专项突破2 二次根式的常见题型-【全程复习大考卷】2025-2026学年八年级下册数学（青岛版·新教材）

专项突破二 二次根式的常见题型 类型一隐含条件型 1.使式子√-(m-3)2有意义的字母m的取值有 A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个 2.问题：先化简，再求值：2b+√a2-8a+16,其中|a-31+(b-2)2=0。 小亮和小莹在解答该问题时产生了不同意见。 小亮的解答过程如下： 解：2b+√a2-8a+16=2b+√(a-4)2…(第-步) 训 =2b+a-4。…(第二步) 因为1a-31+(b-2)2=0,所以a=3,b=2。(第三步) 当a=3,b=2时，原式=2×2+3-4=3。…（第四步） 小莹为验证小亮的做法是否正确，她将a=3,b=2直接代入原式 中：2b+√a2-8a+16=4+√9-24+16=4+1=5。 由此，小莹认为小亮的解答有错误，你认为小亮的解答有错误吗？ 如果有，错在哪步？并给出正确的完整的解答过程。 g 3.阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答下面的 问题： 化简：（√1-2x)2-I1-x1。 解：隐含条件1-2x≥0，解得x≤2。所以1-x>0。 所以原式=1-2x-(1-x)=1-2x-1+x=-x。 量 【启发应用】 (1)按照上面的解法，√(x-2)2-(√1-x)2隐含的条件是x (2)按照上面的解法，试化简√(x-2)2-(√1-x)2； 【类比迁移】 (3)已知a,b,c为△ABC的三边长。化简：√(a+b-c)2+√(b-a-c)2。 崭 类型二双重非负型 4已知实数m,n满足m=-4+y4-+4,求1m-2n1+√8m n-2 的值。 5.已知a,b分别为直角三角形的两条边长，且a,b满足a=6+ √3b-9-2√3-b,求此直角三角形的周长。 6.新考法〔阅读理解〕问题背景：请认真阅读下列这道例题的解法。 例：已知y=√2026-x+x-2026+2027,求之的值。 解：由2026之0：得=2026，所以y=2027。所以2y=?02 x-2026≥0， x2026° (1)尝试应用：若x,y为实数，且y>3+3x+2,化简：1-； (2)拓展创新：已知b=√ab-10+√J20-2ab-a+7,求a-b的值。 类型三结合幂的运算法则、乘法公式 7.已知x=√3+1，y=√3-1，求x2-y2的值。 8.已知m=5+2W6,n=5-2√6，求m2-mn+n2的值。 9.已知x=T7v=I7 22y= 229 (1)分别求x+y,xy的值； (2)利用(1)的结果求下列代数式的值： ①x2y+xy2; ②2+x。 x y 类型四二次根式的整数部分与小数部分 10.设6-√5的整数部分是a,小数部分是b,则b2-2a的值为() A.8-6√5 B.6√5-8 C.17-8V5 D.85-17 11.若x表示√10的整数部分，y表示它的小数部分，则（√10+x)y的 值为 12.阅读下面的文字，解答问题： 大家知道√2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此√2的 小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用√2-1来表示√2 的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为2的整数部分是1，将 这个数减去其整数部分，差就是小数部分。又例如：因为√4<√7< √9，即2<√7<3，所以√7的整数部分为2，小数部分为√7-2。 请解答： (1)如果√17的小数部分为a,√39的整数部分为b,求a+b-√17 的值； (2)已知12+√5=x+y,其中x是整数，且0<y<1,求x-y的值。 类型五整体代入求值 13.当x=√23-1时，代数式x2+2x+2的值为 ( A.23 B.24 C.25 D.26 b 14.已知a+b=4,b=2,则.2+/：的值为 Nab A.22 B.2 C.√2 D.1 ○全程复习大考卷·数学·八年级下册 ·35 15.断考〔阅读理解)某同学在解决问题：“已知a=1,求4a2-8a 2-1i 1的值”时，他是这样分析的： 因为a=1=2+1 —=2+1,所以a-1=2。 √2-1（√2-1）（√2+1） 所以(a-1)2=2,即a2-2a+1=2。所以a2-2a=1。 所以4a2-8a-1=4(a2-2a)-1=4x1-1=3。 请你根据该同学的分析过程，解决如下问题： 23求2a-8*+3的值， (1)若a= (2)在(1)的条件下，求304-12a+12a+2023 的值。 2026 类型六稍复杂的二次根式大小比较 16.新素养〔几何直观〕“数形结合”是一种重要的数学思想，通过数 和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问 题。为了比较√10+1与√17的大小，我们可以构造如图所示的 图形进行推算：在△ABC中，∠C=90°，BC=4,点D在BC上，且 BD=AC=1,这样就可以得出W10+1与√17的大小关系。请写出 √10+1与√17的大小关系并结合图形通过计算说明理由。 B D 17.课堂上，老师出了一道题：比较1西-2与乙的大小。 3 小明的解法如下： 解19-22-9-2-219-4 333 3 因为19>16，所以√19>4。所以J19-4>0。 所以19-4」 3>0。所以19-2>3。 。36。 。全程复习大考卷·数学·八年级下册 我们把这种比较大小的方法称为作差法。清仿照上述方法，比 较下列各组数的大小： (1)1-√5和1-√3； (2)6-5和3 8 8 18.阅读材料，并回答问题： ,1的数可以化简，其化简的目的主要是把原数分母中的 形如 2-3 无理数化为有理数，如上3=51。 √W2+1 33x33’2-1(2-1)x(2+1) =√2+1，这样的化简过程叫作分母有理化。 我们把√3叫作√3的有理化因式，√2+1叫作√2-1的有理化 因式。 (1)问题：√10的有理化因式是 ,7+2的有理化因式 是 (2)应用：分母有理 2 3-5 (3)拓展：比较大小√3-√2与2-√3。 类型七结合几何问题 19.如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A,B,C 都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为 A.103 B913 13 13 8/13 C. D.713 13 13 20.新考法〔数学文化〕已知任意三角形的三边长，如何求三角形的 面积？古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量论》一书中，给 出了计算公式S=√p(p-a)(p-b)(p-c)①，并给出了证明。其 中a,b,c是三角形的三边长，p=之(a+b+c),S为三角形的面积， 这一公式被称为海伦公式。我国南宋时期数学家秦九韶（约 1202一约1261)，曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公 式8=沿沙-(]②。后人经过对公式②进行整 理变形，发现海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以 我们也称①为海伦一秦九韶公式。 请根据上述公式，解答下列问题： (1)若有四个三角形，它们的三边长分别为5,12,13；3,4,5；6， 8,10;7,8,9,求其中非直角三角形的面积；（利用公式①求 解) (2)若一个三角形的三边长分别为√13，√14，√15，求该三角形 的面积：（利用公式②求解） (3)如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3,BC=4,CD= √65，AD=5√2，求该四边形ABCD的面积。②BC=CD+CF【解析】因为△ABD≌△ACF, 所以BD=CF。所以BC=CD+BD=CD+CF。 所以∠CMG=∠CMD=2(180°-∠AMG)=60°。 (2)不成立。理由如下： 所以∠CMG=∠MGN=∠MNG=60°。 因为△ABC是等边三角形， 所以△MGN为等边三角形。 所以∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC。 (3)设DM=x,由(2)知，GM=DM=x。 因为∠DAF=60°， 当BH=1,AH=2时，GH=BH=1。 所以∠BAD=60°-∠BAF=∠CAF。 所以AM=3-x,HM=GH+GM=1+x。 因为四边形ADEF是菱形，所以AD=AF。 在Rt△AMH中，由勾股定理，得A+AMP=HM2, 所以△ABD≌△ACF(SAS)。 即23-=(12，解得= 所以BD=CF,∠ACF=∠ABD=180°-60°=120°。 当BH=2,AH=1时， 所以∠BCF=∠ACF-∠ACB=60°。 3 因为BC=CD-BD,所以BC=CD-CF。 同理可得12+(3-x)2=(x+2)2,解得x= 59 (3)同(2)可得△ABD≌△ACF。 综上所述，线段DM的长为或 3 所以CF=BD=BC+CD=6+3×6=8。 2 专题突破二二次根式的常见题型 18.证明：因为四边形ABCD是矩形， 1.B 所以AD∥BC。所以∠B'EF=∠BFE。 2.解：小亮的解答有错误，错在第二步。 由折叠可得B'E=BE,B'F=BF,∠B'EF=∠BEF。 因为1a-31+(b-2)2=0,所以a=3,b=2。 所以∠BEF=∠BFE。 2b+√a2-8a+16=2b+√(a-4)2 所以BE=BF。所以B'E=B'F=BE=BF。 =2b+4-a=2×2+4-3=5。 所以四边形BFB'E为菱形。 3.解：(1)≤1 19解：(1)cF=CG。理由如下： (2)由(1)可知，x≤1，所以x-2<0。 因为四边形ABCD为正方形， 所以√(x-2)7-(√1-x)2=2-x-(1-x) 所以AB=BC=CD,∠B=∠BCF=90°。 =2-x-1+x=1。 由折叠可得cG=BC,cK=Dp=CD。 (3)因为a,b,c为△ABC的三边长， 所以a+b>c,a+c>b。 所以CF=2CG。 所以a+b-c>0,b-a-c<0。 所以√(a+b-c)7+√(b-a-c)Z=a+b-c+a+c-b=2a (2)△MGN为等边三角形。理由如下： 4.解：根据题意，得n2-4≥0,4-n2≥0，n-2≠0， 因为四边形ABCD是正方形， 所以n=-2。所以m=-1。 所以∠B=∠D=90°，BC=CD。 由折叠可得LCGH=∠B=90°，BC=CG。 所以|m-2nl+√8mn=3+4=7。 所以CG=CD,∠MGC=180°-90°=90°。 3b-9≥0， 5.解：根据题意，得 解得b=3。 又因为∠CGF=30°，所以∠MGN=60°。 (3-b≥0， 由折叠可得∠CFE=∠DFE=90°。 所以a=6。 所以EF∥AD。所以∠AMG=∠MGN=60°。 当a为直角边时， (CM=CM, 斜边长=√a2+b=√62+32=35， 在Rt△CMG和Rt△CMD中， CG=CD, 所以直角三角形的周长=6+3+3√5=9+3√5； 所以Rt△CMG≌Rt△CMD(HL)。 当a为斜边时， ·66· ○全程复习大考卷·数学·八年级下册 另一条直角边长=√a2-b=√62-32=33， 所以3<√10<4。所以x=3,y=√10-3。 所以直角三角形的周长=6+3+33=9+35。 所以（√10+x)y=(√10+3）（√10-3）=1。 综上，此直角三角形的周长为9+3√5或9+33。 12.解：(1)因为42<17<52， x-3≥0， 所以4<√17<5。所以a=√17-4。 6.解：(1)根据题意，得 解得x=3。 3-x≥0， 因为62<39<72，所以6<√39<7。所以b=6。 所以y>2。所以1-y<0。 所以a+b-√17=√17-4+6-√/17=2。 所以1-y1 1i。 (2)因为22<5<32， (2)根据题意，得{ -10≥0，解得b=10。 所以2<W5<3。所以14<12+√5<15。 20-2ab≥0. 所以x=14,y=V5-2。 所以b=-a+7。所以a+b=7。 所以x-y=14-(5-2)=16-√5。 所以(a-b)2=(a+b)2-4ab=72-4×10=9。 13.B 所以a-b=±3。 14.A【解析】因为a+b=4,ab=2, 7.解：因为x=√3+1，y=√3-1， 所以x+y=23,x-y=2。 以月酒4 ab 2 所以x2-y2=(x+y)(x-y)=23×2=43。 22。 8.解：因为m=5+2√6，n=5-2√6， 1 2-√3 15.解：(1)因为a= =2-3, 所以m+n=5+26+5-26=10, 2+5(2+3)(2-√3) mn=(5+2W6)(5-26)=25-24=1. 所以a-2=-√3。所以(a-2)2=3, 所以m2-mn+n2=(m+n)2-3mn 即a2-4a+4=3。所以a2-4a=-1。 =102-3×1=100-3=97。 所以2a2-8a+3=2(a2-4a)+3=2×(-1)+3=1。 9解：(1)因为=T7,=万 (2)由(1)知，a2-4a=-1 22y= 22 原式=3a(a2-4a)+12a+2023 iu四冬m 2026 =-3(a2-4a)+2023_3+2023_2026 2026 1。 20262026 16.解：√10+1>√17。理由如下： 在Rt△ABC中，∠C=90 =1。 由勾股定理，得AB=√AC+BC=√/I7。 (2)①x2y+xy2=xy(x+y)=1×√11=√11。 CD=BC-BD=4-1=3。 ②y+-+-x+y)2-2=(Vm)2-2=1-2=9。 在Rt△ADC中，∠C=90° x y xy xy 10.A【解析】因为22<5<32， 由勾股定理，得AD=√AC+CD=√10。 所以2<√5<3。所以3<6-√5<4。 因为AD+BD>AB,所以√10+1>√17。 所以a=3,b=6-5-3=3-√5。 17.解：(1)1-5-(1-√3) 所以b2-2a=(3-√5)2-2×3 =1-√5-1+3=3-5。 =9-65+5-6=8-6W5。 因为3<√5，所以3-5<0。 11.1【解析】因为32<10<42， 所以1-√5<1-√3。 (2)6-53_6-5-33-5 (3)如图，连接AC。 888 因为∠B=90°，AB=3,BC=4, 因为9>5，所以3>√5。所以3-√5>0。 所以AC=√AB2+BC=5。 所2g50.所以52 假设在△ACD中，a=AC=5,b=CD=√65，c=AD=52 8>8 18.解：(1)√10√万-2 根公式2，得s-任沙-（可为 2 (2)2 2(3+√5)3+5 3-5(3-5)(3+5)2 -骨×灯5x(v丽)-(34(6)-(52 (3)因为一1 √3+√2 =3+√2， 3-√2(3-√2)(3+√2) √×256-(55- 2 1 2+√3 所以S四边形ABCD=S△ABc+S△McD 3×43547 =2+W3, 2-√3(2-√3)(2+√3) 2+2-2 而2+3>2+3，所以1> 1 专项突破三一次函数与方程、不等式的实际问题 2-55-2 1.解：(1)y1关于x的函数表达式为y1=0.9x。 因为5-√2>0,2-√3>0， 当0≤x≤200时，y2=x; 所以w5-√2>2-√3。 当x>200时，y2=200+0.8(x-200)=0.8x+40。 所以y2关于x的函数表达式为 19.D【解析】由勾股定理，得AC=√22+32=√/13。 (x(0≤x≤200)， 因为3r=3x3×1x2×1x3x2x=3.5, y2= (0.8x+40(x>200)。 (2)当0<x≤200时，y1<y2; 所以4C·B0=35,申V压D=7。 当x>200时， 所以BD=73 令y1=y2,得0.9x=0.8x+40,解得x=400。 13。 所以当0<x<400时，选择A书店去购物更省钱；当x= 20.解：(1)因为52+122=132；32+42=52；62+82=102；72+ 400时，选择两家书店去购物实际支付的金额相同；当 82≠92，所以三边长分别为7,8,9的这个三角形不是直 x>400时，选择B书店去购物更省钱。 角三角形。 2k2+b=195,m(k2=30, 2.解：(1)由条件可得 解得 假设在这个三角形中，a=7,b=8,c=9, (b=135, (b=135。 则p=a6+o）=(748+9)=12. 所以y2的函数表达式为y2=30x+135。 (2)由k2的实际意义可得游泳1次的费用打6折后为 根据公式①，得S=√p(p-a)(p-b)(p-c) 30元。 =√12×(12-7)×(12-8)×(12-9) 所以打折前的每次游泳费用为30÷60%=50（元）。 =125。 所以k1=50×0.9=45。 (2)假设在这个三角形中，a=√13，b=√14，c=√15， (3)由(1)(2)，得y1=45x,y2=30x+135。 令y1=y2,得45x=30x+135,解得x=9。 根据公式2得5-公汾-(0打： 所以游泳少于9次时，选择方案一所需费用更少； 游泳9次时，选择两种方案所需费用相同； √4X(E)Px4-i4-(H 游泳多于9次时，选择方案二所需费用更少。 2 3.解：(1)设A种娃娃每个的进价为x元，B种娃娃每个的 ×1x14-(B4-- 2 2 进价为y元。 (40x+50y=800, （x=10, 根据题意，得 解得 ②快车到达乙地后停留期间，360-60x=150,解得x=2 20x+60y=680。y=8。 答：A种娃娃每个的进价为10元，B种娃娃每个的进价 ③快、慢两车相遇后， 为8元。 60x-(-120x+840)=150,解得x=)。 (2)设购进m个A种娃娃。 根据题意，得10m+8(200-m)≤1760。 3(号子)-2小时。 解得m≤80。 所以在慢车到达乙地前，快、慢两车相距的路程不超过 设这200个娃娃全部售完时利润为w元， 则w=(15-10)m+(10-8)(200-m)=3m+400。 150千米的时长为？小时。 因为3>0，所以w随m的增大而增大。 5.解：(1)乙到达目的地较早，比甲早1h。 当m=80时，w取得最大值，最大值为3×80+400=640， (2)因为甲的速度为60÷4=15(km/h), 此时200-m=200-80=120。 所以，对应的函数表达式为s=15t; 答：该商家购进80个A种娃娃，120个B种娃娃全部售 乙的速度为60÷(3-1)=30(km/h)。 完时获利最大，最大利润为640元。 设L2对应的函表达式为s=30t+b, 4.解：(1)根据图象可知，快车一共行驶了7小时，中间停 将(3,60)代入，得30×3+b=60,解得b=-30。 留了1小时，所以点B的坐标为(4,360)， 所以l2对应的函数表达式为s=30t-30。 设BD的函数表达式为y=kx+b。 (3)由图象可知，当两辆车都行驶在途中（不包括出发 将B(4,360),D(7,0)分别代入， 地和目的地)时，1<t<3。 360=4k1+b,m(k1=-120, 联立1和L2:15t=30t-30,解得t=2。 得 解得 0=7k1+b, b=840。 所以当1<t<2时，自行车行驶在摩托车前面。 所以BD的函数表达式为y=-120x+840。 6.解：(1)设AB所在直线的函数表达式为S=t+b。 设OE的函数表达式为y=k2x。 4k+b=1200, (k=450, 根据题意，得 解得 将E(6,360)代入，得6k2=360: 5k+b=1650。(b=-600。 解得k2=60。所以OE的函数表达式为y=60x。 故AB所在直线的函数表达式为S=450t-600。 (2)因为点C为OE和BD的交点， (2)当t=2时，S=450×2-600=300, [14 300÷2=150(m2/h)。 所以 (y=60x, 解得 答：该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积为 y=-120x+840, y=280。 150m2。 所以点C的坐标为(“，280)。 7.解：(1)根据题图2中点B的坐标为(10,9)，得10s时 水面高度达到9cm, 点C的实际意义：两车出发小时后，在距甲地280千 所以容器内“几何体”的高度为9cm, 米处相遇。 水淹没该“几何体”需要10s。 (3)设OA的函数表达式为y=k3x。 (2)设注水的速度为xcm3/s, 将A(3,360)代人，得3k3=360, BC段：注满用时22-10=12(s), 解得k3=120。所以0A的函数表达式为y=120x。 这段高度为12-9=3(cm),即12x=36×3,解得x=9。 ①快车没有到达乙地前， 所以注水的速度为9cm/s。 5 (3)设AB所在直线的函数表达式为y=t+b。 120x-60x=150,解得x= 2； 将(7,7)，(10,9)分别代入函数表达式， ○全程复习大考卷·数学·八年级下册 ·67…