专项突破4 与旋转有关的探究题-【全程复习大考卷】2025-2026学年八年级下册数学（青岛版·新教材）

专项突破四 与旋转有关的探究题 类型一 探究线段的长度或数量关系 1.如图1，两个不全等的等腰直角三角形OAB和OCD叠放在一起，并且有公共的直角顶点0。 (1)在图1中，你发现线段AC,BD的数量关系是 ;直线AC,BD的位置关系是 (2)将图1中的△OAB绕点O顺时针旋转90°角，在图2中画出旋转后的△OAB; (3)将图1中的△OAB绕点O顺时针旋转一个锐角，连接AC,BD得到图3，这时(1)中的两个结论是 否成立？作出判断并说明理由。若△OAB绕点O继续旋转更大的角时，结论仍然成立吗？作出 判断，不必说明理由。 帅 训 B 图1 图2 2.新考法〔拓展探究〕综合与实践： 救 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的旋转”为主题开展数学活动。 (I)操作判断：已知正方形ABCD,E为边CD上一点，以DE为边作正方形DEFG(顶点D,E,F,G按 顺时针方向排列)，如图1，直接判断CE和AG的数量关系： (2)迁移探究：将点E改为正方形ABCD内一点，仍按(1)中的方式操作得到图2，连接CE,AG,则 (1)中的结论是否仍然成立？说明理由； (3)拓展应用：在(2)的探究中，已知AD=4,DG=√2，将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，当 点B,D,G在一条直线上时，直接写出CE的长。 蜜 图1 图2 备用图 类型二探究角的度数或数量关系 3.(1)如图1,0是等边三角形ABC内一点，连接OA,OB,0C,且OA=3,OB=4,OC=5,将△BA0绕点B 顺时针旋转后得到△BCD,连接OD。 求：①旋转角的度数为 ②线段OD的长为 ③求∠BDC的度数； (2)如图2，O是等腰直角三角形ABC(∠ABC=90°)内一点，连接OA,OB,OC,将△BA0绕点B顺时 针旋转后得到△BCD,连接OD。当OA,OB,OC满足什么条件时，∠ODC=90°？请给出证明。 图1 图2 4.一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P是等边三角形ABC内的一点，PA=6,PB=8, PC=10。你能求出∠APB的度数吗？ 小亮通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 如图1，将△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△BP'A,连接PP',可得△BPP'是等边三角形，根据勾股 定理逆定理可得△AP'P是直角三角形，从而使问题得到解决。 (1)结合小亮的思路完成填空：PP'=,∠APP'= ,∠APB=； (2)类比探究 ①如图2，若点P是正方形ABCD内一点，PA=1,PB=2,PC=3,求∠APB的度数； ②如图3，若点P是正方形ABCD外一点，PA=3,PB=1,PC=√11，求∠APB的度数。 D 图1 图2 图3 类型三探究三角形的形状 5.如图，点F为正方形ABCD内一点，△BFC经逆时针旋转后能与△BEA重合。 (1)旋转中心是 ,旋转角度最小为 度； (2)判断△BEF的形状，并说明理由； (3)若∠BFC=90°，说明AE∥BF。 ○全程复习大考卷·数学·八年级下册 ·39 类型四探究规律问题 6.新素养[推理能力〕如图1所示，已知两个边长均为a的正方形ABCD与正方形AB1C,D1全等，正方 形ABCD的点C与正方形A,B,C,D1的中心重合，且绕点C旋转。 (1)当正方形ABCD由图1旋转至图2时，两个阴影部分的面积是否相等？如果相等，直接回答出都 等于什么； (2)当正方形ABCD旋转至任意位置时，如图3，重叠部分的面积会变化吗？说明你的结论。 A D 图1 图2 图3 7.新考法〔过程性学习〕如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°。 若固定△ABC,将△DEC绕点C旋转。 (1)当△DEC绕点C旋转到点D恰好落在边AB上时，如图2。 ①当∠B=∠E=30°时，此时旋转角的大小为 ②当∠B=∠E=α时，此时旋转角的大小为 (用含a的式子表示)。 (2)当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小杨同学猜想：△BDC的面积与△AEC的面积相 等，试判断小杨同学的猜想是否正确，若正确，请你证明小杨同学的猜想；若不正确，请说明理由。 B(E A(D)C 图1 图2 图3 类型四探究最值问题 8.如图1，在Rt△ABC中，AB=AC,∠A=90°，点D,E分别在边AB,AC上，AD=AE,连接CD,点M,P,N 分别为DE,CD,BC的中点。 (1)观察猜想： 图1中，线段PM与PW的数量关系是 ,位置关系是 (2)探究证明： 把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN,判断△PMN的形状，并说明理由； ·40. 。全程复习大考卷·数学·八年级下册 (3)拓展延伸： 把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若DE=2,BC=4,请直接写出△PMN面积的最大值。 B 图1 图2 9.新考法〔阅读理解〕阅读下面材料： 小莹遇到这样一个问题：如图1，在△ABC(其中∠BAC是一个可以变化的角)中，AB=2,AC=4,以BC 为边在BC的下方作等边三角形PBC,求AP的最大值。 小莹是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合。她的方法是以点B为旋转中心将 △ABP逆时针旋转60°得到△A'BC,连接A'A(如图2)，当点A落在A'C上时，此题可解。 (1)请你回答：AP的最大值为 (2)参考小莹同学思考问题的方法，解决下列问题： 如图3，在等腰直角三角形ABC中，AB=4,P为△ABC内部一点，请写出求AP+BP+CP的最小值 的解题思路。 提示：要解决AP+BP+CP的最小值问题，可仿照题目给出的做法。 把△ABP绕，点B逆时针旋转60°，得到△A'BP'。 ①请画出旋转后的图形； ②请写出求AP+BP+CP的最小值的解题思路（结果可以不化简）。 图1 图2 图3ko= 2 7k+b=7, 3 所以△BC的面积=号8C·,=分x12x52。 得 解得 10k+b=9, 9.解：(1)当0≤x<150时，设y=k1x+60, 6= 30 所以4B所在直线的函数表达式为y=乙？ 则35=150+60。解得=石.所以y= 6+60; 30 当150≤x≤200时，设y=k2x+b, 27 当=4时，=3+3=5。 1 150k2+b=35, 则 。解得 k22-2' 所以直棱柱M的高度为5cm。 200k2+b=10, b=110。 设直棱柱M的底面边长为acm。 根据题意，得94(36)x5。解得a-25(负值记舍。 所以y=子+10， 「1 x+60(0≤x<150), 所以直棱柱M的底面边长为25 6 cm。 所以y= 2x+110(150≤x≤200)。 8.解：如图，以BC所在直线为x轴，以CD所在直线为y轴 建立平面直角坐标系，过点A作AE⊥x轴，垂足为E。 2)当x=180时，y=2×180+110=20 因为AB=AC=10,BC=12, 所以蓄电池的剩余电量为20kW·h。 所以B服=CE=C=6。 10.解：(1)903960【解析】由图象可知， 在Rt△ABE中， 甲的速度为360：6=60(m/min)。 设乙的速度为xm/min。 由勾股定理，得AE=√AB2-BE=8。 根据题意，得60×18=x·（18-6)。解得x=90。 因为AD∥BC,AE⊥x轴，CD⊥x轴， 所以乙的速度为90m/min。 所以CD=AE=8。所以点A的坐标为(-6,8)， 所以M,N之间的路程为90×(50-6)=3960(m)。 点B的坐标为(-12,0)，点D的坐标为(0,8)。 (2)由图象可知，点C的纵坐标为3960-60×50=960， 设直线OA的函数表达式为y=kx。 所以C(50,960)。 将A(-6,8)代入，得8=-6k,解得k=-4。 当18≤t≤50时，设y关于t的函数表达式为y=kt+b。 4 将B(18,0),C(50,960)分别代入， 所以直线OA的函数表达式为y=3。 得L8b=0,n解得 (k=30, 设直线BD的函数表达式为y=mx+b。 (50k+b=960,(b=-540。 将B(-12,0),D(0,8)分别代入， 所以当18≤t≤50时，y关于t的函数表达式为y= 2 30t-540。 (-12m+b=0, m=- 得 解得 3 b=8, (3)当18≤t≤50时，30t-540=450,解得t=33; b=8。 当t>50时，60t=3960-450,解得t=58.5。 2 所以直线BD的函数表达式为y= 3x+8。 综上所述，当甲出发33min或58.5min时，两人之间 的路程为450m。 4 y=- 34. x=-4, 11.解：(1)设该金属导体的电阻R与温度T之间的函数表 联立 解得 16 2 Y= 达式为R=kT+b。 3t+8, 30 10k+b=24, k=- 所以点P的坐标为(-4,5。 根据题意，得{ 解得 30k+b=28。 b=22。 68· 。全程复习大考卷·数学·八年级下册 所以该金属导体的电阻R与温度T之间的函数表达式 [0C=0D, 在△AOC和△BOD中，{∠AOC=∠BOD, 为R=5T+22。 OA=0B, (2)当T=50℃时，R=5×50+22=32(0)。 所以△AOC≌△BOD(SAS)。 所以AC=BD,∠OCA=∠ODB。 答：当温度升至50℃时，该金属导体的电阻为322。 又因为∠DHE=∠CHO, 12.解：(1)设菌落总数y与试验天数x之间的函数表达式 所以∠CED=∠COD=90°，即AC⊥BD。 为y=kx+b。 将△OAB绕点O继续旋转更大的角时，结论仍然成立， 根据题意，得 b=15, 解得 k=5, 理由同上。 k+b=20。 b=15。 2.解：(1)CE=AG 所以菌落总数y与试验天数x之间的函数表达式为y= (2)仍然成立。理由如下： 5x+15. 因为四边形ABCD和四边形DEFG均为正方形， (2)当y=50时，50=5x+15,解得x=7,所以桶装水打 所以AD=CD,DG=DE,∠ADC=∠EDG=90°。 开后第7天菌落总数恰好为50cfu·mL1。 所以∠ADC-∠ADE=∠EDG-∠ADE, 13.解：任务1：如图， 即∠CDE=LADG。 T℃ CD=AD. 18.6 18.0 在△CDE和△ADG中，{∠CDE=∠ADG, 17.4 16.8 DE=DG, 16.2 15.6 15.0 所以△CDE≌△ADG(SAS)。所以CE=AG。 14.4 13.8 (3)当点G在线段BD的延长线上时， 7 0101112131415161718h/百米 如图1，过点G作GM⊥AD,交AD的延长线于点M。 任务2：设T与h之间的函数表达式为T=h+b。 因为BD是正方形ABCD的对角线， k=-0.6, 所以∠ADB=∠GDM=45°。 根据题意，得 10k+6=18.6, 解得 11k+b=18。 b=24.6。 因为GM⊥AD,DG=√2， 所以T与h之间的函数表达式为T=-0.6h+24.6。 所以DM=GM=1。所以AM=AD+DM=5。 任务3：1500米=15百米。 在Rt△AMG中，由勾股定理，得 当h=15时，T=-0.6×15+24.6=15.6(℃)。 AG=√AMP+GM2=√26。 答：当日同一时刻海拔高度为1500米的气温为15.6℃。 同(2)可得△CDE≌△ADG, 专项突破四与旋转有关的探究题 所以CE=AG=√26； 1.解：(1)AC=BDAC⊥BD (2)如图1所示。 图1 图2 当点G在线段BD上时， 图1 图2 如图2，过点G作GM⊥AD于点M。 (3)成立。理由如下 同理可得DM=GM=1。所以AM=AD-DM=3。 如图2，延长CA交OD于点H,交BD于点E。 在Rt△AMG中，由勾股定理，得 由旋转可得∠AOC=∠BOD。 AG=√AM+GM=√10。 同(2)可得△CDE≌△ADG, 由勾股定理，得PP2=12+12=2。 所以CE=AG=√10。 因为PP2+PA2=2+9=11=PA2, 综上所述，CE的长为√26或√10。 所以△APP'是直角三角形，∠APP'=90°。 3.解：(1)①60° 所以∠APB=∠APP'-∠BPP'=45°。 ②4【解析】由旋转可得OB=OD。 5.解：(1)点B90 而∠OBD=60°，所以△BOD是等边三角形。 (2)△BEF是等腰直角三角形。理由如下： 所以0D=0B=4。 因为四边形ABCD是正方形，所以∠ABC=90°。 ③因为△BOD是等边三角形，所以∠BD0=60°。 因为△BFC绕点B逆时针旋转后能与△BEA重合， 由旋转可得CD=A0=3。 所以BE=BF,∠EBF=∠ABC=90°。 因为CD2+0D2=32+42=52=0C2。 所以△BEF是等腰直角三角形。 所以△0CD为直角三角形，∠ODC=90°。 (3)因为△BFC绕点B逆时针旋转后能与△BEA重合 所以∠BDC=∠BD0+∠ODC=150°。 所以∠BEA=∠BFC=90°。 (2)0A2+20B2=0C2。证明如下： 因为∠EBF=90°， 因为△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD, 所以∠BEA+LEBF=180°。所以AE∥BF。 所以∠OBD=∠ABC=90°，B0=BD,CD=AO。 6.解：(1)如题图1， 所以△OBD为等腰直角三角形。 因为点C与正方形A,B,C,D,的中心重合， 所以OD=√2OB。 所以阴影正方形的面积=SA, 因为当CD2+0D2=0C2时，∠0DC=90°， 如图1，过点C作CE⊥C,D1于点E。 所以当0A2+20B2=0C2时，∠0DC=90°。 4.解：(1)890°150° 易得△D,CC,为等腰直角三角形，所以CE=2“。 (2)①如图1，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到 △CBP',连接PP',过点A作AH⊥BP交BP的延长线于 因为CD=a,所以SA=2C0,·GB=0。 点H,则∠PBP'=90°，P'B=PB=2,P'C=PA=1,∠BP'C= 所以当正方形ABCD由题图1旋转至题图2时，两个阴 ∠APB。 1 影部分的面积相等，都等于a2。 所以∠BP'P=45°。 由勾股定理，得PP2=22+22=8。 因为PP2+P'C2=8+1=9=PC2, 所以△CPP'是直角三角形，∠CP'P=90°。 所以∠APB=∠BP'C=∠CP'P+∠BP'P=135°； 图1 图2 (2)阴影面积保持不变。理由如下： 如图2，连接CD1,CC1。 根据题意，得CD1=CC1,∠CD,E=∠CC,F=45°， ∠DCE=∠C1CD1=90°。 图1 图2 所以∠BCD,+∠D,CD=∠D1CD+∠DCC1=0°。 ②如图2，将△BPC绕点B逆时针旋转90得到△BP'A, 所以∠BCD1=∠DCC1。 连接PP',过点A作AH⊥PB交PB的延长线于点H, 「LECD1=∠FCC1, 则∠PBP'=90°，P'B=PB=1,P'A=PC=√II。 在△D,CE和△C,CF中，{CD1=CC1, 所以∠BPP'=45°。 ∠CD1E=∠CC1F, 所以△D,CE≌△C,CF(ASA)。 所以∠MPN=∠DPM+∠DPN 所以S些=S.心=402，即阴影面积保持不变。 =∠ACD+∠ADC=90°，即PM⊥PN。 (2)△PMWN是等腰直角三角形。理由如下： 7.解：(1)①60°【解析】因为∠B=30°，∠ACB=90°， 如图，连接CE,BD。 所以∠A=90°-∠B=60°。 由旋转可得∠BAD=∠CAE。 由旋转可得AC=CD。所以△ABC是等边三角形。 因为AB=AC,AD=AE, 所以∠ACD=60°，即旋转角的大小为60°。 所以△ABD≌△ACE(SAS)。 ②2a【解析】如图1，过，点C作CH⊥AD于点H。 所以∠ABD=∠ACE,BD=CE。 因为AC=CD,所以∠ACH=∠DCH。 因为∠ACH+∠BAC=∠B+∠BAC=90°， 同1)可得PND,PW=cE。 2 所以∠ACH=∠B。 所以PM=PN。所以△PMN是等腰三角形。 所以∠ACD=2∠ACH=2∠B=2a, 同(1)可得PM∥CE,PNBD。 即旋转角的大小为2α。 所以LDPM=∠DCE,∠PNC=∠DBC。 因为∠DPN=∠BCD+∠PNC=∠BCD+∠DBC, 所以∠MPN=∠DPM+∠DPN =∠DCE+∠BCD+∠DBC =∠ACB+∠ACE+∠DBC =∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC。 图1 图2 因为∠BAC=90°，所以LACB+LABC=90°。 (2)小杨同学的猜想是正确的。证明如下： 所以∠MPN=90°。 如图2，过点B作BN⊥CD于点N,过点E作EM⊥AC于 所以△PMN是等腰直角三角形。 点M。 (3)在Rt△ABC中，AB=AC,BC=4, 因为LACB=∠DCE=90°， 所以AB2+AC2=BC2=42。所以AB=AC=22。 所以∠1+∠2=∠3+∠2=90°。所以∠1=∠3。 同理可得AD=AE=√2。 因为BN⊥CD,EM⊥AC, 由(2)知，△PMW是等腰直角三角形， 所以∠BNC=∠EMC=90°。 PM=PN=BD。 2 由旋转可得BC=CE,AC=CD。 所以当PM最大时，△PMN面积最大， 所以△CBN≌△CEM(AAS)。所以BN=EM。 此时点D在BA的延长线上。 因为Sam-=cD·BN,S4C,Bu, 1 所以BD=AB+AD=2W2+√2=3√2。 所以SABDC=S△AECo 所以PM=32 8.解：(1)PM=PNPM⊥PN 【解析】因为点M,P,N分别是DE,CD,BC的中点， 所以swm-×2- 1 所以PH/CE,PM=之CE,pN/BD,.PN=BD。 2 9.解：(1)6【解析】由旋转可得∠A'BA=60°，A'B=AB= 因为AB=AC,AD=AE, 2,AP=A'C。 所以BD=CE。所以PM=PN。 所以△A'BA是等边三角形。所以AA'=AB=2。 因为PM∥CE,PN∥BD, 在△AA'C中，A'C<AA'+AC,即AP<6。 所以∠DPM=∠ACD,∠DPN=∠ADC。 当A',A,C三点共线时，A'C=AA'+AC, 因为∠BAC=90°，所以∠ADC+∠ACD=90°。 即AP=6。所以AP的最大值为6。 ◎全程复习大考卷·数学·八年级下册 ·69· (2)①旋转后的图形如图。 (4)因为172>170， ②如图，连接A'C,过点A 所以该同学的1分钟跳绳次数超过年级一半的学生。 作A'D⊥CB的延长线于点D。 6.解：将这组数据按从小到大顺序排列为-5，-2，-2，-2， 因为△ABC是等腰直角三角形 -1,2,2,2,2,3,3,3,5,5,5, 所以AB=BC=4。 所以最小值为-5，第一四分位数为-2，中位数为2，第三 由旋转可得∠ABA'=∠PBP'=60°，AB=A'B=4,AP= 四分位数为3，最大值为5。画出箱线图如图所示，从箱 A'P',BP=BP'。所以△PBP'是等边三角形。 线图可以看出，这组数据的分布不太均匀。箱线图中第 所以BP=PP'=4。所以AP+BP+CP=A'P'+PP'+CP。 一四分位数到中位数的距离大于中位数到第三四分位 因为当A',P',P,C四点共线时， 数的距离，说明较高气温的数据相对更集中。并且存在 AP'+PP'+CP最短，即线段A'C最短， 一些较低的极端值，如-5℃。 所以AP+BP+CP的最小值为A'C的长。 综上，这几天最高气温分布不太均匀，较高气温数据相 因为∠ABA'=60°，所以∠A'BD=30°。 对集中，较低气温数据相对分散，存在较低极端值。 因为A'B=4,所以A'D=2。 每日最高气温/℃ 在Rt△A'DB中，由勾股定理，得 h BD=√A'B2-A'D2=2W3。所以CD=4+2W3。 在Rt△A'DC中，由勾股定理，得 -2 -4 A'C=VA'D2+CD2=22+26, -6 -8- 即AP+BP+CP的最小值为22+2√6。 7.解：5个城市的人均生活用电量的平均数为 专项突破五数据的分析新考点 1.B2.D3.B 5×(910+886+844+812+788)=848(kW·h)。 4.解：(1)估计甲班平均分较高。理由如下： 所以5个城市的人均生活用电量的离差平方和为 由箱线图可知，甲、乙两班的最低分相同，最高分相同， (910-848)2+(886-848)2+(844-848)2+ 但甲班第一四分位数、中位数、第三四分位数都高于乙 (812-848)2+(788-848)2=10200。 班，且甲班中位数为128分，乙班第三四分位数为128 8.解：将数据按由小到大的顺序排列为8.5,8.8,9,9.1， 分，故估计甲班平均分较高。 9.4,9.8,分成两组共5种情况，分别计算组内离差平方 (2)因为甲、乙两班人数相同，甲班中位数为128分，即 和（结果精确到0.1）如表所示。 有一半人分数在128分以上；乙班第三四分位数为128 第一组离第二组离组内离差 分组方法 分，即只有4的人分数在128分以上， 差平方和 差平方和 平方和 所以该同学来自甲班的可能性大。 第1个数为第一组， 0.0 0.6 0.6 5.解：(1)将这组数据按由小到大的顺序排列为110,112， 后5个数为第二组 136,137,140,142,142,151,164,168,172,174,175,175, 前2个数为第一组， 0.0 0.4 0.4 175,175,180,186,188,198,所以最小值为110，第一四 后4个为第二组 分位数为140+142=141，中位数为168+172 2 170,第三 前3个数为第一组， 2 0.1 0.3 0.4 后3个数为第二组 四分位数为175+175 2 175,最大值为198。 前4个数为第一组， 0.2 0.1 0.3 后2个数为第二组 (2)说明1分钟跳绳在170次以上的相对更集中，在170 次以下的相对更分散。 前5个数为第一组， 0.5 0.0 0.5 (3)中位数大。 最后1个数为第二组 。70. 。全程复习大考卷·数学·八年级下册 按照组内离差平方和最小的原则，成绩为8.5,8.8,9， 第二次成绩 9.1的选手为一组，成绩为9.4,9.8的选手为一组。 9.解：将数据按从小到大的顺序排列为-11，-3,3,3,9,10， 12,17,21,22,分成两组共9种情况，分别计算组内离差 平方和（结果精确到0.1）如表所示。 第一组离 第二组离 组内离差 012345678910第-次成绩 分组方法 (3)直线1上的点表示第二次的成绩与第一次相同，直 差平方和 差平方和 平方和 线1左侧的点表示第二次的成绩优于第一次，直线l右 第一组1个城市， 0.0 584.2 584.2 侧的点表示第二次的成绩差于第一次，从图可得直线 第二组9个城市 右侧的点远远多于左侧的点，即更多的学生第二次成 第一组2个城市， 32.0 380.9 412.9 绩差于第一次，所以该校七年级学生暑期跳绳锻炼情 第二组8个城市 况较差，造成成绩下降。 第一组3个城市， 98.7 285.7 384.4 12.解：(1)将9个数对的对应点描在如图所示的平面直角 第二组7个城市 坐标系中。 第一组4个城市， 132.0 158.8 290.8 个合格产量/千盒 第二组6个城市 0.45 0.4 第一组5个城市， 0.35 228.8 113.2 342.0 0.3 第二组5个城市 0.25 第一组6个城市， 0.2 308.8 62.0 370.8 0.15 第二组4个城市 018222.63.03438424.65面粉用量佰公斤 第一组7个城市， (2)在这个坐标系中画出的直线1即为所求作。 397.4 14.0 411.4 第二组3个城市 (3)在直线1上取横坐标为5.2的点，其纵坐标为 第一组8个城市， 0.44。由此估计当面粉用量为5.2百公斤时，合格产 562.0 0.5 562.5 第二组2个城市 量为0.44千盒，即440盒。 第一组9个城市， 13.解：(1)(69.6-53)÷53×100%≈31%。 789.6 0.0 789.6 第二组1个城市 所以2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长 按照组内离差平方和最小的分法为北京、石家庄、呼和 率约为31%。 浩特、哈尔滨为一组，上海、广州、海口、成都、贵阳、昆明 2019k+b=45.3, (2)根据题意，得 2024k+b=104.5, 为一组。 (k=11.84, 10.解：将6个数对的对应点描在如图所示的平面直角坐 解得 (b=-23859.66。 标系中。在这个坐标系中画出的直线1即为所求作。 所以y=11.84x-23859.66。 个宣发经费万元 16 其中k的实际意义为2018一2024年我国发明专利申 10 请授权数年均增长约11.84万个。 当x=2025时， y=11.84×2025-23859.66=116.34≈116.3。 020406080100120140销量/万件 所以预测我国2025年发明专利申请授权数为116.3万个。 11.解：(1)4 专项突破六易错题专练 (2)因为第二次成绩中有2个学生满分，而图中纵坐标 易错典例1 为10的点只有一个， 8或3【解析】如图1，在□ABCD中，因为BC=AD=11, 所以这个重叠的点应该是(10,10)，如图。 BC∥AD,CD=AB,CD∥AB,