期中真题专项训练02 三角恒等变换10大考点【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册重难点讲义与测试

宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件讲义、单元、月考、期中期味言 期中真题专项训练02三角恒等变换 目标导航 【考点一】两角和与差的余弦 【考点六】二倍角的正切公式 【考点二】两角和与差的正弦 【考点七】c0s2x的降幂公式及应用 【考点三】两角和与差的正切 【考点八】辅助角公式 【考点四】二倍角的正弦公式 【考点九】三角恒等变换的化简问题 【考点五】二倍角的余弦公式 【考点十】给值求值型问题 典例分新 【考点一】两角和与差的余弦 L.(24-25高一下·重庆沙坪坝期中)已知cos(a-P)=m,tanatanB=3,则cos(a+B)=() A. B. m 2 C. -2m D.2m 【答案】A 【分析】利用两角差的余弦与切化弦可求得coscoB= 4.sinasinB=3m ，进而利用两角和的余弦公式可求值即可 sinasinB 【详解】因为cosa-B)=cosacosp+sinsinB=m,由tanctanp= =3, cosacosB 可得sinsin=3 osacs,所以0sB- 4,sinasinp=3m cos(a+B)=cosacosB-sinasinB= 2· 故选：A. 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件讲义、单元、月考、期中期味 5,cosB=10 25 2.(24-25高一下·辽宁期中)已知sin0= 0,且a,B都是锐角，则a+B等于() A.4 π B. 4或4 C. 2 D. 3π 4 【答案】D 【分析】应用同角三角函数关系求出cosa,sinB,再应用两角和余弦公式求解即可. 【详解】因为sina= 5,cosB=v 2 10，且a,B都是锐角，则 4V5 1310 所以cosa 5=5,siB= V°1010 则osa+g=0x5.3i而2W5 105105 2,a+Be(0,π 则a+B= 3π 4· 故选：D. c0s20°-2c0s80° 3.(24-25高一下广东·期中) cosl10° 【答案】-√5 【分析】利用和角的余弦公式及诱导公式化简即得. 【详解】 cos20°-2cos80°_c0s20°-2cos(60°+20)_V3sin20° cos110° cos(90°+20) -sin20° 故答案为：-√阝 4(245高-下辽宁大连期)已如至a受0<9<xmm= 2 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件讲义、单元、月考、期中期味 【答案】-2 5 【分析】利用同角公式、和角的余弦公式计算即得， 【详解】由-a<受0<B<元na=5 25 5,c。s三寻Cos之之 5,sina=4 2W53、V5425 所以cos(a+)=cosa cos B-sinasin B= 5- 51 55 5 2V5 故答案为： 5 32425商-下吉林长春期)卫知sm2a=发，5加(B-a= π] 10 ,且ae (1)求cos2a的值： (2)求a+B的值. 【答案】0)2 7π 24 【分析】(1)根据2a的范围及sin2a可求cos2a的值： (2)先求cos(B-),结合和角公式，求出cos(a+),根据a+B的范围可得角a+B的大小. 【相1因为u子可，所以2业[后[告引 因为sin2a= ，所以co2a=-V-sin22a=-2 5 J 因为sin(B-a)= -0,所以-u5小，且oA-a- cos(a+B)=cos(2a+B-a)=cos 2a cos(B-a)-sin 2a sin(B-a) 3 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 25x3io)-5xi0-5 10 5102 因为a+B=2a+B-a)∈|x,2,所以a+B=7四 41 6（23-24商-下重庆：期中)）已响量a=(cs,sin小：万=eosR,sn,日--0 1)求cos(a-)的值： ②诺<B<0<a<,sm9= 13,求sina的值. 【答案】()5 16 2)65 【分析】(1)对等式a-= 5 二进行平方运算，根据平面向量的模和数量积的坐标表示公式，结合两角差的余弦公 式直接求解即可； (2)由(I)可以结合同角的三角函数关系式求出sin(a-P)的值，再由同角三角函数关系式结合sinB的值求出cosB 的值，最后利用两角和的正弦公式求出sina的值即可. 【详解】(1)日=1，=1， a---同-2a6+6-号→a6-月 →co月+sinasin-等→cosa-月-专： (2)因为受B<0<u<元， 4 ,⊙ 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 所以0<a-B<受，而6oa-月-=手，放0<a-B<分 所以sna-)--osa-)-g 因为受B<0,snB= 13 所以cosB=V-sin2p=1 13 因此有sina=sin[(a-)+]=sin(a-B)cos阝+cos(a-B)sinB 312,4( =3 516 +一× 5135'1365 【考点二】两角和与差的正弦 .3 tan a 724-25高下江苏期中)已知sinu+B)sin(a-,则amB () 2 A.3 B.2 C.5 D. 【答案】B tan a 【分析】先展开sina+B)与sin(a-A),再通过加减运算求出sino与cos&si血B的值，最后代入anB的转化式计 算 【详解】由sna+B)-号得+ 3 5: 由snla-)=号得o-i-号 两式相加：2 sincoB=4 即sin=2 5 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件讲义、单元、月考、期中期味 两式相减：2 sinB=2 , 即cosasinB=5 2 因为tana_sin&cos阝， 5 代入得=2. tan B cosasin B 5 故选：B. 8.(24-25高一下·辽宁·期中)已知P(a,b)为平面直角坐标系中一点，将向量OP绕原点O逆时针方向旋转0角到OP的 位置，则点P的坐标为() A.P'(acos+bsine,asin+bcose) B.P'(asin+bcose,acos0-bsine) C.P'(acos0-bsine,asine+bcose) D.P'(bcos0-asine,bsin+acose) 【答案】C 【分析】设点P在角。的终边上，则cQs0V后十，s血a后十万，然后利用两角和的正弦和余弦公武可求得点 a b P的坐标 【详解】设点P在角，的终边上，则cosa= a+b,sina= b a2+b2, xp=a2+b2 cos(a+0)=a2+b2(cosa cos0-sina sin0)=acos0-bsin0, y=a2+b sin(a+0)=a+(sina cos0+cosasin0)=asin0+bcos0, 所以点p'的坐标为P'(acos9-bsin0,asin+bcos0」 故选：C. 9(2425高-下甘肃兰州期中)若0<a<2,2B<0,cosa=v3 ，sna+)则如B 6 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件讲义、单元、月考、期中期味 【分析】求出cos(a+P)、sina的值，然后利用两角差的正弦公式可求得sinB的值. 【详解】因为0<u<受，受<f<0,则a+B<号， 所以+=a+---2， 因此，sinB=sin[(a+B)-a]=sin(a+B)cosa-cos(a+B)sina 132W26_5 =33-3x33 故答案为：-5 3 10.(2425高一下江苏南京期中)已知a∈(0，，0sa+=3 +6厂5则sina 的值为 【答案】45-3 10 【分折】先根据张件求出mQ+君专由m=如[Q-君- 再用两角差的正弦公式求解即可， 【详解】因为a0,,所以a+(区】 6(6'6: 因为ma君引，ag-怎引所似ma+君- 7 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 所以sina= sin 6 10 故答案为： 43-3 10 1.已知锐角。'B 且满足cosa= ,sa) 6 2 10 (I)求sinB: (2)求a+B 【答案】0酒 3π (2)4 【分析】(I)根据同角三角函数的基本关系求出sina和cos(B-a),利用两角和的正弦弦公式求出sinB: (2)根据同角三角函数的基本关系求出cosB,然后利用两角和的余弦公式求cos(+P),结合角的范围可得答案. 【详解】()因为。B是锐角，所以由0<a<受，0<B<受 2, ”。为锐角，c0sa=5 a sina+cosa=sina25 ，且 5, 登a0,号B-a受ma- 10 以e0-a-vm9-g-2治。 sin B=sin (B-a)+a=sin(B-a)cosa+cos(B-a)sina, 8 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味。 √2√5722W5_1510_310 1051055010 沿0，则as- (2)因为B是锐角，由simB=3N0 10， 由0<a<受，0<B<受，所以a+Be0, cosa+)-cosacos B-sin asinB52 2 510 510 2 :a+B∈0，，a+B=3 4· 12.(24-25高一下·四川成都期中)现定义一种新的运算： 81a=4,42一441.己知两个不共线向量。与，的夹角为 a21a22 3 tcos20°-√3sin20° =1 g向=64-=e>0 且 1-1 2sin10° (1)求t的值： (2)若a+与a-5b垂直，求cos0的值： 3)若0 3,当k>0时，求a-4k的最小值，并求出此时。与a-45的夹角. 【答案】()t=2 (2)3 ⊙a-4=35,夹角为君 【分析】(1)根据定义可化简二阶行列式，利用三角函数和差角的公式化简即可得出结果； 9 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 (2)利用向量垂直可得ā+b列ā-5)=0，再结合平面向量的数量积的运算律求解即可： 3)由0-子4香后石-6用向量的长运第公式5-4-创-君)+7.求得当6-时，5-455。 3 8 再结合向量夹角公式即可求解. 【详解】(1)由题意可得： ,-c0s20-V5sim20°-1-2sin30rcos20°-cos30°sim209-1-2sin30-2091=1-1=l, =t- 2sin10 2sin109 2sinl0° 因此可得t=2. (2)由题意可知a+ba-5b)=0, 由(1)可知|=2，因此a:6=6×2c0s0=12cos0, 所以&+&-56=0-4d.b-5b=36-48c0s0-20=16-48c0s0=0, 故cos0 3 (3)由0=牙，可得a-6=6x2c0s=6, 所以6-4--65+168-64&-8+27 易知当-时，归-45-5，此a-45=a5, 2 所以aa--=a-6-36-9=27, 10 期中真题专项训练02 三角恒等变换 【考点一】两角和与差的余弦 【考点六】二倍角的正切公式 【考点二】两角和与差的正弦 【考点七】cos2x的降幂公式及应用 【考点三】两角和与差的正切 【考点八】 辅助角公式 【考点四】二倍角的正弦公式 【考点九】 三角恒等变换的化简问题 【考点五】二倍角的余弦公式 【考点十】给值求值型问题 【考点一】两角和与差的余弦 1.（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高一下·辽宁·期中）已知，且都是锐角，则等于（    ） A． B．或 C． D． 3.（24-25高一下·广东·期中）______． 4.（24-25高一下·辽宁大连·期中）已知，则______． 5.（24-25高一下·吉林长春·期中）已知，，且，． (1)求的值； (2)求的值． 6.（23-24高一下·重庆·期中）已知向量，，． (1)求的值； (2)若，，求的值． 【考点二】两角和与差的正弦 7.（24-25高一下·江苏·期中）已知，，则（   ） A．3 B．2 C． D． 8.（24-25高一下·辽宁·期中）已知为平面直角坐标系中一点，将向量绕原点逆时针方向旋转角到的位置，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 9.（24-25高一下·甘肃兰州·期中）若，，，，则________． 10.（24-25高一下·江苏南京·期中）已知，则的值为______． 11.已知锐角，，且满足，． (1)求； (2)求． 12.（24-25高一下·四川成都·期中）现定义一种新的运算：.已知两个不共线向量与的夹角为，且. (1)求的值： (2)若与垂直，求的值； (3)若，当时，求的最小值，并求出此时与的夹角. 【考点三】两角和与差的正切 13.（24-25高一下·辽宁·期中）已知，，且，，则（   ） A． B．或 C．或 D． 14.（24-25高一下·海南省直辖县级单位·期中）已知，为锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 15.（23-24高一下·云南曲靖·期中）_______. 16.（24-25高一下·江苏南通·期中）使得成立的的一个值为______________． 17.（23-24高一下·江苏宿迁·期中）在直角三角形中，，点在边上，且，设． (1)若，求的值； (2)若，求的最大值． 18.（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知正方形的边长为1，点分别在边上，设． (1)若，求的最大值； (2)若的周长为2，求的大小． 【考点四】二倍角的正弦公式 19.（23-24高一下·福建福州·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 20.（24-25高一下·山东德州·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 21.（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，其中，若，则_________． 22.（24-25高一下·江西·期中）定义，其中为向量，的夹角，若，，则的最大值为______． 23.（24-25高一下·江苏常州·期中）已知对任意平面向量，把绕其起点逆时针方向旋转角得到，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点． (1)已知平面内点，点，若把点绕点沿顺时针方向旋转得到点，求点的坐标； (2)已知，把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，，若，求的值． 24.（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）已知向量，，，，且向量与共线． (1)求； (2)若，求实数的值． 【考点五】二倍角的余弦公式 25.（24-25高一下·江苏南京·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 26.（24-25高一下·山东济宁·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 27.（24-25高一下·甘肃酒泉·期中）已知，则__________. 28.（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）函数最大值为___________． 29.（24-25高一下·山东临沂·期中）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值. 30.（24-25高一下·贵州毕节·期中）已知，是方程的两个实根，且. (1)若，求的值； (2)用表示，并求其最大值. 【考点六】二倍角的正切公式 31.（24-25高一下·陕西渭南·期中）已知，，，则有（    ） A． B． C． D． 32．（24-25高一下·湖北宜昌·期中）下列各式的值为的是（    ） A． B． C． D． 33．（23-24高一下·山东济宁·期中）已知，则（    ） A． B． C．1 D． 34．（23-24高一下·山东淄博·期中）下列各式中，值为的是（    ） A． B． C． D． 35.（24-25高一下·福建泉州·期中）已知是第二象限角， (1)求和的值； (2)求和和的值. 36．（24-25高一下·安徽·期中）已知，且. (1)求； (2)若，且，求. 【考点七】cos2x的降幂公式及应用 37.（24-25高一下·四川·期中）下列等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 38．已知，则（   ） A． B． C． D． 39． 的值是（    ） A． B． C． D． 40．已知，为锐角，且，，则（    ） A． B． C． D． 41.（23-24高一下·四川成都·期中）已知平面向量，，． (1)设函数，求的对称轴方程； (2)设函数，求的最大值． 42．已知函数． (1)求函数的最大值； (2)把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数的单调递减区间 【考点八】辅助角公式 43.（24-25高一下·辽宁大连·期中）设则有（   ） A． B． C． D． 44．（23-24高一下·江苏徐州·期中）设，，，则有（   ）. A． B． C． D． 45．（24-25高一下·江苏苏州·期中）钝角能使得等式成立，则该钝角的值等于__________. 46.（24-25高一下·山东日照·期中）已知函数若方程在区间内无实数解，则实数ω的取值范围是_______． 47.（24-25高一下·重庆北碚·期中）已知. (1)若，，求的值； (2)若在时的值域为，求的取值范围. 48．（24-25高一下·辽宁锦州·期中）设函数，. (1)求函数的最小正周期和对称轴方程以及对称中心坐标； (2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取最值时的值. 【考点九】三角恒等变换的化简问题 49.（24-25高一下·四川成都·期中）已知函数，对任意都有恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 50．（22-23高一下·安徽芜湖·期中）向量，若存在整数使得方程在上有两个不同的实数根，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 51.（24-25高一下·江西·期中）已知函数，，则的最大值为________． 52．（23-24高一下·江苏南京·期中）设，为实数，已知，，则的值为___________. 53.（24-25高一下·云南文山·期中）已知：，，且． (1)求的单调递减区间； (2)在中，，，（），D为BC上的动点（不包括端点），求的取值范围． 54．（24-25高一下·广东江门·期中）已知函数，. (1)求的最小正周期； (2)若，求的最大值和最小值； (3)设，为锐角，且，，求的值. 【考点十】给值求值型问题 55.已知，则等于（    ） A． B． C． D． 56.（24-25高一下·浙江·期中）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 57.若，则＝________. 58.（24-25高一下·四川自贡·期中）已知，则___________. 59．（24-25高一下·辽宁抚顺·期中）已知，． (1)求、的值； (2)求的值； (3)若、均为锐角，且，求的值． 60．（23-24高一下·江苏南通·期中）已知，，且，，求： (1)的值； (2)的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $