专题02 导数的运算与导数研究单调性9大题型（高效培优期中专项训练）高二数学下学期北师大版选择性必修第二册

专题02 导数的运算与导数研究单调性 考点01 导数的运算 考点02 导数的运算与切线方程 考点03 求不含参数的函数的单调性 考点04 由区间上的单调性求参数范围 考点05 含参数函数的单调性讨论 考点06 由原函数构造导函数比较大小 考点07 由变量构造母函数求参数范围 考点08 单调性比较大小 考点09 单调性的综合应用 考点01 导数的运算 1．【多选题】（24-25高二下·山东济宁·开学考试）（多选）下列求导运算正确的有（   ） A． B． C． D． 2．【多选题】（25-26高二下·河南许昌·月考）下列求导正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（25-26高二下·河北保定·月考）已知函数，为的导函数，则（    ） A．0 B．2 C． D．2026 4．【多选题】（25-26高二下·河北保定·月考）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·上海·月考）下列求导正确的是（   ） A． B． C． D． 考点02 导数的运算与切线方程 6．（2026·辽宁·二模）已知直线与函数的图象相切，若，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·广西崇左·一模）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（   ） A． B．3 C． D．4 8．（25-26高二下·河北邢台·开学考试）已知函数，且曲线在点处的切线的斜率为1． (1)求a； (2)若过点的直线l与的图象相切，求l的方程． 9．（2026·江苏南京·三模）若曲线与圆有公共点，且在点处的切线相同，则实数________. 10．（2026·福建泉州·一模）若存在4条不同的直线既是圆的切线，也是曲线的切线，则的取值范围是__________. 考点03 求不含参数的函数的单调性 11．（24-25高二下·天津·月考）若函数，则的单调递减区间为________． 12．（25-26高二下·广东佛山·月考）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高二下·宁夏石嘴山·月考）函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 14．（2026·云南红河·模拟预测）已知函数，则在上单调递减的区间为_____ 15．（25-26高二下·上海·月考）已知函数，则的单调减区间是__________. 考点04 由区间上的单调性求参数范围 16．（河北保定市2026届高三第一次模拟考试数学试题）已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围为______． 17．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·月考）若函数是区间上的单调函数，则实数m的值一定不是（ ） A． B． C． D． 18．（25-26高二下·天津静海·月考）已知函数在存在单调递增区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高二下·广东广州·月考）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为_____ 20．（25-26高二下·河南洛阳·月考）函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 考点05 含参数函数的单调性讨论 21．（25-26高二下·广东江门·月考）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，讨论函数的单调性. 22．（25-26高二下·河北雄安·月考）已知函数． (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性． 23．（25-26高二下·甘肃白银·月考）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的单调区间． 24．（2026高三·北京·专题练习）已知函数. (1)若，求的零点； (2)若，讨论的单调性. 25．（25-26高二上·江苏南京·月考）已知函数 . (1)若在点处的切线与直线平行，求在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 考点06 由原函数构造导函数比较大小 26．（甘肃省2026届高三第二次模拟考试数学试题）函数是定义在上的偶函数，其导函数为，对于，都有，若，则实数的取值范围是__________. 27．（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 28．（25-26高二下·河北邢台·月考）已知定义在上的函数满足，则必有（    ） A． B． C． D． 29．【多选题】（25-26高二下·福建福州·月考）已知定义在上的的导函数为，且，则下列判断中正确的是（    ） A． B． C． D． 30．【多选题】（2026·贵州六盘水·一模）记函数的导函数为，已知，且，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．若为偶函数，则 D．可能为二次函数 考点07 由变量构造母函数求参数范围 31．（25-26高二下·河北邢台·月考）若，且不等式对任意的恒成立，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 32．（2026·湖南郴州·三模）已知两个不相等的正实数满足：，则下列不等式中一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 33．（2026·广东梅州·一模）已知实数和（其中）满足方程：，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 34．【多选题】（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）已知（且），若，且（e为自然对数的底数），则（   ） A． B． C． D． 35．（24-25高二下·江苏常州·月考）已知函数，若，都有，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 考点08 单调性比较大小 36．（25-26高二下·江苏苏州·月考）已知，其中为自然对数的底数，为圆周率，则三者的大小关系为（    ） A． B． C． D． 37．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 38．（25-26高二下·安徽合肥·月考）已知，，则（    ） A． B． C． D． 39．（25-26高二下·江苏常州·月考）设，，，则（   ） A． B． C． D． 40．（2026·陕西咸阳·二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 考点09 单调性的综合应用 41．【多选题】（25-26高二下·广东佛山·月考）已知定义在上的函数，函数的导函数为，且，则（    ） A．当时，. B．当时，. C．当时， D．当时，在上单调递增 42．【多选题】（25-26高二下·河北张家口·月考）已知函数及其导函数的定义域均为，给出如下四个结论，其中正确的是（   ） A．若，且，则的解集为 B．若，且，则不等式的解集为 C．若，则函数在上为减函数 D．若，则 43．【多选题】（25-26高二上·浙江杭州·期末）若，且，则（    ） A． B． C． D． 44．【多选题】（2025高二·全国·专题练习）若实数时，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 45．【多选题】（25-26高三上·吉林长春·期中）已知，则下列选项正确的有（   ） A． B． C． D． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 导数的运算与导数研究单调性 考点01 导数的运算 考点02 导数的运算与切线方程 考点03 求不含参数的函数的单调性 考点04 由区间上的单调性求参数范围 考点05 含参数函数的单调性讨论 考点06 由原函数构造导函数比较大小 考点07 由变量构造母函数求参数范围 考点08 单调性比较大小 考点09 单调性的综合应用 考点01 导数的运算 1．【多选题】（24-25高二下·山东济宁·开学考试）（多选）下列求导运算正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对A，，A正确； 对B，，B错误； 对C，，C错误； 对D，，D正确； 2．【多选题】（25-26高二下·河南许昌·月考）下列求导正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】借助导数运算法则逐项计算即可得. 【详解】对A：若，则，故A正确； 对B：若，则，故B错误； 对C：若，则，故C错误； 对D：若，则 ，故D正确. 3．（25-26高二下·河北保定·月考）已知函数，为的导函数，则（    ） A．0 B．2 C． D．2026 【答案】B 【分析】求导，然后分别化简，即可求解. 【详解】由于 ，所以， 又， 故 ， 则， 所以. 4．【多选题】（25-26高二下·河北保定·月考）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 5．（25-26高二下·上海·月考）下列求导正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本初等函数的导数与导数的运算法则逐项计算即可. 【详解】因为是常数，所以，所以A错误； 因为，所以B错误； 因为，所以C正确； 因为，所以D错误. 考点02 导数的运算与切线方程 6．（2026·辽宁·二模）已知直线与函数的图象相切，若，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，根据导数的几何意义可得，由题意得，根据函数单调性计算可解. 【详解】由，设切点， 则切线方程为：， 所以， 因为，所以，解得 显然，在单调递增， 所以，时，. 7．（2026·广西崇左·一模）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【详解】设直线与曲线、曲线分别相切于点，， 设，则，，， 则，所以，即. 因为， 所以. 8．（25-26高二下·河北邢台·开学考试）已知函数，且曲线在点处的切线的斜率为1． (1)求a； (2)若过点的直线l与的图象相切，求l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出导数，结合导数值和斜率的关系可求答案； （2）设出切点坐标，求导得出切线方程，代入点的坐标可求切点，进而可得方程. 【详解】（1），因为曲线在点处的切线的斜率为1， 所以，解得. （2）由（1）知，， 设切点坐标为，则，切线的方程为， 又点在曲线上，所以，代入得， 即， 整理可得，故l的方程为，即. 9．（2026·江苏南京·三模）若曲线与圆有公共点，且在点处的切线相同，则实数________. 【答案】/ 【分析】利用导函数在某点处的切线的斜率与圆在某点处切线斜率之间的关系分析求解即可. 【详解】由知定义域为，则， 此时曲线在点处的切线斜率为：， 又圆的圆心与点所在直线的斜率为：， 所以圆在点处的切线斜率为：， 由题意知，① 又在圆上所以：，② 将①代入②中得：， 化简得：，解得：或（舍去）， 又由题意知，所以，此时，所以， 将代入中有：，解得：. 10．（2026·福建泉州·一模）若存在4条不同的直线既是圆的切线，也是曲线的切线，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据导数的几何意义求出曲线在点的切线方程为即，再根据直线与圆的位置关系得圆心到切线的距离，化简为，设，换元得一元二次方程，由根与系数的关系求解. 【详解】由于，则, 则曲线在点的切线方程为, 即， 又因为此切线也为圆的切线， 则圆心到切线的距离, 两边平方，化简为, 设，则，即, 因为存在4条切线，所以上述一元二次方程有两个不同的正实根时有4个解， 则，解得， 所以的取值范围是. 考点03 求不含参数的函数的单调性 11．（24-25高二下·天津·月考）若函数，则的单调递减区间为________． 【答案】 【分析】利用导数求出函数的单调递减区间即可. 【详解】函数，定义域为， 求导得， 令，则，解得， 又，则， 所以的单调递减区间为. 12．（25-26高二下·广东佛山·月考）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的定义域是， ， 令，解得：， 故函数在递减. 13．（25-26高二下·宁夏石嘴山·月考）函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易知函数的定义域为， ， 又，令，解得. 所以函数的单调递增区间为. 14．（2026·云南红河·模拟预测）已知函数，则在上单调递减的区间为_____ 【答案】 【详解】由题意得， 因，则， 由 可得， 因正弦函数在上单调递增，则，即. 故在上单调递减的区间为． 15．（25-26高二下·上海·月考）已知函数，则的单调减区间是__________. 【答案】 【详解】定义域为，， 令，解得：， 的单调减区间是. 考点04 由区间上的单调性求参数范围 16．（河北保定市2026届高三第一次模拟考试数学试题）已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据函数的单调性与导数的关系，将问题转化为不等式恒成立的问题，再通过参数分离即可求出. 【详解】函数的定义域为，， 因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 所以，令，则， 因为，所以，则， 故在上单调递减， 故，故的取值范围为. 17．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·月考）若函数是区间上的单调函数，则实数m的值一定不是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接求出的单调区间，根据条件得或或，求出的取值范围，即可求解. 【详解】因为，由，得到， 由，得到或， 所以的增区间为，减区间为，，又在区间上单调， 则或或，解得或，结合选项知，实数m的值一定不是. 18．（25-26高二下·天津静海·月考）已知函数在存在单调递增区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用命题的否定，变成恒成立问题，分离参数构造新函数，求解最值即可，最后再求其补集. 【详解】考虑问题的否定，函数在上不存在单调递增区间， 则对于，恒成立， 分离参数得在上恒成立，则. 令，求导得， 当，，单调递增， 所以，所以 所以原命题成立的条件为 19．（25-26高二下·广东广州·月考）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为_____ 【答案】 【详解】由函数在上单调递减， 得， ， 而当时，， 当且仅当时取等号，则， 所以实数的取值范围为. 20．（25-26高二下·河南洛阳·月考）函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出导函数，再根据存在单调递增区间得出，使得，进而应用参数分离即可计算求解. 【详解】因为，所以， 因为函数在上存在单调递增区间， 所以，使得，所以， ，设，故需小于函数在上的上界， 因为，所以， 则，所以． 考点05 含参数函数的单调性讨论 21．（25-26高二下·广东江门·月考）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减 【分析】（1）求在处的切线斜率以及点坐标，写出切线方程即可； （2）计算，分类讨论法讨论取不同值时的正负，得出函数的单调性. 【详解】（1）由，得， 则切线斜率为，又，即切点为， 所以切线方程为. （2）由， 得， 当时，， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，， 当，即时，，则函数在上单调递增； 当，即时，令得，或， 令得，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 当，即时，令得，或， 令得，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 22．（25-26高二下·河北雄安·月考）已知函数． (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意，求得，得到，，利用导数的几何意义，即可求解； （2）求得，分，和，三种情况讨论，进而求得函数的单调区间. 【详解】（1）当时，，可得， 则，，即切线的斜率为，切点为， 所以的图象在点处的切线方程为，即． （2）由函数，可得其定义域为， 且． 令，可得或， 当时，，在上单调递增； 当时，令，可得或，令，得， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 当时，令，得或，令，得， 所以在和上单调递增，在上单调递减. 综上可得，当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 23．（25-26高二下·甘肃白银·月考）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的单调区间． 【答案】(1) (2)若，单调递增区间为； 若，单调递增区间为和，单调递减区间为； 若，单调递增区间为和，单调递减区间为． 【分析】（1）利用切点和导数几何意义得到切线斜率，再利用直线的点斜式方程得到切线方程； （2）分情况讨论导函数在定义域内不同区间的正负，进而确定函数的单调区间. 【详解】（1）当时，函数为，定义域为． 因为，所以切点为． 求导得， 在处，，即切线斜率为． 切线方程为． （2）当时，函数为，， ． 令可得或， 当时，恒成立（仅处为零），因此在上单调递增． 当时，时或；时． 因此的单调递增区间为和，单调递减区间为． 当时，时，或；时，． 因此的单调递增区间为和，单调递减区间为． 综上，当时， 若，单调递增区间为； 若，单调递增区间为和，单调递减区间为； 若，单调递增区间为和，单调递减区间为． 24．（2026高三·北京·专题练习）已知函数. (1)若，求的零点； (2)若，讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据零点的定义直接求解即可； （2）利用导数与函数单调性质间的关系，分、、三种情况进行讨论，即可求解. 【详解】（1）函数的定义域为， 若，则，得到或（舍），所以， 所以的零点为. （2）若，，函数的定义域为， 所以，令，得或， 即或， ①时，即， 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. ②当，即时， 当时，，；当时，，. 所以函数在是单调递减. ③当时，即，当时，，； 当时，，所以； 当时，，所以. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在是单调递减.； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 25．（25-26高二上·江苏南京·月考）已知函数 . (1)若在点处的切线与直线平行，求在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由在点处的切线与直线平行，求出，再求出点处的斜率和坐标，利用点斜式得到切线方程. （2）求出导函数，对参数进行分类讨论即可得到函数的单调区间. 【详解】（1） 由题意，，即， 所以，所以处的切点为 所以在点处的切线方程为， （2）函数的定义域为， 当时，恒成立， 所以单调递增区间为，无单调减区间； 当时，令，解得，令，解得， 所以单调递增区间为，单调减区间为. 考点06 由原函数构造导函数比较大小 26．（甘肃省2026届高三第二次模拟考试数学试题）函数是定义在上的偶函数，其导函数为，对于，都有，若，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】先判断在上单调递增，由函数为偶函数，将不等式等价转化，得到或，求解即得. 【详解】因为对于，都有，所以在上单调递增， 是定义在上的偶函数，且. 由，可得，则有， 即或，或. 故实数的取值范围为. 27．（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可构造函数，将转化为的函数值间的大小比较，根据导数研究的单调性，进而可得关于的不等式，解不等式即可. 【详解】设，则. 因为，所以，即，所以在上单调递减. 不等式等价于不等式，即. 因为，所以，所以. 因为在上单调递减，所以，解得. 28．（25-26高二下·河北邢台·月考）已知定义在上的函数满足，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则，所以在上单调递增，则，即，所以. 29．【多选题】（25-26高二下·福建福州·月考）已知定义在上的的导函数为，且，则下列判断中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】观察题给式子构造函数，结合已知条件利用导数得到的单调性，然后利用单调性逐项判断即可. 【详解】设，则， 因为，所以，单调递减， 易知，所以，即，A错误； 因为，所以，而， 所以且有，所以，B错误； 易知，所以即，C正确； 易知，所以即，D正确. 30．【多选题】（2026·贵州六盘水·一模）记函数的导函数为，已知，且，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．若为偶函数，则 D．可能为二次函数 【答案】ACD 【分析】构造函数，利用导数，由题意可得是减函数，由此判断A，B；若为偶函数，则，两边求导，可得为奇函数，由此判断C，用特殊值法，可判断D. 【详解】由，得， 因为，所以， 即，所以是减函数， 所以，即，所以A正确； ，即，所以B不正确； 若为偶函数，则. 两边求导，得，所以是奇函数. 由，，得. 所以，所以C正确； 假设，则. 由，得. 由，得，所以. 由，得，即恒成立； 则，即. 令，则成立， 所以可能为二次函数，所以D正确. 考点07 由变量构造母函数求参数范围 31．（25-26高二下·河北邢台·月考）若，且不等式对任意的恒成立，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，即，. 设，则，当时，，所以在上单调递增. 由，得，因为，所以，即对任意的恒成立. 设，，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以，则. 32．（2026·湖南郴州·三模）已知两个不相等的正实数满足：，则下列不等式中一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将原式变形为，令，，只需比较 与的大小，由，设，求导得出其单调性，从而得出的大小可能性，从而得出答案. 【详解】由已知，原式可变形 令，， 函数 与均为上的增函数，且，且， 当时，由，则，可得， 当时，由，则，可得， 要比较与的大小，只需比较 与的大小， 设，则，故在上单调递增， 又，， 则存在使得， 所以当时，，当时，， 又因为， 所以当时，，当时，正负不确定， 故当时，，所以，故， 当时，正负不定，所以与的大小不定， 所以均有可能，即选项B，C，D均有可能，选项A不可能． 33．（2026·广东梅州·一模）已知实数和（其中）满足方程：，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可得且，再由为减函数可得，从而可判断A和D的正误，对于B，利用导数可得时不成立，对于C，利用零点存在定理可判断当时不成立. 【详解】因为且，故， 而，故，所以，故， 设，则， 所以为上的减函数， 而即为，故，故D成立. 由可得即， 故， 所以，所以即，故A错误. 对于B，取，由D的分析可得. 若，则即， 设，， 而均为上的减函数，故为上的减函数， 故， 所以在上为减函数， 所以，故， 所以不成立，故B错误. 对于C，取，则，即， 仍取D分析中的函数，考虑方程的解， 设，因为为上的减函数， 所以为上的减函数，而, 故，故此时不成立，故C错误. 34．【多选题】（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）已知（且），若，且（e为自然对数的底数），则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】首先判断，令，利用导数说明函数的单调性，即可判断A；令，即可判断B；令，利用导数说明函数的单调性，得到，即可判断C；令，，利用导数说明函数的单调性，即可判断D. 【详解】由，可知或， 又，因同正，两边同除以可得， 令，则， 所以当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 当且，此时与题意不符合； 当且时，，故． 令，则， 当时，，在上单调递减， 又，所以，所以， 所以，故A正确； 令，则， 所以当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 因为，所以当时，， 即，即，故B错误； 令，则， 记，则， 所以，则，所以在上单调递增， 所以，即，即， 所以，即，故C正确； 令，， 则， 令，，则，即在上单调递增， 所以，，在上单调递增， 所以，即，故D正确． 故选：ACD． 35．（24-25高二下·江苏常州·月考）已知函数，若，都有，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】不妨设，则可化为， 即，令，则在上单调递增， ，求导得， 则在上恒成立， 由，解得． 考点08 单调性比较大小 36．（25-26高二下·江苏苏州·月考）已知，其中为自然对数的底数，为圆周率，则三者的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过构造函数，利用导数分析其单调性，再结合与的关系，即可得出结论. 【详解】构造函数，研究其单调性： 令，则， 因为， 易知：当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 注意到，所以， 因为，所以，即. 【点睛】本题的关键是构造函数并转化为指数形式，通过导数分析单调性，从而完成大小比较. 37．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将，，通过构造函数看成两函数交点的横坐标，数形结合比较大小即可. 【详解】因为，且，所以， 同理，由，可得， 由 ，可得． 令，得，所以在上单调递减， 满足 的即为函数与交点的横坐标； 满足的即为函数与交点的横坐标； 满足的即为函数与交点的横坐标； 在同一平面直角坐标系中画出 的图象，如图所示：从图象中可以直观地看出，三个交点的横坐标关系为． 38．（25-26高二下·安徽合肥·月考）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察值之间的关系，可作差构造函数，通过求导分析函数单调性，确定大小关系. 【详解】设（）， 则，在上单调递增， 所以， 当时，，取，得，即； 设（）， 则，在上单调递减， 所以， 所以当时，， 取，得，即. 故. 39．（25-26高二下·江苏常州·月考）设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，，利用导数分析其单调性，结合单调性比较大小即可. 【详解】令，，则，，， 因为， 可知在内单调递减，且， 则，所以. 40．（2026·陕西咸阳·二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造，，可知在内单调递增，结合函数单调性比较大小即可. 【详解】构造，，则， 可知在内单调递增， 因为，可得，即，所以， 又因为，可得， 则，所以， 综上所述：. 考点09 单调性的综合应用 41．【多选题】（25-26高二下·广东佛山·月考）已知定义在上的函数，函数的导函数为，且，则（    ） A．当时，. B．当时，. C．当时， D．当时，在上单调递增 【答案】ABD 【分析】构造函数再求解导函数，进而得出函数单调性，比较函数值大小判断A，B，C选项，再化简已知得出，再结合计算导函数为正判断D. 【详解】A:令，则， 故单调递增，，故A符合题意. B:令，则， 故单调递增，，故B符合题意. C:令，则 故单调递增，，故C不符合题意. D:，，， 又因为， 当时，，故，故， 故在上单调递增，故D符合题意. 42．【多选题】（25-26高二下·河北张家口·月考）已知函数及其导函数的定义域均为，给出如下四个结论，其中正确的是（   ） A．若，且，则的解集为 B．若，且，则不等式的解集为 C．若，则函数在上为减函数 D．若，则 【答案】AD 【分析】设，求得为增函数，由，得到，可判定A正确；设，求得为增函数，结合，可判定B错误；设，求得为增函数，可判定C错误；结合，可判定D正确． 【详解】对于A，设， 因为，则，所以在上为增函数， 又因为， 由，得，所以， 即的解集为，所以A正确； 对于B，设，可得， 因为，所以，在上为增函数， 又因为，所以， 由得，所以，所以B错误； 对于C，设，可得， 因为，所以，在上为增函数，所以C错误； 对于D，由C知函数在上为增函数， 所以，可得，即，所以D正确． 43．【多选题】（25-26高二上·浙江杭州·期末）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用导数求得，可得，再由导数研究的区间单调性，可得，即可求解. 【详解】令且，则恒成立， 所以在上单调递增，则，即， 由得，， 而， 所以，即， 设且，则，所以在单调递增， 由，得，则， 所以. 故选：AD 44．【多选题】（2025高二·全国·专题练习）若实数时，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】构造函数，利用导数分析该函数的单调性，可判断ABD选项的正误；特殊值法计算判断C选项的正误. 【详解】令，则， 当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 因为，，所以， 所以，A正确； 同理，所以， 所以，B正确； 令，， 则，故在上单调递减， 当时，，所以，所以， 故，D正确； 对于C，时，，故C不一定成立. 故选：ABD. 45．【多选题】（25-26高三上·吉林长春·期中）已知，则下列选项正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据对数函数的单调性，可判断A的正误；利用作差法，可判断B的正误；根据不等式的性质，可判断C的正误，构造函数，利用导数求得单调性，分析可判断D的正误. 【详解】选项A：因为在上单调递减，且，则， 所以，故A正确； 选项B：， 因为，所以，则，故B错误； 选项C：因为，所以， 所以，即，故C正确； 选项D：令，则， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 当时，，即，所以， 当时，，即，所以，此时不成立，故D错误. 故选：AC 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $