21.2.1平行四边形及其性质第2课时 课时分层训练2025-2026学年八年级数学下册（人教版）

21.2.1平行四边形及其性质 第2课时 知识分点练 夯基础 知识点1 平行四边形性质的运用 1．如图，的对角线相交于点O，过点O，且点E，H在边上，点G，F在边上，则阴影部分的面积与的面积比值是（　　）． A． B． C． D． 2．如图，点，在的对角线上，，，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，经过对角线的交点，交于点，交于点．有下列结论：①图中共有4对全等三角形；②若，，则；③．其中正确的有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 4．如图，在中，，，点在边上，，过点作于点．若，则线段的长度是（   ） A． B． C． D． 5．如图，四边形是平行四边形，点A，B的坐标分别为，，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，对角线、交于点，，经过点且与，相交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 知识点2 两条平行线之间的距离 7．两条平行线之间的距离处处______；从直线外一点到这条直线所画的线段中，______最短． 8．如图，，，，则点C到的距离为（   ） A．2 B．8 C．10 D．12 9．如图，直线点在直线m上，点C在直线n上，且，．求： (1)直线m与直线n的距离； (2)点A到的距离； (3)点D到的距离． 能力综合练 练思维 10．如图，是以的对角线为边的等边三角形，点与点关于轴对称，若点的坐标是，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 11．如图，平行四边形的面积为28，于点，，将沿折叠到处，连接．若，则的长为（   ） A．5 B． C．6 D． 12．如图，在中，对角线，交于点O，EF过点O．下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．如图，在中，，于，于，，相交于，延长交的延长线于点．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 14．如图，已知的周长为，的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的周长是____________． 15．如下图，在中，，交于点．过点作交于点，连接．若．求的度数． 16．如下图，的对角线，相交于点，点在上，点在上，连接，使恰好经过点． (1)求证：． (2)若，，，求的长． (3)记四边形的面积为，的面积为，用等式表示和的关系为 ． 拓展探究练 提素养 17．在中，以线段为斜边作等腰．使得，；连接，再以为直角边作等腰，使得，． (1)如图1，当时，表示线段，之间的数量关系与位置关系； (2)如图2，以线段，为边构造，连接．用等式表示线段，之间的数量关系，并证明． 18．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，，现同时将点分别向上平移3个单位，再向右平移2个单位，分别得到点的对应点，连接． (1)求点C，D的坐标：C______，D______，______； (2)在x轴上有一点P，使得，求点P的坐标． 19．如图，在中，，于点E，点P是上的动点，连接． (1)若，，，求的长； (2)过点P作交于点F，过点B作于点H，交于点N，若，，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.2.1平行四边形及其性质 第2课时 知识分点练 夯基础 知识点1 平行四边形性质的运用 1．如图，的对角线相交于点O，过点O，且点E，H在边上，点G，F在边上，则阴影部分的面积与的面积比值是（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的对称性，将阴影部分的面积进行合理的转化是解题的关键． 根据轴对称的性质可得和关于点O中心对称，即可，再根据平行四边形的性质即可解答． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴和关于点O中心对称， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积与的面积比值是． 故选：C． 2．如图，点，在的对角线上，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质，等边对等角，根据等边对等角，以及三角形的外角的性质，求出的度数，平行线的性质，得到，再利用角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选D． 3．如图，经过对角线的交点，交于点，交于点．有下列结论：①图中共有4对全等三角形；②若，，则；③．其中正确的有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，面积转化知识点，掌握平行四边形对角线互相平分和全等三角形面积相等的性质是解题的关键． 逐个分析三个结论：①通过列举全等三角形的对数判断是否为4对；②利用平行四边形对角线互相平分和三角形三边关系求出的范围；③通过全等三角形的面积相等，将四边形的面积转化为的面积． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴对角线互相平分，即 ∵ ∴ 在和中， ∴ 同理可证 此外，还有 ，，， ∴图中共有6对全等三角形，结论①错误； ∵四边形是平行四边形 ∴ 在中，根据三角形三边关系： ∵ ∴，结论②正确 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，结论③正确 综上所述，正确的结论是②和③． 故选：C． 4．如图，在中，，，点在边上，，过点作于点．若，则线段的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行四边形的性质和，求出，利用以及勾股定理求解长度. 【详解】解：设． ∵四边形是平行四边形， ，， ． ， ， ，解得， 即， ． ，， ． 根据勾股定理，得， 则， ． 故选：C. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及直角三角形的相关知识点，解决问题的关键是熟练掌握这些知识点. 5．如图，四边形是平行四边形，点A，B的坐标分别为，，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理，由平行四边形的性质可得，，设，再结合勾股定理计算即可得出结果，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 设， ∵点A，B的坐标分别为，， ∴， 解得：或， ∵点C在第二象限， ∴， ∴， 故选：A． 6．如图，在中，对角线、交于点，，经过点且与，相交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平行四边形的性质得到、，结合对顶角相等，证明与全等，进而证得； （2）由平行四边形对边相等得，结合可知为直角三角形，用勾股定理求出的长度，再根据平行四边形面积公式计算面积。 【详解】（1）证明：在中，，， ， ， ． （2）解：四边形是平行四边形， ，，， ， 是直角三角形． 根据勾股定理，． ∴． 知识点2 两条平行线之间的距离 7．两条平行线之间的距离处处______；从直线外一点到这条直线所画的线段中，______最短． 【答案】 相等 垂线段 【详解】两条平行线之间的距离处处相等，从直线外一点到这条直线所画的线段中，垂线段最短. 8．如图，，，，则点C到的距离为（   ） A．2 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的性质，运用平行线之间三角形面积相等是解题的关键． 首先利用平行线之间三角形面积相等，得到的面积，再根据面积公式求解点C到的距离即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴点C到的距离为， 故选：A． 9．如图，直线点在直线m上，点C在直线n上，且，．求： (1)直线m与直线n的距离； (2)点A到的距离； (3)点D到的距离． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线间的距离，点到直线的距离： （1）根据平行线间的距离解答，即可； （2）根据点到直线的距离解答，即可； （3）设点D到的距离为h，根据，解答即可． 【详解】（1）解∶∵，， ∴直线m与直线n的距离为； （2）解∶ ∵，， ∴点A到的距离为； （3）解∶设点D到的距离为h， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即点D到的距离为． 能力综合练 练思维 10．如图，是以的对角线为边的等边三角形，点与点关于轴对称，若点的坐标是，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，关于轴对称的点的坐标变化，平行四边形的性质，勾股定理，解此题的关键在于熟练掌握其知识点． 记与x轴相交于F点，，求解，求解，可得，结合平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：记与x轴相交于F点，， ∵D与点E关于x轴对称，， ∴，即，，， ∵是等边三角形， ∴， 在中，， ∴， 又∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 则． 故选D 11．如图，平行四边形的面积为28，于点，，将沿折叠到处，连接．若，则的长为（   ） A．5 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】作于点，根据平行四边形的性质，求出，进而得到，易得为等腰直角三角形，得到，进而求出，勾股定理求出的长即可. 【详解】解：作于点， ∵平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵平行四边形的面积为28， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴. 12．如图，在中，对角线，交于点O，EF过点O．下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、面积转化，掌握利用平行四边形的对角线性质和全等三角形证明线段与面积关系是解题的关键． 逐一分析四个结论，结合平行四边形性质与全等三角形判定判断正误． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，． 在中： ∴， ∴，．故①②正确． ∵，， ∴， 即，故④正确． 无法确定，故③不正确． 综上所述，正确结论的个数为． 故选：C． 13．如图，在中，，于，于，，相交于，延长交的延长线于点．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】先证明是等腰直角三角形，即可判断①，利用平行四边形对角相等、直角三角形两个锐角互余以及同角或等角的余角相等即可判断②，证明，即可判断④和③，利用平行四边形对边相等进一步可以判断⑤． 【详解】解：∵中，，于， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴，故①正确； ∵于，于， ∴， ∴， ∵在中， ∴，故②正确； ∵，，， ∴，故④错误； ∴， ∵在中，， ∴，故③正确； ∵，故⑤正确； 故选：B ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，解题关键是发现全等三角形． 14．如图，已知的周长为，的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的周长是____________． 【答案】6 【分析】根据平行四边形的性质得到，根据垂直平分线的性质可知的周长． 【详解】解：∵的周长为， ∴， 由题意可得：点在的垂直平分线上， ∴， ∴的周长． 15．如下图，在中，，交于点．过点作交于点，连接．若．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键； 根据平行四边形的性质得到边的相等关系以及平行关系，利用垂直平分线的性质得到，再根据角度和平行关系推导出的度数进而求得的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，． ， ． ， ． ， ． ， ， ． 16．如下图，的对角线，相交于点，点在上，点在上，连接，使恰好经过点． (1)求证：． (2)若，，，求的长． (3)记四边形的面积为，的面积为，用等式表示和的关系为 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由平行四边形的性质推出，，得到，即可证明推出． （2）求出，由平行四边形的性质推出，由勾股定理求出即可得到． (3)利用全等，将四边形的面积转化为的面积. 进而得到和的关系. 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，． 又， ， ． （2）解：，， ，即． 四边形是平行四边形，， ，． ，， ，． （3）证明：∵四边形是平行四边形，对角线交于点， ， 在和中， ． 在和中， ， ， ， ， . 故答案为：. 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是熟练掌握知识点. 拓展探究练 提素养 17．在中，以线段为斜边作等腰．使得，；连接，再以为直角边作等腰，使得，． (1)如图1，当时，表示线段，之间的数量关系与位置关系； (2)如图2，以线段，为边构造，连接．用等式表示线段，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)，； (2)，证明见解析 【分析】本题考查了等边对等角，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理． （1）根据等边对等角得到，可知B、D、C在一条直线上，进而可知线段，之间的数量关系与位置关系； （2）连接，延长到G，根据平行四边形的性质得到，即，证明，得到，，即，，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴B、D、C在一条直线上， ∵， ∴， ∵，， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，连接，延长到G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， 即， ∴． 18．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，，现同时将点分别向上平移3个单位，再向右平移2个单位，分别得到点的对应点，连接． (1)求点C，D的坐标：C______，D______，______； (2)在x轴上有一点P，使得，求点P的坐标． 【答案】(1)，，18 (2)点的坐标为或． 【分析】（1）根据向右平移2个单位，横坐标加2，向上平移3个单位，纵坐标加3，即可求出点的坐标，再求出长，即可求面积； （2）设点的坐标为，求得，再利用三角形面积公式列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵点的坐标分别为，， 现同时将点向上平移3个单位，再向右平移2个单位，得到点的对应点分别是点， ∴，， ∴； （2）解：设点的坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或． 19．如图，在中，，于点E，点P是上的动点，连接． (1)若，，，求的长； (2)过点P作交于点F，过点B作于点H，交于点N，若，，求证：． 【答案】(1)的长为1 (2)证明见解析 【分析】（1）设，则，在中，，在中，，建立方程即可求解； （2）连接，证明，可得，，有，再证明，可得，则，则由即可得结论． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴的长为1． （2）证明：连接， ∵， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $