专项突破3 一次函数与方程、不等式的实际问题-【全程复习大考卷】2025-2026学年八年级下册数学（青岛版·新教材）

(2)6-53_6-5-33-5 (3)如图，连接AC。 888 因为∠B=90°，AB=3,BC=4, 因为9>5，所以3>√5。所以3-√5>0。 所以AC=√AB2+BC=5。 所2g50.所以52 假设在△ACD中，a=AC=5,b=CD=√65，c=AD=52 8>8 18.解：(1)√10√万-2 根公式2，得s-任沙-（可为 2 (2)2 2(3+√5)3+5 3-5(3-5)(3+5)2 -骨×灯5x(v丽)-(34(6)-(52 (3)因为一1 √3+√2 =3+√2， 3-√2(3-√2)(3+√2) √×256-(55- 2 1 2+√3 所以S四边形ABCD=S△ABc+S△McD 3×43547 =2+W3, 2-√3(2-√3)(2+√3) 2+2-2 而2+3>2+3，所以1> 1 专项突破三一次函数与方程、不等式的实际问题 2-55-2 1.解：(1)y1关于x的函数表达式为y1=0.9x。 因为5-√2>0,2-√3>0， 当0≤x≤200时，y2=x; 所以w5-√2>2-√3。 当x>200时，y2=200+0.8(x-200)=0.8x+40。 所以y2关于x的函数表达式为 19.D【解析】由勾股定理，得AC=√22+32=√/13。 (x(0≤x≤200)， 因为3r=3x3×1x2×1x3x2x=3.5, y2= (0.8x+40(x>200)。 (2)当0<x≤200时，y1<y2; 所以4C·B0=35,申V压D=7。 当x>200时， 所以BD=73 令y1=y2,得0.9x=0.8x+40,解得x=400。 13。 所以当0<x<400时，选择A书店去购物更省钱；当x= 20.解：(1)因为52+122=132；32+42=52；62+82=102；72+ 400时，选择两家书店去购物实际支付的金额相同；当 82≠92，所以三边长分别为7,8,9的这个三角形不是直 x>400时，选择B书店去购物更省钱。 角三角形。 2k2+b=195,m(k2=30, 2.解：(1)由条件可得 解得 假设在这个三角形中，a=7,b=8,c=9, (b=135, (b=135。 则p=a6+o）=(748+9)=12. 所以y2的函数表达式为y2=30x+135。 (2)由k2的实际意义可得游泳1次的费用打6折后为 根据公式①，得S=√p(p-a)(p-b)(p-c) 30元。 =√12×(12-7)×(12-8)×(12-9) 所以打折前的每次游泳费用为30÷60%=50（元）。 =125。 所以k1=50×0.9=45。 (2)假设在这个三角形中，a=√13，b=√14，c=√15， (3)由(1)(2)，得y1=45x,y2=30x+135。 令y1=y2,得45x=30x+135,解得x=9。 根据公式2得5-公汾-(0打： 所以游泳少于9次时，选择方案一所需费用更少； 游泳9次时，选择两种方案所需费用相同； √4X(E)Px4-i4-(H 游泳多于9次时，选择方案二所需费用更少。 2 3.解：(1)设A种娃娃每个的进价为x元，B种娃娃每个的 ×1x14-(B4-- 2 2 进价为y元。 (40x+50y=800, （x=10, 根据题意，得 解得 ②快车到达乙地后停留期间，360-60x=150,解得x=2 20x+60y=680。y=8。 答：A种娃娃每个的进价为10元，B种娃娃每个的进价 ③快、慢两车相遇后， 为8元。 60x-(-120x+840)=150,解得x=)。 (2)设购进m个A种娃娃。 根据题意，得10m+8(200-m)≤1760。 3(号子)-2小时。 解得m≤80。 所以在慢车到达乙地前，快、慢两车相距的路程不超过 设这200个娃娃全部售完时利润为w元， 则w=(15-10)m+(10-8)(200-m)=3m+400。 150千米的时长为？小时。 因为3>0，所以w随m的增大而增大。 5.解：(1)乙到达目的地较早，比甲早1h。 当m=80时，w取得最大值，最大值为3×80+400=640， (2)因为甲的速度为60÷4=15(km/h), 此时200-m=200-80=120。 所以，对应的函数表达式为s=15t; 答：该商家购进80个A种娃娃，120个B种娃娃全部售 乙的速度为60÷(3-1)=30(km/h)。 完时获利最大，最大利润为640元。 设L2对应的函表达式为s=30t+b, 4.解：(1)根据图象可知，快车一共行驶了7小时，中间停 将(3,60)代入，得30×3+b=60,解得b=-30。 留了1小时，所以点B的坐标为(4,360)， 所以l2对应的函数表达式为s=30t-30。 设BD的函数表达式为y=kx+b。 (3)由图象可知，当两辆车都行驶在途中（不包括出发 将B(4,360),D(7,0)分别代入， 地和目的地)时，1<t<3。 360=4k1+b,m(k1=-120, 联立1和L2:15t=30t-30,解得t=2。 得 解得 0=7k1+b, b=840。 所以当1<t<2时，自行车行驶在摩托车前面。 所以BD的函数表达式为y=-120x+840。 6.解：(1)设AB所在直线的函数表达式为S=t+b。 设OE的函数表达式为y=k2x。 4k+b=1200, (k=450, 根据题意，得 解得 将E(6,360)代入，得6k2=360: 5k+b=1650。(b=-600。 解得k2=60。所以OE的函数表达式为y=60x。 故AB所在直线的函数表达式为S=450t-600。 (2)因为点C为OE和BD的交点， (2)当t=2时，S=450×2-600=300, [14 300÷2=150(m2/h)。 所以 (y=60x, 解得 答：该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积为 y=-120x+840, y=280。 150m2。 所以点C的坐标为(“，280)。 7.解：(1)根据题图2中点B的坐标为(10,9)，得10s时 水面高度达到9cm, 点C的实际意义：两车出发小时后，在距甲地280千 所以容器内“几何体”的高度为9cm, 米处相遇。 水淹没该“几何体”需要10s。 (3)设OA的函数表达式为y=k3x。 (2)设注水的速度为xcm3/s, 将A(3,360)代人，得3k3=360, BC段：注满用时22-10=12(s), 解得k3=120。所以0A的函数表达式为y=120x。 这段高度为12-9=3(cm),即12x=36×3,解得x=9。 ①快车没有到达乙地前， 所以注水的速度为9cm/s。 5 (3)设AB所在直线的函数表达式为y=t+b。 120x-60x=150,解得x= 2； 将(7,7)，(10,9)分别代入函数表达式， ○全程复习大考卷·数学·八年级下册 ·67… ko= 2 7k+b=7, 3 所以△BC的面积=号8C·,=分x12x52。 得 解得 10k+b=9, 9.解：(1)当0≤x<150时，设y=k1x+60, 6= 30 所以4B所在直线的函数表达式为y=乙？ 则35=150+60。解得=石.所以y= 6+60; 30 当150≤x≤200时，设y=k2x+b, 27 当=4时，=3+3=5。 1 150k2+b=35, 则 。解得 k22-2' 所以直棱柱M的高度为5cm。 200k2+b=10, b=110。 设直棱柱M的底面边长为acm。 根据题意，得94(36)x5。解得a-25(负值记舍。 所以y=子+10， 「1 x+60(0≤x<150), 所以直棱柱M的底面边长为25 6 cm。 所以y= 2x+110(150≤x≤200)。 8.解：如图，以BC所在直线为x轴，以CD所在直线为y轴 建立平面直角坐标系，过点A作AE⊥x轴，垂足为E。 2)当x=180时，y=2×180+110=20 因为AB=AC=10,BC=12, 所以蓄电池的剩余电量为20kW·h。 所以B服=CE=C=6。 10.解：(1)903960【解析】由图象可知， 在Rt△ABE中， 甲的速度为360：6=60(m/min)。 设乙的速度为xm/min。 由勾股定理，得AE=√AB2-BE=8。 