专题03 导数研究极值与最值9大题型（高效培优期中专项训练）高二数学下学期北师大版选择性必修第二册

专题03 导数研究极值与最值 考点01 极值极值点最值概念辨析 考点02 求已知函数的极值极值点 考点03 由极值极值点的值求参数范围 考点04 由极值极值点的条件限制求参数范围 考点05 由极值点个数求参数范围 考点06 求已知函数的最值 考点07 由函数的最值求参数范围 考点08 函数的最值实际应用 考点09 函数极值最值单调性综合 考点01 极值极值点最值概念辨析 1．【多选题】（25-26高二下·山东青岛·月考）已知函数的定义域为且的图像是一条连续不断的曲线，的导函数为.若函数的图像如图所示，则（   ） A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是， C．当时，有极值 D．当时， 2．【多选题】（24-25高二下·江苏·月考）已知函数与其导函数的部分图象如图所示，若函数，则下列关于函数的结论正确的是（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递增 C．当时，函数有极小值 D．当时，函数有极小值 3．【多选题】（25-26高三上·辽宁锦州·期末）已知函数的图象如图所示，则有（   ） A．2个极大值点 B．3个极大值点 C．2个极小值点 D．3个极小值点 4．【多选题】（25-26高二下·山东青岛·月考）（多选）已知的定义域为，其导函数 的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ） A．函数的单调递减区间是 B．函数的单调递增区间是 C．是函数的极值点 D．函数在处的导数小于0 5．【多选题】（2026高二下·全国·专题练习）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．为函数的单调递增区间 B．为函数的单调递减区间 C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极小值 考点02 求已知函数的极值极值点 6．（25-26高二下·上海浦东新·月考）已知. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值. 7．（25-26高二下·江苏苏州·月考）函数的极大值为____________ 8．（25-26高二下·广东广州·月考）已知函数的图象过点，且在点处的切线方程为. (1)求，的值； (2)求函数的极值. 9．（25-26高二下·重庆·月考）函数的极小值点是________ 10．（2026·贵州六盘水·一模）函数的极大值点为________. 考点03 由极值极值点的值求参数范围 11．（25-26高二下·山东济南·月考）已知函数在处取极值，且，则的值为____. 12．（25-26高二下·河北张家口·月考）若函数在处有极值，则的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 13．（24-25高二下·天津武清·月考）已知函数在处取得极大值，则___________． 14．（25-26高二下·陕西商洛·月考）已知是函数的极大值点，则实数（    ） A． B． C． D． 15．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为________． 考点04 由极值极值点的条件限制求参数范围 16．（2026高三·天津·专题练习）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求的取值范围. 17．（26-27高二上·云南·期末）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)已知有两个极值点． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若的极小值大于零，求的取值范围． 18．（25-26高二上·湖南常德·期末）已知函数，． (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极大值，且极大值小于0，求的取值范围． 19．（25-26高二上·浙江舟山·期末）已知函数． (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性： (3)若在区间上存在极值，且此极值小于，求的取值范围． 20．（25-26高三上·吉林四平·月考）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)若存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求的取值范围. 考点05 由极值点个数求参数范围 21．（25-26高三下·湖南长沙·月考）若函数有唯一极值点，则实数a的取值范围是__________. 22．（2026·陕西西安·模拟预测）设函数，其中，且． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若恰有两个极值点，求实数的取值范围． 23．（25-26高二下·重庆·月考）已知函数恰有两个极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 24．（24-25高二下·江苏常州·月考）函数在上既有极大值又有极小值，则的取值范围为（   ） A． B．且 C． D．且 25．（2026·山东威海·一模）已知函数有两个极值点，则的取值范围是____________. 考点06 求已知函数的最值 26．（25-26高二下·安徽合肥·月考）函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 27．（25-26高二下·福建三明·月考）设函数在处取得极大值． (1)求的解析式； (2)求在区间上的最值． 28．（24-25高二下·四川广安·期末）设函数，，若存在、，使得，则的最小值为______________． 29．【多选题】（25-26高二下·江苏常州·月考）函数，则下列说法正确的是（   ） A．在处有最大值 B．1是的一个极值点 C．当时，方程有两个不同的实根 D．当时，方程有一根 30．（25-26高二下·天津·月考）已知直线分别与函数，的图象交于两点，则当长度达到最小时，t的值为________． 考点07 由函数的最值求参数范围 31．（25-26高二下·天津和平·月考）函数在上存在最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 32．（25-26高二下·安徽马鞍山·月考）若函数在上有最大值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 33．（25-26高二下·上海奉贤·月考）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若在内的最大值为2，求的值. 34．（2026·山东滨州·一模）若函数有最大值，则的取值范围为__________． 35．（25-26高三上·广东汕尾·月考）若函数的最小值为，则___________ 考点08 函数的最值实际应用 36．（25-26高二下·江苏苏州·月考）1百米长的钢筋，截成10段，造一个圆柱形粮囤的骨架，其中两段围成圆形作为骨架的上下底，其余8段作为圆柱的母线，求此粮囤体积的最大值时，底面半径的值为（    ）（单位：百米） A． B． C． D． 37．（25-26高二上·广东广州·期末）将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，则方盒的容积的最大值为（   ） A． B． C． D． 38．（25-26高二上·江苏宿迁·期末）某饮料公司计划生产一种容积为500mL的圆柱形易拉罐，其侧面的制造成本为1元／平方厘米，罐顶和罐底的制造成本为2元／平方厘米.设易拉罐底面半径为厘米，高为厘米，制造总成本为元．（立方厘米） (1)求的表达式； (2)当易拉罐总制造成本最低时，求底面半径与高的比值. 39．（25-26高三上·广东汕尾·月考）（1）已知点是曲线上的一点，且点的横坐标是1，求曲线在点处的切线方程． （2）将一个边长为12的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个容积为的无盖方盒，求无盖方盒的容积的最大值及此时小正方形边长的值． 40．（2026·云南·模拟预测）把三根结实且等长的树干一端用藤条捆扎起来，另一端立在地面不同的位置得到一个正三棱锥架构，再用树枝、杂草等物覆盖形成侧面，可在野外搭建起一个三棱锥形状的简易帐篷，能起到遮风挡雨的作用，设三根树干的长度都为6，当帐篷的容积最大时（不计损耗），其高度为（    ） A．2 B．3 C． D． 考点09 函数极值最值单调性综合 41．【多选题】（25-26高三下·山东·月考）设函数的极小值点为，则（  ） A．的单调递增区间为和 B．有且仅有两条斜率为2的切线 C． D． 42．【多选题】（25-26高二下·重庆·月考）已知函数，则下列选项正确的有（    ） A．函数有唯一零点 B．若方程有两个实数解，则实数的取值范围为 C．若对任意恒成立，则实数的取值范围为 D．记，则 43．【多选题】（25-26高二下·湖北荆州·月考）已知函数，则下列四个结论正确的是（ ） A．的极大值点为2 B．若关于的方程恰有两实根，则 C．有4个实根 D．关于的不等式的整数解至少有两个 44．【多选题】（2026·辽宁大连·模拟预测）设函数的极小值点为，其中为自然对数的底数，则（    ） A．的单调增区间为 B．有且仅有两条斜率为的切线 C． D． 45．【多选题】（2026·云南红河·模拟预测）已知函数，为的导函数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．当时，有极小值 C．当时，若在恒成立，则 D．若有两个零点，，则随的增大而增大 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 导数研究极值与最值 考点01 极值极值点最值概念辨析 考点02 求已知函数的极值极值点 考点03 由极值极值点的值求参数范围 考点04 由极值极值点的条件限制求参数范围 考点05 由极值点个数求参数范围 考点06 求已知函数的最值 考点07 由函数的最值求参数范围 考点08 函数的最值实际应用 考点09 函数极值最值单调性综合 考点01 极值极值点最值概念辨析 1．【多选题】（25-26高二下·山东青岛·月考）已知函数的定义域为且的图像是一条连续不断的曲线，的导函数为.若函数的图像如图所示，则（   ） A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是， C．当时，有极值 D．当时， 【答案】AD 【详解】根据图像可知当时，，可得； 当时，，可得； 结合的图像是一条连续不断的曲线，可知时，单调递减； 当时，，仅当时取等号，可得， 对于AB，时，单调递减， 当时，，此时单调递增， 因此的单调递减区间是，的单调递增区间是，即A正确，B错误； 对于C，易知当时，，当时，， 即在处左右两侧，函数的单调性不改变，因此C错误； 对于D，因为时，，由，可得， 因此，即D正确. 2．【多选题】（24-25高二下·江苏·月考）已知函数与其导函数的部分图象如图所示，若函数，则下列关于函数的结论正确的是（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递增 C．当时，函数有极小值 D．当时，函数有极小值 【答案】AC 【详解】根据函数，有导函数， 根据图可知的分布如图所示： 当时，导函数，函数，因此导函数， 因此函数在单调递增，故A正确； 当时，，因此，所以， 函数在单调递减，故B错误； 当时，，因此， 根据图可知当时，导函数， 当时，导函数， 因此在单调递增，在单调递减， 因此是函数的极小值点，因此当时，函数有极小值，故C正确； 当时，，所以，由图可知当时，， 所以，所以， 所以在单调递增，所以当时，函数有极大值，故D错误. 3．【多选题】（25-26高三上·辽宁锦州·期末）已知函数的图象如图所示，则有（   ） A．2个极大值点 B．3个极大值点 C．2个极小值点 D．3个极小值点 【答案】BC 【分析】由函数图像与函数极值，极值点定义可得答案. 【详解】由函数图像可得极大值有3个，极小值有2个，则函数极值点有个，极小值点个. 故选：BC 4．【多选题】（25-26高二下·山东青岛·月考）（多选）已知的定义域为，其导函数 的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ） A．函数的单调递减区间是 B．函数的单调递增区间是 C．是函数的极值点 D．函数在处的导数小于0 【答案】ACD 【分析】利用函数的导函数图象以及函数导数与函数单调性、极值关系逐项分析. 【详解】对于A，由图知在上有， 所以函数的单调递减区间是 ，故A正确； 对于B，在上，，在上，， 所以函数的单调递增区间是 和，不能用“”连接，故B错误； 对于C，由，且在上，，上有， 所以是函数的极大值点，故C正确； 对于D，由图知，所以函数在处的导数小于0，故D正确. 5．【多选题】（2026高二下·全国·专题练习）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．为函数的单调递增区间 B．为函数的单调递减区间 C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极小值 【答案】ABD 【详解】由函数的导函数图象知，当或时，；当或时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 则函数的单调递减区间为，单调递增区间为，AB正确； 函数在，5处取得极小值，在处取得极大值，C错误，D正确. 考点02 求已知函数的极值极值点 6．（25-26高二下·上海浦东新·月考）已知. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值. 【答案】(1) (2)函数的极小值为，无极大值. 【分析】（1）利用导数的几何意义可求得曲线在点处的斜率，从而求得该处的切线方程； （2）利用导数研究函数的单调性，得到极值点，求得极值. 【详解】（1）的定义域为，， 所以. 所以曲线在点处的切线方程为，即 （2）函数的定义域为，. 当时，；当时，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以函数在处取得极小值，极小值为. 所以函数的极小值为，无极大值. 7．（25-26高二下·江苏苏州·月考）函数的极大值为____________ 【答案】 【详解】由题可知函数定义域为， ， 令，即， 当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递减； 故为函数极大值点，. 8．（25-26高二下·广东广州·月考）已知函数的图象过点，且在点处的切线方程为. (1)求，的值； (2)求函数的极值. 【答案】(1) (2)的极大值为，极小值为 【分析】（1）根据函数在某点处切线方程，以及函数导数得出切线斜率，建立相应的方程，联立解出即可； （2）利用函数导数先判断函数单调性，然后求出函数极值即可. 【详解】（1）因为为切点，所以将代入中得：， 所以切点为，代入中得：，① 由，又函数在点处的切线方程为， 所以，② 联立①②解得：. （2）由（1）知，定义域为 所以， 令，解得或， 当 时，，所以函数在上单调递减， 当 时，，所以函数在上单调递增， 当 时，，所以函数在上单调递增， 当 时，，所以函数在上单调递减， 所以函数的极大值为，极小值为. 9．（25-26高二下·重庆·月考）函数的极小值点是________ 【答案】 【详解】由，得， 令，得； 令，得； 令，得， 所以，是函数的极小值点． 10．（2026·贵州六盘水·一模）函数的极大值点为________. 【答案】/ 【分析】利用导数分析函数的单调性，即可得其极大值点. 【详解】函数的定义域为. . 所以当或时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 所以函数的极大值点为. 考点03 由极值极值点的值求参数范围 11．（25-26高二下·山东济南·月考）已知函数在处取极值，且，则的值为____. 【答案】 【分析】根据题意得出，求出、的值，再结合函数极值点的定义进行检验，即可得出的值. 【详解】因为，所以， 因为函数在处取极值，且， 所以，解得或， 当，时，，，此时函数有极值点； 当，时，，此时函数在上为增函数，无极值点. 所以，，故. 12．（25-26高二下·河北张家口·月考）若函数在处有极值，则的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以. 因为函数在处有极值，所以 ，解得. 此时当时，；当时，. 所以在上单调递增，在单调递减. 所以是函数的极大值点.故满足题意. 所以的单调递增区间是． 13．（24-25高二下·天津武清·月考）已知函数在处取得极大值，则___________． 【答案】或 【分析】对函数求导，根据极值点求得或，再代入验证是否在处取得极大值，即可得. 【详解】由题设，且， 所以或， 当，则， 故或时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 此时在处取得极大值，满足； 当，则， 故或时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 此时在处取得极大值，满足； 综上，或. 14．（25-26高二下·陕西商洛·月考）已知是函数的极大值点，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对函数求导，根据函数极值点的概念，结合对的取值范围进行讨论，即可求解. 【详解】由题意函数，定义域为， 则， 若，则，所以函数在区间上单调递增， 所以函数不存在极值点，不符合题意； 若，令，解得或， 又，所以， 所以当时，，所以函数在区间上单调递增， 与是函数的极大值点矛盾，不符合题意； 若，令，解得， 所以当时，，所以函数在区间上单调递增， 当时，，所以函数在区间上单调递减， 所以是函数的极大值点，符合题意； 若，令，解得或， 又，所以， 所以当时，，所以函数在区间上单调递减， 与是函数的极大值点矛盾，不符合题意； 综上所述，若是函数的极大值点，则实数的值为. 15．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】先求导数，然后分，，三种情况讨论，借助导数研究函数的极值，即可得解. 【详解】求导得 . 若，则，当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，故符合要求； 若，令. 当时，解得，， 当时，，此时是开口向上的抛物线， 所以当时，，； 当时，，， 所以在处取得极大值，故符合要求； 当时，此时是开口向下的抛物线，欲使成为的极大值点， 只需，即，解得. 综上，可得实数的取值范围为． 考点04 由极值极值点的条件限制求参数范围 16．（2026高三·天津·专题练习）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据导数的几何意义求曲线在点处的切线方程. （2）按分类讨论函数的单调性，得到函数极值的存在情况，再用作差法比较极值的大小即可. 【详解】（1）函数，求导得， 当时，， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）①当时，在上恒成立， 函数在上单调递增，因此函数不存在极值，不合题意； ②当时，，当时，； 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 因此函数无极大值，不合题意； ③当时，函数的定义域为，， 由，得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 因此函数的极大值为，极小值为，由单调性得，不合题意； ④当时，的定义域为，， 由，得，且， 当时，；当时，；当时，； 当时，，函数在上单调递增， 在上单调递减，因此函数的极大值为，极小值为， 且，， ， 由，得，因此，符合题意， 所以的取值范围为. 17．（26-27高二上·云南·期末）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)已知有两个极值点． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若的极小值大于零，求的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间为、，单调递减区间为 (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】（1）当时，利用函数单调性与导数的关系可得出函数的增区间和减区间； （2）（i）利用函数的极值点与导数的关系可知，关于的方程有两个不等的正根，根据二次方程根的分布可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围； （ii）利用导数分析函数的单调性，可求出函数的极小值为，根据极值点的定义得出，根据得出，构造函数，利用导数分析该函数的单调性，结合求出的取值范围，再结合结合函数的单调性可得出的取值范围. 【详解】（1）若，，定义域为， ， 由，解得或，由，解得， 所以的单调递增区间为、，单调递减区间为． （2）（ⅰ）函数的定义域为， 求导得，令，可得， 因为函数有两个极值点， 所以有两个不等的正根，设两根分别为、且， 所以可得，解得，所以的取值范围为； （ⅱ）由（ⅰ）可得时，，当时，， 当时，， 所以时，函数取得极小值， 所以且，即， 极小值，所以， 令，求导可得， 所以在上为减函数， 又， 所以时，，所以的取值范围是， 由，可得， 令，可得， 所以在上单调递增，， 所以，所以的取值范围为． 18．（25-26高二上·湖南常德·期末）已知函数，． (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极大值，且极大值小于0，求的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）利用导数求得，可求切线方程； （2）求导，分和两种情况讨论正负，从而求得的单调性， （3）由（2）可得极大值，再根据极大值小于0，求得的取值范围. 【详解】（1）当时，，则，， 所以， 所以函数在点处的切线方程为， 即； （2）函数的定义域为， 又， 当时，恒成立，在上单调递增. 当时，由，解得， 由，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. （3）由（2）当时恒成立，在上单调递增，无极值. 当时，在处取得极大值，极大值为. 令，解得， 所以的取值范围为. 19．（25-26高二上·浙江舟山·期末）已知函数． (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性： (3)若在区间上存在极值，且此极值小于，求的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义求函数在点处的切线. （2）求导，分，讨论导函数的单调性. （3）结合（2）的结论，确定函数的极小值，在根据极小值的取值范围求的取值范围. 【详解】（1）当时，，， 所以，. 所以在处的切线方程为：，即. （2）因为，. 所以. 若，则在上恒成立，所以在上为减函数； 若，由 ，由 . 所以在上为减函数，在上为增函数. 综上，时，在上为减函数； 时，在上为减函数，在上为增函数. （3）由（2）知：，即，此时函数在处取得极小值. 由， 由 ， 结合，得. 故的取值范围为. 20．（25-26高三上·吉林四平·月考）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)若存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）根据导数的几何意义求曲线在点处的切线方程. （2）问题转化为，从而求参数的取值范围. （3）分情况讨论函数的单调性，得到函数极值的存在情况，再用作差法比较极值的大小. 【详解】（1）由， 得， 当时，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）因为在上单调递增，所以. 由（1）知， 因为，所以，即在上恒成立， 所以，又，所以， 即的取值范围为. （3）①当时，在上恒成立，所以在上单调递增， 所以不存在极值，不合题意； ②当时，，所以当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以无极大值，不合题意； ③当时，的定义域为， 令，得，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，极小值为，且，不合题意； ④当时，的定义域为，且， 令，得，且， 当时，；当时，；当时，； 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增， 所以的极大值为，极小值为，且， ， ， 因为，所以，所以， 即，符合题意. 综上所述，的取值范围为. 考点05 由极值点个数求参数范围 21．（25-26高三下·湖南长沙·月考）若函数有唯一极值点，则实数a的取值范围是__________. 【答案】 【分析】首先对函数求导，然后根据参变分离，将问题转化为图象交点问题，利用导数的性质分析函数的单调性，进而确定极值点的情况，从而求出实数a的取值范围. 【详解】因为只有1个极值点，所以，， 由，得， 则直线与的图象仅存在一个交点（变号零点）， 设，则， 由，得；由，得或； 则在和上单调递减，在上单调递增， 又，，当时，，当时，， 故其函数图象如图： 当时，直线与的图象仅在有1个交点，符合题意； 当时，直线与的图象在上以及处各有1个交点， 但仅在上存在1个变号零点，符合题意； 当时，直线与的图象有3个交点，不符合题意； 当时，直线与的图象无交点，不符合题意， 所以当时有唯一极值点， 综上，实数的取值范围是. 22．（2026·陕西西安·模拟预测）设函数，其中，且． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若恰有两个极值点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）求导，求出和，从而得到切点坐标和切线斜率，求出切线方程； （2）求导，研究导函数零点个数，求出实数的取值范围． 【详解】（1）当时，，则， 所以，又， 所以在点处的切线方程为 ，即 （2）． 当时，，令， 显然单调递减，至多有一个零点， 即至多有一个零点，不符合题意． 当时， 设，则， 令，解得， 所以当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以的最小值为， 当时，，且； 当时，． 若恰有两个极值点，则方程有两个解， 所以，解得， 所以实数的取值范围是． 23．（25-26高二下·重庆·月考）已知函数恰有两个极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】有两个极值点等价于有两个不相等的实数根，构造函数，再求出导函数得出单调性结合函数值域得出参数范围. 【详解】 令，则有两个不同的根． ，所以或， 因为，所以的左右变号是极值点， 所以有一个根， 设，， 当单调递减； 当单调递减； 当单调递增； 当，当， 所以与有一个交点， 所以， 但是当时，，即得，所以的左右不变号不是极值点， 所以. 24．（24-25高二下·江苏常州·月考）函数在上既有极大值又有极小值，则的取值范围为（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】求得，根据题意，得出不等式组，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为函数既有极大值又有极小值， 则满足，解得且． 25．（2026·山东威海·一模）已知函数有两个极值点，则的取值范围是____________. 【答案】 【分析】求得，根据题意转化为一元二次方程在内有两个不等实根，根据一元二次方程根的分布列出不等式即可求解. 【详解】由函数，可得 令，即， 因为函数有两个极值点，可得在内有两个不等实根， 所以由一元二次方程根的分布知，，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 考点06 求已知函数的最值 26．（25-26高二下·安徽合肥·月考）函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， 得. 令，得或， 当或时，，在和上单调递增， 当时，在上单调递减， 所以的极小值为， 又当时，且，当时，， 所以也是的最小值. 27．（25-26高二下·福建三明·月考）设函数在处取得极大值． (1)求的解析式； (2)求在区间上的最值． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1），， 由题意得，即，解得，，经验证符合题意， 所以． （2）由（1）可得， 令，得，， + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以在，单调递增，在单调递减，且，，， 所以， 28．（24-25高二下·四川广安·期末）设函数，，若存在、，使得，则的最小值为______________． 【答案】 【分析】由已知条件得出，分析可知函数在上单调递增，可得出，于是得出，构造函数，，利用导数求出函数的最大值，即可得出的最小值. 【详解】由题意可得，即，所以， 又因，所以在上单调递增， 则由，可得，则， 令，，则， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以当时，有极大值，即最大值，即，故， 所以． 29．【多选题】（25-26高二下·江苏常州·月考）函数，则下列说法正确的是（   ） A．在处有最大值 B．1是的一个极值点 C．当时，方程有两个不同的实根 D．当时，方程有一根 【答案】ABC 【分析】对于AB，由导数法研究函数的极值及最值判断；对于CD，由导数法研究函数的单调性，由数形结合判断交点个数. 【详解】对于AB：已知，则，令，则，解得. 当时，；当时，， 所以在上单调递增；在上单调递减， 所以在处有最大值，且1是的极值点，故AB正确. 对于CD：，又，，，. 故当时，的图象与的图象有两个交点，即方程有两个不同的实根. 当时，的图象与的图象无交点，即方程无实根，故C正确，D错误. 30．（25-26高二下·天津·月考）已知直线分别与函数，的图象交于两点，则当长度达到最小时，t的值为________． 【答案】/0.5 【分析】求出直线与函数，的交点，则为纵坐标之差的绝对值，计算，求导即可求出最小值. 【详解】，，则，， 令，则， 当时，，则函数在上单调递减， 当时，，则函数在上单调递增， 所以当时，取得最小值. 则，，且当达到最小值时，. 考点07 由函数的最值求参数范围 31．（25-26高二下·天津和平·月考）函数在上存在最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导判断函数单调性，找到极值点，根据区间内存在最大值确定的范围. 【详解】， 令，得或. 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在单调递增. 因此，是极大值点，是极小值点. 要使上存在最大值，需， 又因为，且， 若，函数在递增，会超过，因此需. 综上：. 32．（25-26高二下·安徽马鞍山·月考）若函数在上有最大值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得，令，得到，得出在上单调递减，根据题意，转化为在存在零点，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数，可得，其中， 令，可得， 所以在上为单调递减函数， 要使得函数在上有最大值，则函数在上有极大值， 则存在，使得在上单调递增，在上单调递减， 即有零点，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 33．（25-26高二下·上海奉贤·月考）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若在内的最大值为2，求的值. 【答案】(1)当时，在上单调递减，在和上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，则在上单调递减，在和上单调递增. (2) 【分析】（1）先求得函数的导函数，讨论的零点的大小关系，利用的正负可得到的单调性； （2）由（1）分析在上的单调性，进而求得其最大值，构造新函数，分析新函数的单调性及零点，即可求得实数的值. 【详解】（1）函数的定义域为. 则， 令，解得或. 若，即，则 当或时，；当时，. 所以在上单调递减，在和上单调递增； 若，即，则恒成立， 所以在区间上单调递增； 当，即，则 当或时，；当时，. 所以在区间上单调递减，在和上单调递增. 综上所述，若，则在上单调递减，在和上单调递增； 若，则在上单调递增； 若，则在上单调递减，在和上单调递增. （2）由（1）知，当时，在上单调递增，则，解得， 与矛盾，舍去； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以，即. 令，则恒成立， 所以在上单调递减. 又，故. 综上所述， 34．（2026·山东滨州·一模）若函数有最大值，则的取值范围为__________． 【答案】 【详解】当时， 有最大值，最大值为2， 因为函数有最大值， 若在内的上确界大于，则该上确界将无法在函数的定义域内取到，导致函数无最大值， 故必有在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 因为当时，， 所以单调递减，当时，， 所以， 所以的取值范围为. 35．（25-26高三上·广东汕尾·月考）若函数的最小值为，则___________ 【答案】 【分析】利用导数分析函数的单调性，求出函数的极小值（亦即最小值），根据极小值点满足，可得出，可求出的值，进而可得出实数的值. 【详解】易知的定义域为，， 因为函数、在上均为增函数， 所以函数在区间上单调递增， 又当时，；当时，， 所以存在唯一，使得，，即. 当时，；当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以的最小值为. 因为函数在上为增函数，由得， 所以，所以，解得. 故答案为：. 考点08 函数的最值实际应用 36．（25-26高二下·江苏苏州·月考）1百米长的钢筋，截成10段，造一个圆柱形粮囤的骨架，其中两段围成圆形作为骨架的上下底，其余8段作为圆柱的母线，求此粮囤体积的最大值时，底面半径的值为（    ）（单位：百米） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆柱底面半径为，则圆柱底面的周长为，圆柱的母线长为 ，解得; 圆柱的体积， 则 令，即，解得 当时，，单调递增;时，，单调递减; 当时，取到最大值. 37．（25-26高二上·广东广州·期末）将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，则方盒的容积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知方盒底面为正方形，求出其底面边长，可得出方盒容积关于的关系式，利用导数可求出该方盒容积的最大值. 【详解】如下图所示： 由题意可知，方盒底面为正方形，其边长为，高为， 由可得， 该方盒的容积为，其中， 则，由可得（舍）或，列表如下： 增 极大值 减 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以， 故该方盒容积的最大值为. 故选：B. 38．（25-26高二上·江苏宿迁·期末）某饮料公司计划生产一种容积为500mL的圆柱形易拉罐，其侧面的制造成本为1元／平方厘米，罐顶和罐底的制造成本为2元／平方厘米.设易拉罐底面半径为厘米，高为厘米，制造总成本为元．（立方厘米） (1)求的表达式； (2)当易拉罐总制造成本最低时，求底面半径与高的比值. 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）先根据圆柱体积公式求出高关于底面半径的表达式，再结合不同面的成本，建立总造价关于底面半径的函数； （2）对总成本函数求导，通过导数的正负判断函数单调性，找到极小值点即最小值点，进而求出此时底面半径与高的比值. 【详解】（1）由题意得：，则， 总成本函数为． 所以． （2）因为， ． 令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增； 所以当时函数有极小值也是最小值为． 此时，则． 答：使得易拉罐总制造成本最低时的底面半径r和高h的比值为． 39．（25-26高三上·广东汕尾·月考）（1）已知点是曲线上的一点，且点的横坐标是1，求曲线在点处的切线方程． （2）将一个边长为12的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个容积为的无盖方盒，求无盖方盒的容积的最大值及此时小正方形边长的值． 【答案】（1）；（2）最大值为128， 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，可得切线方程； （2）得出容积的表达式，再利用导数求出其单调性可得容积的最大值. 【详解】（1）； 当时，； 即可得点处的切线方程为， 即． （2）依题意，无盖方盒的底面正方形边长为，高为，显然， 所以方盒的容积 求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 因此当时，， 所以无盖方盒的容积的最大值为128，此时 40．（2026·云南·模拟预测）把三根结实且等长的树干一端用藤条捆扎起来，另一端立在地面不同的位置得到一个正三棱锥架构，再用树枝、杂草等物覆盖形成侧面，可在野外搭建起一个三棱锥形状的简易帐篷，能起到遮风挡雨的作用，设三根树干的长度都为6，当帐篷的容积最大时（不计损耗），其高度为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据正三棱锥性质以及侧棱长度得出三棱锥体积表达式，再构造函数并求导得出函数单调性，即可得出其高度. 【详解】设帐篷高度为， 则底面正三角形的外接圆半径， 易知底面边长， 底面面积为， 帐篷容积， 则， 令得， 当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以在时取得最大值. 故选：C. 考点09 函数极值最值单调性综合 41．【多选题】（25-26高三下·山东·月考）设函数的极小值点为，则（  ） A．的单调递增区间为和 B．有且仅有两条斜率为2的切线 C． D． 【答案】AD 【分析】求导，结合零点存在性定理即可判断函数的单调性，进而可求解ACD，根据构造，，即可求解方程的根判断B. 【详解】由题意可得， 则当时，， 令，则， 易知为单调递增函数，令解得， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 又当时，， ，， 所以存在使得， 因此当时，，，此时在单调递减， 当时，，，此时在单调递增， 故是函数的极小值点， 当时，， 令，则， 易知为单调递减函数，令解得， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以， 所以当时，，在上单调递增， 因此的单调递增区间为和，A说法正确； 由于，所以，即，C说法错误； 因为，所以， 所以， 令，则， 令解得，所以当时，单调递减， 因为， 所以，即，所以， 所以， 所以，即，D说法正确； 当时，令，解得， 令，则， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以的最小值为， 又当时，， 所以在上存在唯一零点， 当时，令，解得， 令，则， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以的最大值为， 所以在上不存在零点， 综上有一个根，B说法错误. 42．【多选题】（25-26高二下·重庆·月考）已知函数，则下列选项正确的有（    ） A．函数有唯一零点 B．若方程有两个实数解，则实数的取值范围为 C．若对任意恒成立，则实数的取值范围为 D．记，则 【答案】ACD 【分析】借助导数分析函数的单调性与极值，结合零点存在定理、分离参数，逐一判断选项即可. 【详解】对于A：函数的定义域为，又因为， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在取到最大值，且， 又因为当时，，当时，， 故有唯一零点，故A正确； 对于B：函数的定义域为，又因为， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在取到最大值，且， 又因为当时，，当时，， 所以若方程有两个实数解，则，故B错误； 对于C：若对任意恒成立，分情况讨论： 当时，左边，不等式成立； 当时，，不等式变形为， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在处取得最大值，最大值为，故； 当时，，不等式变形为， 令，求导同， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在处取得最小值，最小值为，故， 综上，，故C正确； 对于D：因为， 令，所以在上恒成立，故， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以的最大值在或上取得，因为， 而，故，故D正确. 【点睛】以导数为工具，精准分析和的单调性、极值与最值，是解决本题的关键. 43．【多选题】（25-26高二下·湖北荆州·月考）已知函数，则下列四个结论正确的是（ ） A．的极大值点为2 B．若关于的方程恰有两实根，则 C．有4个实根 D．关于的不等式的整数解至少有两个 【答案】ACD 【分析】通过求导分析极值点，结合方程根的个数、复合函数零点即可验证ABC选项，对于D，在的情况下就存在两个整数解，所以关于的不等式的整数解至少有两个，故D正确. 【详解】对于A，由题意得，令，或， 则当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以是极大值点，故A正确； 对于B，当时取极小值， 当时取极大值， 当时，，如图， 则当时，恰有两实根，故B错误； 对于C，令，解得， 设，则， 易得，且，， 当时，由的图象可得有两个解， 当时，因为，由的图象可得有两个解， 故有4个实根，故C正确； 对于D，当时，，存在整数解使满足题意， 存在整数解使满足题意， 故关于的不等式的整数解至少有两个，D正确. 44．【多选题】（2026·辽宁大连·模拟预测）设函数的极小值点为，其中为自然对数的底数，则（    ） A．的单调增区间为 B．有且仅有两条斜率为的切线 C． D． 【答案】ABD 【分析】求导，结合零点存在性定理即可判断函数单调性，进而可求解ACD，根据，构造函数，即可求解方程的根判断B. 【详解】， 当， 记，为单调递增函数，令，则， 故当时，，此时在上单调递减，当时，，此时在上单调递增， 且时，，则存在,使得， 因此当时，，此时在上单调递减，当时，，此时在上单调递增， 故是函数的极小值点， 当， 记，为单调递减函数，令，则， 故当时，，此时在上单调递减，当时，，此时在上单调递增，故，故，的在上单调递增， 因此的单调增区间为，A正确， 由于，故，即，C错误， 由于，，则，， 故， 由于，故对勾函数在单调递减，故，因此， 因此，因此，即，D正确， 当，令，则， 令， 当在单调递减，在在单调递增，故的最小值为且，，因此在只存在唯一的零点， 当，令，则， 令， 当在单调递减，在在单调递增，故的最大值为，故在上存在唯一的零点， 综上可得：有两个根和，故B正确， 故选：ABD 45．【多选题】（2026·云南红河·模拟预测）已知函数，为的导函数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．当时，有极小值 C．当时，若在恒成立，则 D．若有两个零点，，则随的增大而增大 【答案】ACD 【分析】求导函数，应用导数值得出参数，判断A，根据导函数正负得出函数单调性，判断极值情况，进而判断B，先转化不等式，再参数分离，构造函数结合函数最值计算参数，判断C，先转化零点，再构造函数，结合导函数得出函数单调性，判断D. 【详解】对于A，因为，而，所以，故A正确； 对于B，当时，令，解得． 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减． 所以有极大值，无极小值，故B错误； 对于C，由，即， 当时，，所以在上单调递增， 所以，由题意知，故， 令，则，令，解得， 当时，在上单调递增； 当时，，在上单调递减． 所以当时，，即，故C正确； 对于D，若有两个零点，即有两个解，令， 即与有两个交点，因为，令，解得． 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减． 所以当时，， 当时，，当时，，且， 作出的图象，如图所示： 若有两个零点，由图象易得， 不妨设，则由，得． 设，则， 由得， 所以，令，则． 令，则， 令，则， 所以在上单调递减，故； 所以在上单调递减，故． 所以，所以在上单调递减， 因此随着的增大而减小，由图象可知随着的增大而减小， 所以随着的增大而增大，故D正确． 故选：ACD． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $