2026年中考数学压轴题几何模型 专题16 中点模型

专题16 中点模型 中点模型（又称 “中点辅助线模型”），由三角形中位线定理、直角三角形斜边中线性质推导得出，是解决几何中线段关系、角度转化的核心模型，可快速构造全等、相似图形，简化复杂几何问题，中考常以三角形、四边形、代几综合、折叠旋转题型出现，题目兼具基础性与综合性，逻辑清晰、方法固定，是几何转化思想与构造思想的典型代表。 本专题从模型讲解、例题分析、课堂随练、巩固提高四个部分展开，循序渐进，层层剖析中点模型的重难点，内容详实丰富，供大家学习使用，欢迎下载。 模型讲解 1. 在等腰三角形中有底边中点或证明底边中点时，可以作底边的中线，利用等腰三角形的“三线合一”性质来解决问题. 例： 已知：在△ABC中，AB＝AC，取BC的中点D，连接AD，则AD平分∠BAC，AD是边BC上的高，AD是BC边上的中线. 【说明】应用等腰三角形“三线合一”的性质是证明两条直线垂直的重要方法. 2. 在直角三角形中，有斜边中点或有斜边的倍分关系线段时，可以作斜边的中线解决问题，例： （1）如图，在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，连接CD，则CD＝AD＝BD. （2）如图，在Rt△ABC中，AB＝2BC，作斜边AB上的中线CD，则AD＝BD＝CD＝BC，△BCD是等边三角形. 【总结】在直角三角形中，若遇到斜边的中点，则连接直角顶点与斜边的中点是解决问题的基本方法，作这条辅助线的目的是得到三条相等的线段及两对相等的角. 3. 将三角形的中线延长一倍，构造全等三角形或平行四边形（倍长中线），例： （1）如图，在△ABC中，AD为△ABC的中线，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE，则△ADC≌△EDB. （2）如图，在△ABC中，AD为△ABC的中线，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE，则四边形ABEC是平行四边形. 4. 将三角形中线上的一部分延长一倍，构造全等三角形或平行四边形，例： 如图，已知点E是△ABC中线AD上的一点，延长AD至点F，使得DE＝DF，连接BF、CF，则四边形BFCE为平行四边形或△BDF≌△CDE或△BED≌△CFD. 【总结】证明两条线段相等常用的方法：①当要证明的两条线段是两个三角形的边时，一般通过证明这两条线段所在的两个三角形全等，通过三角形全等的对应边相等来证明两条线段相等；②当两条线段是同一个三角形的两条边时，一般证明这两条边所对的角相等，利用等角对等边证明两条线段相等. 5. 有以线段中点为端点的线段时，可以倍长此线段，构造全等三角形或平行四边形，例： 如图，已知点C为边AE上一点，O为AB的中点，延长CO至点D，使得，连接AD、BD，则，，四边形ADBC为平行四边形. 6. 有三角形中线时，可过中点所在的边的两端点向中线作垂线，构造全等三角形，例： 如图，AF为△ABC的中线，作BD⊥AF交AF延长线于点D，作CE⊥AF于点E，则△BDN≌△CEN. 7. 在三角形中，有一边的中点时，过中点作三角形一边的平行线或把某条线段构造成中位线，利用已知的条件可求线段长，例： 如图，D为AB的中点，过点D作DE∥BC，则DE为△ABC的中位线；过点B作BF∥DC交AC的延长线于点F，则DC为△ABF的中位线. 8. 有两个（或两个以上）中点时，连接任意两个中点可得三角形的中位线，例： 如图，D、E、F分别为△ABC三边中点，连接DE、DF、EF，则，，. 9. 有一边中点，并且在已知或求证中涉及线段的倍分关系时，可以取另一边的中点，构造三角形的中位线，例： 如图，点E是△ABC边BC的中点，取AC的中点F，连接EF，则EF∥AB，. 10. 当圆心与弧（或弦）的中点，可以利用垂径定理解决问题，例： （1）如图，，连接AC、OB，则OB⊥AC，OB平分AC. （2） 如图，点C为弦AB的中点，连接OC，则OC⊥AB. 例题分析 例题分析 例1 如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连结AG、BG、CG且∠AGD＝∠BGC，若AD、BC所在直线互相垂直，求的值 例2 如图，在△ABC中，BC＝22，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于E，F、G分别是BC、DE的中点，若ED＝10，求FG的长． 例3 已知：在RT△ACB和RT△AEF中，∠ACB＝∠AEF＝900，若P是BF的中点，连结PC、PE （1） 如图1，若点E、F分别落在边AB、AC上，请直接写出此时PC与PE的数量关系． （2） 如图2，把图1中的△AEF绕着点A顺时针旋转，当点E落在边CA的延长线上时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． （3）如图3，若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 例4 已知：△ABC是等腰三角形，∠BAC＝900，DE⊥CE，DE＝CE＝AC，连结AE，M是AE的中点 （1） 如图1，若D在△ABC的内部，连结BD，N是BD的中点，连结MN，NE，求证：MN⊥AE （2） 如图2，将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转，使∠BCD＝300，连结BD，N是BD的中点，连结MN，求 课堂随练 练1. 如图，在矩形ABCD中，E为CB延长线一点且AC＝CE，F为AE的中点，求证：BF⊥FD. 练2. 如图，在梯形ABCD中，∠B＋∠C＝90º，EF是两底中点的连线，求证：BC－AD＝2EF. 练3. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90º，AB＝AC，AD＝CD，AF⊥BD于点E交BC于点F，求证：BF＝2FC. 练4. 如图，在四边形ABCD中，E为AB上的一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN的形状. 巩固提高 1. 如图，P是圆O外的一点，过P点引两条割线PAB、PCD，点M、N分别是、的中点，连接MN分别交AB、CD于点E、F.巩固提高 （1）求证：△PEF是等腰三角形； （2）若点P在圆上或圆内，其他条件不变，结论还能成立吗？ 2. 半径为1的半圆形纸片，按如图方式沿AB折叠，使折叠后半圆弧的中点M与圆心O重合，求图中阴影部分面积？ 3． 如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AC平分∠DAB，E、F分别为对角线AC、DB的中点，且EF＝4．求这个梯形的面积． 4． 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D为斜边BC中点，DE⊥DF，求证：EF2＝BE2+CF2． 5． 半径为2.5的⊙O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P．已知BC：CA＝4：3，点P在上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q． （1）当点P与点C关于AB对称时，求CQ的长； （2）当点P运动到的中点时，求CQ的长； （3）当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长． 6．如图已知▱ABCD中，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点F （1）CD与FA相等吗？为什么？ （2）若使∠F＝∠BCF，▱ABCD的边长之间还需要再添加一个什么条件？请你补上这个条件并说明理由． 7．如图，在直角△ABC中，D为斜边AB的中点，DE⊥DF，而E、F分别在AC和BC上，连结EF．观察AE、EF、BF能不能组成直角三角形．写出你的结论并说明理由． 8．在中，，于点，点为的中点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在平行四边形中，，为上一点，为的中点，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，直线l1⊥l3，l2⊥l3，垂足分别为P、Q，一块含有45°的直角三角板的顶点A、B、C分别在直线l1、l2、线段PQ上，点O是斜边AB的中点，若PQ等于，则OQ的长等于 _____． 11．感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型： 如图1，，由，，可得 ；又因为，可得，进而得到______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型． 应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在中，，，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），点D是AC边上的一个动点，且． ①求证：； ②当点P为BC中点时，求CD的长； 拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当为等腰三角形时，请直接写出BP的长． 12．如图，∠D＝∠C＝90°，点E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA＝28°，求∠ABE的大小． 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 中点模型 中点模型（又称 “中点辅助线模型”），由三角形中位线定理、直角三角形斜边中线性质推导得出，是解决几何中线段关系、角度转化的核心模型，可快速构造全等、相似图形，简化复杂几何问题，中考常以三角形、四边形、代几综合、折叠旋转题型出现，题目兼具基础性与综合性，逻辑清晰、方法固定，是几何转化思想与构造思想的典型代表。 本专题从模型讲解、例题分析、课堂随练、巩固提高四个部分展开，循序渐进，层层剖析中点模型的重难点，内容详实丰富，供大家学习使用，欢迎下载。 模型讲解 1. 在等腰三角形中有底边中点或证明底边中点时，可以作底边的中线，利用等腰三角形的“三线合一”性质来解决问题. 例： 已知：在△ABC中，AB＝AC，取BC的中点D，连接AD，则AD平分∠BAC，AD是边BC上的高，AD是BC边上的中线. 【说明】应用等腰三角形“三线合一”的性质是证明两条直线垂直的重要方法. 2. 在直角三角形中，有斜边中点或有斜边的倍分关系线段时，可以作斜边的中线解决问题，例： （1）如图，在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，连接CD，则CD＝AD＝BD. （2）如图，在Rt△ABC中，AB＝2BC，作斜边AB上的中线CD，则AD＝BD＝CD＝BC，△BCD是等边三角形. 【总结】在直角三角形中，若遇到斜边的中点，则连接直角顶点与斜边的中点是解决问题的基本方法，作这条辅助线的目的是得到三条相等的线段及两对相等的角. 3. 将三角形的中线延长一倍，构造全等三角形或平行四边形（倍长中线），例： （1）如图，在△ABC中，AD为△ABC的中线，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE，则△ADC≌△EDB. （2）如图，在△ABC中，AD为△ABC的中线，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE，则四边形ABEC是平行四边形. 4. 将三角形中线上的一部分延长一倍，构造全等三角形或平行四边形，例： 如图，已知点E是△ABC中线AD上的一点，延长AD至点F，使得DE＝DF，连接BF、CF，则四边形BFCE为平行四边形或△BDF≌△CDE或△BED≌△CFD. 【总结】证明两条线段相等常用的方法：①当要证明的两条线段是两个三角形的边时，一般通过证明这两条线段所在的两个三角形全等，通过三角形全等的对应边相等来证明两条线段相等；②当两条线段是同一个三角形的两条边时，一般证明这两条边所对的角相等，利用等角对等边证明两条线段相等. 5. 有以线段中点为端点的线段时，可以倍长此线段，构造全等三角形或平行四边形，例： 如图，已知点C为边AE上一点，O为AB的中点，延长CO至点D，使得，连接AD、BD，则，，四边形ADBC为平行四边形. 6. 有三角形中线时，可过中点所在的边的两端点向中线作垂线，构造全等三角形，例： 如图，AF为△ABC的中线，作BD⊥AF交AF延长线于点D，作CE⊥AF于点E，则△BDN≌△CEN. 7. 在三角形中，有一边的中点时，过中点作三角形一边的平行线或把某条线段构造成中位线，利用已知的条件可求线段长，例： 如图，D为AB的中点，过点D作DE∥BC，则DE为△ABC的中位线；过点B作BF∥DC交AC的延长线于点F，则DC为△ABF的中位线. 8. 有两个（或两个以上）中点时，连接任意两个中点可得三角形的中位线，例： 如图，D、E、F分别为△ABC三边中点，连接DE、DF、EF，则，，. 9. 有一边中点，并且在已知或求证中涉及线段的倍分关系时，可以取另一边的中点，构造三角形的中位线，例： 如图，点E是△ABC边BC的中点，取AC的中点F，连接EF，则EF∥AB，. 10. 当圆心与弧（或弦）的中点，可以利用垂径定理解决问题，例： （1）如图，，连接AC、OB，则OB⊥AC，OB平分AC. （2） 如图，点C为弦AB的中点，连接OC，则OC⊥AB. 例题分析 例题分析 例1 如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连结AG、BG、CG且∠AGD＝∠BGC，若AD、BC所在直线互相垂直，求的值 解： 由题意可得△AGB和△DGC为共顶点等顶角的两个等腰三角形， 所以△AGD≌△BGC，△AGD∽△EGF． 方法一：如图1，连结CE并延长到H，使EH＝EC，连EH、AH，则 AH∥BC，AH＝BC，而AD＝BC，AD⊥BC 所以AD＝AH，AD⊥AH，连结DH，则△ADH为等腰直角三角形，又因为E、F分别为CH、CD的中点，所以 方法二：如图2，连结BD并取中点H，连结EH，FH．则EH＝AD，且EH∥AD，FH＝BC， 而AD＝BC，AD⊥BC，所以△EHF为等腰直角三角形，所以 例2 如图，在△ABC中，BC＝22，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于E，F、G分别是BC、DE的中点，若ED＝10，求FG的长． 解：连结EF、DF，由题意可得EF、DF分别为RT△BEC，RT△BDC斜边的中线，所以DF＝EF＝BC＝11，而G为DE的中点，所以DG＝EG＝5，FG⊥DE，所以RT△FGD中，FG＝＝ 例3 已知：在RT△ACB和RT△AEF中，∠ACB＝∠AEF＝900，若P是BF的中点，连结PC、PE （1） 如图1，若点E、F分别落在边AB、AC上，请直接写出此时PC与PE的数量关系． （2） 如图2，把图1中的△AEF绕着点A顺时针旋转，当点E落在边CA的延长线上时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． （3）如图3，若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 解（1）易得PC＝PE＝BF，即PC与PE相等． （2）结论成立．理由如下： 如图4，延长CP交EF的延长线于点D，则BC∥FD，易证△BPC≌△FPD，所以PC＝PD，而∠CED＝900，所以PE＝CD＝PC （3） 结论仍成立，理由如下： 如图5，过点F作FD∥BC，交CP的延长线于点D，易得PD＝PC，FD＝BC 所以 而∠AFE＝∠PBC＝∠PFD，所以∠EAC＝1800－2∠AFE＝∠EFD， 如图，连结CE，ED，则△EAC∽△EFD，所以∠AEC＝∠FED，∠CED＝∠AEF＝900， 所以PE＝CD＝PC 例4 已知：△ABC是等腰三角形，∠BAC＝900，DE⊥CE，DE＝CE＝AC，连结AE，M是AE的中点 （1） 如图1，若D在△ABC的内部，连结BD，N是BD的中点，连结MN，NE，求证：MN⊥AE （2） 如图2，将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转，使∠BCD＝300，连结BD，N是BD的中点，连结MN，求 解：（1）如图3，延长EN至点F，使得NF＝NE，连结FB，易证△DEN≌△BFN，从而可得BF∥DE，BF＝DE，延长FB，CE交于点G，则∠G＝900，从而A、B、G、C四点共圆 所以∠ABF＝∠ACE，连结AF，所以△ABF≌△ACE（SAS），所以AF＝AE，AF⊥AE，而MN∥AF所以MN＝AE，MN⊥AE （2）如图4，同（1）可得，MN＝AE，MN⊥AE，由题意可得AC＝2CE，作EH⊥AC于H，则∠ECH＝600，所以CH＝EC＝AC，EH＝AC，从而AE＝，所以 课堂随练 练1. 如图，在矩形ABCD中，E为CB延长线一点且AC＝CE，F为AE的中点，求证：BF⊥FD. 【解答】见解析 【解析】如图，连接CF. ∵AC＝CE，F为AE的中点，∴CF⊥AE，∴∠AFD＋∠DFC＝90º， ∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD，AB⊥CE，∠ABC＝∠BAD＝90º， 在Rt△ABE中，∵F为AE的中点，∴BF＝AF，∴∠FBA＝∠FAB， ∴∠FAB＋∠BAD＝∠FBA＋∠ABC，即∠FBC＝∠FAD， 又∵AD＝BC，FA＝FB，∴△FBC≌△FAD，∴∠AFD＝∠BFC， ∴∠BFD＝∠BFC＋∠DFC＝∠AFD＋∠DFC＝90º，∴BF⊥FD. 练2. 如图，在梯形ABCD中，∠B＋∠C＝90º，EF是两底中点的连线，求证：BC－AD＝2EF. 【解答】见解析 【解析】如图，过点E作EM∥AB交BC于点M，EN∥DC交NC于点N. ∵四边形ABCD是梯形，∴AD∥BC，∴四边形ABME和四边形DCNE为平行四边形，∴BM＝AE，CN＝DE， ∵E、F分别为AD、BC的中点，∴AE＝ED，BF＝CF，∴FM＝FN， ∵EM∥AB，EN∥DC，∴∠EMN＋∠B，∠ENM＝∠C， 又∵∠B＋∠C＝90º，∴∠EMN＋∠ENM＝90º，即∠MEN＝90º，∴EF＝MN， ∴EF＝[BC－（BM＋NC）]＝（BC－AD），即BC－AD＝2EF. 练3. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90º，AB＝AC，AD＝CD，AF⊥BD于点E交BC于点F，求证：BF＝2FC. 【解答】见解析 【解析】如图，过点C作CN⊥BD交BD的延长线于点N. ∵AE⊥BD，∴∠AED＝∠N， ∵AD＝CD，∠ADE＝∠CDN，∴△ADE≌△CDN（AAS），∴DE＝DN， ∵AF⊥BD，CN⊥BD，∴AF∥CN，∴， ∵∠BAC＝90º，AE⊥BD，∴△ABE∽△DBA，∴，即， 同理可证，∴， ∵AB＝AC＝2AD，，又∵DN＝DE，， ∴，∴BF＝2FC. 练4. 如图，在四边形ABCD中，E为AB上的一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN的形状. 【解答】四边形PQMN为菱形 【解析】如图，连接AC、BD. ∵△ADE和△BCE都是等边三角形，∴∠AEC＝120º，∠BED＝120º，∴∠AEC＝∠BED， 又∵EA＝ED，EC＝EB，∴△AEC≌△DEB，∴AC＝BD， 又∵P、Q、M、N分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴PNBD，QMBD， ∴PNQM，∴四边形PQMN是平行四边形， 又∵PN＝BD，MN＝AC，∴MN＝PN，∴四边形PQMN是菱形. 巩固提高 巩固提高 1. 如图，P是圆O外的一点，过P点引两条割线PAB、PCD，点M、N分别是、的中点，连接MN分别交AB、CD于点E、F. （1）求证：△PEF是等腰三角形； （2）若点P在圆上或圆内，其他条件不变，结论还能成立吗？ 【解答】（1）见解析；（2）结论依然成立，理由见解析 【解析】（1）如图，证明：连接OM、ON，分别交AB、CD于点G、H. ∵点M、N分别是、的中点，∴OM⊥AB，ON⊥CD，即∠MGE＝∠NHF＝90º， 又∵OM＝ON，∴∠M＝∠N，∴∠MEG＝∠NFH， ∵∠MEG＝∠PEF，∠NFH＝∠PFE，∴∠PEF＝∠PFE，∴PE＝PF，即△PEF是等腰三角形； （2）如图1，当点P在圆上时，连接OM、ON，分别交AB、CD于点G、H. ∵OM＝ON，∴∠OMN＝∠ONM， 又∵点M、N分别是、的中点，∴∠MGE＝∠NHF＝90º，∴∠MEG＝∠NFH， ∵∠MEG＝∠PEF，∠NFH＝∠PFE，∴∠PEF＝∠PFE，∴PE＝PF，即△PEF是等腰三角形； 如图2，当点P在圆内时，连接OM、ON，分别交AB、CD于点G、H. ∵OM＝ON，∴∠OMN＝∠ONM， 又∵点M、N分别是、的中点，∴∠MGE＝∠NHF＝90º，∴∠MEG＝∠NFH， ∵∠MEG＝∠PEF，∠NFH＝∠PFE，∴∠PEF＝∠PFE，∴PE＝PF，即△PEF是等腰三角形. 2. 半径为1的半圆形纸片，按如图方式沿AB折叠，使折叠后半圆弧的中点M与圆心O重合，求图中阴影部分面积？ 【解答】 【解析】如图，连接OM交AB于点C，连接OA、OB. 由题意可得OM⊥AB，且OC＝MC＝， 在Rt△AOC中，∵OA＝1，OC＝，， ∴∠AOC＝60º，AB＝2AC＝，∴∠AOB＝2∠AOC＝120º， 则， . 3． 如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AC平分∠DAB，E、F分别为对角线AC、DB的中点，且EF＝4．求这个梯形的面积． 【解答】48 【解析】∵四边形ABCD是等腰梯形， ∴∠DAB＝∠ABC＝60°，DC∥AB， ∴∠DCA＝∠CAB， ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠CAB∠DAB＝30°，∠DCA＝∠DAC， ∴∠ACB＝90°，AD＝DC＝BC， ∴AB＝2BC＝2CD， 设CD＝a，则AB＝2a， 连接DE，并延长DE交AB于M， ∵在△DEC和△MEA中 ， ∴△DEC≌△MEA（ASA）， ∴DC＝AM＝a，DE＝EM， ∵DF＝BF， ∴EFBM（AB﹣AM）， ∵EF＝4， ∴4（2a﹣a）， a＝8， 即BC＝AD＝DC＝8，AB＝16， 过C作CN⊥AB于N， ∵BC＝8，∠ABC＝60°， ∴∠BCN＝30°， ∴BNBC＝4，由勾股定理得：CN＝4， ∴梯形的面积（DC+AB）×CN（8+16）×448． 4． 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D为斜边BC中点，DE⊥DF，求证：EF2＝BE2+CF2． 【解答】见解析 【解析】证明：延长ED到G，使DG＝DE，连接EF、FG、CG，如图所示： 在△EDF和△GDF中 ， ∴△EDF≌△GDF（SAS）， ∴EF＝FG 又∵D为斜边BC中点 ∴BD＝DC 在△BDE和△CDG中， ， ∴△BDE≌△CDG（SAS） ∴BE＝CG，∠B＝∠BCG ∴AB∥CG ∴∠GCA＝180°﹣∠A＝180°﹣90°＝90° 在Rt△FCG中，由勾股定理得： FG2＝CF2+CG2＝CF2+BE2 ∴EF2＝FG2＝BE2+CF2． 5． 半径为2.5的⊙O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P．已知BC：CA＝4：3，点P在上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q． （1）当点P与点C关于AB对称时，求CQ的长； （2）当点P运动到的中点时，求CQ的长； （3）当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长． 【解答】（1）；（2）；（3）当PC过圆心O，即PC取最大值5时，CQ最大值为． 【解析】（1）当点P与点C关于AB对称时，CP⊥AB，设垂足为D． ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°． ∴AB＝5，又∵BC：CA＝4：3， ∴BC＝4，AC＝3． 又∵AC•BCAB•CD ∴CD，PC 在Rt△ACB和Rt△PCQ中， ∠ACB＝∠PCQ＝90°，∠CAB＝∠CPQ， Rt△ACB∽Rt△PCQ ∴， ∴CQPC． （2）当点P运动到弧AB的中点时，过点B作BE⊥PC于点E（如图）． ∵P是弧AB的中点， ∴∠PCB＝45°，CE＝BEBC＝2 又∠CPB＝∠CAB ∴tan∠CPB＝tan∠CAB ∴PEBE，PC 而从（1）中得，CQPC． （3）点P在弧AB上运动时，恒有CQPC； 故PC最大时，CQ取到最大值． 当PC过圆心O，即PC取最大值5时，CQ最大值为． 6．如图已知▱ABCD中，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点F （1）CD与FA相等吗？为什么？ （2）若使∠F＝∠BCF，▱ABCD的边长之间还需要再添加一个什么条件？请你补上这个条件并说明理由． 【解答】（1）见解析；（2）见解析 【解析】（1）CD＝FA． 理由：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB， ∵∠D＝∠EAF， ∵E为AD的中点， 即DE＝AE， ∴在△CDE和△FAE中， ， ∴△CDE≌△FAE（ASA）， ∴CD＝FA． （2）要使∠F＝∠BCF，需平行四边形ABCD的边长之间是2倍的关系，即BC＝2AB， 理由：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB， ∵CD＝AF， ∴AB＝AF， ∴BF＝AB+AF＝2AB， ∵BC＝2AB， ∴BC＝BF， ∴∠F＝∠BCF． 7．如图，在直角△ABC中，D为斜边AB的中点，DE⊥DF，而E、F分别在AC和BC上，连结EF．观察AE、EF、BF能不能组成直角三角形．写出你的结论并说明理由． 【解答】能组成直角三角形，斜边为EF 【解析】如图，延长FD到F′，使DF′＝DF，连接AF′、EF′， ∵D为斜边AB的中点， ∴AD＝BD， 在△ADF′和△BDF中， ， ∴△ADF′≌△BDF（SAS）， ∴AF′＝BF，∠B＝∠DAF′， ∵∠BAC+∠B＝90°， ∴∠BAC+∠DAF′＝∠BAC+∠B＝90°， 即∠EAF′＝90°， 又∵DE⊥DF， ∴EF′＝EF， ∴△EAF′是以EF′为斜边的直角三角形， 故AE、EF、BF能组成直角三角形，斜边为EF． 8．在中，，于点，点为的中点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连结CE，并延长CE，交BA的延长线于点N，根据已知条件和平行四边形的性质可证明△NAE≌△CFE，所以NE＝CE，NA＝CF，再由已知条件CD⊥AB于D，∠ADE＝50°，即可求出∠B的度数． 【详解】解：连结CE，并延长CE，交BA的延长线于点N， ∵四边形ABCF是平行四边形， ∴AB∥CF，AB＝CF， ∴∠NAE＝∠F， ∵点E是的AF中点， ∴AE＝FE， 在△NAE和△CFE中， ， ∴△NAE≌△CFE（ASA）， ∴NE＝CE，NA＝CF， ∵AB＝CF， ∴NA＝AB，即BN＝2AB， ∵BC＝2AB， ∴BC＝BN，∠N＝∠NCB， ∵CD⊥AB于D，即∠NDC＝90°且NE＝CE， ∴DE＝NC＝NE， ∴∠N＝∠NDE＝50°＝∠NCB， ∴∠B＝80°． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，综合性较强，难度较大，解答本题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形，在利用等腰三角形的性质解答． 9．如图，在平行四边形中，，为上一点，为的中点，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质可以得到，且为的中点，所以,由此可判断选项；再结合平行线的性质可以得到，由此可判断选项；同时延长和交于点， 可以证得，所以,由此可以判断选项；由于，所以，由此可以判断选项； 【详解】四边形是平行四边形 由于条件不足，所以无法证明,故选项错误； 故选项错误； 同时延长和交于点 在和 中： 由于条件不足，并不能证明，故选项错误； 为的中点 故选项正确； 故选：D. 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，以及全等三角形的判定，根据题意作出相应的辅助线是求解本题的关键. 10．如图，直线l1⊥l3，l2⊥l3，垂足分别为P、Q，一块含有45°的直角三角板的顶点A、B、C分别在直线l1、l2、线段PQ上，点O是斜边AB的中点，若PQ等于，则OQ的长等于 _____． 【答案】 【分析】由“AAS”可证△ACP≌△CBQ，可得AP＝CQ，PC＝BQ，由“AAS”可证△APO≌△BHO，可得AP＝BH，OP＝OH，由等腰直角三角形的性质和直角三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，连接PO，并延长交l2于点H， ∵l1⊥l3，l2⊥l3， ∴l1∥l3，∠APC＝∠BQC＝∠ACB＝90°， ∴∠PAC+∠ACP＝90°＝∠ACP+∠BCQ， ∴∠PAC＝∠BCQ， 在△ACP和△CBQ中， ， ∴△ACP≌△CBQ（AAS）， ∴AP＝CQ，PC＝BQ， ∴PC+CQ＝AP+BQ＝PQ＝， ∵AP∥BQ， ∴∠OAP＝∠OBH， ∵点O是斜边AB的中点， ∴AO＝BO， 在△APO和△BHO中， ， ∴△APO≌△BHO（AAS）， ∴AP＝BH，OP＝OH， ∴BH+BQ＝AP+BQ＝PQ， ∴PQ＝QH＝， ∵∠PQH＝90°， ∴PH＝PQ＝12， ∵OP＝OH，∠PQH＝90°， ∴OQ＝PH＝6． 故答案为：6 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形和直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理，等腰三角形和直角三角形的性质定理是解题的关键． 11．感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型： 如图1，，由，，可得 ；又因为，可得，进而得到______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型． 应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在中，，，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），点D是AC边上的一个动点，且． ①求证：； ②当点P为BC中点时，求CD的长； 拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当为等腰三角形时，请直接写出BP的长． 【答案】感知：（1）；应用：（2）①见解析；②3.6；拓展：（3）2或 【分析】（1）根据相似三角形的性质，即可求解； （2）①根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，根据三角形的外角性质得到∠BAP=∠CPD，即可求证； ②根据相似三角形的性质计算，即可求解； （3）分PA=PD、AP=AD、DA=DP三种情况，根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质，即可求解． 【详解】感知：（1）∵△ABC∽△DAE， ∴， ∴， 故答案为：； 应用：（2）①∵∠APC=∠B+∠BAP，∠APC=∠APD+∠CPD，∠APD=∠B， ∴∠BAP=∠CPD， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴△ABP∽△PCD； ②BC=12，点P为BC中点， ∴BP=PC=6， ·∵△ABP∽△PCD， ∴，即， 解得：CD=3.6； 拓展：（3）当PA=PD时，△ABP≌△PCD， ∴PC=AB=10， ∴BP=BC-PC=12-10=2； 当AP=AD时，∠ADP=∠APD， ∵∠APD=∠B=∠C， ∴∠ADP=∠C，不合题意， ∴AP≠AD； 当DA=DP时，∠DAP=∠APD=∠B， ∵∠C=∠C， ∴△BCA∽△ACP， ∴，即， 解得：， ∴， 综上所述，当为等腰三角形时， BP的长为2或 ． 【点睛】本题考查的是三角形相似的判定定理和性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理以及三角形的外角性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 12．如图，∠D＝∠C＝90°，点E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA＝28°，求∠ABE的大小． 【答案】28° 【分析】过点E作EF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=EF，根据线段中点的定义可得DE=CE，然后求出CE=EF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可得出BE平分∠ABC，即可求得∠ABE的度数． 【详解】如图，过点E作EF⊥AB于F， ∵∠D=∠C=90°，AE平分∠DAB， ∴DE=EF， ∵E是DC的中点， ∴DE=CE， ∴CE=EF， 又∵∠C=90°， ∴点E在∠ABC的平分线上， ∴BE平分∠ABC， 又∵AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD=180°， ∴∠AEB=90°， ∴∠BEC=90°-∠AED=62°， ∴Rt△BCE中，∠CBE=28°， ∴∠ABE=28°． 【点睛】考查了平行线的性质与判定、角平分线上的点到角的两边距离相等的性质、到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，解题关键是熟记各性质并作出辅助线． 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $