期中真题专项训练01 平面向量12大考点【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册重难点讲义与测试

期中真题专项训练01 平面向量 【考点一】 平行向量（共线向量） 【考点七】 用基底表示向量 【考点二】 向量加减法 【考点八】 平面向量基本定理的应用 【考点三】 向量的线性运算的几何应用 【考点九】 平面向量线性运算的坐标表示 【考点四】 用定义求向量的数量积 【考点十】 由向量共线（平行）求参数 【考点五】数量积的运算律 【考点十一】向量在几何中的应用 【考点六】向量夹角的计算 【考点十二】向量在物理中的应用 【考点一】平行向量（共线向量） 1．（24-25高一下·云南昭通·期中）下列命题中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．向量与向量的模相等 【答案】D 【分析】由相等向量，共线向量，相反向量，模长的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，若，但方向不一定相同，故不一定成立，故A错误； 对于B，当时，因为零向量与任意向量平行，所以对于任意向量和，都有且，但此时与不一定平行，故B错误； 对于C，向量是具有方向和大小的量，故向量不能比较大小，即，不能得出，故C错误； 对于D，对于向量与向量，它们的大小是相等的，只是方向相反． 根据向量模的定义，向量的模与向量的模是相等的，所以D正确， 故选：D． 2．（24-25高一下·浙江·期中）给出下列命题，正确的是（    ） A．的充要条件是且 B．若，则它们的起点和终点均相同 C．若存在实数，使得，则 D．若是平面内的四点，且，则四点一定能构成平行四边形 【答案】C 【分析】由，可得且向量与同向，可判定A错误；相等向量的起点和终点不一定相同，可判定B错误；根据向量的共线定理，可得判定C正确；根据可能在同一条直线上，可判定D错误. 【详解】对于A中，由，可得且向量与同向， 所以的必要不充分条件是且，所以A错误； 对于B中，若，则它们的起点和终点不一定均相同，所以B错误； 对于C中，若存在实数，使得，根据向量的共线定理，可得，所以C正确； 对于D中，若是平面内的四点，且，则可能在同一条直线上，不一定构成平行四边形，所以D错误. 故选：C. 3．（23-24高一下·河南郑州·期中）设都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（   ） A． B． C． D．且 【答案】C 【分析】根据题意，得到向量和的方向相同，结合选项，即可得到答案. 【详解】由都是非零向量，且， 因为和分别表示与向量和同向的单位向量，所以向量和的方向相同， 结合选项，可得成立的充分条件为. 故选：C. 4．（23-24高一下·福建福州·期中）下列说法正确的是（    ） A．若两个非零向量共线，则必在同一直线上 B．若与共线，与共线，则与也共线 C．若则 D．若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是或 【答案】D 【分析】根据共线向量的概念即可判断A,B,D;根据相等向量的概念可以判断C. 【详解】方向相同或相反的两个非零向量是共线向量，因此D正确； 若非零向量是共线向量，则未必在同一直线上，A错； 若，则与共线，与共线，但是与未必共线，B错； 由可以得到的大小相等，但方向不一定相同，C错. 故选：D. 5．（23-24高一下·湖北武汉·期中）下列命题正确的是（    ） A．若、都是单位向量，则 B．若，则四点A、B、C、D构成平行四边形 C．与是两平行向量 D．若，则是的相反向量 【答案】C 【分析】对于A，根据单位向量的定义分析判断，对于B，根据相等向量的定义分析判断，对于C，根据平行向量的定义分析判断，对于D，根据相反向量的定义分析判断. 【详解】对于A，因为单位向量的方向不同时，两向量不相等，所以A错误， 对于B，当，且A，B，C，D四点共线时，四点A、B、C、D不能构成平行四边形，所以B错误， 对于C，因为，所以与是两平行向量，所以C正确， 对于D，相反向量的长度相等，显然时，不是的相反向量，所以D错误. 故选：C. 【考点二】向量加减法 6.（23-24高一下·浙江·期中）如图所示，D，E为边BC上的三等分点，且则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三等分点得出向量相等结合向量的方向即可判断选项. 【详解】D，E为边上的三等分点，所以， 所以D选项正确； 若，则不成立，C选项错误； 方向不同不能相等，A选项错误； 方向相反不能相等，B选项错误. 故选：D. 7．（24-25高一下·江苏盐城·期中）若的三个内角均小于120°，点满足，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点.根据以下性质，已知是平面内的任意一个向量，向量，满足，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作，确定的形状，进而确定此三角形费马点位置，再结合图形求解即得. 【详解】作向量，由，，得是腰长为的等腰三角形， ，而的所有内角均小于120°， 因此取得最小值的点是的费马点， ，则，点在斜边的中线上，如图， ，，， 所以的最小值为. 故选：B 8.（23-24高一下·安徽芜湖·期中）化简____________. 【答案】/ 【分析】根据平面向量的加减法运算即可直接求解. 【详解】由题意知，. 故答案为： 9．（24-25高一下·湖北恩施·期中）已知，，平面上的任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则的最小值为________． 【答案】2 【分析】根据平面向量加减法的运算方法，和三角形中位线的性质，求目标向量的模长. 【详解】如图所示： 因为AB是的中位线，所以，因为， 所以． 故答案为：2. 10．（24-25高一下·河南周口·期中）若，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由，对是否共线进行分类讨论即可求解. 【详解】， 当同向共线时，； 当反向共线时，； 当不共线时，由，可得. 综上可得. 故答案为：. 【考点三】向量的线性运算的几何应用 11.（23-24高一下·河南新乡·期中）在中，边上的中线为，点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平面向量的线性运算即可. 【详解】  为的中点， ， . 故选：A. 12．（24-25高一下·福建福州·期中）如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用平面向量的三角形法则和数乘向量，直接求解． 【详解】在中，， ∴. 故选：A． 13．（24-25高一下·福建福州·月考）若在三角形中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由线性运算表示，，最后再表示即可. 【详解】因为，所以点是中点， 所以.    故选：B. 14．（24-25高一下·陕西·期中）如图，在中，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图形由向量的线性运算可得. 【详解】因为， 所以，， 又因为， 所以， 所以， 故选：C. 15.（23-24高一下·福建泉州·期中）已知点O为正所在平面上一点，且满足，点M为正所在平面上一点，若的面积与的面积比值为1∶4，且，则面积的与的面积的比值为______． 【答案】4∶3/ 【分析】由题意可知，设点分别为的中点，所以，根据题意求出的值，从而得，设点分别为的中点，则，三点共线，且，进而可得答案． 【详解】由，得， 设点分别为的中点，如图所示，   ， ，三点共线， 的面积与的面积比值为1∶4， ，且与同底边， 点到底边的距离等于点到底边的距离的， ， ，， 由题意得，即， 设点分别为的中点，如图所示，   ， ，三点共线，且， ，， 又， 则面积的与的面积的比值为4∶3． 故答案为：4∶3． 【考点四】用定义求向量的数量积 16.（24-25高一下·陕西咸阳·期中）若单位向量，的夹角为，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据数量积公式计算求解. 【详解】因为单位向量，的夹角为，则. 故选：C. 17．（24-25高一下·河北承德·期中）如图，在等腰中，，，点是边上的动点，则有关的值的说法正确的是（   ） A．为定值16 B．不为定值，有最大值16 C．为定值32 D．不为定值，有最小值32 【答案】C 【分析】先记的中点为，然后利用是等腰三角形，得到，再利用向量数量积的几何意义求解即可. 【详解】在等腰中，，，点是边上的动点． 如图，取的中点，连接， 由题意可知，，则，， 所以． 故选：C． 18．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形ABCDEFGH，其中，O为正八边形的中心，则（    ）     A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】结合图形，先证明，再根据正八边形的性质，求得的长和，利用向量数量积的定义即可求得. 【详解】 如图2，连接，因，，则， 因，故， 在中，因，则， 在中，，则， 由可得，则， 故 . 故选：C. 19．（24-25高一下·河南·期中）已知两个非零向量，的夹角为，非零向量与的夹角为，若，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】如图，记向量为题设中的向量，向量为题设中的向量，利用数量积的定义和转化法计算可得. 【详解】如图，记向量为题设中的向量，向量为题设中的向量， 因为与的夹角为与的夹角可以看作的补角， 所以，故可知，又因为，所以． 故选：D． 20.（23-24高一下·广东广州·期中）设半径为，若，两点都是上的动点，的最大值______． 【答案】 【分析】利用数形结合，以及数量积的定义，即可求解. 【详解】， 如图，的最大值为，此时，的最大值为1， 所以的最大值为 故答案为： 【考点五】数量积的运算律 21.（24-25高一下·云南昆明·期中）已知向量为单位向量，，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用平面向量的数量积定义及运算律化简，最后结合垂直的向量表示求解. 【详解】因为， 又因为，所以， 从而，即，与的夹角为． 故选：D． 22．（24-25高一下·山东青岛·期中）记的外心为点，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角形的外心可得，再由结合数量积的定义以及运算律代入计算，即可得到结果. 【详解】由条件可得， 又点为的外心，所以， 且， 所以， 且，即， 即， 所以. 故选：D 23.（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）《哪吒》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代，内饰充满了中国文化符号．我校高一数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动．如图，正八边形，边长为，点为线段上的动点，则的最大值为________ ． 【答案】1 【分析】应用向量数量积的运算律有，再由已知和数量积的定义得到关于的表达式，即可求最大值. 【详解】由， 且，，，， 所以 ， 当时，的最大值为1. 故答案为：1 24．（24-25高一下·湖北·期中）在中，边长为4，为的中点，长为，点、分别为的重心和外心，则______. 【答案】4 【分析】利用重心性质表示出，利用向量数量积定义即可求得结果. 【详解】因为为重心，则有， 又为外心，故在方向上的投影向量为，且在方向上的投影向量为, 根据数量积的几何意义得 故， 又因为,两式平方相加得， 故,所以. 故答案为： 25.（24-25高一下·湖南·期中）如图，已知A，B是半径为1的圆O上两点，且． (1)求的余弦值； (2)若点，，…，，依次将线段AO平均分成2026份，设，，，求的值． 【答案】(1)． (2) 【分析】（1）利用得，平方即可求解； （2）由题知AO的中点为，也为线段，线段，…，线段的中点，根据向量的加法运算即得，进而得解. 【详解】（1）设，由可得， 即， 平方得，解得， 故的余弦值为． （2）由题知AO的中点为，也为线段，线段，…，线段的中点， 因为， 所以， 而， 平方得， 即， 故． 【考点六】向量夹角的计算 26.（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知且单位向量在方向上的投影向量为，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的定义，结合向量数量积的求法即可求解. 【详解】因为在方向上的投影向量为，所以， 因为，为单位向量，所以，所以与的夹角为. 故选：C. 27．（24-25高一下·福建福州·期中）已知是两个不共线的向量，若对任意的，的最小值为，的最小值为，若，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据的最小值求出的值，再根据的最小值求出的值，最后结合向量数量积公式求出夹角. 【详解】设的夹角为，. 取得最小值（可通过几何意义理解，的最小值就是在垂直于方向上的投影长度）， 已知的最小值为，所以. 同理，取得最小值，已知的最小值为，所以. 由向量数量积公式. 将与相乘可得：. 将与相除可得： ，即. 设，则，整理得，即. 因式分解得，解得或（舍去）. 因为，且，所以. 故选：A． 28.（24-25高一下·福建三明·期中）已知，，则向量与的夹角为______. 【答案】/ 【分析】利用平面向量数量积的运算性质以及定义得出夹角的余弦值，再结合向量夹角的取值范围，可得出与的夹角. 【详解】因为，所以，即， 又，所以，则， 因为，所以. 故答案为： 29．（24-25高一下·重庆·期中）设为单位向量，满足，，．若的夹角为，则的值为________． 【答案】1 【分析】由，结合数量积的性质求的关系，再确定的大小即可． 【详解】单位向量，由，得，解得， 而，当且仅当时取等号，因此，此时， 因此，，， 所以. 故答案为：1 30.（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知向量，且向量与同向共线，. (1)求与夹角； (2)计算. 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）由数量积的定义可求. （2）利用数量积的运算律可求. 【详解】（1）因为，故，故， 而，故. （2） ， 因为与同向共线，故可设，其中，而，故， 此时，故； 综上，. 【考点七】用基底表示向量 31.（24-25高一下·云南昆明·期中）在中，已知，，，是边上的中点，，与交于点，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用表示，再利用平面向量的数量积求出夹角的余弦值即为所求. 【详解】 由题意，， 因为是边上的中点，所以， 则， 因为， 所以， 所以， 所以. 故选：A. 32．（24-25高一下·河北石家庄·期中）已知中，点P满足，点Q在内（含边界），其中，则下列说法中不正确的是（   ） A．若，，则 B．若P，Q两点重合，则 C．存在x，y，使得能成立 D．存在x，y，使得能成立 【答案】C 【分析】由平面向量的线性运算即可判断A；由重心的性质即可判断B；由平面向量基本定理即可判断CD． 【详解】对于A，，即，， 则，，A正确； 对于B，由，得， 所以，又P，Q两点重合，所以，正确； 对于CD，取的中点，则，由点在内（含边界）， 过点作，与线段交于点M，与射线交于点，设， 则，设，则， 由，得，则，C错误，D正确. 故选：C 33.（24-25高一下·浙江·期中）在中，为内一点，且，若，则的最大值为__________. 【答案】 【分析】先根据向量数量积的运算性质，结合已知条件得出与的关系式，再利用基本不等式求解的最大值. 【详解】因为，根据向量垂直的性质可知，那么. 对两边同时平方 由可得. 展开可得：. 将，，，代入上式可得： ，即，化简得. 设，，则. 根据基本不等式（当且仅当时取等号），可得： . 所以，当且仅当时取等号. 故答案为：. 34．（24-25高一下·浙江·期中）如图，正方形，，，则______. 【答案】/ 【分析】直接利用三角形法则和向量的线性运算和向量的数量积的运算的应用求出夹角的余弦值. 【详解】设正方形的边长为，则， 则，， 因为， ， 所以. 故答案为：. 35.（24-25高一下·江苏南京·期中）如图，在中，已知，，，为边上一点，点在线段上，且，. (1)求线段的长度， (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将、当作一组基底表示，平方之后求模即可； （2）设，将、当作一组基底表示、，再利用垂直关系即可求解. 【详解】（1）因为， ， ， ，，， 所以，所以. （2）设，因为， 所以，， ， 所以，所以. 【考点八】平面向量基本定理的应用 36.（24-25高一下·四川乐山·月考）如图，在中，与CE的交点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合三点共线的结论及平面向量基本定理，将、向量都用、表示，进而得到，再利用边的关系得到面积比例即可. 【详解】因为、、三点共线，，所以， 又因为，所以， 设，则， 即，消可解得，所以，所以， 所以，又，所以， 所以. 故选：B. 37．（24-25高一下·江苏扬州·期中）如图，已知分别是边上的点，且满足，，与交于点，连接并延长交于点．若，则实数的值为（ ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】由共线、共线分别可得、，进而得，最后由且共线求参数. 【详解】由共线，则，， 所以①， 由共线，则，， 所以②， 由①②知：，则，故， 由，则， 由共线，则，可得. 故选： 38.（24-25高一下·四川·期中）在中，已知是边上一点，若，，则实数的值是________. 【答案】 【分析】由，结合，得到，即可求解. 【详解】因为， 又，所以， 故答案为： 39．（24-25高一下·江西上饶·期中）在中，，，点F为AC上一点，且满足，则的最小值为_________. 【答案】/ 【分析】根据平面向量的基本定理计算得出，再结合的值计算求解. 【详解】在中，，， 点F为AC上一点，且满足， 所以，即得， 因为，所以或或或， 所以时得出，时得出， 时得出，时得出，得出的最小值为. 故答案为：. 40.（24-25高一下·广西·期中）在中，是线段的中点，点在线段上，线段与线段交于点． (1)已知，，，． ①用向量，表示向量，； ②求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】（1）利用三角形中线向量得，再利用向量的线性运算得，然后利用平面向量数量积的运算性质可求出； （2）设，则，由得，再利用三点共线，利用向量线性运算得，利用平面向量的基本定理可求出的值，即可得出结论. 【详解】（1）因为是线段的中点，所以， 因为，则， 因为，，，所以， 所以. （2）设，则，所以，又，所以， 由（1）知，所以， 因为三点共线，可设（）， 所以，所以， 又，所以，解得， 所以. 【考点九】平面向量线性运算的坐标表示 41.（24-25高一下·河南·期中）已知在矩形中，，点为矩形所在平面内一点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，求得和的坐标，利用向量的数量积的坐标运算公式，得到，进而求得的最小值，得到答案. 【详解】如图所示，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 设，则， 可得， 则， 所以， 所以当且仅当时，取得最小值. 故选：C. 42．（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）已知，，是平面内一点，则最小值是（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法求解. 【详解】如图，以中点为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，则有 ，，，设，则 ， 当，时，上式最小值为. 故选：A. 43.（23-24高一下·江苏宿迁·期中）已知坐标平面内 当 取最小值时cos∠APB的值为___________. 【答案】/ 【分析】先应用，结合 计算最小值得出，最后应用夹角余弦公式计算求解. 【详解】因为，则， 所以， 所以当时取最小值，此时， 所以. 故答案为：. 44．（23-24高一下·湖北孝感·期中）已知点，向量，若点是线段靠近点的三等分点，则点的坐标为______. 【答案】 【分析】设出点的坐标，用坐标表示，根据题意列方程组求解即可. 【详解】设点，则，， 由题意知，，即， 所以，解得，所以点的坐标为， 故答案为：. 45.（24-25高一下·江苏扬州·期中）已知向量 (1)求； (2)求； (3)求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示计算可得； （2）利用向量夹角余弦公式可求出答案； （3）利用向量坐标的运算求出表示的坐标，再求其模长. 【详解】（1）因为向量， 所以. （2）因为向量， 所以. （3）因为向量， 所以， 所以. 【考点十】由向量共线（平行）求参数 46.（24-25高一下·山东淄博·期中）已知向量，若向量与平行，则实数（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由向量线性运算的坐标表示及平行的坐标表示列出等式求解即可. 【详解】， 因为向量与平行， 所以， 解得：， 故选：C 47．（24-25高一下·陕西西安·期中）关于平面向量，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，且与的夹角为钝角，则 C．若平面向量两两的夹角相等，且，则 D．若，且，则四边形为菱形 【答案】D 【分析】当时，命题不成立判断A；当时，两向量反向，判断B；平面向量两两的夹角相等，则夹角为或，分别求解判断C；根据向量线性运算的几何表示判断D. 【详解】若，虽然有，，但不一定有，A错； 若与的夹角为钝角，则，得， 但当时，，两向量反向，夹角为不是钝角，B错； 若平面向量两两的夹角相等，则夹角为或， 当夹角为时，， 当夹角为时， 即，C错误； 若，即， 则，所以是平行四边形， 则， 又，即， 所以， 所以，所以是菱形，D正确． 故选：D． 48.（24-25高一下·甘肃白银·期中）若向量，且，则______． 【答案】/ 【分析】直接利用平面向量共线的坐标公式列式求解即可. 【详解】因为向量，且，所以，解得． 故答案为： 49．（23-24高一下·山东淄博·期中），，向量与向量夹角为锐角，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】由数量积的应用求解，要注意两向量共线时的判断． 【详解】，，设两向量夹角为，又夹角为锐角， 所以，且与不共线， 因为，又，所以， 所以，所以， 当与共线时，，此时， 所以与不共线时，， 综上，且， 故答案为：. 50.（24-25高一下·吉林长春·期中）已知向量，，，其中． (1)求及向量，夹角的余弦值； (2)若向量，且向量与向量平行，求实数k的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用数量积的坐标公式及夹角公式可求答案； （2）利用向量平行的坐标表示可求答案. 【详解】（1）由已知，得，，． 所以向量，夹角的余弦值为． （2）由已知，得， 又向量与向量平行，， 所以， 整理可得，解得． 【考点十一】向量在几何中的应用 51.（24-25高一下·福建泉州·期中）如图所示的四边形中，是等边三角形，是边的中线延长线上一点，，，点在四边形的边上运动，则的最小值是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意知，即BC⊥CD，因为图形对称，所以只考虑E在边BC，CD上的运动情况即可，在两种情况下，利用向量共线表示出，利用数量积即可得到最值. 【详解】由题知，AC⊥BD，且，故点E在四边形ABCD上运动时，只需考虑点E在边BC，CD上的运动情况即可， 又， 所以，即，则， ①当点E在边BC上运动时，设，则， 所以； ②当点E在边CD上运动时，设，则， 所以. 综上，的取值范围为， 综上所述，其最小值为. 故选：C. 52．（24-25高一下·浙江丽水·期中）在等腰中，，点P在底边（包括端点）上运动，设的最小值为m，最大值为M，则（    ） A．m不是定值，M是定值 B．m是定值，M不是定值 C．m是定值，M是定值 D．m不是定值，M不是定值 【答案】C 【分析】等腰三角形，可以以底边的中点建立直角坐标系，然后写出各个点的坐标表示进行坐标运算. 【详解】以BC中点O建立直角坐标系，则A、B、C点坐标分别为，，， 点P在底边（包括端点）上运动，所以， ， 因为，所以的最小值为，最大值为，都为定值. 故选：C. 53.（23-24高一下·广东广州·期中）已知的外接圆半径为1，则的最大值为__________． 【答案】/ 【分析】取中点，设的外接圆圆心为，化简可得，进而可得当反向共线且时取最大值即可. 【详解】取中点，设的外接圆圆心为，则， . 又，故. ，当且仅当反向共线时取等号. 又，当且仅当时取等号. 即的最大值为. 故答案为： 54．（23-24高一下·安徽芜湖·期中）已知圆的半径为2，弦长，为圆上一动点，则的最大值为______. 【答案】6 【分析】取的中点，连接，，计算，求出，得出的最大值，即可得出的最大值． 【详解】取的中点，连接，，，如图所示： 因为为中点，所以， 所以， 因为，所以最大值为； 所以的最大值为. 故答案为：6． 55.（24-25高一下·湖南邵阳·期中）用向量方法证明： (1)两角差的余弦公式： (2)柯西不等式： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）在单位圆中利用向量的数量积公式证明即可； （2）用坐标表示向量，再利用平面向量数量积的定义以及三角函数的有界性证明即可. 【详解】（1）如图，在平面直角坐标系内作单位圆O，以为始边作角.它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B． 则 由向量数量积的坐标表示，有： 设的夹角为θ，则 另一方面，由图（1）可知，； 由图（2）可知，，于是. 所以，也有， 所以，对于任意角有：. （2）设， ，则， 又 【考点十二】向量在物理中的应用 56.（24-25高一下·广东惠州·期中）已知物体受平面内的三个力作用于同一点，且该物体处于平衡状态，若，，且的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算，再利用公式计算即可. 【详解】因，则，则， 又三个力作用于同一点，且该物体处于平衡状态， 则，即， 则. 故选：A 57．（24-25高一下·福建福州·期中）已知一条河的两岸平行，一艘船从河的岸边处出发，向对岸航行，若船的速度，水流速度，且船实际航行的速度的大小为9，则（    ） A．3 B． C． D．12 【答案】A 【分析】由平面向量加法的平行四边形法则可知，，求得的坐标，然后利用坐标求模长建立关于的方程，解方程即可得解. 【详解】    设船实际航行的速度为，则， 又，所以，解得（负值舍去）. 故选：A 58.（24-25高一下·全国·期中）两个力，作用于同一个质点，使该质点从点移到点，则这两个力的合力对质点所做的功为______． 【答案】－5 【分析】根据题意，先求其合力和位移，再根据功的计算公式计算即可. 【详解】两个力，作用于同一个质点， 其合力大小为， 从点移到点，其位移， 则这两个力的合力对质点所做的功为． 故答案为：. 59．（23-24高一下·四川绵阳·期中）已知力作用于一物体，使物体从点处移动到点处，则力对物体所做的功为______焦耳. 【答案】21 【分析】根据力对物体所做的功为，求解即可. 【详解】因为力，位移，所以力对物体所做的功为焦耳， 故答案为：21 60.（23-24高一下·云南昭通·期中）某人在静水中游泳，速度为千米/小时，现在他在水流速度为4千米/小时的河中游泳． (1)若他沿垂直于岸边的方向游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？ (2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？ 【答案】(1)此人沿与河岸成的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时 (2)此人沿向量的方向逆着水流且与河岸所成夹角的余弦值为方向游，实际前进的速度大小为千米/小时 【分析】（1）利用向量的加法法则和三角函数的定义求解即可； （2）利用向量的减法法则和三角函数的定义求解即可. 【详解】（1）如图， 设此人游泳的速度为，水流的速度为， 以为邻边作，则此人的实际速度为， 由勾股定理知，且在中，，即， 故此人沿与河岸成的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时． （2）如图，设此人的实际速度为，水流速度为，则游速为， 在中，，则， 故此人沿向量的方向逆着水流且与河岸所成夹角的余弦值为方向游， 实际前进的速度大小为千米/小时． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中真题专项训练01 平面向量 【考点一】 平行向量（共线向量） 【考点七】 用基底表示向量 【考点二】 向量加减法 【考点八】 平面向量基本定理的应用 【考点三】 向量的线性运算的几何应用 【考点九】 平面向量线性运算的坐标表示 【考点四】 用定义求向量的数量积 【考点十】 由向量共线（平行）求参数 【考点五】数量积的运算律 【考点十一】向量在几何中的应用 【考点六】向量夹角的计算 【考点十二】向量在物理中的应用 【考点一】平行向量（共线向量） 1．（24-25高一下·云南昭通·期中）下列命题中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．向量与向量的模相等 2．（24-25高一下·浙江·期中）给出下列命题，正确的是（    ） A．的充要条件是且 B．若，则它们的起点和终点均相同 C．若存在实数，使得，则 D．若是平面内的四点，且，则四点一定能构成平行四边形 3．（23-24高一下·河南郑州·期中）设都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（   ） A． B． C． D．且 4．（23-24高一下·福建福州·期中）下列说法正确的是（    ） A．若两个非零向量共线，则必在同一直线上 B．若与共线，与共线，则与也共线 C．若则 D．若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是或 5．（23-24高一下·湖北武汉·期中）下列命题正确的是（    ） A．若、都是单位向量，则 B．若，则四点A、B、C、D构成平行四边形 C．与是两平行向量 D．若，则是的相反向量 【考点二】向量加减法 6.（23-24高一下·浙江·期中）如图所示，D，E为边BC上的三等分点，且则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·江苏盐城·期中）若的三个内角均小于120°，点满足，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点.根据以下性质，已知是平面内的任意一个向量，向量，满足，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8.（23-24高一下·安徽芜湖·期中）化简____________. 9．（24-25高一下·湖北恩施·期中）已知，，平面上的任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则的最小值为________． 10．（24-25高一下·河南周口·期中）若，则的取值范围是__________. 【考点三】向量的线性运算的几何应用 11.（23-24高一下·河南新乡·期中）在中，边上的中线为，点满足，则（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一下·福建福州·期中）如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高一下·福建福州·月考）若在三角形中，，，则（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一下·陕西·期中）如图，在中，设，则（    ） A． B． C． D． 15.（23-24高一下·福建泉州·期中）已知点O为正所在平面上一点，且满足，点M为正所在平面上一点，若的面积与的面积比值为1∶4，且，则面积的与的面积的比值为______． 【考点四】用定义求向量的数量积 16.（24-25高一下·陕西咸阳·期中）若单位向量，的夹角为，则（   ） A． B． C． D．1 17．（24-25高一下·河北承德·期中）如图，在等腰中，，，点是边上的动点，则有关的值的说法正确的是（   ） A．为定值16 B．不为定值，有最大值16 C．为定值32 D．不为定值，有最小值32 18．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形ABCDEFGH，其中，O为正八边形的中心，则（    ）     A． B．1 C． D． 19．（24-25高一下·河南·期中）已知两个非零向量，的夹角为，非零向量与的夹角为，若，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 20.（23-24高一下·广东广州·期中）设半径为，若，两点都是上的动点，的最大值______． 【考点五】数量积的运算律 21.（24-25高一下·云南昆明·期中）已知向量为单位向量，，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高一下·山东青岛·期中）记的外心为点，，若，则（    ） A． B． C． D． 23.（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）《哪吒》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代，内饰充满了中国文化符号．我校高一数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动．如图，正八边形，边长为，点为线段上的动点，则的最大值为________ ． 24．（24-25高一下·湖北·期中）在中，边长为4，为的中点，长为，点、分别为的重心和外心，则______. 25.（24-25高一下·湖南·期中）如图，已知A，B是半径为1的圆O上两点，且． (1)求的余弦值； (2)若点，，…，，依次将线段AO平均分成2026份，设，，，求的值． 【考点六】向量夹角的计算 26.（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知且单位向量在方向上的投影向量为，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 27．（24-25高一下·福建福州·期中）已知是两个不共线的向量，若对任意的，的最小值为，的最小值为，若，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 28.（24-25高一下·福建三明·期中）已知，，则向量与的夹角为______. 29．（24-25高一下·重庆·期中）设为单位向量，满足，，．若的夹角为，则的值为________． 30.（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知向量，且向量与同向共线，. (1)求与夹角； (2)计算. 【考点七】用基底表示向量 31.（24-25高一下·云南昆明·期中）在中，已知，，，是边上的中点，，与交于点，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 32．（24-25高一下·河北石家庄·期中）已知中，点P满足，点Q在内（含边界），其中，则下列说法中不正确的是（   ） A．若，，则 B．若P，Q两点重合，则 C．存在x，y，使得能成立 D．存在x，y，使得能成立 33.（24-25高一下·浙江·期中）在中，为内一点，且，若，则的最大值为__________. 34．（24-25高一下·浙江·期中）如图，正方形，，，则______. 35.（24-25高一下·江苏南京·期中）如图，在中，已知，，，为边上一点，点在线段上，且，. (1)求线段的长度， (2)求的值. 【考点八】平面向量基本定理的应用 36.（24-25高一下·四川乐山·月考）如图，在中，与CE的交点为，则（   ） A． B． C． D． 37．（24-25高一下·江苏扬州·期中）如图，已知分别是边上的点，且满足，，与交于点，连接并延长交于点．若，则实数的值为（ ） A．2 B． C． D．3 38.（24-25高一下·四川·期中）在中，已知是边上一点，若，，则实数的值是________. 39．（24-25高一下·江西上饶·期中）在中，，，点F为AC上一点，且满足，则的最小值为_________. 40.（24-25高一下·广西·期中）在中，是线段的中点，点在线段上，线段与线段交于点． (1)已知，，，． ①用向量，表示向量，； ②求的值． (2)若，求的值． 【考点九】平面向量线性运算的坐标表示 41.（24-25高一下·河南·期中）已知在矩形中，，点为矩形所在平面内一点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 42．（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）已知，，是平面内一点，则最小值是（   ） A． B． C． D．0 43.（23-24高一下·江苏宿迁·期中）已知坐标平面内 当 取最小值时cos∠APB的值为___________. 44．（23-24高一下·湖北孝感·期中）已知点，向量，若点是线段靠近点的三等分点，则点的坐标为______. 45.（24-25高一下·江苏扬州·期中）已知向量 (1)求； (2)求； (3)求. 【考点十】由向量共线（平行）求参数 46.（24-25高一下·山东淄博·期中）已知向量，若向量与平行，则实数（    ） A． B． C．2 D． 47．（24-25高一下·陕西西安·期中）关于平面向量，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，且与的夹角为钝角，则 C．若平面向量两两的夹角相等，且，则 D．若，且，则四边形为菱形 48.（24-25高一下·甘肃白银·期中）若向量，且，则______． 49．（23-24高一下·山东淄博·期中），，向量与向量夹角为锐角，则的取值范围为______. 50.（24-25高一下·吉林长春·期中）已知向量，，，其中． (1)求及向量，夹角的余弦值； (2)若向量，且向量与向量平行，求实数k的值． 【考点十一】向量在几何中的应用 51.（24-25高一下·福建泉州·期中）如图所示的四边形中，是等边三角形，是边的中线延长线上一点，，，点在四边形的边上运动，则的最小值是（   ）    A． B． C． D． 52．（24-25高一下·浙江丽水·期中）在等腰中，，点P在底边（包括端点）上运动，设的最小值为m，最大值为M，则（    ） A．m不是定值，M是定值 B．m是定值，M不是定值 C．m是定值，M是定值 D．m不是定值，M不是定值 53.（23-24高一下·广东广州·期中）已知的外接圆半径为1，则的最大值为__________． 54．（23-24高一下·安徽芜湖·期中）已知圆的半径为2，弦长，为圆上一动点，则的最大值为______. 55.（24-25高一下·湖南邵阳·期中）用向量方法证明： (1)两角差的余弦公式： (2)柯西不等式： 【考点十二】向量在物理中的应用 56.（24-25高一下·广东惠州·期中）已知物体受平面内的三个力作用于同一点，且该物体处于平衡状态，若，，且的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 57．（24-25高一下·福建福州·期中）已知一条河的两岸平行，一艘船从河的岸边处出发，向对岸航行，若船的速度，水流速度，且船实际航行的速度的大小为9，则（    ） A．3 B． C． D．12 58.（24-25高一下·全国·期中）两个力，作用于同一个质点，使该质点从点移到点，则这两个力的合力对质点所做的功为______． 59．（23-24高一下·四川绵阳·期中）已知力作用于一物体，使物体从点处移动到点处，则力对物体所做的功为______焦耳. 60.（23-24高一下·云南昭通·期中）某人在静水中游泳，速度为千米/小时，现在他在水流速度为4千米/小时的河中游泳． (1)若他沿垂直于岸边的方向游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？ (2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $