16.4.2. 反比例函数的图象和性质（课件）2025-2026学年八年级下册华东师大新版

1.6.4.2反比例函数的图象和性质 华师版八下数学 新知引入 结合以下问题阅读课本56-58页 2.反比例函数 中 取值有什么特征？ 3.描点后，如何连线？为什么？ 1.画函数图象的步骤是什么？ 解：列表如下： 画一画：尝试画出函数 与 的图象 归纳：反比例函数的图象叫双曲线 议一议：观察函数 和 的图象，它们 有什么不同点？ 相同点有哪些？ 知识归纳： 反比例函数 的图象和性质： 图象是由两支曲线组成的， 当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内； 当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内； 它们与 x 轴、y 轴都不相交. 这两支曲线通常称为双曲线. 合作探究 反比例函数图象是对称图形吗？ 结合列表，图象与同伴交流. -1 -4 4 2 1 知识归纳： 反比例函数 的图象和性质： 反比例函数图象是中心对称图形，其对称中心是坐标原点. 反比例函数图象也是轴对称图形，它有两条对称轴：直线 y=x和直线y=-x. 当堂检测 1.反比例函数 的图象在( ) A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D.第二、四象限 2.已知反比例函数 的图象在第一、三象限内，则m的取值范围是________. 3.如果点（-1，3）在双曲线 图象上，那么该 双曲线在第 象限,与x轴 交点（有或无）. 4.在同一直角坐标系中，函数 与 的图象大致是 ( ) 5.已知两点（ ， ），（ ， ）在函数 的图象上， 当 ＞ ＞0时，下列结论正确的是 （ 　） 　A. ＞ ＞0 B. ＜ ＜0 C. ＞ ＞0 D. ＜ ＜0 Ｄ 已知反比例函数 的图象过点(-2，-3)，函数图象上有两点A( ),B(5,y2) ,C(-8,y3) ,则y1与y2、y3的大小关系为 ( ) A.y1> y2 > y3 B.y1< y2 < y3 C.y2 > y1 >y3 D.不能确定 C 解析：已知反比例函数过点（-2，-3），所以可知k > 0 ,可判断 y1>0， y2 > 0， y3 ＜ 0. 由概念可知,当k >0时，在每个象限内，y随x的增大而减小，所以y2>y1>0>y3. 变式提升 5.在同一直角坐标系内，画出 与函数 的图象，并利用图象求它们的交点坐标. 课堂小结 反比例函数 图象 图象位于第一、三象限 图象位于第二、四象限 性质 反比例函数图象是中心对称图形，其对称中心是坐标原点. 反比例函数图象也是轴对称图形，它有两条对称轴：直线 y=x和直线y=-x. S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想与k的关系 P（2,2） Q（4,1） 1.在反比例函数 的图象上分别取点P，Q向x轴、y轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，填写表格： 4 4 S1=S2 S1=S2=k 新课讲解 S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想与k的关系 P（-1,4） Q（-2,2） 4 4 S1=S2 S1=S2=-k 新课讲解 2.若在反比例函数 中也用同样的方法分别取P，Q两点，填写表格： 由前面的探究过程，可以猜想: 新课讲解 若点P是 图象上的任意一点，作PA垂直于x轴，作PB垂直于y轴，矩形AOBP的面积与k的关系是S矩形 AOBP=|k|. 我们就k<0的情况给出证明： 设点P的坐标为(a,b). P A B ∴S矩形 AOBP=PB·PA=-a·b=-ab=-k； 若点P在第二象限，则a<0，b>0， 若点P在第四象限，则a>0，b<0， ∴S矩形 AOBP=PB·PA=a·（-b）=-ab=-k. B P A 综上，S矩形 AOBP=|k|. 自己尝试证明k>0的情况. 新课讲解 ∵点P(a,b)在函数 的图象上， ∴ ，即ab=k. A B |k| 反比例函数的面积不变性 归纳总结 对于反比例函数 ， 点Q是其图象上的任意一点，作QA垂直于y轴，作QB垂直于x轴，矩形AOBQ的面积与k的关系是S矩形 AOBQ= 推理：△QAO与△QBO的面积和k的关系是S△QAO=S△QBO= Q 如图，在函数 的图像上有三点A、B 、 C，过这三点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x轴、 y轴围成的矩形的面积分别为SA ，SB，SC，则（ ） A.SA >SB>SC B.SA<SB<SC C.SA =SB=SC D.SA<SC<SB C 例2 新课讲解 如图,过反比例函数 图象上的一点P,作PA⊥x轴于A.若△POA的面积为6,则k= . ﹣12 归纳：当反比例函数图象在第二、四象限时，注意k＜0. 例3 新课讲解 3．如图：点A在双曲线 上，AB丄x轴 于B，且△AOB的面积S△AOB=2，则k=_____　． m<2 < < > -4 随堂即练 4.下列关于反比例函数 的三个结论： (1)它的图象经过点（-1,12）和点（10，-1.2）； (2)它的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小； (3)它的图象在二、四象限内. 其中正确的是 （填序号）． (1)(3) 5.如果点（a,-2a）在双曲线上，那么在每一象限内，y随x的增大而__________. 增大 随堂即练 课堂总结 EV录屏3.9.6软件录制 Lavf56.38.102 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制，www.ieway.cn $