则分式的值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值、代数式求值等知识点，利用分式的性质对分式变形是解题的关键． 由已知条件可得，然后整体代入所求分式化简即可解答． 【详解】解：由 ，得，即． 所以分式为 ． 故答案为：． 【跟踪专练2】设a，b，c满足，，则的值为（   ） A．0 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】本题考查分式的求值，根据，得到，，，整体代入法进行求值即可． 【详解】解：由，得，，． ∴原式． ∵， ∴原式； 故选B． 题型04.分式值的符号与取值范围 【典例】若分式的值为正数，则x的取值范围是（    ） A． B． 或 C． 或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的值，根据分式的值为正数，则分子分母同号，再进行分类讨论，即可作答． 【详解】解：∵分式的值为正数， ∴分子分母同正或同负， ∴或 解得或， 故选：C 【跟踪专练1】已知分式的值为负数，则x的取值范围是______． 【答案】或 【分析】此题考查了解一元一次不等式组的应用和分式的值，解题的关键是根据题意列出不等式组． 根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可确定出的范围． 【详解】解：∵的值为负数， ∴， 解得：； 或， 解得：， ∴x的取值范围是或； 故答案为：或． 【跟踪专练2】若分式表示的数是负数，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了分式的值，不等式的解集在数轴上表示，根据分式表示的数是负数，得，转化为不等式问题求解即可． 【详解】根据题意，得， 解得， x的取值范围在数轴上表示如下：      故选：C． 题型05.分式值为整数的整数解问题 【典例】若分式的值是整数，则x可以取最小整数的值是______． 【答案】 【分析】根据分式的值为整数，的值也为整数，可得或或，求出的值，即可确定出的最小值． 【详解】解：分式的值为整数，的值也为整数， 或或， 或或或或或， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的值，正确理解题意是解答本题的关键． 【跟踪专练1】若使分式的值为正整数，则符合条件的整数x的值共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的值为正整数的条件，熟练的利用值为正整数建立方程求解是关键，本题可建立方程为或．再解方程可得答案． 【详解】解：∵分式的值为正整数， ∴的可能值为1或5． ∴或． ∴或． ∴符合条件的整数x的值共有2个． 故选：B． 【跟踪专练2】若分式的值为整数，则符合条件的所有整数的和为__________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值，根据分式的值是整数列式计算是解题的关键．根据分式的值为整数，则分母 必须是分子的约数，即，，，分别求解，并筛选出整数解，最后求和即可． 【详解】解：分式的值为整数， 是的约数，即，，， 当时，； 当时，； 当时，，不是整数； 当时，，不是整数； 当时，，不是整数； 当时，，不是整数， 符合条件的整数为和， 它们的和为； 故答案为：． 题型06.分式基本性质的应用与判断 【典例】填空：若，则等式右边的分子为_____． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据，得分母，故等式右边的分子为，即可作答． 【详解】解：∵， ∴分母， 即等式右边的分子为， 故答案为：． 【跟踪专练1】填空： （1）（a≠0）； （2）． 括号内的式子分别是_________，___________． 【答案】 / 【分析】本题考查了分式的基本性质与因式分解，解决本题的关键是熟练掌握分式的基本性质． （1）根据分式的基本性质，分子分母同乘求解即可； （2）将分母因式分解后再约分即可． 【详解】解：（1）左边分式的分母为，右边分式分母为， 由于， 因此分子分母同乘，分子， 故括号内应填； （2）左边分式分母可因式分解为， 故， 因此右边分式分母为， 故括号内应填． 故答案为：；． 【跟踪专练2】将分式中的和都扩大10倍，那么分式的值变为原来的___________． 【答案】10倍 【分析】本题考查判断分式的值的变化情况，根据分式的基本性质，求出变化后的分式的值，进行判断即可． 【详解】解：将x和y都扩大10倍后，新分式为， 故新分式的值是原分式的10倍． 故答案为：10倍． 【跟踪专练3】如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的倍 C．缩小为原来的倍 D．不变 【答案】D 【详解】解：把分式中的、都扩大为原来的3倍可得： ， ∴分式的值不变． 【跟踪专练4】无论取何值，分式的值始终保持不变，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的值，由于分式值恒不变，可设其值为常数，进而根据多项式恒等条件列出方程求解． 【详解】解：∵分式值恒不变， ∴设（为常数）， 则， 整理得， ∵该等式对任意恒成立， ∴系数对应相等：，， 由得， 代入得， ∴ 故选：C． 【跟踪专练5】下列说法正确的是 （    ） A．分式 的值为，则的值为 B．分式 的分子、分母都乘以，分式的值不变 C．分式 中的，都扩大倍，分式的值不变 D．分式 是最简分式 【答案】D 【分析】根据分式的性质，对各选项进行判断即可． 【详解】解：选项A：当时，分式分母为，分式无意义，即选项A错误； 选项B：当时，分式无意义，故选项B错误； 选项C：当，都扩大倍，分式转变为，即分式的值也扩大三倍，故选项C错误； 选项D：无法再进行化简，故是最简分式，选项D正确． 题型07.分式的符号与系数化简 【典例】不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把分子与分母同时乘以即可得到答案． 【详解】解：． 故选：D 【跟踪专练1】不改变分式的值，把分式的分子、分母各项系数都化为整数，得_______． 【答案】 【分析】根据题意可知，为了把各项系数化成整数，分子分母分别乘以10，可得到答案． 【详解】解：要想将分式分母各项系数都化为整数，可将分子分母同乘以10， 即 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的概念与性质，分子分母共同乘以相同的数，分式值不变． 【跟踪专练2】不改变分式的值，将下列分式的分子和分母中各项系数都化为整数，且分子与分母的首项系数都不含“”号： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的基本性质，关键是熟悉分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变的知识点． （1）根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变，分子分母同时乘以，再由分式的符号规律，将分母上的符号提到分式前面即可得到答案； （2）根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变，分子分母同时乘以，即可得到答案可得答案． 【详解】（1）解：； （2）解：． 题型08.分式的约分与最简分式 【典例】某同学将分式约分后得到最简分式，则原分式的分子是________． 【答案】 【分析】根据题意，然后根据分式的基本性质求解即可． 【详解】解：分式约分后得到最简分式， ∴， ∵， ∴． 【跟踪专练1】化简______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，先找到分子与分母的公因式，再根据分式的基本性质进行约分，化简即可．解答此类题一定要熟练掌握分式的基本性质． 【详解】解：． 故答案为：． 【跟踪专练2】若分式能进行约分化简，则“□”内的正数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】分式可以进行约分化简，则分子与分母有公因式，据此分析即可解答． 【详解】解：∵分式可以进行约分化简， ∴“□”是2． 故选：C． 【点睛】本题主要考查分式的乘除法，明确分式可以进行约分化简，则分子与分母有公因式是解答的关键． 题型09.分式通分与最简公分母 【典例】计算时，需要先通分，则这两个分式的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是最简公分母的确定，将两个分式的分母因式分解，然后找出所有因式，再进一步求解即可. 【详解】解：∵ 第一个分母：， 第二个分母：， ∴ 最简公分母是. 故选：B 【跟踪专练1】把与通分后，的分母为，则的分子变为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用已知进行通分运算，进而得出答案． 【详解】解∶， 故的分子为． 故选∶B． 【点睛】此题主要考查了通分，正确进行通分运算是解题关键． 【跟踪专练2】若分式的分母经通分后变为，则分子应变为_______． 【答案】 【分析】本题考查分式的通分，分母变为，乘了，根据分式的基本性质，分子也应乘以． 【详解】解：， 因此分子应变为：， 故答案为：． 【跟踪专练3】把分式，，通分，下列结论不正确的是（　　） A．最简公分母是 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的知识点是分式的通分，根据分式找取最简公分母的方法：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作最简公分母，再按照通分的方法依次验证各个选项，找出不正确的答案即可，解题的关键是明确通分的概念：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分，难点是掌握找取分式最简公分母的方法：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作最简公分母． 【详解】解：A、最简公分母为，故A正确，不符合题意； B、根据分数的基本性质，，故B正确，不符合题意； C、根据分数的基本性质，，故C正确，不符合题意； D、根据分数的基本性质，，故D错误，符合题意， 故选：D． 题型10.分式的乘除运算 【典例】下列各式计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的乘除运算．根据分式的乘除运算法则计算，即可求解． 【详解】解：A、，故本选项正确，不符合题意； B、，故本选项正确，不符合题意； C、，故本选项正确，不符合题意； D、，故本选项错误，符合题意； 故选：D． 【跟踪专练1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的乘除运算，提公因式与完全平方公式的运算，将分式的除法变为分式的乘法是解题的关键．先根据提公因式与完全平方公式计算，再将除法变为乘法约分化简即可． 【详解】解：原式 ． 故选：C． 【跟踪专练2】在这2016个整数中，使得是最简分数的n共有______ 个． 【答案】1008 【分析】本题考查了完全平方公式、分式的除法，熟练掌握完全平方公式是解题关键．先将转化为，从而可得要使是最简分数，则只需是最简分数，再判断出是偶数，由此即可得． 【详解】解：， 要使得是最简分数，则只需是最简分数， 所以是奇数，即是偶数， 因为在这2016个整数中，共有个偶数， 所以使得是最简分数的共有1008个， 故答案为：1008． 【跟踪专练3】如图，老师设计了一个接力游戏，甲、乙、丙、丁四位同学用合作的方式完成分式化简，其中出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查了分式的混合运算，根据分式的混合运算法则分析即可得解，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故其中出现错误的同学是乙， 故选：B． 题型11.分式的乘方 【典例】计算：_________． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的乘法，熟练掌握分式的乘法运算是解题的关键；先计算的立方运算，然后与进行分式的乘法，进而问题可求解． 【详解】解：； 故答案为． 【跟踪专练1】计算：________． 【答案】 【分析】本题考查分式的乘除，分式的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．根据分式的运算法则，先算乘方，再算乘除即可解答． 【详解】解： ． 【跟踪专练2】下列分式运算，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的运算法则解题． 【详解】解：A. ，故A错误，不符合题意； B. ，故B错误，不符合题意； C. ，故C错误，不符合题意； D. ，正确，故D符合题意 故选：D． 【点睛】本题考查分式的运算，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 题型12.含乘方的分式乘除混合运算 【典例】化简：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了分式的乘方和分式的乘法．先乘方，再约分，即可得到结果． 【详解】解：． 故选：D． 【跟踪专练1】计算：_________． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的混合运算，先分别计算每个部分的指数幂，注意负号的处理（偶次方为正，奇次方为负），然后合并乘除运算，利用指数法则简化表达式． 【详解】解： ． 故答案为 ． 【跟踪专练2】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的混合运算．先运算乘方，然后把除法转化为乘法，再约分即可解题． 【详解】解：， 故选：C． 题型13.分式的加减运算 【典例】下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的运算，根据分式的运算法则，逐一进行计算，判断即可． 【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意； B、，原选项计算错误，不符合题意； C、，原选项计算错误，不符合题意； D、，原选项计算正确，符合题意； 故选D． 【跟踪专练1】若，则的值是（   ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了异分母分式加法，完全平方公式． 根据，可得，从而得到，再代入化简后的结果计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故选：A． 【跟踪专练2】已知．则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把等式变形为，然后两边平方，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， 两边除以，得：， ∴， 两边平方，得：， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查分式的混合运算，求代数式的值，应用了恒等变形的思想．掌握完全平方公式是解题的关键． 【跟踪专练3】已知的三边长分别为，且，则一定是（    ） A．等边三角形 B．腰长为的等腰三角形 C．腰长为的等腰三角形 D．腰长为的等腰三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，三角形三边关系的运用，分式的运算，根据已知易得：或，从而可得或，进而可得或，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ， 或， 或， ∴一定是腰长为的等腰三角形， 故选：C． 【跟踪专练4】直接写出计算结果：____________，____________； 【答案】 【分析】本题考查分式的加减和乘除，解题的关键是正确地运用分式的运算法则进行运算．． 把先化为同分母的分式再按同分母的分式相加减的运算法则“分母不变，分子相加减”运算即可．把中的除法变成乘法得，再约分化简即可． 【详解】解： 故答案为：， 【跟踪专练5】已知，则___________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了分式的加减法，二元一次方程组的应用，先通分，计算异分母的分式的加法，再对应相等，得到关于的二元一次方程组，是解题的关键． 通过通分将右边化为同分母分式，比较分子系数建立方程组求解． 【详解】解： ， 由①得， 把③代入②得：， ， ， ， ， 则， 所以． 故答案为4． 【跟踪专练6】对于正整数n，x轴上有、两点，用表示这两点间的距离，其中、横坐标分别是方程组的解，则的值等于__________． 【答案】 【分析】此题考查了分式的加减法，解二元一次方程组，以及坐标与图形性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 将n看做已知数求出方程组的解表示出x与y，列举出所求式子各项，拆项后抵消即可得到结果． 【详解】解：方程组， 得，即， 将代入①得：， ∴， ∵， ∴是该方程组的根， ∴， ∴ ． 故答案为：． 题型14.分式恒等变形与求值 【典例】在八年级上册数学课本第148页，探讨了，根据公式若有，则的值为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查分式分解和代数式求值，关键是通过因式分解应用分式减法公式确定参数值． 将分母 因式分解后，利用分式减法公式分解为 ，从而确定 和 的值，再计算 ． 【详解】解：∵ ， ∴ 又 ∵ ∴ ， 比较得 ， ∴ ， ， ∴ ， 故选：B. 【跟踪专练1】若a为正整数，下列关于分式的值的结论正确的是（   ） A．有最大值是2 B．有最大值是 C．有最小值是1 D．有最小值，没有最大值 【答案】B 【分析】本题考查了分式的求值，先把化简，再根据分式的特点分析即可． 【详解】解：， 分式要有意义， ， 且， a为正整数， ∴a的最小值为2． 分式的值随着a的值的增大而减小， ∴当a取最小整数2时，原式有最大值，最大值，且原分式无最小值． 故选：B． 【跟踪专练2】若，则________． 【答案】 2 【分析】先对等式右边进行通分，根据分式相等的性质得到分子相等，再利用多项式相等对应系数相等建立方程组，求解得到B的值． 【详解】解：对等式右边通分，得， 已知， 分母相同且分式相等，因此分子相等，即， 将等式右边整理为多项式的形式，得， 根据多项式相等，对应项的系数相等，可得方程组， 将， 代入第二个方程，得， ， 解得． 【跟踪专练3】定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如，，则和都是“和谐分式”． （1）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：______； （2）分式的最小值为______． 【答案】 3+ 3 【分析】此题考查分式的变形计算，分式的四则混合运算，同分母分式加法逆运算． （1）将分子化为分母的倍数与常数的和，然后拆分分式； （2）先将分式化为整式与常数分子的分式的和，再利用分母求最小值． 【详解】（1）解：； （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，分式取得最小值3． 题型15.分式加减实际应用 【典例】“郑在加速，出行无忧”郑州地铁8号线有望今年底试运营，某施工队每天挖掘隧道a米，改进施工技术后每天能多挖掘，那么同样挖掘b米隧道，比原来少用的天数可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的运算，根据题意，得到改进技术后，每天可以挖掘米，利用原来需要的天数减去现在需要的天数，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：； 故选A． 【跟踪专练1】如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的大正方形减去一个边长为1米的小正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，若两块试验田都收获了m千克小麦，则“丰收2号”试验田的单位面积产量比“丰收1号”试验田的单位面积产量多______． 【答案】 【详解】解： 【跟踪专练2】多项式中，现对其中，，，这四个单项式进行以下操作，选择个单项式进行变符号，再对整个多项式加绝对值化简，称这个操作为“变号绝对操作”，比如对与变号，则多项式为，当时，化简结果为，当时，化简结果为，以下结论： ①至少存在2种“变号绝对操作”的化简结果与原多项式一样 ②当，多项式时，且使得为整数，则符合整数x的值共有4个 ③所有“变号绝对操作”的化简结果共有13种不同的化简结果 其中正确结论的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】将所有“变号绝对操作”的化简结果列举出来，可判断①和③；解不等式得到，利用分式的运算法则变形得到，结合为整数，可知是6的因数，结合的范围确定符合条件的x的值的个数可判断②，即可得出答案． 【详解】解：当时， 对与变号，则多项式为，化简结果为或； 对与变号，则多项式为，化简结果为或； 对与变号，则多项式为，化简结果为7； 对与变号，则多项式为，化简结果为7； 对与变号，则多项式为，化简结果为或； 对与变号，则多项式为，化简结果为或； 当时， 对、与变号，则多项式为，化简结果为或； 对、与变号，则多项式为，化简结果为或； 对、与变号，则多项式为，化简结果为或； 对、与变号，则多项式为，化简结果为7； 当时，则多项式为，化简结果为或； ∴所有“变号绝对操作”的化简结果共有13种不同的化简结果，故③正确； ∵原多项式， ∴只有1种“变号绝对操作”的化简结果与原多项式一样，故①错误； 多项式，即， 解得， ， ∴整数可取0，1，2，3，4，5， ∵为整数， ∴是6的因数， ∴符合条件的整数的值为0，1，2，5，共有4个，故②正确； ∴正确结论的个数为2个， 故选：C． 【点睛】本题考查了新定义、整式加减的应用、绝对值的化简、分式的运算、求不等式的解集，理解“变号绝对操作”的定义是解题的关键． 题型16.分式混合运算与化简求值 【典例】阳阳同学在复习老师已经批阅的作业本时，发现有一道填空题破了一个洞（如图所示），■表示破损的部分，则破损部分的式子可能是（    ） 化简：  √ A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．根据题意残损部分的式子为，再计算即可． 【详解】解：残损部分的式子为 ． 故选：A． 【跟踪专练1】若，，则的值是（    ） A．6 B．7 C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的化简求值，通分后把，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故选B． 【跟踪专练2】若，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】先计算第二个小括号内分式的减法，再计算分式的除法并化简，然后将化为，再代入计算即可． 【详解】解： ， ∵，，， ∴，， ∴原式． 【跟踪专练3】，其中，且取整数，求所有符合条件的的分式值之和是_______ 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式化简的步骤和分式的运算法则． 对分式进行化简，然后确定的取值，最后代入求值即可． 【详解】解： 的整数值可取， ∵， ∴， ∴或， 当时，； 当时，； ∴， 故答案为：． 题型17.分式方程的基础 【典例】有下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨，其中是分式方程的是_____．（填序号） 【答案】③④⑤⑨ 【分析】本题考查了分式方程的定义．根据分式方程的定义，分母中含有未知数的方程称为分式方程．逐项判断各方程的分母是否含有未知数即可． 【详解】解：方程①的分母为，是常数，不含未知数，故不是分式方程； 方程②的分母为，是常数，不含未知数，故不是分式方程； 方程③的分母为，含有未知数，故是分式方程； 方程④的分母为，含有未知数，故是分式方程； 方程⑤的分母为，含有未知数，故是分式方程； 方程⑥无分母或分母为常数，故不是分式方程； 方程⑦的分母为和，均为常数，不含未知数，故不是分式方程； 方程⑧不是方程，故不考虑； 方程⑨的分母为和，均含有未知数，故是分式方程． 因此，分式方程为③④⑤⑨． 故答案为：③④⑤⑨． 【跟踪专练1】方程的解为________． 【答案】 【分析】先通过去分母将分式方程转化为一元一次方程，求解整式方程后，检验所得根是否使原方程分母不为零，即可得到原方程的解． 【详解】解：， 去分母，方程两边同乘最简公分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 检验：当时，， 因此是原分式方程的解． 【跟踪专练2】若关于x的分式方程的解为正实数，则实数m的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D． 【答案】A 【分析】先解分式方程得到x关于m的表达式，再根据解为正实数、分式分母不为零列出不等式，求解即可得到m的范围． 【详解】解：， 方程两边同乘得： 整理得： 解得： ∵分式方程分母不能为0， ∴，即，得， ∵方程的解为正实数， ∴，即，得， ∴实数的取值范围是且． 【跟踪专练3】下列说法：①是分式方程：②x=1或x=-1是分式方程=0的解；③分式方程转化成一元一次方程时，方程两边需要同乘x(x+4)；④解分式方程时一定会出现增根，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用分式方程的定义，分式方程的解，以及分式方程根的判断即可解决． 【详解】①是分式方程，故正确； ②时，，即分母为0，故不是分式方程的解 ，错误； ③分式方程转化成一元一次方程时，方程两边需要同乘，故正确； ④解分式方程时不一定会出现增根，错误． 所以正确的有2个 故选：B 【点睛】本题考查了分式方程的定义、分式方程根的检验、分式方程的增根等知识． 题型18.分式方程的解相关问题 【典例】已知关于的分式方程的解是，则常数的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知分式方程的解，将解代入原方程，得到关于a的一元一次方程，求解后检验即可得到a的值． 【详解】∵ 分式方程的解是， ∴ 将代入原方程，得 ， 整理得 ， 交叉相乘，得 ， 解得 ， 检验：当时，原方程分母，，符合分式方程要求， ∴ 的值为， 故选D． 【跟踪专练1】若关于的分式方程无解，则的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的解，正确进行计算是解题关键．分式方程无解需考虑整式方程无解或产生增根，本题整式方程恒有解，故仅需分析增根情况． 【详解】解：∵原分式方程为， ∴将方程变形为， ∵方程两边同乘最简公分母（），得， 整理得， ∵分式方程无解， ∴是原方程的增根， 将代入，得， 解得， ∴m的值为6． 故选：C． 【跟踪专练2】关于x的方程有增根，则增根是___________，___________ 【答案】 【分析】熟练掌握增根的定义是解题关键，增根是分式方程化为整式方程后，使原分式方程分母为的根，先根据定义求出增根，再将增根代入化为整式方程的方程求解的值． 【详解】解：分式方程的最简公分母为， 令分母， 解得，因此增根为， 方程两边同乘最简公分母，化为整式方程得：， 将增根代入整式方程得：， 解得． 【跟踪专练3】关于的分式方程无解，则的值为_____． 【答案】1或 【分析】本题考查分式方程的解和解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，理解增根的意义是解题的关键．解分式方程可得，由于方程无解，分两种情况求解即可． 【详解】解： 原方程可化为， 即（其中）． 去分母得， 整理得． 当时，整式方程无解，此时； 当时，解为， 若此解为增根，则，解得． 故a的值为1或． 故答案为：1或． 题型19.列分式方程 【典例】《姑苏繁华图》是清代苏州籍宫廷画家徐扬的作品，反映的是当时苏州“商贾辐辏，百货骈阗”的市井风情．如图，已知局部临摹画面装裱前是一个长为2.6m，宽为0.6m的长方形，装裱后的长与宽的比是11：3，且四周边衬的宽度相等．设边衬的宽度为，根据题意可列方程_____． 【答案】 【分析】本题主要考查分式方程的应用，题目中存在的等量关系为：，据此列分式方程即可． 【详解】根据题意，可得 故答案为： 【跟踪专练1】某班学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校．一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度？设慢车的速度为，则可列方程为____________ 【答案】 【分析】设慢车速度为，则快车速度为，根据“慢车行驶全程的时间 - 快车行驶全程的时间 = 慢车先行的时间”这一等量关系列方程． 【详解】解：设慢车的速度为，则快车的速度为. ∴慢车行驶全程的时间为，快车行驶全程的时间为. 由此可列方程： 【跟踪专练2】某电子品牌在第一季度共生产80万部本品牌的和两款手机，已知手机的下载速度比手机每秒多，若下载一部大小为的高清视频，手机比手机快．设手机的下载速度为，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设手机的下载速度为，则手机的下载速度为， 根据题意可知：． 题型20.分式方程的行程问题 【典例】甲乙两地相距千米，新修的高速公路开通后，在甲、乙两地行驶的长途客运车平均速度是原来的倍，进而从甲地到乙地的时间缩短了小时．设原来的平均速度为千米/时，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“原时间减去现时间等于时间差”的等量关系，分别用路程除以对应速度表示出原时间和现时间，再列出方程． 【详解】解：原来的平均速度为千米/时，则原行驶时间为小时， 高速公路开通后，平均速度是原来的倍，则速度为千米/时，行驶时间为小时， 根据题意可得． 【跟踪专练1】甲、乙两城市相距120千米，甲城市急需物资，乙城市紧急支援一货车物资，已知货车行驶速度是原来速度的1.5倍，从乙城市到甲城市的时间缩短了半小时，求货车提速后的速度． 【答案】120千米/时 【分析】设货车原来的速度为x千米/时，根据题意列分式方程，然后解方程即可解答． 【详解】解：设货车原来的速度为x千米/时，则提速后的速度是千米/时． 根据题意，得 解得 经检验，是原方程的解， （千米/时）， 答：货车提速后的速度为120千米/时． 【跟踪专练2】某汽车从地驶向地，若每分钟行驶千米，则11点到达，若每分钟行驶千米，则时距离地还有10千米；如果改变出发时间，若每分钟行驶千米，则11点到达，若每分钟行驶千米，则时已超过地30千米，求两地距离． 【答案】54千米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用. 设两地距离为千米，根据题意得到，整理后求出即可. 【详解】解：设两地距离为千米， 若每分钟行驶千米，则从地驶向地共需分钟，若每分钟行驶千米，则从地驶向地共需分钟，距离地还有10千米时共需分钟， 根据若每分钟行驶千米，则11点到达，若每分钟行驶千米，则时距离地还有10千米可得： 同理可得 ∴， 整理得 解得． 经检验是原方程组的解． 答：两地距离为54千米． 题型21.分式方程的工程问 【典例】以非遗为钥，启乡村共富之门．某村将非遗“绛州鼓乐”纹样印在纯手工制作的背包上进行网上销售，现有甲、乙两个工作组来制作这样的背包．甲工作组每天比乙工作组多做个、甲工作组做个所用的时间与乙工作组做个所用的时间相等．若设甲工作组每天做个，则根据题意，可列方程为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式方程的应用，设甲工作组每天做个，则乙工作组每天做个，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设甲工作组每天做个，则乙工作组每天做个， 根据题意得，， 故答案为：． 【跟踪专练1】某农场要在面积为400万平方米的土地上播种玉米，为了尽量减少种植的时间，实际播种时，若每小时比原计划多播种，就可以提前10小时完成播种任务． (1)求原计划每小时播种多少万平方米？ (2)若有甲、乙两台播种机参与播种，其中甲播种机每小时可播种12万平方米，乙播种机每小时可播种8万平方米，若安排甲播种机先播种一段时间后离开，再由乙播种机完成播种任务，在保证至少提前10小时完成播种任务的前提下，甲播种机至少要播种多少小时？ 【答案】(1)原计划每小时播种8万平方米 (2)甲播种机至少要播种20小时 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，分析题意找到合适的等量关系是解决问题的关键，注意分式方程要检验． （1）设原计划每小时播种万平方米，根据题意列出方程解答即可; （2）设甲播种机播种小时，根据题意列出不等式解答即可． 【详解】（1）解：设原计划每小时播种x万平方米， 由题意得： 解得： 经检验是原方程的解， 答：原计划每小时播种8万平方米． （2）解：设甲播种机播种a小时， 则乙播种机播种小时， 根据题意得 解得 答：甲播种机至少要播种20小时． 【跟踪专练2】A、B两工程队承包一项工程，若A队单独施工，则恰好如期完成；B队单独施工，要延期6个月才能完成，现A、B两队先共同施工4个月，剩下的由B队单独施工，则恰好如期完成． (1)求A、B队各自单独完成这项工程所需的时间？ (2)现要求A、B两队都参加这项工程，但施工场地限制，A、B两队不能同时施工．若A、B两队完成该项工程的总耗时为15个月；已知A队每月的施工费用为4万元，B队每月的施工费用为2万元，求A、B两队完成该项工程的总费用． 【答案】(1)A队单独完成需要12个月，B队单独完成需要18个月 (2)A、B两队完成该项工程的总费用为42万元 【分析】（1）设规定修好路的时间为x个月，根据工作总量工作效率工作时间列方程求解即可． （2）设A施工了a月，B施工了月，根据题意，列出方程组，即可计算施工费用． 【详解】（1）解：设A队单独完成这项工程所需的时间为x个月，根据题意得： ， 解得：． 经检验：是原方程的解，且符合题意， ， 答：A队单独完成需要12个月，B队单独完成需要18个月． （2）解：设A施工了a月，B施工了月，根据题意：   ， 解得：， 此时万元， 答：A、B两队完成该项工程的总费用． 题型22.分式方程的经济问题 【典例】小明和同学们计划购进两种水果送给社区养老院，其中种水果的售价比种水果的售价高4元，用240元购进种水果的数量是用160元购进种水果数量的2倍，求种水果的售价？若设种水果的售价为元，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，核心是根据两种水果购买数量的倍数关系列方程． 【详解】解：∵设A种水果的售价为元，且B种水果的售价比A种水果高4元， ∴B种水果的售价为元． ∵数量=总价÷单价， ∴用240元购进A种水果的数量为，用160元购进B种水果的数量为． 又∵用240元购进A种水果的数量是用160元购进B种水果数量的2倍， ∴可列方程为． 故选：C． 【跟踪专练1】列方程或不等式解决实际问题： 2026年农历马年春节期间，重庆文旅市场全线升温，热度拉满，共接待游客1260万人次.春节某天，甲、乙分别在洪崖洞和磁器口销售一批小马灯笼．已知乙每小时售出的数量是甲每小时售出数量的1.5倍：若两人都卖出360个灯笼，乙比甲少用4个小时． (1)求甲、乙两人每小时分别售出多少个灯笼？ (2)若甲售出一个灯笼可获得利润10元，乙售出一个灯笼可获得利润8元，甲、乙一共售出450个灯笼，要使甲、乙的总利润不低于4020元，那么甲至少要销售多少个小时． 【答案】(1) 甲每小时售出30个灯笼，乙每小时售出45个灯笼. (2) 甲至少要销售7小时. 【分析】（1）设甲每小时售出灯笼的数量，根据倍数关系表示出乙的销售速度，再利用时间差的等量关系列分式方程，求解检验后得到结果． （2）设甲的销售时间，根据第一问的结果表示出甲乙的销售数量和总利润，再根据总利润的要求列一元一次不等式，求解得到最小值． 【详解】（1）解：设甲每小时售出个灯笼，则乙每小时售出个灯笼． 根据题意，得． 方程两边同乘，得． 解得．检验： 当时，， ∴是原方程的解． 则． 答：甲每小时售出30个灯笼，乙每小时售出45个灯笼． （2）解：设甲销售小时， 则甲售出个灯笼，乙售出个灯笼． 根据题意，得． 化简得． 解得． 答：甲至少要销售7小时． 【跟踪专练2】儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢，六一儿童节来临之际，宜家乐超市决定购进A，B两种风筝，购进每个A种风筝比每个B种风筝多10元，用400元购A种风筝的数量和200元购B种风筝的数量相同． (1)求购进A，B两种风筝每个各需多少元； (2)若该商店决定购进这两种风筝共100个，且用于购买的资金不少于1480元，还不超过1500元，则该商店有哪几种进货方案？ (3)已知商家出售1个A种风筝可获利a元，出售1个B种风筝可获利元，问当a取何值时（2）中的方案，商家获利都相同． 【答案】(1)购进每个A种风筝需20元，购进每个B种风筝需10元 (2)有三种购买方案如下：购进A种风筝48个，购进B种风筝52个；购进A种风筝49个，购进B种风筝51个；购进A种风筝50个，购进B种风筝50个 (3)当时，（2）中的方案商家获利都相同 【分析】（1）设购进每个A种风筝需元，购进每个B种风筝需元，根据“用400元购A种风筝的数量和200元购B种风筝的数量相同”列分式方程求解即可． （2）设购进A种风筝m个，则购进B种风筝个，根据“用于购买的资金不少于1480元，还不超过1500元”列不等式组解得的取值范围，再由为正整数，即可得进货方案； （3）分别表示出三种方案的利润，根据“商家获利都相同”列方程求解即可． 【详解】（1）解：设购进每个A种风筝需元，购进每个B种风筝需元， 由题意列分式方程得：， 去分母，得， 整理得，， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ． 答：购进每个A种风筝需20元，购进每个B种风筝需10元． （2）解：设购进A种风筝m个，则购进B种风筝个， 由题意列一元一次不等式得：， 解得， 是正整数， 或49或50， 有三种购买方案如下： 购进A种风筝48个，购进B种风筝52个； 购进A种风筝49个，购进B种风筝51个； 购进A种风筝50个，购进B种风筝50个． （3）解：第一种方案商家可获利：元； 第二种方案商家可获利：元； 第三种方案商家可获利：元； 根据题意列一元一次方程得，， 整理得，， 解得， 当时，（2）中的方案商家获利都相同． 题型23.分式方程的和差倍分问题 【典例】某种罐装凉茶一箱的价格为元，某商场实行促销活动，买一箱送四罐，每罐的价格比原来便宜元，设每箱中有凉茶罐，则可列方程：_______． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到等量关系是解题的关键． 利用每罐的价格优惠后每罐的价格元，列出方程即可． 【详解】解：根据题意可得：； 故答案为： 【跟踪专练1】某化工厂采用机器人和机器人搬运化工原料，机器人比机器人每小时少搬运10千克，机器人搬运450千克所用时间与机器人搬运500千克所用时间相等．求机器人，每小时分别搬运多少千克化工原料． 【答案】机器人A每小时搬运90千克化工原料，机器人B每小时搬运100千克化工原料． 【分析】本题考查分式方程的实际应用．设机器人A每小时搬运的重量为未知数，结合机器人B与A的搬运量关系表示出B的速度，再根据时间相等的条件列方程求解． 【详解】解：设机器人A每小时搬运千克化工原料，则机器人B每小时搬运千克化工原料， ， 解得：， 检验：当时，，所以是原方程的解， 则机器人B每小时搬运：（千克）． 答：机器人A每小时搬运90千克，机器人B每小时搬运100千克． 【跟踪专练2】某商场准备购进，两种书包，每个种书包比种书包的进价少元，用元购进种书包的个数是用元购进种书包个数的倍．请解答下列问题： (1)，两种书包每个进价各是多少元？ (2)若该商场购进种书包的个数比种书包的倍还多个，且种书包不少于个，购进，两种书包的总费用不超过元，则该商场有哪几种进货方案？ 【答案】(1)每个种书包的进价是元，每个种书包的进价是元 (2)该商场共有种进货方案： 方案：购进个种书包，个种书包； 方案：购进个种书包，个种书包； 方案：购进个种书包，个种书包． 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系列出分式方程，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设每个种书包的进价是元，则每个种书包的进价是元，利用数量总价单价，结合用元购进种书包的个数是用元购进种书包个数的倍，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出每个种书包的进价，再将其代入中，可得出每个种书包的进价； （2）设该商场购进个种书包，则购进个种书包，根据“购进种书包不少于个，且购进，两种书包的总费用不超过元”，可列出关于的一元一次不等式组，解不等式组可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各进货方案． 【详解】（1）解：设每个种书包的进价是元，则每个种书包的进价是元， ， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ， 答：每个种书包的进价是元，每个种书包的进价是元； （2）解：设该商场购进个种书包，则购进个种书包， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的值为、、， 当时，， 当时，， 当时，， 该商场共有种进货方案： 方案：购进个种书包，个种书包； 方案：购进个种书包，个种书包； 方案：购进个种书包，个种书包． 题型24.整数指数幂运算 【典例】下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，零指数幂和幂的乘方运算，负整数指数幂的运算法则为，幂的乘方法则为，零指数幂的条件为，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、，原式不成立，不符合题意； B、，原式不成立，不符合题意； C、当时，无意义，原式不成立，不符合题意； D、（此时，满足原式有意义的条件），原式成立，符合题意； 故选：D． 【跟踪专练1】若，，，，则它们的大小关系是________．（用“”连接） 【答案】 【分析】根据乘方运算、零指数幂的意义、绝对值的性质以及负整数指数幂的意义即可求出答案． 【详解】解：，，，， ． 【跟踪专练2】若，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘单项式，整数指数幂的运算，负指数幂，解二元一次方程组等，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据单项式乘法法则及整数指数幂的法则分别计算等式左右两边，即可求得m、n的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵，， ， 解得： ， 故答案为：． 【跟踪专练3】计算 的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂的乘方、同底数幂相乘、负整数次幂的运算法则计算即可． 【详解】解：． 故选B． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂相乘、负整数次幂的运算法则，幂的乘方的运算法则为，同底数幂相乘的运算法则为，灵活运用这两个法则是解答本题的关键． 【跟踪专练4】我们知道：，，……，，那么接近于( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由负整数指数幂的含义结合整数指数幂的运算可得：再分别把各选项变形，再比较即可得到答案. 【详解】解： 而 即 是一个10位整数，最高位的数字为1， 是一个10位整数，最高位的数字为1，是一个11位整数，最高位的数字为1， 所以更接近 所以最接近 故选B 【点睛】本题考查的是负整数指数幂的含义，整数指数幂的运算，掌握“整数指数幂的运算法则与负整数指数幂的含义”是解本题的关键. 题型25.科学记数法 【典例】某细菌的直径约为0.00000056米，用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据科学记数法的表达形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，n是非负整数；当原数的绝对值时，n是负数 【详解】解：0.00000056的小数点向右移动7位得到5.6， 所以数字0.00000056用科学记数法表示为 ， 【跟踪专练1】一种球形细胞的半径约为米，用小数表示是（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】将中的小数点向左移动位，即可得到结果． 【详解】解：米． 【跟踪专练2】.已知1米纳米，某种病毒的直径是234纳米，“234纳米”用科学记数法表示为______米． 【答案】 【分析】根据科学记数法的一般形式（其中，为正整数），先将纳米单位换算为米，再转化为符合要求的科学记数法形式即可解答． 【详解】解：因为1米纳米，所以1纳米米， 则234纳米米米． 解答题 1．一般情况下，一个分式通过适当变形，可以转化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如： ①； ②． (1)仿照上述方法，试将分式化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； (2)若分式的值为整数，请求出整数的值． 【答案】(1) (2)0或1或3或4 【分析】（1）把原式先变形为，再利用平方差公式分解因式得到，据此可得答案； （2）把式子变形为，进一步可变形为，根据题意可得是整数，则或，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵分式的值为整数，且x为整数， ∴是整数，且是整数， ∴是整数， ∴或， 解得或或或． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解： ． 3．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】先根据分式混合运算的法则进行化简，再代入求值即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 4．已知． (1)化简分式； (2)若关于的分式方程：的解是非负数，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题考查了分式的化简，解分式方程． （1）根据分式的除法进行计算即可求解； （2）先解分式方程，根据分式方程的解是非负数，得出，根据分式有意义的条件得出，进而解不等式即可得出的范围． 【详解】（1）解： （2）， ， ， ， ， 分式方程的解是非负数， ，且， 且 解得且， 的取值范围且． 5．已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)若该方程无解，求实数的值． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（）先把原方程去分母并整理得，解得，然后把代入即可求解； （）根据方程无解可得，然后求出的值即可． 【详解】（1）解：原方程去分母并整理得：， 整理得，，即， ∴当时，， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解是； （2）解：由（）知，所以要使原方程无解， 只需满足即可，解得或． 6．计算和化简 (1) (2) 【答案】(1)1 (2)a 【分析】（1）利用负整数指数幂、立方根进行计算即可； （2）先计算括号内的分式加法再计算分式除法即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 7．【定义新运算】对正实数a，b，定义运算“”，满足． 例如：当时，． (1)当时，计算：______；______． (2)【探究运算律】对正实数a，b，运算“”是否满足交换律？ ，， ． ∴运算“”满足交换律． 对正实数a，b，c，运算“⊕”是否满足结合律？请说明理由； (3)【应用新运算】如图，在线段上取一点E，在同侧分别以、为边作正方形和正方形，连接、，，，若的面积为3，，则的值为_______． 【答案】(1)； (2)满足，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据新定义的运算计算即可； （2）根据新定义的运算先分别计算和，再计算和，然后比较计算结果，即可得出结论； （3）根据新定义的运算先计算，再计算，再根据已知得出，，然后根据完全平方公式求出，再待入原式的最简结果计算即可． 【详解】（1）解：当时， ， ； （2）解：满足，理由如下： ∵，， ∴， ， ∴， 即对正实数a，b，c，运算“⊕”满足结合律； （3）解：∵， ∴ ， ∵的面积为3， ∴， ∴， ∵，. ∴， ∴， ∴（负值不符合题意，已舍去）， ∴原式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题01分式期中复习讲义 ☆ 复习目标 知识目标 能力目标 应试目标 1.吃透分式概念：有意义/ 1.提升分式运算准确率， 1.基础题：概念/性质 无意义/值为0的核心条件 快速化简求值 /简单运算/ 指数幂， 2.熟用分式性质：约分、通分， 2.掌握“分式→整式” 分不丢 找准最简公分母 “实际问题→数学模型” 2.中档题：混合运算、化 3.精通分式运算：乘除/加减 转化思想 简求值、常规分式方程， 乘方+四则混合，步骤规范 3.培养分母非零、增根分 熟练秒杀 4.掌握分式方程：去分母转整 析的严谨逻辑 3.综合题：含参分式方程 式方程+必验根，理解增根成因 4.能独立完成应用题的审 (无解/增根)、应用 5.熟记整数指数暴：0次/负次 题、列方程、验解全流程 题，精准突破 幂法则+小数值科学记数法 4.避坑：杜绝漏验根、忽 6.会建模：列分式方程解行程 略分母非零、符号/运 /工程/销售等实际问题 算顺序错误 ☆： 题型梳理 年年■■。年■■年像容额 题型01.分式的概念辨析 题型02.分式的规律探究与构造 题型03.分式的化简求值 题型04.分式值的符号与取值范围 题型05.分式值为整数的整数解问题 题型06.分式基本性质的应用与判断 题型07.分式的符号与系数化简 题型08.分式的约分与最简分式 题型09.分式通分与最简公分母 题型10.分式的乘除运算 题型11.分式的乘方 题型12.含乘方的分式嵊除混合运算 题型13.分式的加减运算 题型14.分式恒等变形与求值 题型15.分式加减实际应用 题型16.分式混合运算与化简求值 题型17.分式方程的基础 题型18.分式方程的解相关问题 题型19.列分式方程 题型20.分式方程的行程问题 题型21.分式方程的工程问题 题型22.分式方程的经济问题 试卷第1页，共3页 题型23.分式方程的和差倍分问题 题型24.整数指数幂运算 题型25.科学记数法 解答题7题 ☆ 知识梳理 知识点01.分式的概念与基本性质 1.分式定义 形如鲁(A、B为整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫分式。 A:分子；B:分母（分数线兼具除号与括号功能） 判别关键：分母含字母（元是常数，非字母，如是不是分式） 有理式：整式+分式 2.分式有/无意义、值为0的条件（高频考点） 分母不等于0，即B≠0（分子无限制） 分母等于0，即B=0(分子无限制)无意义：B=0 (A=0 分子为0且分母不为0（双重条件，需同时满足），即{B≠0· 3.分式的基本性质（运算核心依据） 分子与分母同乘（或同除）同一个不等于0的整式，分式值不变： 合=：8，合=8(C是整式，且C≠0) 4.约分与最简分式 约分：约去分子、分母的公因式（先因式分解再约分） 最简分式：分子、分母无公因式（除1外） 5.通分与最简公分母 通分：异分母→同分母（依据基本性质） 最简公分母：各分母所有因式最高次幂的积 知识点02分式的四则运算 1.乘法法则 试卷第1页，共3页 文字：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母。 字母：是·号=器(b≠0，d≠0) 2.除法法则 文字：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 字母：是÷导-骨·台b≠0.c≠0d≠0) 3.同分母分式加减 法则：分母不变，分子相加减。 字母：是士名=些(0≠0) 注意：分子相加减时要添括号，最后约分。 4.异分母分式加减 法则：先通分，化为同分母分式，再按同分母法则计算。 字母：号±号-密(b≠0，d≠0) 5.分式的混合运算 运算顺序：先乘方→再乘除一最后加减：有括号先算括号内。 运算技巧：①灵活运用因式分解、约分简化计算；②整式可看作分母为1的 分式；③结果必须化为最简分式或整式 知识点03.分式方程 1.概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2.关键特征： (1)是方程（含有未知数的等式）。 (2)分母中必须含有未知数。 3.分式方程的解法（核心步骤） )找最简公分母：对各分母因式分解，确定所有分母的最简公分母。 (2)去分母：方程两边同乘最简公分母，约去分母，化为整式方程。 (3)解整式方程：求解转化后的一元一次/一元二次整式方程。 ()检验（必做步骤）： 把整式方程的解代入最简公分母： 试卷第1页，共3页 若最简公分母≠0，该解是原分式方程的解： 若最简公分母=0，该解为增根，原分式方程无解。 (⑤写出结论：明确方程的解或无解。 4.分式方程解的三种情况 (①).有唯一解：检验后最简公分母不为0： (2).无解：①整式方程无解②整式方程的解都是增根； (3),有增根：仅说明该根使分母为0，不代表方程无解。 知识点04.分式方程的实际应用（高频考点） 1.常见应用题型 工程问题、行程问题、销售利润问题、浓度问题、工作量问题等。 2.解题步骤 审：分析题意，找等量关系； 设：设未知数（直接/间接设元）； 列：根据等量关系列分式方程； 解：按分式方程解法求解并双重检验（①是否为增根②是否符合实际意义）； 答：规范作答。 3.常见等量关系模板 工程问题：工作效率×工作时间=工作总量；甲效季十乙效率=合作效率 路程 行程问题： 速度 =时间；顺水/逆水速度差异列方程 销售问题： 总价 =数量 ☆ 题型精析 题型01.分式的概念辨析 【典例】在代数式名x名y 383少2,3，，2x+5x2-中，分式买有《) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【跟踪专练1】已知分式5x+” (m,n为常数)，当x=-2时，分式无意义；当x=0.4时， x+m 分式的值为零，则m+n=】 试卷第1页，共3页 【跟踪专练2】分式 一3有意义的条件是 2x-6 【跟踪专练3】对于分式x+a+b, 当x=3时，分式的值为零，当x=-2时，分式无意义， a-2b+3x 则a= ,b= 题型02.分式的规律探究与构造 【奥例】已知a=x-1（x1且x≠2)，a,=-4,4-4, 则 1 a2026等于」 【跟踪专练1】己知分式满足条件“只含有字母x,且当x=2时无意义.”请写出一个这样的 分式 【跟踪专练2】某校组织全体师生m人到革命圣地野三坡进行研学活动，租车公司提供的车 每辆能乘坐人，宋老师发现除自己外，其他人刚好能将座位坐满，则学校从租车公司共租 用车辆() A.m+1辆 B.m辆 c.m+1辆 n n n D(-辆 【跟踪专练3】杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算 法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行中间写下数字1；在第二行写下两个1，和 第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每 个位置的数都是它左上方和右上方的数之和.若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置 的数依次组成一系列新的数，依次记作a1,a2,a,a4,a5,a,由图可知a1=1,2=3,a3=6…若 1+L+…+1-4052 aa, a,2027,则1=() 杨辉三角 1 11 12回 13 目1 14 目41 a年年ggg年gg0 A.2025 B.2026 C.2027 D.2028 题型03.分式的化简求值 【奥1若。则后《) b 试卷第1页，共3页 B月 c. D. 2-3 【跟踪专练1】若上+上2，则分式5的值为 x V xy+2x+2y 【跟踪专练2】设a,b,c满足a+b+e=3,a+6+e4,则0+6+b+c+c+a的 2+c2+a2+b 值为() A.0 B.3 C.6 D.9 题型04.分式值的符号与取值范围 【典例】若分式-3的值为正数，则x的取值范围是() x+1 A.x>3 B.x<-1或x≥3C.x<-1或x>3D.-1<x<3 跟踪专练1】已知分式中的值为负数，则x的取值范围园 【跟踪专练2】若分式1表示的数是负数，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（) x-2 A. B -2-1012 -2-1012 C. D -2-1012 -2-101 题型05.分式值为整数的整数解问题 【典例】若分式4的值是整数，则x可以取最小整数的值是 X-1 【跟踪专练1】若使分式，了，的值为正整数，则符合条件的整数x的值共有() 2x+3 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【跟踪专练2】若分式24产 ，的值为整数，则符合条件的所有整数x的和为 题型06.分式基本性质的应用与判断 【典例】填空：若= =,,则等式右边的分子为 【跟踪专练1】填空： (1) 3a（吵 5xy 10axy (a0); a+21 2)。-4呼 括号内的式子分别是 试卷第1页，共3页 【跟踪专练2】将分式少中的x和y都扩大10倍，那么分式的值变为原来的 'x+v 【跟踪专练3】如果把分式 2x中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（） x+v A.扩大为原来的3倍 B.缩小为原来的倍C.缩小为原来的后倍 D.不变 【跟踪专练4】无论x取何值，分式r+2025 的值始终保持不变，则的值为() bx+2026 2025 B. 2026 2026 2027 A. C. 2026 2027 0 2025 2026 【跟踪专练5】下列说法正确的是() A分式号的值为0，则路值为！ B.分式“的分子、分母都乘以m,分式的值不变 C.分式 2xy 中的x,y都扩大3倍，分式的值不变 x+y D分式青，是极简分式 题型07.分式的符号与系数化简 【典例】不改变分式2-3x+x的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是() -5x3+2x-3 A. 3x2+x+2 B.3r2-x+2 D. 3x2-x-2 5x3+2x-3 5x3+2x-3 C.3+r-2 5x3-2x+3 5x3-2x+3 跟踪专练不改变分式的值，把分式心2的分子、分母各项系数都化为整数 得 【跟踪专练2】不改变分式的值，将下列分式的分子和分母中各项系数都化为整数，且分子 与分母的首项系数都不含“一”号： I①02r-y -0.5x 1 5x-3y 题型08.分式的约分与最简分式 试卷第1页，共3页 【奥例1]装同学指分式众g约分后得到敏简分式二·则际分式的分子A是 【跟踪专练1】化简-4mn 2m3 【跟踪专练2】若分式-口÷x-2 能进行约分化简，则口”内的正数是() x+1 x A.0 B.1 C.2 D.4 题型09.分式通分与最简公分母 【奥例】计学，252新0时，需要先通分，测这两个分式的最前公分号是() A.x+5)x-5 B.2(x+5)(x-5) C.(x+5)2(x-5 D.2(x+5)2(x-5 【限除专株1】把。与。通分·子2+的分写为1-a+,测一的 a-1 分子变为() A.1-a B.1+a C.-1-a D.-1+a 1 【跟踪专练2】若分式2a+句的分母经通分后变为4a(a+b(a-),则分子应变为 【跟踪专练3】把分式1 1 x-2'(x-2(x+3'(x+3通分，下列结论不正确的是() A.最简公分母是(x-2)(x+3)2 B.L=(x+32 x-2(x-2(x+32 x+3 2 2x-2 C. (x-2)(x+3)(x-2)(x+3)2 D. 0+3y=x-2x+3y 题型10.分式的乘除运算 【典例】下列各式计算错误的是() -3ab.10y=-5a A.4xy216 14x B.y。3x4y 2yz 8yz 3x C. a D.-j3÷a20 【限除专练山计※。。0 一的结果是() 试卷第1页，共3页 A.a -1 B品 C.a-1 D.1-a a a 【跟踪专练2】在1-2016这2016个整数中，使得+1是最简分数的n共有 个 n+1 【跟踪专练3】如图，老师设计了一个接力游戏，甲、乙、丙、丁四位同学用合作的方式完 成分式化简，其中出现错误的同学是() 老师 甲 乙 丙 x2-6x x2-6x3-x x2-6xx-3 x(x-6)x-3 x-6 x-3 3-x x-3 x2 x-3 x-3 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 题型11.分式的乘方 【典例】计算： 2x 【跟踪专练1】计算： 【跟踪专练2】下列分式运算，结果正确的是() a c ad b"+3 2a A. C 4a2 D. b d bc a-b a2-b2 题型12.含乘方的分式乘除混合运算 【典例】化简： A. B.xyz2 C.y424 D.y'z x2 【跟踪专练1】计算： "a 的结果是() 5 5a A. B. C.- 5 D. 5a 4b 4b Ab 题型13.分式帕的加减运算 【典例】下列运算正确的是( 试卷第1页，共3页 B片。 C.a+I.b-a D. xy=1 x-yx-y 【跟踪专练1】若上+。4 ,则2+只+2的值是《) a b a+b a b A.4 B.-1 C.7 D.、 2 【跟踪专练2】已知+5x+1=0.则2+的值是（) A.23 B.231 C.21 D.19 【跟踪专练3】已知4BC的三边长分别为，6，c,且2+2-a+C ,则ABC一定是 "a c a+c-b () A.等边三角形 B.腰长为a的等腰三角形 C.腰长为b的等腰三角形 D.腰长为C的等腰三角形 【跟踪专练4】直接写出计算结果：+)+-y a2 a b x-22-x x+10 【跟踪专练5】已知2x-1x+)2x-x+3,则4+8= 【跟踪专练6】对于正整数n,x轴上有Anx,0)、Bny,0)两点，用AnBn表示这两点间的距 [1+1=2n+1 x y 离，其中A,、B,横坐标分别是方程组 的解，则AB,+A2B2+.…+A2o1gB201g的 11 =-1 x y 值等于」 题型14.分式恒等变形与求值 111 【典例】在八年级上丹数学课本第148页，探讨了+”n中，根据公式若有 r-5x+6"x+ax+6则(a+b的值为() 1 11 A.5 R专 C.5 D.-5 (跟踪专练1】若4为正整数，下列关于分式2-2的值的结论正确的是（) a2-1 A.有最大值是2 B.有最大值是？ 3 C.有最小值是1 D.有最小值，没有最大值 试卷第1页，共3页