专题01 分式（期中复习讲义）八年级数学下学期新教材华东师大版

专题01 分式（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 分式的判断 题型02 分式有意义的条件 题型03 分式的值为零的条件 题型04 利用分式的性质进行变形 题型05 分式的求值 题型06 最简分式的判定 题型07 分式的乘除法与分式的约分 题型08 含有乘方的分式乘除法运算 题型09 分式的加减运算 题型10 分式的加减运算的应用 题型11 分式的化简求值问题 题型12 解分式方程 题型13 根据分式的根的情况求参数 题型14 分式方程应用题常见类型 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 分式的概念与性质 准确理解分式概念，能识别分式并确定定义域（分母≠0） 基础必考：多以选择题、填空题出现，考查对概念的理解。分式值为零的条件是高频易错点，需同时满足分子为零且分母不为零。 分式的约分与通分 能结合因式分解和幂的运算进行化简 易错点：约分时漏掉负指数（如） 分式的四则运算 能熟练进行分式的加减乘除及混合运算，特别是异分母分式的通分与加法；能进行分式的混合运算并化简求值，规范书写步骤。 核心主干，解答题必考。常以计算题或化简求值题形式出现。混合运算是难点，要求步骤清晰、结果最简。代入求值时需注意分母不为零。易错点：运算顺序错误（如先乘除后加减）、通分时漏乘分子（如通分错误） 分式方程的解法与应用 理解分式方程的概念，会解分式方程并验根，能建立分式方程解决实际问题（工程、行程等），列出分式方程并求解，最后对结果进行解释和检验。 应用题主流题型。常与行程、工程、销售等问题结合。难点在于从文字中提炼等量关系。列方程前的分析和解方程后的“双检验”（检验解和实际意义）是得分关键。 知识点01 分式的概念 形如(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子，叫做分式。其中 A叫做分式的分子,B叫做分式的分母。分母，分式才有意义 整式和分式统称有理式, 即有有理式=整式+分式. 分式有意义的条件:对于分式,当B≠0时分式有意义;当B=0时无意义. 分式值为0的条件：分子等于0，分母不等于0（两者必须同时满足，缺一不可） 示例：判断是否为分式： 是分式（分母含字母且不为零） 不是分式（π为常数，分母不含字母） 易错点：误认为所有含分母的式子都是分式（如是整式） 忽略取值范围：需同时满足且 知识点02 分式的基本性质 (1)分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. 分式的基本性质: （2）分式的变号法则： 分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。符号法则：B或同时改变其中两个的符号，分式的值不变 知识点03 分式约分与通分 与分数类似，根据分式的基本性，可以对分式进行约分和通分. ①分式的约分：即要求把分子与分母的公因式约去.，是一个恒等变形。为此，首先要找出分子与分母的公因式. 找公因式的方法： （1）分子分母是单项式时，先找分子分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式 （2）分子分母是多项式时，先把多项式因式分解，再按（1）中的方法找公因式 ②分式的通分：把几个异分母分式分别化为与原分式相等的同分母分式的变形过程叫通分。通分前后分式的值不变；找最简公分母是通分的关键 确定最简公分母的一般方法： 如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是由 ①各分母系数的最小公倍数； ②各分母相同字母的最高次幂； ③各分母所有不同字母及其指数的乘积这三部分组成. 如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再按照分母都是单项式时求最简公分母的方法，从系数，相同因式、不同因式三个方面去确定. 知识点04 分式的混合运算 1.分式的混合运算顺序： 分式与分数的混合运算有相同的运算顺序，即先乘方，再乘除，然后 加减，有括号时，先做括号内的运算，按照小括号、中括号、大括号 的顺序进行，对于同级运算，按从左到右的顺序进行。 2.分式的混合运算的方法： （1）进行分式混合运算时，可以根据需要合理运用运算律来简化运算，此时需将分式的乘除法统一变成乘法，分式的加减法统一成加法，才能使用乘法运算律、加法运算率简化运算. （2）运算过程中及时约分简化，有时可使解题过程简单. （3）运算结果是最简分式或整式. 3.方法点拨 （1）分式的计算应先分清运算数学，再按分式的运算法则进行计算，当某一项是整式时，可将此项看成分母为1的式子； （2）分式的混合运算中要注意对各分式中的分子、分母符号的处理，结果中分子或分母的系数是负数的，要把“-”号提到分式的前面； （3）所有的分式运算，结果必须化到最简. 示例： 计算： 通分括号内： 除法转乘法： 易错点： 运算顺序错误：先算加减后乘除（如误先算加法） 符号错误：提取负号时未变号（如） 知识点05分式方程的解法 1、分式方程的概念 1.分式方程：分母中含有未知数的方程叫作分式方程. 2.判断一个方程是分式方程的条件： （1）是方程； （2）含有分母； （3）分母中含有未知数. 以上三者缺一不可. 注意：分式方程的分母中含有未知数，而不是一般的字母参数。 2、分式方程的解法 (1)去分母，把分式方程转化为整式方程； (2)解这个整式方程，求得方程的根； (3)检验，把解得的整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母为0，则它不是原方程的根，而是方程的增根，必须舍去；如果最简公分母不为0，则它是原分式方程的根． 3、分式方程的增根(1).增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数的取值范围扩大，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程分母为0，就会产生增根．也就是说增根是分式方程转化后的整式方程的根，而不是原分式方程的根． (2).分式方程的增根有两个特征： ①增根使分母为0； ②增根是分式方程化成的整式方程的根． 知识点06分式方程的应用 列分式方程解应用题的一般步骤： （1）审：即审题，根据题意找出已知量和未知量，并找出等量关系；审题时，先寻找题目中的关键词，然后借助列表、画图等方法准确找出等量关系，当题目中包含多个等量关系时，要选择一个能够体现全部（或大部分）数量的等量关系列方程。 （2）设：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设，注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数的式子表示相关量. 设未知数时，一般题中问什么就设什么，若直接设未知数难以列方程， 则可设另一个相关量为未知数，有时设一个未知数无法表示等量关系，可设多个未知数. （3）列：即列方程，根据等量关系列出分式方程. （4）解：即解所列的分式方程，求出未知数的值. （5）验：即验根，既要检验所求的未知数的值是否适合分式方程， 还要检验此解是否符合实际意义. （6）答：即写出答案，注意单位和答案要完整. 列分式方程解应用题与列其他方程解应用题的步骤基本相同，但需要注意的是进行双验根，既要检验是不是原方程的根，还要检验是不是使实际问题有意义． 题型一 分式的判断 易｜错｜点｜拨 判断代数式是否为分式，关键看分母是否含有字母。形式为A/B，且B中含有字母。整式与分式的根本区别在于分母，与分子形式无关。注意π是常数而非字母，分母含π的仍是整式。 【典例1】（25-26八年级上·广西河池·期末）下列式子是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，是整式． 【详解】解：A．的分母π是常数，不是字母，属整式；     B．分母含字母，属分式；     C．是多项式，属整式；     D． 的分母2是常数，不是字母，属整式． 【变式1】（22-23八年级下·辽宁沈阳·期中）在代数式、、、、、、中，分式有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【详解】解：，，，，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式， ，分母中含有字母，因此是分式． 【变式2】（25-26八年级上·河北石家庄·月考）若是分式，则可以是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】若为两个整式，且B中含有字母，那么就叫做分式，据此可得答案． 【详解】解：由分式的定义可知，可以是． 题型二 分式有意义的条件 易｜错｜点｜拨 分式有意义的条件是分母不为零。解题时令分母等于零，求出使分母为零的字母取值，则分式有意义的条件是字母取除此之外的所有值。多分母分式需保证所有分母均不为零。 【典例1】（2026·河南许昌·一模）若分式在实数范围内有意义，写出一个符合要求的的值：___________． 【答案】6（答案不唯一） 【分析】根据分式有意义的条件进行解答即可． 【详解】解：要使分式在实数范围内有意义，则， 解得， 即不等于5的任意实数，分式在实数范围内有意义． 【变式1】（2026·河南许昌·一模）请写出使分式有意义的x的一个值：________． 【答案】0（答案不唯一） 【详解】解：使分式有意义， ∴， 解得，， ∴当时，可以使分式有意义， 故答案为：0 （答案不唯一）． 【变式2】（25-26八年级下·北京·开学考试）若分式有意义，则实数的取值范围是___________． 【答案】/ 【分析】根据分式的分母不为0即可求解． 【详解】解：分式有意义的条件是． 解不等式得． 题型三 分式的值为零的条件 易｜错｜点｜拨 分式的值为零需同时满足两个条件：分子为零且分母不为零。解题时先由分子为零解出参数值，再逐一代入原式分母检验，舍弃使分母为零的增根。两者缺一不可。 【典例1】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）若分式的值为零，则的值为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】利用分式值为零的条件得到且，然后解方程和不等式即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且， 解得：． 【变式1】（25-26八年级上·宁夏吴忠·期中）若分式的值为0，则x的值为_________． 【答案】 【分析】根据分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零．据此列出关于x的不等式和方程进行解答即可． 解题的关键在于理清分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零． 【详解】解：分式的值为0， ，， 解得，， ． 【变式2】（25-26八年级下·四川泸州·开学考试）已知分式的值为0，小虎说应该有，但老师却说他的答案是错误的，你觉得正确答案是_____． 【答案】 【分析】根据分式值为0的条件，先求解使分子为0的x的值，再排除使分母为0的x的值，即可得到正确结果. 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得：. 题型四 利用分式的性质进行变形 易｜错｜点｜拨 分式变形基于分式基本性质：分子分母同乘（或除以）同一非零整式，值不变。常用于系数化整、变号（分子分母及分式本身三者符号同时改变两处，值不变）及通分、约分的预备工作。 【典例1】（25-26八年级下·甘肃天水·月考）若把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（   ） A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．缩小6倍 【答案】B 【分析】将式中的x，y都用，来表示，再将后来的式子与原式对比，即可得出答案． 【详解】解：把分式中的x和y都扩大3倍， 得，， ∴分式的值不变． 【变式1】（25-26八年级上·山东德州·期末）下列各式与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质逐一判断即可，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：、选项分子分母同时加，不符合分式基本性质，值改变，不符合题意； 、选项分子分母未同乘（或除以）同一个整式，值改变，不符合题意； 、∵， ∴， ∵该分式有意义时，即，此时， ∴约分后得，与原式相等，符合题意； 、选项无法因式分解为含的整式，无法约分得到原式，不符合题意； 故选：． 【变式2】（25-26八年级上·河南周口·期末）如果把分式中的a，b都缩小到原来的，那么分式的值（   ） A．缩小到原来的 B．不变 C．扩大2倍 D．缩小到原来的 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的基本性质．依题意，分别用和去代换原分式中的a和b，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】解：如果把分式中的a和b都缩小到原来的， 则变化后的分式为， 即分式的值缩小为原来的， 故选：A． 题型五 分式的求值 易｜错｜点｜拨 直接代入求值需确保分母不为零。整体代入法则需观察已知条件与所求分式的关系，常通过设参数、变形已知等式或构造倒数式来简化计算，体现了整体思想和转化思想。 【典例1】（25-26九年级下·江苏淮安·期中）若，则的值为_________． 【答案】 【分析】根据题意可得，再把代入所求式子中计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·江苏南通·期末）已知，则分式的值为______． 【答案】 【分析】先根据已知等式得到a与b的数量关系，再通过代入消元将分式转化为只含单一字母的式子，最后依据分式的基本性质约分求值． 【详解】解：∵ ∴，且（若，则，与矛盾） 将代入，得 故答案为：． 【变式2】（2026八年级下·全国·专题练习）若，则______． 【答案】 【分析】本题考查分式求值．熟练掌握设参法，是解题的关键． 设，得到，代入分式求值即可． 【详解】解：设 ，则 ，，， ∴ ． 故答案为：． 题型六 最简分式的判定 易｜错｜点｜拨 最简分式需满足：分子分母已无公因式。判定关键是看分子分母是否已进行因式分解，并检查是否还有可约去的公因式。约分必须彻底，结果可以是整式或最简分式。 【典例1】（25-26八年级上·云南昆明·期末）下列分式中，最简分式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简分式的定义，分子与分母没有公因式的分式为最简分式． 根据最简分式的定义逐一判断各选项的分子分母是否存在公因式即可． 【详解】解：选项A中，的分子分母有公因式，约分后为，不是最简分式； 选项B中，无法分解因式，与分母无公因式，是最简分式； 选项C中，，的分子分母有公因式，约分后为，不是最简分式； 选项D中，分母，分子分母有公因式，约分后为，不是最简分式； 故选：B． 【变式1】（2026八年级下·江苏·专题练习）在分式，，，，中，最简分式有__个． 【答案】1 【分析】本题考查分式的应用，熟练掌握最简分式的意义和正确进行分式约分的方法是解题关键． 根据最简分式的意义对每项进行检验判断． 【详解】解：由=，得到此分式不是最简分式； 由，得到此分式不是最简分式； 由=，得到此分式不是最简分式； 由，得到此分式不是最简分式； 而分子分母没有公因式，是最简分式． 故答案为：1 ． 【变式2】（25-26八年级上·山东泰安·期末）若分式是最简分式，则表示的可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简分式的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 最简分式要求分子与分母无公因式，分子为，因此分母不能含有的因式，逐项判断即可． 【详解】解：由于分式是最简分式， 则分子与分母无公因式， 选项A、，含有因式，不是最简，故不符合题意； 选项B、，含有因式，不是最简，故不符合题意； 选项C、，含有因式，不是最简，故不符合题意； 选项D、，在实数范围内无法因式分解，且与无公因式，是最简分式， 故选：D． 题型七 分式的乘除法与分式的约分 易｜错｜点｜拨 运算遵循法则：分子乘分子、分母乘分母；除法转化为乘法。核心是“先因式分解，后约分”，将除法变乘法后，寻找分子分母中的公因式并约去，使运算最简化，结果应为最简分式或整式。 【典例1】（25-26八年级上·天津北辰·月考）化简的结果（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握其运算法则是解题的关键．将除法运算转化为乘法运算，并利用平方差公式分解分母，然后约分简化表达式． 【详解】解： ， ， ． 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的乘除运算，提公因式与完全平方公式的运算，将分式的除法变为分式的乘法是解题的关键．先根据提公因式与完全平方公式计算，再将除法变为乘法约分化简即可． 【详解】解：原式 ． 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·上海·月考）计算：． 【答案】 【分析】本题考查分式乘除混合运算． 对分子和分母进行因式分解，将除法转化为乘法，约去公因式即可． 【详解】解： ． 题型八 含有乘方的分式乘除法运算 易｜错｜点｜拨 处理乘方时，需将分子、分母分别乘方，并遵循积的乘方法则。混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，最后进行约分。运算中需注意符号，负数的偶次方为正，奇次方为负。 【典例1】（25-26九年级下·河北沧州·月考）计算的结果是（    ） A．a B．a3 C．a6 D．a9 【答案】A 【分析】先计算乘方，再进行约分即可得到结果． 【详解】解： ∴ 化简得结果为． 【变式1】（25-26八年级下·天津·开学考试）计算： 【答案】 【分析】先计算分式乘方和积的乘方，再把除法变成乘法后计算乘法即可得到答案． 【详解】解： ． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式运算，熟练掌握分式的乘除运算是解题的关键； 进行幂运算后先将除法化为乘法然后进行约分化简． 【详解】解：原式 ． 题型九 分式的加减运算 易｜错｜点｜拨 同分母分式相加减，分母不变，分子相加减。异分母分式则先通分转化为同分母。关键是找最简公分母：系数取最小公倍数，字母取最高次幂。结果必须化为最简形式。 【典例1】（25-26八年级上·重庆·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，分式的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键： （1）利用单项式乘以多项式和完全平方公式进行计算即可； （2）先计算括号内，再通分进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 【变式1】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式的加减运算，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键； （1）先通分，然后按照分式加减法则计算即可； （2）先通分，然后按照分式加减法则计算即可； （3）先通分，然后按照分式加减法则计算即可； （4）先通分，然后按照分式加减法则计算即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式2】（24-25八年级下·江苏无锡·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． （1）先根据求分式的加法，再根据平方差公式即可求解； （2）先算括号内的，再把除法变成乘法，结全完全平方公式即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型十 分式的加减运算的应用 易｜错｜点｜拨 此类问题常表现为列式并计算，如行程、工程问题。关键在于根据题意准确列出分式，再运用加减运算法则进行计算。计算后需结合实际问题背景，检验结果的合理性并进行解释。 【典例1】（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）张华和李明同时从甲地沿同一路线步行去乙地．张华在前半程平均行走速度是，后半程平均行走速度为；李明全程行走的平均速度为．如果，两人谁先到达乙地？ 【答案】李明先到达乙地． 【分析】本题考查分式的应用及作差法比较大小，关键是运用行程问题中“时间=路程÷速度”的基本公式，分别表示出张华和李明从甲地到乙地的总时间，再通过作差法比较时间长短，时间短的先到达目的地． 【详解】解：设甲地到乙地的总路程为． 设张华的步行总时间为，李明的步行总时间为： ∵张华前半程路程为，速度为，后半程路程为，速度为， ∴前半程时间为，后半程时间为， ∴； ∵李明全程平均速度为，总路程为， ∴， ∴， 又∵，且，，， ∴，， ∴，即， ∴李明先到达乙地． 【变式1】（25-26八年级上·天津滨海新区·期末）某施工队每天挖掘米隧道，改进施工技术后每天能多挖掘，那么同样挖掘米隧道，比原来少用的天数为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式减法运算的实际应用，核心是通过计算不同施工效率下的施工天数，进而求出天数差．先根据原日挖掘量求出改进技术后的日挖掘量，再分别计算两种情况下挖掘米隧道所需的天数，最后用原天数减去改进后的天数得到少用的天数． 【详解】解：原来每天挖掘米，挖掘米隧道需要的天数为； 改进施工技术后，每天挖掘的长度为米，此时挖掘米隧道需要的天数为； 因此比原来少用的天数为． 故选：D． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）某地有的沙漠，原计划每年治理．为了尽快改善生态环境，当地加大了治理力度，每年比原计划多治理．照此计算，该地实际可比原计划提前几年使全部沙漠得到治理？ 【答案】 【分析】本题考查分式加减的实际应用，先分别求出原计划治理沙漠所需的时间和实际治理沙漠所需的时间，再通过作差得到实际比原计划提前的时间． 【详解】解：原计划治理沙漠所需的时间为年， 实际治理沙漠所需的时间为年， 则提前的时间为： ， 答：该地实际可比原计划提前年使全部沙漠得到治理． 题型十一 分式的化简求值问题 易｜错｜点｜拨 遵循“先化简，再求值”原则。综合运用分式的加、减、乘、除、乘方运算法则对复杂分式进行化简，通常结果为一个最简分式。最后将给定数值代入计算，代入前务必确认使化简后的式子有意义。 【典例1】（25-26九年级下·河南周口·月考）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】先根据分式的加减法计算括号内的，再计算分式的乘除法，然后代入求值． 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 【变式1】（25-26九年级下·北京·月考）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】先由已知得，然后化简所求代数式，最后整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ． 【变式2】（2026·浙江衢州·一模）小王的解题过程如下： 先化简，再求值：，其中． 解：原式…………①         …………②         …………③ 当时，原式． (1)请指出首次出现错误的步骤序号：______． (2)写出正确的解答过程． 【答案】(1)② (2)见详解 【分析】（1）根据分式的化简步骤回答即可． （2）先化简分式，再代入数值求解即可． 【详解】（1）解：首次出现错误的步骤序号②，分母不应该舍去．分式通分后，应该保持分母不变，对分子进行计算. （2）解： ， ， 当时，原式． 题型十二 解分式方程 易｜错｜点｜拨 步骤为：去分母（方程两边同乘最简公分母，化为整式方程）、解整式方程、检验（将解代入最简公分母，若为零则为增根需舍去）。检验是必不可少的步骤，旨在排除增根，确保解的合法性。 【典例1】（2026·甘肃平凉·一模）方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据去分母、移项、合并同类项、化系数为1解分式方程即可． 【详解】解：去分母，得，即， 移项，得， 合并同类项，得， 化系数为1，得， 检验：当时，，所以是原方程的解． 【变式1】（25-26八年级下·甘肃天水·月考）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：去分母得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，， 经检验是方程的解， ∴原分式方程的解为． （2）解：原方程化为，， 去分母得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，， 经检验是方程的解， ∴原分式方程的解为． 【变式2】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）下面是某同学解分式方程的部分过程： 解：方程两边同时乘以________，得． 解得． (1)这位同学解题过程中横线处应填________，解题过程缺少的关键步骤是________； (2)该同学反思上述解答过程时，发现不仅缺少了关键的一步，还存在错误，请帮他写出正确的解答过程． 【答案】(1)，检验； (2)正确的解答过程见解析． 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （）根据解分式方程的步骤判断即可得解； （）根据解分式方程的步骤计算即可得解． 【详解】（1）解：这位同学解题过程中横线处应填，解题过程缺少的关键步骤是检验， 故答案为：，检验； （2）解： ， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为：． 题型十三 根据分式的根的情况求参数 易｜错｜点｜拨 已知分式方程根的情况（如解为正数、负数、增根等），求参数取值范围。先按解分式方程步骤求出用参数表示的根，再根据题目条件列出关于参数的方程或不等式，并务必考虑分母不为零这一隐含条件。 【典例1】（25-26九年级下·福建泉州·月考）若方程有增根，则增根为_____ ． 【答案】5 【分析】先确定分式方程分母为0时x的值，该值即为增根． 【详解】若方程有增根， 则， 解得， ∴增根为． 【变式1】（25-26七年级下·上海闵行·月考）关于的方程的解是非负数，那么的取值范围是___________． 【答案】且 【分析】先求出分式方程的解，再根据解为非负数列不等式求解，最后根据增根的约束条件得到不等式，即可求解． 【详解】解： ， 解得， ∵关于的方程的解是非负数 ∴， 解得， ∵是增根， ∴ ∴， ∴的取值范围是且． 【变式2】（25-26七年级下·上海杨浦·月考）若关于的不等式组有且只有2个偶数解，关于的方程的解为非负数，则奇数______． 【答案】 或 【分析】先解不等式组得到x的取值范围，再根据有且只有2个偶数解确定a的初步范围，接着解分式方程，根据解为非负数且分母不为零得到a的限制条件，最后找出满足所有条件的奇数a即可. 【详解】解： 解不等式得， 故不等式组的解集为， 不等式组有且只有2个偶数解，中只有两个偶数， ， 解得， 解分式方程， 方程两边同乘得， 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1得， 分式方程的解为非负数，且分母不为零， ，且， 解得，且， 结合，可得满足条件的奇数为. 题型十四 分式方程应用题常见类型 答｜题｜模｜板 审设列解验答：严格遵循这六步。“验” 这一步包含两层含义： · 数学检验：检查解出的根是否使原分式方程的最简公分母为零（是否为增根）。 · 实际意义检验：检查解是否符合实际情境（如速度、时间不能为负数，人数必须为正整数等）。 2. 寻找等量关系：这是列方程的核心。可以通过关键词（如“相等”、“比…多/少”、“是…的几倍”）或表格法梳理题目中各数量之间的关系。 3. 统一单位：在列方程前，确保所有物理量（如路程、速度、时间）的单位是统一的。 【典例1】（2026·山西太原·一模）2026年，中国在海陆空多维交通与国防领域的“提速”成果密集落地，全国两会期间披露，CR450动车组正在进行提速攻坚实验，计划年内定型，该次列车采用永磁牵引、碳纤维轻量化等技术进行提速，北京至上海有望比原来减少1小时，已知京沪高铁全长1320千米，原来动车组的提速为330千米每小时，求提速后新型动车组的速度比原来的动车组每小时快多少千米？ 【答案】提速后新型动车组的速度比原来的动车组每小时快110千米． 【分析】设提速后新型动车组的速度比原来的动车组每小时快千米．根据北京至上海有望比原来减少1小时列出方程，解方程并检验即可． 【详解】解：设提速后新型动车组的速度比原来的动车组每小时快千米． 经检验：是原方程的解 答：提速后新型动车组的速度比原来的动车组每小时快110千米． 【变式1】（25-26八年级下·甘肃天水·月考）某市今年计划修建一段全长1500米的景观路，为了尽量减少施工对城市交通的影响，实际施工时，每天的工效是原计划的1.2倍，结果提前2天完成这一任务，求原计划每天修路多少米？ 【答案】原计划每天修路125米 【分析】设原计划每天修路x米，则实际每天修路米，根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】解：设原计划每天修路x米，则实际每天修路米， 根据题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：原计划每天修路125米． 【变式2】（25-26九年级下·江苏淮安·期中）随着新能源汽车产业的飞速发展，充电基础设施的建设已成为国家战略的重要一环．某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩，已知甲型充电桩是乙型充电桩单价的1.5倍，用18万元购买甲型充电桩比用9万元购买乙型充电桩的数量多5台．求甲、乙两种型号充电桩的单价． 【答案】甲、乙两种型号充电桩的单价分别为万元和0.6万元 【分析】设乙种型号充电桩的单价为万元，根据甲型充电桩是乙型充电桩单价的1.5倍，用18万元购买甲型充电桩比用9万元购买乙型充电桩的数量多5台，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设乙种型号充电桩的单价为万元，由题意，得 ， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意； ∴； 答：甲、乙两种型号充电桩的单价分别为万元和0.6万元． 【变式3】（25-26八年级上·福建福州·期末）某化工厂采用机器人和机器人搬运化工原料，机器人比机器人每小时少搬运10千克，机器人搬运450千克所用时间与机器人搬运500千克所用时间相等．求机器人，每小时分别搬运多少千克化工原料． 【答案】机器人A每小时搬运90千克化工原料，机器人B每小时搬运100千克化工原料． 【分析】本题考查分式方程的实际应用．设机器人A每小时搬运的重量为未知数，结合机器人B与A的搬运量关系表示出B的速度，再根据时间相等的条件列方程求解． 【详解】解：设机器人A每小时搬运千克化工原料，则机器人B每小时搬运千克化工原料， ， 解得：， 检验：当时，，所以是原方程的解， 则机器人B每小时搬运：（千克）． 答：机器人A每小时搬运90千克，机器人B每小时搬运100千克． 【变式4】（2026·安徽淮南·一模）我省的黄山毛峰、祁门红茶、太平猴魁等都是中国名茶．随着科技的发展，机器人参与了采茶工作，已知每台机器人每小时的采茶量比一名熟练采茶工的2倍还多1千克，且每台机器人采摘25千克茶叶与一名熟练采茶工采摘10千克茶叶所需要的时间相同．设一名熟练采茶工每小时采茶量为千克． (1)每台机器人每小时采茶量为___________千克； (2)若每台机器人每天工作8小时，则每台机器人每天采茶多少千克？ 【答案】(1) (2)每台机器人每天采茶40千克 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）列分式方程求解． 【详解】（1）解：根据题意得，每台机器人每小时采茶量为千克； （2）解：由题意得， 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合实际情况． （千克）． 答：每台机器人每天采茶40千克． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．计算：_______． 【答案】 12 【分析】根据负整数指数幂与绝对值的性质化简运算即可． 【详解】解：． 2．若分式无意义，则________________． 【答案】 【分析】根据分式无意义的条件，得到分母为零，列出一元一次方程求解即可得到的值． 【详解】解：无意义， ， 解得： 3．世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量仅有克，数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：用科学记数法表示为，故C正确． 4．下列运算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂的乘方、算术平方根定义、完全平方公式、负整数指数幂的运算法则，分别计算各选项后判断正误． 【详解】解：∵幂的乘方法则为底数不变，指数相乘，∴，A错误． ∵算术平方根是平方根中的非负数，∴，B错误． ∵根据完全平方公式展开，∴，C错误． ∵根据负整数指数幂运算法则，，∴，D正确． 5．计算：___________． 【答案】 【分析】利用零指数幂和负整数指数幂的运算法则进行计算． 【详解】解： ． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 6．如果把分式中的和都扩大为原来的倍，那么分式的值（    ）． A．不变 B．扩大为原来的倍 C．扩大为原来的倍 D．缩小为原来的 【答案】A 【分析】根据题意，将原分式中的、分别替换为、，利用分式的基本性质化简，将化简结果与原分式比较即可得出结论. 【详解】解：和扩大为原来的倍后，分式的值为，与原式相等， ∴值不变，选A． 7．计算的结果是________． 【答案】 【详解】解：． 8．已知（其中，），则表示的分式是__________． 【答案】 【分析】利用等式的性质表示，再根据分式的除法运算法则化简计算即可得到的表达式． 【详解】解：由， 根据等式的性质，得， ∴， 解得． 9．解分式方程：． 【答案】原分式方程无解 【分析】先把分式方程化为整式方程求解，最后检验即可． 【详解】解： 解得． 检验：∵， ∴是增根， 原分式方程无解． 10．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的化简求值，灵活运用分式的运算法则、因式分解是解题的关键．先对括号内的分式通分计算，再将除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分，得到最简分式，最后代入求出式子的值． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 11．已知，则的值为__________． 【答案】 【详解】解：． 12．若关于x的分式方程 无解，则 _____． 【答案】 【分析】先化简分式方程，得，由分式方程无解，则，得，代入求解即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 解得：， ∵分式方程无解， ∴其解是使原方程分母为0的增根，故， ∴， 解得：． 13．计算： (1) (2)； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 14．先化简再求值：，在，0，1三个数中选择一个你喜欢的，代入求值． 【答案】； 【分析】先计算除法，再计算减法，最后代入合适的数值计算即可． 【详解】解：原式 ； ，，， ，，， ， 原式． 15．列方程解应用题：学校迎来周年校庆盛典，为留存校园专属记忆、传递校庆温情，校文创社精心筹备了校庆纪念徽章与纪念书签系列产品，并将60名社团成员分成徽章组和书签组分别负责制作两种产品． (1)文创社推出校庆纪念套装，每套由1枚徽章和2枚书签组成．已知每名成员平均每小时可以制作15枚徽章或10枚书签，且每人每小时只能制作一种产品，该社团应在徽章组和书签组各安排多少名成员，才能使每小时制作的徽章与书签正好配套？ (2)在第（1）问的人员安排下，社团从书签组抽调若干名成员到徽章组，抽调后，剩余人员继续制作书签．已知抽调后，制作900枚徽章所用的时间，与制作400枚书签所用的时间相等．求从书签组中抽调了多少人到徽章组？ 【答案】(1)该社团应在徽章组安排名成员，在书签组安排名成员，才能使每小时制作的徽章与书签正好配套； (2)从书签组中抽调了人到徽章组． 【分析】（1）该社团应在徽章组安排名成员，则在书签组各安排名成员，才能使每小时制作的徽章与书签正好配套，根据每套由1枚徽章和2枚书签组成列方程并解方程即可； （2）设从书签组中抽调了人到徽章组，根据制作900枚徽章所用的时间，与制作400枚书签所用的时间相等列方程，解方程并检验即可． 【详解】（1）解：该社团应在徽章组安排名成员，则在书签组安排名成员，才能使每小时制作的徽章与书签正好配套， 则 解得 则 答：该社团应在徽章组安排名成员，在书签组安排名成员，才能使每小时制作的徽章与书签正好配套； （2）解：设从书签组中抽调了人到徽章组， 则， 解得， 经检验是分式方程的解且符合题意， 答：从书签组中抽调了人到徽章组． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 分式（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 分式的判断 题型02 分式有意义的条件 题型03 分式的值为零的条件 题型04 利用分式的性质进行变形 题型05 分式的求值 题型06 最简分式的判定 题型07 分式的乘除法与分式的约分 题型08 含有乘方的分式乘除法运算 题型09 分式的加减运算 题型10 分式的加减运算的应用 题型11 分式的化简求值问题 题型12 解分式方程 题型13 根据分式的根的情况求参数 题型14 分式方程应用题常见类型 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 分式的概念与性质 准确理解分式概念，能识别分式并确定定义域（分母≠0） 基础必考：多以选择题、填空题出现，考查对概念的理解。分式值为零的条件是高频易错点，需同时满足分子为零且分母不为零。 分式的约分与通分 能结合因式分解和幂的运算进行化简 易错点：约分时漏掉负指数（如） 分式的四则运算 能熟练进行分式的加减乘除及混合运算，特别是异分母分式的通分与加法；能进行分式的混合运算并化简求值，规范书写步骤。 核心主干，解答题必考。常以计算题或化简求值题形式出现。混合运算是难点，要求步骤清晰、结果最简。代入求值时需注意分母不为零。易错点：运算顺序错误（如先乘除后加减）、通分时漏乘分子（如通分错误） 分式方程的解法与应用 理解分式方程的概念，会解分式方程并验根，能建立分式方程解决实际问题（工程、行程等），列出分式方程并求解，最后对结果进行解释和检验。 应用题主流题型。常与行程、工程、销售等问题结合。难点在于从文字中提炼等量关系。列方程前的分析和解方程后的“双检验”（检验解和实际意义）是得分关键。 知识点01 分式的概念 形如(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子，叫做分式。其中 A叫做分式的分子,B叫做分式的分母。分母，分式才有意义 整式和分式统称有理式, 即有有理式=整式+分式. 分式有意义的条件:对于分式,当B≠0时分式有意义;当B=0时无意义. 分式值为0的条件：分子等于0，分母不等于0（两者必须同时满足，缺一不可） 示例：判断是否为分式： 是分式（分母含字母且不为零） 不是分式（π为常数，分母不含字母） 易错点：误认为所有含分母的式子都是分式（如是整式） 忽略取值范围：需同时满足且 知识点02 分式的基本性质 (1)分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. 分式的基本性质: （2）分式的变号法则： 分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。符号法则：B或同时改变其中两个的符号，分式的值不变 知识点03 分式约分与通分 与分数类似，根据分式的基本性，可以对分式进行约分和通分. ①分式的约分：即要求把分子与分母的公因式约去.，是一个恒等变形。为此，首先要找出分子与分母的公因式. 找公因式的方法： （1）分子分母是单项式时，先找分子分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式 （2）分子分母是多项式时，先把多项式因式分解，再按（1）中的方法找公因式 ②分式的通分：把几个异分母分式分别化为与原分式相等的同分母分式的变形过程叫通分。通分前后分式的值不变；找最简公分母是通分的关键 确定最简公分母的一般方法： 如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是由 ①各分母系数的最小公倍数； ②各分母相同字母的最高次幂； ③各分母所有不同字母及其指数的乘积这三部分组成. 如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再按照分母都是单项式时求最简公分母的方法，从系数，相同因式、不同因式三个方面去确定. 知识点04 分式的混合运算 1.分式的混合运算顺序： 分式与分数的混合运算有相同的运算顺序，即先乘方，再乘除，然后 加减，有括号时，先做括号内的运算，按照小括号、中括号、大括号 的顺序进行，对于同级运算，按从左到右的顺序进行。 2.分式的混合运算的方法： （1）进行分式混合运算时，可以根据需要合理运用运算律来简化运算，此时需将分式的乘除法统一变成乘法，分式的加减法统一成加法，才能使用乘法运算律、加法运算率简化运算. （2）运算过程中及时约分简化，有时可使解题过程简单. （3）运算结果是最简分式或整式. 3.方法点拨 （1）分式的计算应先分清运算数学，再按分式的运算法则进行计算，当某一项是整式时，可将此项看成分母为1的式子； （2）分式的混合运算中要注意对各分式中的分子、分母符号的处理，结果中分子或分母的系数是负数的，要把“-”号提到分式的前面； （3）所有的分式运算，结果必须化到最简. 示例： 计算： 通分括号内： 除法转乘法： 易错点： 运算顺序错误：先算加减后乘除（如误先算加法） 符号错误：提取负号时未变号（如） 知识点05分式方程的解法 1、分式方程的概念 1.分式方程：分母中含有未知数的方程叫作分式方程. 2.判断一个方程是分式方程的条件： （1）是方程； （2）含有分母； （3）分母中含有未知数. 以上三者缺一不可. 注意：分式方程的分母中含有未知数，而不是一般的字母参数。 2、分式方程的解法 (1)去分母，把分式方程转化为整式方程； (2)解这个整式方程，求得方程的根； (3)检验，把解得的整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母为0，则它不是原方程的根，而是方程的增根，必须舍去；如果最简公分母不为0，则它是原分式方程的根． 3、分式方程的增根(1).增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数的取值范围扩大，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程分母为0，就会产生增根．也就是说增根是分式方程转化后的整式方程的根，而不是原分式方程的根． (2).分式方程的增根有两个特征： ①增根使分母为0； ②增根是分式方程化成的整式方程的根． 知识点06分式方程的应用 列分式方程解应用题的一般步骤： （1）审：即审题，根据题意找出已知量和未知量，并找出等量关系；审题时，先寻找题目中的关键词，然后借助列表、画图等方法准确找出等量关系，当题目中包含多个等量关系时，要选择一个能够体现全部（或大部分）数量的等量关系列方程。 （2）设：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设，注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数的式子表示相关量. 设未知数时，一般题中问什么就设什么，若直接设未知数难以列方程， 则可设另一个相关量为未知数，有时设一个未知数无法表示等量关系，可设多个未知数. （3）列：即列方程，根据等量关系列出分式方程. （4）解：即解所列的分式方程，求出未知数的值. （5）验：即验根，既要检验所求的未知数的值是否适合分式方程， 还要检验此解是否符合实际意义. （6）答：即写出答案，注意单位和答案要完整. 列分式方程解应用题与列其他方程解应用题的步骤基本相同，但需要注意的是进行双验根，既要检验是不是原方程的根，还要检验是不是使实际问题有意义． 题型一 分式的判断 易｜错｜点｜拨 判断代数式是否为分式，关键看分母是否含有字母。形式为A/B，且B中含有字母。整式与分式的根本区别在于分母，与分子形式无关。注意π是常数而非字母，分母含π的仍是整式。 【典例1】（25-26八年级上·广西河池·期末）下列式子是分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23八年级下·辽宁沈阳·期中）在代数式、、、、、、中，分式有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式2】（25-26八年级上·河北石家庄·月考）若是分式，则可以是（   ） A．3 B． C． D． 题型二 分式有意义的条件 易｜错｜点｜拨 分式有意义的条件是分母不为零。解题时令分母等于零，求出使分母为零的字母取值，则分式有意义的条件是字母取除此之外的所有值。多分母分式需保证所有分母均不为零。 【典例1】（2026·河南许昌·一模）若分式在实数范围内有意义，写出一个符合要求的的值：___________． 【变式1】（2026·河南许昌·一模）请写出使分式有意义的x的一个值：________． 【变式2】（25-26八年级下·北京·开学考试）若分式有意义，则实数的取值范围是___________． 题型三 分式的值为零的条件 易｜错｜点｜拨 分式的值为零需同时满足两个条件：分子为零且分母不为零。解题时先由分子为零解出参数值，再逐一代入原式分母检验，舍弃使分母为零的增根。两者缺一不可。 【典例1】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）若分式的值为零，则的值为（   ） A． B． C．或 D． 【变式1】（25-26八年级上·宁夏吴忠·期中）若分式的值为0，则x的值为_________． 【变式2】（25-26八年级下·四川泸州·开学考试）已知分式的值为0，小虎说应该有，但老师却说他的答案是错误的，你觉得正确答案是_____． 题型四 利用分式的性质进行变形 易｜错｜点｜拨 分式变形基于分式基本性质：分子分母同乘（或除以）同一非零整式，值不变。常用于系数化整、变号（分子分母及分式本身三者符号同时改变两处，值不变）及通分、约分的预备工作。 【典例1】（25-26八年级下·甘肃天水·月考）若把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（   ） A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．缩小6倍 【变式1】（25-26八年级上·山东德州·期末）下列各式与相等的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·河南周口·期末）如果把分式中的a，b都缩小到原来的，那么分式的值（   ） A．缩小到原来的 B．不变 C．扩大2倍 D．缩小到原来的 题型五 分式的求值 易｜错｜点｜拨 直接代入求值需确保分母不为零。整体代入法则需观察已知条件与所求分式的关系，常通过设参数、变形已知等式或构造倒数式来简化计算，体现了整体思想和转化思想。 【典例1】（25-26九年级下·江苏淮安·期中）若，则的值为_________． 【变式1】（25-26八年级上·江苏南通·期末）已知，则分式的值为______． 【变式2】（2026八年级下·全国·专题练习）若，则______． 题型六 最简分式的判定 易｜错｜点｜拨 最简分式需满足：分子分母已无公因式。判定关键是看分子分母是否已进行因式分解，并检查是否还有可约去的公因式。约分必须彻底，结果可以是整式或最简分式。 【典例1】（25-26八年级上·云南昆明·期末）下列分式中，最简分式是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026八年级下·江苏·专题练习）在分式，，，，中，最简分式有__个． 【变式2】（25-26八年级上·山东泰安·期末）若分式是最简分式，则表示的可能是（   ） A． B． C． D． 题型七 分式的乘除法与分式的约分 易｜错｜点｜拨 运算遵循法则：分子乘分子、分母乘分母；除法转化为乘法。核心是“先因式分解，后约分”，将除法变乘法后，寻找分子分母中的公因式并约去，使运算最简化，结果应为最简分式或整式。 【典例1】（25-26八年级上·天津北辰·月考）化简的结果（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·上海·月考）计算：． 题型八 含有乘方的分式乘除法运算 易｜错｜点｜拨 处理乘方时，需将分子、分母分别乘方，并遵循积的乘方法则。混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，最后进行约分。运算中需注意符号，负数的偶次方为正，奇次方为负。 【典例1】（25-26九年级下·河北沧州·月考）计算的结果是（    ） A．a B．a3 C．a6 D．a9 【变式1】（25-26八年级下·天津·开学考试）计算： 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：． 题型九 分式的加减运算 易｜错｜点｜拨 同分母分式相加减，分母不变，分子相加减。异分母分式则先通分转化为同分母。关键是找最简公分母：系数取最小公倍数，字母取最高次幂。结果必须化为最简形式。 【典例1】（25-26八年级上·重庆·期末）计算： (1) (2) 【变式1】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】（24-25八年级下·江苏无锡·月考）计算： (1) (2) 题型十 分式的加减运算的应用 易｜错｜点｜拨 此类问题常表现为列式并计算，如行程、工程问题。关键在于根据题意准确列出分式，再运用加减运算法则进行计算。计算后需结合实际问题背景，检验结果的合理性并进行解释。 【典例1】（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）张华和李明同时从甲地沿同一路线步行去乙地．张华在前半程平均行走速度是，后半程平均行走速度为；李明全程行走的平均速度为．如果，两人谁先到达乙地？ 【变式1】（25-26八年级上·天津滨海新区·期末）某施工队每天挖掘米隧道，改进施工技术后每天能多挖掘，那么同样挖掘米隧道，比原来少用的天数为（  ） A． B． C． D． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）某地有的沙漠，原计划每年治理．为了尽快改善生态环境，当地加大了治理力度，每年比原计划多治理．照此计算，该地实际可比原计划提前几年使全部沙漠得到治理？ 题型十一 分式的化简求值问题 易｜错｜点｜拨 遵循“先化简，再求值”原则。综合运用分式的加、减、乘、除、乘方运算法则对复杂分式进行化简，通常结果为一个最简分式。最后将给定数值代入计算，代入前务必确认使化简后的式子有意义。 【典例1】（25-26九年级下·河南周口·月考）先化简，再求值：，其中． 【变式1】（25-26九年级下·北京·月考）已知，求代数式的值． 【变式2】（2026·浙江衢州·一模）小王的解题过程如下： 先化简，再求值：，其中． 解：原式…………①         …………②         …………③ 当时，原式． (1)请指出首次出现错误的步骤序号：______． (2)写出正确的解答过程． 题型十二 解分式方程 易｜错｜点｜拨 步骤为：去分母（方程两边同乘最简公分母，化为整式方程）、解整式方程、检验（将解代入最简公分母，若为零则为增根需舍去）。检验是必不可少的步骤，旨在排除增根，确保解的合法性。 【典例1】（2026·甘肃平凉·一模）方程的解为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·甘肃天水·月考）解方程： (1) (2) 【变式2】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）下面是某同学解分式方程的部分过程： 解：方程两边同时乘以________，得． 解得． (1)这位同学解题过程中横线处应填________，解题过程缺少的关键步骤是________； (2)该同学反思上述解答过程时，发现不仅缺少了关键的一步，还存在错误，请帮他写出正确的解答过程． 题型十三 根据分式的根的情况求参数 易｜错｜点｜拨 已知分式方程根的情况（如解为正数、负数、增根等），求参数取值范围。先按解分式方程步骤求出用参数表示的根，再根据题目条件列出关于参数的方程或不等式，并务必考虑分母不为零这一隐含条件。 【典例1】（25-26九年级下·福建泉州·月考）若方程有增根，则增根为_____ ． 【变式1】（25-26七年级下·上海闵行·月考）关于的方程的解是非负数，那么的取值范围是___________． 【变式2】（25-26七年级下·上海杨浦·月考）若关于的不等式组有且只有2个偶数解，关于的方程的解为非负数，则奇数______． 题型十四 分式方程应用题常见类型 答｜题｜模｜板 审设列解验答：严格遵循这六步。“验” 这一步包含两层含义： · 数学检验：检查解出的根是否使原分式方程的最简公分母为零（是否为增根）。 · 实际意义检验：检查解是否符合实际情境（如速度、时间不能为负数，人数必须为正整数等）。 2. 寻找等量关系：这是列方程的核心。可以通过关键词（如“相等”、“比…多/少”、“是…的几倍”）或表格法梳理题目中各数量之间的关系。 3. 统一单位：在列方程前，确保所有物理量（如路程、速度、时间）的单位是统一的。 【典例1】（2026·山西太原·一模）2026年，中国在海陆空多维交通与国防领域的“提速”成果密集落地，全国两会期间披露，CR450动车组正在进行提速攻坚实验，计划年内定型，该次列车采用永磁牵引、碳纤维轻量化等技术进行提速，北京至上海有望比原来减少1小时，已知京沪高铁全长1320千米，原来动车组的提速为330千米每小时，求提速后新型动车组的速度比原来的动车组每小时快多少千米？ 【变式1】（25-26八年级下·甘肃天水·月考）某市今年计划修建一段全长1500米的景观路，为了尽量减少施工对城市交通的影响，实际施工时，每天的工效是原计划的1.2倍，结果提前2天完成这一任务，求原计划每天修路多少米？ 【变式2】（25-26九年级下·江苏淮安·期中）随着新能源汽车产业的飞速发展，充电基础设施的建设已成为国家战略的重要一环．某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩，已知甲型充电桩是乙型充电桩单价的1.5倍，用18万元购买甲型充电桩比用9万元购买乙型充电桩的数量多5台．求甲、乙两种型号充电桩的单价． 【变式3】（25-26八年级上·福建福州·期末）某化工厂采用机器人和机器人搬运化工原料，机器人比机器人每小时少搬运10千克，机器人搬运450千克所用时间与机器人搬运500千克所用时间相等．求机器人，每小时分别搬运多少千克化工原料． 【变式4】（2026·安徽淮南·一模）我省的黄山毛峰、祁门红茶、太平猴魁等都是中国名茶．随着科技的发展，机器人参与了采茶工作，已知每台机器人每小时的采茶量比一名熟练采茶工的2倍还多1千克，且每台机器人采摘25千克茶叶与一名熟练采茶工采摘10千克茶叶所需要的时间相同．设一名熟练采茶工每小时采茶量为千克． (1)每台机器人每小时采茶量为___________千克； (2)若每台机器人每天工作8小时，则每台机器人每天采茶多少千克？ 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．计算：_______． 2．若分式无意义，则________________． 3．世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量仅有克，数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（） A． B． C． D． 5．计算：___________． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 6．如果把分式中的和都扩大为原来的倍，那么分式的值（    ）． A．不变 B．扩大为原来的倍 C．扩大为原来的倍 D．缩小为原来的 7．计算的结果是________． 8．已知（其中，），则表示的分式是__________． 9．解分式方程：． 10．先化简，再求值：，其中． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 11．已知，则的值为__________． 12．若关于x的分式方程 无解，则 _____． 13．计算： (1) (2)； 14．先化简再求值：，在，0，1三个数中选择一个你喜欢的，代入求值． 15．列方程解应用题：学校迎来周年校庆盛典，为留存校园专属记忆、传递校庆温情，校文创社精心筹备了校庆纪念徽章与纪念书签系列产品，并将60名社团成员分成徽章组和书签组分别负责制作两种产品． (1)文创社推出校庆纪念套装，每套由1枚徽章和2枚书签组成．已知每名成员平均每小时可以制作15枚徽章或10枚书签，且每人每小时只能制作一种产品，该社团应在徽章组和书签组各安排多少名成员，才能使每小时制作的徽章与书签正好配套？ (2)在第（1）问的人员安排下，社团从书签组抽调若干名成员到徽章组，抽调后，剩余人员继续制作书签．已知抽调后，制作900枚徽章所用的时间，与制作400枚书签所用的时间相等．求从书签组中抽调了多少人到徽章组？ 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $