第9章 二次根式 考点梳理与复习-【全程复习大考卷】2025-2026学年八年级下册数学（青岛版·新教材）

第9章考点梳理与复习 考点一二次根式的定义 【训练目的】能判断代数式是否为二次根式。 1.下列式子一定是二次根式的是 A√E B.√x+2 C.√x2-2 D.√/八x 2.下列各式是二次根式的有 ) (1)√21；(2)√-19；(3)W2x2+1;(4)9;(5)√-2x-2。 咖 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 3.已知二次根式√3x+1的值为4，则x= 考点二二次根式有意义的条件 【训练目的】确定二次根式被开方数中字母的取值 范围。 4.式子√x-3在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ( A.x≥0 B.x<0 C.x≤3 D.x≥3 5.若x=5能使下列二次根式有意义，则这个二次根式可以是 g 1 A.√x-1 B C.√x-6 D.√/-2x 5-x 6.若式子-2在实数范围内有意义，则x的取值范围是 2-x 7.若b=√/4-a+√a-4-8,则a+b= 考点三二次根式的性质 【训练目的】能运用二次根式的性质进行化简。 8.下列四个数中，是负数的是 A.I-√21 B.-√22 C.(-√2)2D.√（-2)2 量 9.实数a,b在数轴上的位置如图所示，则√a2+(√b)2-1b-a1化简的 结果是 a b 0 1 A.-2b B.-2a C.26-2a D.0 10.已知ab<0,且（√a)2=5,√b=3,则a+b的结果为 ( A.8 B.2 C.-2 D.-8 考点四 最简二次根式 【训练目的】能识别最简二次根式。 11.下列二次根式中，是最简二次根式的是 剂 A.√2 B.√12 c D.√a 12.若3m-6是最简二次根式，则整数m的最小值为 3.把？化简为最简三次根式，结果是 14.请写出一个大于2且小于3的最简二次根式： 考点五二次根式的运算 【训练目的】能进行二次根式的混合运算。 15.下列计算正确的是 A.√2+√5=√7 B.23-√3=2 C.√2×3=√6 D.√6÷2=√3 16.小明是这样化简二的： 1= 11×2 22-2 2√2√2x2√22 ,则他 2 2 没有用到的数学知识是 A.Va a (a≥0，b>0) B.分数的基本性质 √BWb C.(√a)2=a(a≥0) D.√a=a(a≥0) 17.已知√11-1的整数部分为a,小数部分为b,则（√J11+a)(b+ 1)= 18.新情境〔趣味情景〕幻方是一种传统游戏，有一家小饭馆的墙面 上挂着如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上 的实数相乘的结果都相等，求出方格下的式子的值即可获取 WiFi密码，则(A+B)·D+C= B5√2 5 10 C ② 10 D 19.新素养〔运算能力〕计算： (/5 (2)BD-2/5+v4s4; (3)(5-3)2-(25-√7)(25+√7)。 20.已知a=2+√3，b=2-√3，求下列各式的值： (1)a2-62; (2)a2b-b2a。 21.已知x=2+√3，求代数式(7-43)x2+(2-√3)x+√3的值。 22.在解决问题“已知4=1，求302-6a-1的值”时，小明是这样 2-1 分析与解答的： 1 √2+1 因为a= -=√2+1， 2-1(√2-1)（√2+1） 所以a-1=√2。 所以(a-1)2=2,即a2-2a+1=2。所以a2-2a=1。 所以3a2-6a-1=3(a2-2a)-1=3-1=2。 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： 2 (1)化简： 3-7 (2)若a= 1 ,求2a2-12a+1的值。 3+2√2 。全程复习大考卷·数学·八年级下册 ·7· 23.新考法〔数学文化〕小莹和小亮在学习了三角形之后，两人对“已 知三边长的三角形面积问题”进行了探究。他们各自查找了相 关问题的资料。 小莹找到的资料如下： 我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中记载：如果一个三角形 的=边长分别为a,6.c,那么8=任10-巴5门（案 九韶公式)。 小亮找到的资料如下： 古希腊数学家海伦在《度量论》中记载：如果一个三角形的三边 长分别为a4c,记p=at均，那么S=-a0-b-o(海 伦公式)。 【推理论证】 (1)小莹和小亮运用整式乘法和因式分解的知识对秦九韶公式 进行了化简，发现化简后的秦九韶公式与海伦公式相同。 这说明海伦公式与秦九韶公式是同一个公式，所以我们也 称海伦公式为“海伦-秦九韶公式”。下面是他们不完整的 推理过程，请将这个推理过程补充完整。 证明：因为p=a+6+c ,所以2p=a+b+c。 2 所以4e-te门 )( _1 2abta"tbi-o2ab-a'-bito 4 2 2 =1.(a+b)2-2 4 2 62p(2p-2j2p-2102-2 =p(p-a)(p-b)(p-c)。 所以s=状-门 =√p(p-a)(p-b)(p-c)。 (2)【学以致用】 已知三角形ABC的三边长分别为a,b,c。请运用“海伦-秦 。8· 。全程复习大考卷·数学·八年级下册 九韶公式”计算三角形ABC的面积。 ①a=3,b=4,c=5; ②a=√3，b=4,c=√5。 考点六二次根式的应用 【训练目的】能用二次根式解决生活中的问题。 24.新素养〔应用意识〕高空抛物是一种不文明的危险行为，被称为 “悬在城市上空的痛”，是我们必须杜绝的行为。物理兴趣小组 通过查阅相关资料了解到，物品从离地面为h(单位：m)的高处 自由落下，落到地面的时间为t(单位：s),满足t=, （不考起 阻力的影响)。 (1)求物体从40的高空落到地面的时间（结果化为最简）； (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J)=10×物体质量 （单位：kg)×高度（单位：m),一串质量为0.2kg的钥匙经过 3s落在地上，这串钥匙下落到地面上时所带能量会对楼下 行人产生危害吗？（注：只需要65J的能量就会对人体造成 危害，行人身高忽略不计) 主题情境合理规划请完成第25~26题 25.光伏产业作为可再生能源领域的重要组成部分，近年来在全球 范围内实现了快速发展。在某景区，景区管理方决定在大厦的 矩形屋顶上安装两块正方形的光伏发电板A,B,两块光伏板沿 屋顶长边恰好并排排列，其面积分别为18m2和32m2,求屋顶 未利用区域（阴影部分）的面积。 A B 32m2 3 18m2 26.大厦内部有一个用于表演的矩形舞台（阴影部分），其面积为 80平方米，长为8√2米。 (1)求这个舞台的宽； (2)为了增加舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为√3米 的装饰带，求舞台装饰后的总面积。（结果保留根号）∠AGF=∠D=90°。 ②如图1，D,E分别为AB,AC的中点，DM⊥BC,EN⊥ 所以CH=AG,∠AHE=∠CGF=90°。所以AH=CG。 BC,再由GH∥BC可推出△ADG≌△BDM,△AEH≌ [LEAH=∠FCG, △CEN,沿DM和EN从△ABC剪下△BDM和△CEN, 在△AEH和△CFG中，{AH=CG, 然后拼接在△ADG和△AEH处。 ∠AHE=∠CGF, 所以△AEH≌△CFG(ASA). (2)由(1)知，△AEH≌△CFG,∠AHE=∠CGF=90°， 所以EH=FG,EH∥FG。 图1 所以四边形EGFH为平行四边形。 (2)方案一：如图2，E,F,H,G分别为四边形的四条边 22.(1)证明：因为四边形ABCD是正方形， 的中点，DJ⊥GH,BK⊥EF,沿虚线GH,EF,DJ,BK剪开 所以BC=CD,∠B=∠CDF=90°。 四边形ABCD,把△DJG,△DJH,△BKF和△BKE分别 因为BE=DF,所以△CBE≌△CDF(SAS)。 拼接到①，②，③，④处即可。 所以CE=CF。 (2)证明：如图1，延长AD至点F,使DF=BE,连接CF。 由(1)知，△CBE≌△CDF, 所以LBCE=∠DCF。 所以∠ECF=∠BCD=90°。 图2 又因为∠GCE=45°， 方案二：如图3，E,F,H,G分别为四边形的四条边的中 所以LGCF=45°=∠GCE。 点，HI⊥FG,EK⊥FG,沿虚线FG,HJ,EK剪开四边形 因为CE=CF,CG=CG, ABCD形成四个四边形①，②，③，④，再如图中所示拼 所以△ECG≌△FCG(SAS). 接即可。 所以EG=FG=DF+DG=BE+DG。 A E B ①B/③ ②④ 7③方④ H C D c 图3 图1 图2 第9章考点梳理与复习 (3)解：如图2，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G。 因为AD∥BC,所以∠A=∠B=90°。 1.D2.C3.54.D5.A 6.x>2小斗分析：根据二次根式被开方数非负、分式分母不为0 又因为∠AGC=90°，AB=BC, 得到关于x的不等式组，求解集即可。 所以四边形ABCG为正方形。所以AG=BC。 因为LDCE=45°，所以DE=BE+DG。 【解析】因为式子2在实数范围内有意义， 2-x 设DG=x,则DE=4+x,AD=12-x。 所以x-2≥0,2-x≠0，解得x>2。 在Rt△AED中，DE2=AD2+AE2, 即(x+4)2=(12-x)2+82, 7.-4【解析】因为b=√4-a+√a-4-8, 解得x=6。所以AD=6。 所以4-a≥0，a-4≥0。 所以a=4,b=-8。所以a+b=-4。 所以Se2(4D+BC)·AB=2x6+12)x12=108。 1 8.B 23.解：(1)①BC=2DEAH⊥DE 9.D小斗分析：由数轴，得a,b,b-a的正负性，再根据二次根式的 ·52· 。全程复习大考卷·数学·八年级下册 性质、绝对值的性质化简即可。 C=√2×5√2÷5=2，D=√2×√10÷2=√/5， 【解析】由数轴，得a<0,b>0,所以b-a>0。 所以(A+B)·D+C=(25+1)×√5+2 所以√a+(√b)2-lb-al=lal+b-(b-a) =10+√5+2=12+√5。 =-a+b-b+a=0 19.解：()原式=35x××2_92 10.B【解析】因为（√a)2=5,所以a=5。 `42-8 因为ab<0,所以b<0。 (2)原式=(632,3 43)÷4W3 因为√0=3，所以-b=3。所以b=-3。 所以a+b=5+(-3)=2。 245 283 11.A 231B (3)原式=5-65+9-20+7=1-65。 ,14.5(答案不唯一) 20.解：a+b=2+√3+2-√3=4， 15.C a-b=2+√3-2+√3=23，ab=4-3=1。 16C【解桥】第一步：1，、 (1)a2-b2=(a+b)(a-b)=4×23=83。 2W2, (2)a2b-b2a=ab(a-b)=1×23=23。 7G-√/层a≥0,0. 运用了a= 21.解：(7-43)x2+(2-√3)x+√5 =(7-43)(2+3)2+(2-√3)(2+W3)+W3 这里a=1,b=2,将分式形式转化为根式形式； =(7-4W3)(7+43)+(4-3)+√3 第二步：22x2 1/1×2 =49-48+1+√3=2+√3。 运用了分数的基本性质，即分数的分子和分母同时乘 2.解：(1)2 2(3+7)=2(3+7)=3+7。 (或除以)同一个不为0的数，分数的大小不变； 3-√7(3-√7)(3+√7) 9-7 1×22 1 3-22 第三步：√2x2√2 是对乘法运算结果的整理； (2)因为a= =3-2√2， 3+22(3+2√2)(3-22) 2√2 所以a-3=-22。 第四步2 所以(a-3)2=8,即a2-6a+9=8。 再次运用76-只(a≥0,60)； 所以a2-6a=-1。 所以2a2-12a+1=2(a2-6a)+1=-2+1=-1。 第五步：2=2，运用了√a=a(u≥0)。 23解：(1ab+a2+-c6-d6-c 2 2 c2-(a-b)2 因为a=2≥0，所以√22=2。 2 在整个化简过程中，没有用到（√a)2=a(a≥0）。 a+b+c a+b-c c+a-b c-a+b 17.7【解析】根据题意，得a=2,b=√11-1-2=√11-3， (2)①根据题意，得p 3+4+5-6。 2 所以原式=（√1T+2)(√T-3+1)=(√1T)2-22=11- 根据海伦公式，得 4=7。 S=√6×(6-3)×(6-4)×(6-5)=6。 18.12+√5【解析】根据题意，得 A=√10×5√2÷5=25，B=√2×5√2÷10=1， -{r-[] B.(5+2)×(5-2)=5-4=1,不符合题意； C.(5+2)+25=35+2, -经2-1 (5+2)-25=2-√5， (5+2)×25=10+45, 2 (5+2)÷25=1+5 2+5, 24.解：(1)因为h=40m, 运算结果均不为有理数，符合题意； 所以=，及-=22(s)。 55 D.(5+2)+(3-√5)=5，不符合题意。 答：物体从40m的高空落到地面的时间为22s。 6.D【解析】因为a+√a2-2a+1=1, (2)因为t=3s,所以h=5t2=45(m)。 所以√a2-2a+1=1-a。 所以E=10×0.2×45=90(J)。 根据二次根式的定义可得1-a≥0，解得a≤1。 因为90>65， 小斗总结 所以这串钥匙下落到地面上时所带能量会对楼下行人 二次根式√规律总结： 产生危害。 25.解：因为正方形A的面积为18m2, 当a≥0时.尽=a当a<0时，尽… 所以正方形A的边长=√I8=32(m)。 7.C【解析】因为x=2-√5， 因为正方形B的面积为32m2, 所以x2-4x-2=(x-2)2-2-4 所以正方形B的边长=√/32=4V2(m)。 =(2-√5-2)2-6=5-6=-1。 所以屋顶未利用区域的面积=3√2×(4√2-3√2) 8.B【解析】因为a×√18-√24÷2√2=6-√3， =3√2×√2=6(m2)。 所以a×√18=6-√3+√3。所以a=6÷√18=√2。 26.解：(1)80÷82=5√2（米）。 因为12<2<22，所以1<√2<2。 所以表示实数a的点会落在数轴的段②上。 答：这个舞台的宽为52米。 9.B【解析】这块草地的长 (2)(82+2√5)(5√2+25) =80+166+10w6+12=(92+266)(平方米)。 =2106-22)-(6-2)=46(m, 答：舞台装饰后的总面积为(92+26√6)平方米。 所以这块草地的面积=4V6×(6-√2) 第9章学业水平测试 =(24-8V3)m2。 1.C 10.A 2.A 11.x≥-1且x≠3 小斗总结… 12.2√2-4【解析】由题意，得2※8=√2(2-√8)》 在判断最简二次根式的过程中要注意： =2W2-√/16=2√2-4。 (1)二次根式的被开方式中不含分母； 13.12√10【解析】如图， (2)二次根式的被开方式中不含一个数或式的平方因式。 3.D I5 cm 4.C【解析】0.85= 85√5×√17_ab W100-10109 24 cm 5.C【解析】A.(√5+2)-（√5+2）=0，不符合题意； 因为AB=√24=2W6cm,BC=BE=√15cm, 当“口”表示“+”时， 所以留下部分的面积为2(26×√/15)=12√10(cm2)。 32+8+. 2 =32+2w2+2=1v2 2-29 10wW3 14. 【解析】由条件可知，v=, 2Ek 3 m 当“口”表示“-”时， 当m=60千克，Ex=1000焦耳时， 32+8- Γ√2 =32+2229w2 22 2×1000_103 v=. 2E- m N60 =3(米/秒)。 当“☐”表示“×”时， 15.2027【解析】要使√a-2027有意义， 32+⑧×2 -32+22x-32+2: 1 2 则a-2027≥0，解得a≥2027。 当“口”表示“÷”时， 所以√a-2027+a-2026=a。 所以√a-2027=2026。所以a=20262+2027。 =32+222=32+4。 32+8÷2 2 所以a-20262=2027。 16.(4,2)【解析】题中数字可以化成：2，√4，√6，√8； 因为2-(3+4)-5-4=5020. 2 2 2 √10，√12，√14，√16；… 所以规律为被开方数为从2开始的偶数，每一行4个数。 所u2,234 因为27=√28,28是第14个偶数， 所以当“口”表示“÷”时，算式的结果最大。 而14÷4=3…2，所以27的位置记为(4,2)。 20解：(1)匝写2万=253×35 n解：(1)原式-2+v万5 2-2 =25-√3=√3。 (2)原式=(33-43)÷(-25) (2)小莹的说法正确。理由如下： 3(-23- 厚}i6 x=√12-2. (3)原式=(6-√5)(6-√5)(6+5) =25-2x61x33+w6 231 =(6-√5)(6-5)=6-√5。 18.解：(1)小亮 =23-√6-√3+√6=√3。 未能正确运用二次根式的性质√a=lal 因为√48=43，所以x的值能与√48合并。 (2)原式=m-2√(m-3)2+6 21.解：(1)正方形的边长为√192=83(cm), =m+2(m-3)+6 所以AD=8√3-23=63(cm), =m+2m-6+6=3m=-6078。 AB=8√3-7W5=√3(cm)。 19.解：(1)设“O”开平方表示的数为x, 所以矩形木板ABCD的面积为63×√3=18(cm2)。 则+8-22 19√2 （2)矩形木料长为125=12x2=46(cm)。 2 6 所以x-9222=32。 22 由(1)，得矩形木板ABCD的长AD为65cm,宽AB为 所以“O”表示的数为18。 √3cm。 (2)由1)，得螺式为32+s口。 因为46=96,63=108,5=卫 2, ○全程复习大考卷·数学·八年级下册 ·53·