根据题意，得60×18=x·（18-6)。解得x=90。 因为AD∥BC,AE⊥x轴，CD⊥x轴， 所以乙的速度为90m/min。 所以CD=AE=8。所以点A的坐标为(-6,8)， 所以M,N之间的路程为90×(50-6)=3960(m)。 点B的坐标为(-12,0)，点D的坐标为(0,8)。 (2)由图象可知，点C的纵坐标为3960-60×50=960， 设直线OA的函数表达式为y=kx。 所以C(50,960)。 将A(-6,8)代入，得8=-6k,解得k=-4。 当18≤t≤50时，设y关于t的函数表达式为y=kt+b。 4 将B(18,0),C(50,960)分别代入， 所以直线OA的函数表达式为y=3。 得L8b=0,n解得 (k=30, 设直线BD的函数表达式为y=mx+b。 (50k+b=960,(b=-540。 将B(-12,0),D(0,8)分别代入， 所以当18≤t≤50时，y关于t的函数表达式为y= 2 30t-540。 (-12m+b=0, m=- 得 解得 3 b=8, (3)当18≤t≤50时，30t-540=450,解得t=33; b=8。 当t>50时，60t=3960-450,解得t=58.5。 2 所以直线BD的函数表达式为y= 3x+8。 综上所述，当甲出发33min或58.5min时，两人之间 的路程为450m。 4 y=- 34. x=-4, 11.解：(1)设该金属导体的电阻R与温度T之间的函数表 联立 解得 16 2 Y= 达式为R=kT+b。 3t+8, 30 10k+b=24, k=- 所以点P的坐标为(-4,5。 根据题意，得{ 解得 30k+b=28。 b=22。 68· 。全程复习大考卷·数学·八年级下册 所以该金属导体的电阻R与温度T之间的函数表达式 [0C=0D, 在△AOC和△BOD中，{∠AOC=∠BOD, 为R=5T+22。 OA=0B, (2)当T=50℃时，R=5×50+22=32(0)。 所以△AOC≌△BOD(SAS)。 所以AC=BD,∠OCA=∠ODB。 答：当温度升至50℃时，该金属导体的电阻为322。 又因为∠DHE=∠CHO, 12.解：(1)设菌落总数y与试验天数x之间的函数表达式 所以∠CED=∠COD=90°，即AC⊥BD。 为y=kx+b。 将△OAB绕点O继续旋转更大的角时，结论仍然成立， 根据题意，得 b=15, 解得 k=5, 理由同上。 k+b=20。 b=15。 2.解：(1)CE=AG 所以菌落总数y与试验天数x之间的函数表达式为y= (2)仍然成立。理由如下： 5x+15. 因为四边形ABCD和四边形DEFG均为正方形， (2)当y=50时，50=5x+15,解得x=7,所以桶装水打 所以AD=CD,DG=DE,∠ADC=∠EDG=90°。 开后第7天菌落总数恰好为50cfu·mL1。 所以∠ADC-∠ADE=∠EDG-∠ADE, 13.解：任务1：如图， 即∠CDE=LADG。 T℃ CD=AD. 18.6 18.0 在△CDE和△ADG中，{∠CDE=∠ADG, 17.4 16.8 DE=DG, 16.2 15.6 15.0 所以△CDE≌△ADG(SAS)。所以CE=AG。 14.4 13.8 (3)当点G在线段BD的延长线上时， 7 0101112131415161718h/百米 如图1，过点G作GM⊥AD,交AD的延长线于点M。 任务2：设T与h之间的函数表达式为T=h+b。 因为BD是正方形ABCD的对角线， k=-0.6, 所以∠ADB=∠GDM=45°。 根据题意，得 10k+6=18.6, 解得 11k+b=18。 b=24.6。 因为GM⊥AD,DG=√2， 所以T与h之间的函数表达式为T=-0.6h+24.6。 所以DM=GM=1。所以AM=AD+DM=5。 任务3：1500米=15百米。 在Rt△AMG中，由勾股定理，得 当h=15时，T=-0.6×15+24.6=15.6(℃)。 AG=√AMP+GM2=√26。 答：当日同一时刻海拔高度为1500米的气温为15.6℃。 同(2)可得△CDE≌△ADG, 专项突破四与旋转有关的探究题 所以CE=AG=√26； 1.解：(1)AC=BDAC⊥BD (2)如图1所示。 图1 图2 当点G在线段BD上时， 图1 图2 如图2，过点G作GM⊥AD于点M。 (3)成立。理由如下 同理可得DM=GM=1。所以AM=AD-DM=3。 如图2，延长CA交OD于点H,交BD于点E。 在Rt△AMG中，由勾股定理，得 由旋转可得∠AOC=∠BOD。 AG=√AM+GM=√10。专项突破三 一次函数与方程、 不等式的实际问题 类型一方案问题 1.某大道上有A,B两家书店以同样的价格出售相同的商品。暑假 期间两家书店都让利酬宾，其中A书店所有商品按9折出售， B书店对一次性购物中超过200元后的部分打8折。 (1)以x(单位：元)表示按原价所购商品的金额，y1,y2(单位：元) 分别表示到A,B两家书店购物实际支付的金额，请写出y1, 训 y2关于x的函数表达式： (2)暑假期间如何选择这两家书店去购物更省钱？ 毁 2.新素养〔应用意识〕某游泳俱乐部暑期面向全体市民推出会员制 优惠活动，方案如下： 方案一：在微信公众号注册并在朋友圈转发一次关于游泳俱乐部 的信息，成为普通会员，每次游泳费用享受9折优惠； 方案二：缴纳135元成为游泳俱乐部Plus会员，每次游泳费用享 受6折优惠； 设某市民暑期游泳x次，按照方案一所需费用为y1(单位：元)，且 y1=kx;按照方案二所需费用为y2(单位：元)，且y2=k2x+b,它们 的函数图象如图所示。 蜜 (1)求y2的函数表达式： (2)求打折前的每次游泳费用和飞，的值； (3)某市民小张计划暑期前往该俱乐部游泳，应选择哪种方案所 需费用更少？ y元A 195 135 02 x次 崭 类型二利润问题 3.目前，我国国产电影《哪吒之魔童闹海》累计票房已超过150亿 元。某影院商家推出A,B两种类型的哪吒纪念娃娃。该商家若 购进40个A种娃娃和50个B种娃娃，则一共需要800元；若购 进20个A种娃娃和60个B种娃娃，则一共需要680元。该商家 将A种娃娃的售价定为每个15元，B种娃娃的售价定为每个 10元0 (1)A,B两种娃娃每个的进价分别为多少元？ (2)该商家计划购进A,B两种娃娃共200个，总花费不超过 1760元，该商家如何进货能在这200个娃娃全部售完时获 利最大？最大利润为多少元？ 类型三行程问题 4.甲、乙两地相距360千米，快、慢两车从甲地同时出发，匀速行驶， 快车到达乙地后，停留1小时，然后按原路原速返回。慢车到达 乙地后结束行程。快、慢两车距甲地的路程y(单位：千米)与出 发后所用的时间x(单位：时)的关系如图新示。 (1)分别求OE和BD的y关于x的函数表达式；（不必写出自变 量的取值范围) (2)求点C的坐标，并说明点C的实际意义； (3)直接写出在慢车到达乙地前，快、慢两车相距的路程不超过 150千米的时长。 甲 y/千米 慢车 360--- 快 D 67x/时 5.甲、乙两人分别骑自行车和摩托车，从同一地点沿相同的路线前 往距离60km的某地，图中1，，分别表示甲、乙两人离开出发地 的距离s(单位：km)与行驶时间t(单位：h)之间的函数关系，请根 据图象解答下列问题： (1)甲、乙两人谁到达目的地较早？早多长时间？ (2)分别求甲、乙两人行驶过程中s与t的函数表达式； (3)试确定当两辆车都行驶在途中（不包括出发地和目的地）时， 的取值范围；并在这一时间段内，求t为何值时，自行车行驶 在摩托车前面？ ←s/km 60 4 t/h 类型四工程问题 6.某社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务。工作一 段时间后，绿化组提高了工作效率。该绿化组完成的绿化面积S (单位：m)与工作时间t(单位：h)之间的函数关系如图所示。 (1)求AB所在直线的函数表达式； (2)求该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积。 16501sm2 B 1200 A 0245i 类型五几何问题 7.如图1，M,N两个实心直棱柱叠成的“几何体”水平放置在直棱柱 容器内，三个直棱柱底面均为正方形。现向容器内匀速注水，注 满为止。在注水过程中，水面高度y(单位：cm)与注水时间t(单 位：s)之间的关系如图2。已知容器底面边长为6cm。 (1)容器内“几何体”的高度为多少？水淹没该“几何体”需要多 少时间？ (2)求注水的速度： 。全程复习大考卷·数学·八年级下册 ·37. (3)求直棱柱M的底面边长。 y/cm 12 C y M 0471022t/s 图1 图2 8.如图，在△ABC中，AB=AC=10,BC=12,AD∥BC,CD⊥AD,BD和 AC相交于点P,求△BPC的面积。 小明同学应用所学知识，顺利地解决了此题，他的思路是这样的： 建立适当的平面直角坐标系，写出图中一些点的坐标。根据“一 次函数”的知识求出点P的坐标，从而可求得△BPC的面积。 请你按照小明的思路解决这道题。 B 类型六图象信息问题 9.如图是某型号新能源电动汽车满电后，蓄电池剩余电量y(单位： kW·h)关于已行驶路程x(单位：km)的函数图象。 (1)当0≤x≤200时，求y关于x的函数表达式； (2)当汽车行驶180km时，蓄电池的剩余电量是多少？ y/kW.h 60 35 10 O 150200x/m 10.甲、乙两人从同一地点M出发沿同一路线匀速步行前往N处参 加活动。甲比乙早出发6min,两人途中均未休息，先到达N处 的人在原地休息等待，直到另一人到达N处。两人之间的路程 y(单位：m)与甲行走的时间t(单位：min)的函数图象如图所示。 。38· 。全程复习大考卷·数学·八年级下册 (1)乙的速度为 m/min,M,N之间的路程为 m; (2)当18≤t≤50时，求y关于t的函数表达式； (3)甲出发多长时间时，两人之间的路程为450m。 y/m 360 \B 0618 50 Di/min 类型七跨学科问题 11.某金属导体的电阻R(单位：2)随温度T(单位：℃)的变化而变 化，实验测得：当T=10℃时，R=242;当T=30℃时，R=282。 已知该金属导体的电阻与温度成一次函数关系。 (1)求该金属导体的电阻R与温度T之间的函数表达式； (2)当温度升至50℃时，求该金属导体的电阻。 12.新情境〔项目式学习〕【项目主题】探究桶装水在常温下的最佳饮 用时间。 【项目背景】桶装水打开后空气中的微生物、尘埃等污染物便开 始悄悄进入水中，随着时间的推移，水中微生物的数量会逐渐增 加，从而影响水质。某校综合实践小组以“探究桶装水在常温下 (23℃)的最佳饮用时间”为主题展开项目学习。 【驱动任务】探究桶装水中菌落总数与时间的关系。 【研究步骤】a.取一桶桶装水，打开置于空气中； b.逐天测量并记录桶装水中的菌落总数； c.数据分析，形成结论。 【试验数据】 试验天数x/天 0 1 2 3 4 菌落总数y/cfu·mL 15 20 25 30 35 【模型建立】根据此项目实施的相关材料发现菌落总数y(单位： cfu·mL1)与试验天数x(单位：天)之间满足一次函数。 【问题解决】 (1)求出菌落总数y与试验天数x之间的函数表达式； (2)根据相关部门规定：桶装水菌落总数超过50cfu·mL1时就 要停止饮用，请你通过计算说明桶装水打开后第几天菌落总 数恰好为50cfu·mL1? 聊 13.新情境〔项目式学习〕跨学科主题学习：“气温与海拔高度之间的 关系”研究 某学校数学社团开展了“气温与海拔高度之间的关系”研究为主 题的跨学科活动。该社团分组到附近山地进行实地测量，6个 小组分别测量了当地同一时刻在不同海拔高度的气温，测量数 据记录如下表： 海拔高度h/百米… 10 1112 13 14 15 气温T/℃ 18.618.017.416.816.215.6 根据表格中的测量数据，完成下面3个任务： 任务1：建立数学模型，在如图所示的平面直角坐标系中，将表格 中的数据描点、连线； *T1℃ 18.6 18.0 17.4 16.8 16.2 15.6 15.0 14.4 13.8- 0101112131415161718h/百米 任务2：根据任务1中图象呈现的特征，求T与h之间的函数表 达式； 任务3：由任务2的函数表达式，求当日同一时刻海拔高度为 1500米的气温。