专题01 导数的概念及其几何意义8大题型（高效培优期中专项训练）高二数学下学期北师大版选择性必修第二册

专题01 导数的概念及其几何意义 考点01 导数的概念与极限的计算 考点02 求在某点处的切线方程 考点03 过某点的切线问题 考点04 由切线的平行垂直求参数 考点05 共切线问题 考点06 切线条数问题 考点07 方程的根与切线问题 考点08 切线的综合应用 考点01 导数的概念与极限的计算 1．（25-26高二下·广东佛山·月考）已知函数满足，则（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【详解】 2．（25-26高二下·山东青岛·月考）已知函数的导函数为，且，则（    ） A．2 B．－2 C．4 D．－4 【答案】D 【详解】， 所以. 3．（25-26高三下·上海虹口·月考）若函数在处的切线斜率为2，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的定义计算即可. 【详解】由题， 故. 4．（25-26高二下·河南周口·月考）已知函数在处可导，若，则（ ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】A 【详解】将极限式变形. 对于第一项，， 令 ，当 时 ，则. 对于第二项，， 令 ，当 时 ，则. 因此. 由已知 ，解得 . 5．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知函数的导函数为，若，则________. 【答案】5 【分析】根据导数的定义直接求解. 【详解】. 故答案为：5 考点02 求在某点处的切线方程 6．（2026·湖南·三模）已知，则曲线在点处的切线方程为______． 【答案】 【分析】本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点处的切线斜率等于该点处的导数值，再利用点斜式方程求出切线方程即可. 【详解】由，则，所以，又， 所以在点处的切线方程为，即. 7．（新疆维吾尔自治区2026届高三四月适应性检测数学试卷）若曲线在点处的切线与圆相切，则__________. 【答案】或 【详解】对曲线 求导，根据乘积求导法则： 将切点横坐标 代入导数，得切线斜率 ， 由点斜式得切线方程：，整理为 , 由圆 的圆心为 ，半径 ，且切线与圆相切， 则圆心到切线的距离等于半径，由点到直线距离公式：， 解得或. 8．（2026·云南·模拟预测）若函数 的图象与直线相切于点，则实数（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】根据导数的几何意义求出，进而求出切点坐标，代入直线方程求解即可. 【详解】，则，解得， 所以，即切点为， 代入直线整理得，解得. 9．（25-26高二上·河北张家口·期末）（多选）已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，求a的值（    ） A．0 B． C． D．2 【答案】AB 【分析】利用导数的几何意义求得曲线在点处的切线方程为，再联立方程并结合二次方程的根求解即可. 【详解】因为的导数为， 所以曲线在处的切线斜率为， 所以曲线在处的切线方程为，即． 因为切线与曲线只有一个公共点， 所以联立得：①有且只有一解， 当时，①式变为，则，方程①有且只有一解，符合题意; 当时，则，，解得. 综上，或. 10．（25-26高三上·广西·期末）曲线在点处的切线斜率为______． 【答案】2 【分析】由导数的几何意义求解. 【详解】因为， 所以， 当时，， 所以曲线在点处的切线斜率为2. 故答案为：2. 考点03 过某点的切线问题 11．（25-26高三上·辽宁·月考）过原点作曲线的两条切线，，切点分别为，，则的面积为（    ） A．16 B．15 C．10 D．5 【答案】A 【分析】解法一：先设出切点坐标，再对求导找到切线的斜率，再根据切点在曲线上得出，由点斜式写出切线方程，又因为切线过点，求出，得到切点坐标，进而可求线段及到的距离最后计算出的面积； 解法二：先设出切线方程与曲线方程联立通过得出切线的斜率进而得到切点坐标，进而可求线段及到的距离最后计算出的面积. 【详解】解法一：因为，所以， 设切点，所以在处的切线斜率， 所以在处的切线方程为， 又点在曲线上，所以， 所以在处的切线方程为， 因为此切线过点，所以）， 解得，即，当时，，当时，， 所以不妨设，所以直线的方程为， 整理得，又到的距离， 则. 解法二：过原点且斜率不存在的直线为易知它与曲线相交， 故过原点且与曲线相切的直线斜率存在， 设切线方程为，切点为，，联立， 整理得0，令，得或， 由，得，所以， 当时，，当时，， 不妨设，所以， 所以直线的方程为，即0， 又到的距离，则. 故选：A 12．（24-25高二下·江西吉安·期末）已知过原点的直线与函数的图像相切，则直线的方程为__________. 【答案】 【分析】首先讨论当时，去绝对值得到函数的解析式，然后求导求出切线斜率，然后将点代入得到切线方程，最后根据函数是偶函数，可求出时的切线方程，从而得到答案. 【详解】当时，，设切点为， 则切线斜率为，那么切线方程为， 将代入方程中解得，故切线方程为； 由于为偶函数，其图像关于轴对称， 故当时，切线方程为. 综上可知，切线方程为和. 故答案为：. 13．（24-25高二下·北京通州·期中）过点作曲线的切线，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出切点坐标并对函数求导，求得在切点处的切线方程并代入点坐标解方程即可. 【详解】易知函数的定义域为， 设切点坐标为，则可得， 此时切线斜率为，因此切线方程为， 代入点可得，即， 解得，即切点坐标为. 故选：C 14．（24-25高二下·江西南昌·月考）已知曲线，则曲线过点的切线方程为________. 【答案】和 【分析】设过点P的切线与曲线相切于点Q，然后根据曲线在点Q处切线的切线方程，求出切点坐标，从而可求出结果． 【详解】由题干得,设曲线与过点的切线相切于点， 设切线的斜率为，则由点斜式得直线方程为，又因为切点为， 则，解得或， 则曲线过点处的切线方程为和. 故答案为：和 15．（24-25高三上·江西吉安·期末）过点作曲线的切线的斜率为______． 【答案】2 【分析】设切点坐标，由导数得几何意义求得切线方程，代入即可求解； 【详解】，设切点横坐标为， 故曲线在处的切线方程为l：， 将，代入，得， 解得，∴， 故答案为：2 考点04 由切线的平行垂直求参数 16．（25-26高二下·河南新乡·月考）已知直线与曲线在处的切线垂直，则________． 【答案】 【分析】根据导数的几何意义，可得切线的斜率，根据两直线的位置关系，可得答案. 【详解】因为，所以，所以， 即曲线在处切线的斜率为13． 因为直线与切线垂直，所以，解得． 17．（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）设直线分别是函数图像上点处的切线，与垂直相交于点P，且分别与轴相交于点，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出点，的坐标，求出原分段函数的导函数，得到直线，的斜率，由两直线垂直求得，的横坐标的乘积为1，再分别写出两直线的点斜式方程，求得A，B两点的纵坐标，得到，联立两直线方程求得点的横坐标，然后代入三角形面积公式，利用函数的性质求得的面积的取值范围 【详解】设，由图象，不妨设 当时，，当时，， 所以的斜率，的斜率， 因为与垂直，所以，得， 直线为，为， 令，可求得， 所以， 联立两直线方程可得交点的横坐标为， 所以， 因为函数在上为减函数，且， 所以， 所以， 所以面积的取值范围是， 【点睛】关键点点睛：此题考查导数几何意义的应用，考查数形结合的思想，解题的关键是设，再由两直线垂直求得，的横坐标的乘积为1，再求出两直线的交点的横坐标，从而可表示出三角形面积，进而可求得结果，考查计算能力，属于较难题 18．（25-26高二上·云南曲靖·期末）已知直线与曲线在处的切线垂直，则________． 【答案】 【分析】先对曲线求导得到在处的切线斜率，再利用两直线垂直时斜率乘积为的关系求出参数的值. 【详解】，则曲线在处的切线的斜率， 由切线垂直得：，即． 故答案为： 19．（25-26高二下·全国·课堂例题）（1）设（为常数），曲线与直线在点相切.求的值. （2）曲线在处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程. 【答案】（1），；（2）或 【分析】（1）由题意可得，利用导数的几何意义可得，计算即可求解； （2）求导，根据导数的几何意义求得切线方程，再根据平行线间距离公式列式计算即可求解. 【详解】（1）由曲线过点，可得，故， 由，得， 则， 此即为曲线在点处的切线的斜率， 由题意，得，故. （2）设，则， 切线方程为，即. 因为直线l与切线平行，所以可设直线l的方程为. 两平行线间的距离，解得或. 故直线l的方程为或. 20．（25-26高二下·全国·课堂例题）设曲线在点处的切线与直线垂直，求曲线的切线与坐标轴围成的三角形的面积. 【答案】 【分析】先求出切线方程，进而得出截距求出面积即可. 【详解】由题意可知，曲线在点处的切线与直线垂直， 直线的斜率为，则切线斜率为，且切线过点， 即切线方程为，即. 令得； 令得. 所以曲线的切线与坐标轴围成的三角形的面积. 考点05 共切线问题 21．（2026·河南焦作·一模）已知曲线与的公切线为，则在轴上的截距为___________． 【答案】/ 【分析】分别设出两曲线的切点，并写出切线方程，因为公切线，对应斜率以及截距相等得到等式进行消元求解即可. 【详解】设曲线上的切点为， 又因为，所以直线， 即 设曲线上的切点为， 又因为，所以直线， 即 因为是公切线，所以，解得 所以 所以在轴上的截距为 22．（2026·浙江·模拟预测）已知倾斜角为的直线l与曲线和都相切，则实数__________. 【答案】/ 【分析】首先设出切线与曲线的切点，根据导数的几何意义求切点坐标和切线方程，再设出切线与曲线的切点，根据导数的几何意义求实数的值. 【详解】，设直线l与曲线切于点， 则，得，所以直线l的方程为， 设直线l与曲线切于点，则， 所以点在直线l上，故，得. 故答案为： 23．（25-26高三上·广西南宁·开学考试）若曲线在处的切线也是曲线的切线，则______. 【答案】 【分析】应用导数的几何意义求得在处的切线，对求导，结合已知得切点在直线上，即可得. 【详解】由题设，则，则处切线为，即， 对于，有，又也是的切线， 令，可得，则，即切点在直线上， 所以 . 故答案为：2 24．（25-26高三上·陕西西安·月考）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A． B．2 C． D．2 【答案】B 【分析】设出两个切点的横坐标，根据公切线可得关于切点横坐标的方程组，求出其解后可得直线的斜率. 【详解】设，则. 设直线与曲线相切时切点的横坐标为， 与曲线相切时切点的横坐标为， 则,故，解得， 故直线的斜率， 故选：B. 25．（25-26高三上·山东聊城·开学考试）两条直线的夹角指的是两条直线所形成的小于或等于的角.若曲线与曲线的两条公切线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反函数的对称性可分析出倾斜角更大的直线的斜率是，设出该公切线在，的切点，根据导数的几何意义，用两种方式表达出切线方程，然后根据两个方程的截距相等列出等式，进而求解. 【详解】 由题易知，曲线与曲线关于直线对称， 由两条切线的夹角是，根据对称性知曲线的切线的倾斜角为， 即切线的斜率为. 设直线与曲线的切点坐标为， ，所以， 直线的方程为，即， 设直线和的切点坐标是， ，所以， 直线的方程为，即， 于是， 即，即 由，两边取对数可得， 由，得到，两边取对数得， 分别把上述条件代回原等式，得到， 即， 整理可得. 故选：C 考点06 切线条数问题 26．（25-26高三上·山西长治·开学考试）过坐标原点作曲线的切线，若切线有且只有一条，那么（    ） A．-2 B．-4 C．2 D．4 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义，用点斜式写出切线方程，代入原点即可求出. 【详解】设切点为， 所以切线的斜率， 切线方程为． 将坐标原点代入可得， 因为切线有且只有一条，所以， 解得或，又，所以， 故选：D． 27．（24-25高二下·江西·月考）若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】切点为P，通过导数的几何意义求得过点的切线方程，代入点得，令，由题意得有两个不同的解，结合函数的图像可求得t的范围. 【详解】若过点可以作曲线的两条切线，则， 设切点为P，则切线方程， 由切线过过，得，即， 令，则有两个不同的解， 对称轴为，， 由的图像得t的范围. 故答案为：D. 28．【多选题】（24-25高三上·重庆·月考）记函数的图象为曲线，点不在曲线上，过点作曲线的切线，则下列说法正确的是（   ） A．若，，可作1条切线 B．若，，可作0条切线 C．若，，可作3条切线 D．若，，可作2条切线 【答案】BCD 【分析】根据数形结合得到在上方，作两条切线的切点横坐标，，一个在，一个在，而若在下方，上方若，则两切点都在上，若，则两切点都在上，对，根据对称性也有类似结论. 【详解】曲线如图实线部分，不妨补全下方图象，    显然，曲线的切线必在其“凸面”，即单独对而言，在时不可作切线，在时不可作切线，而在其“凹面”能作条切线，    因此在区域内和都不可作切线， 因为在处切线为， 所以又可分为三个区域，在上方，作两条切线的切点横坐标，，一个在，一个在， 而若在下方，上方， 若，则两切点都在上，    若，则两切点都在上，    对，根据对称性也有类似结论， 回到题目中，可分为如图的个区域，区域不可作切线，    由于区域和在的“凹面”，故在段必不可作切线， 由于区域在上方，区域在下方， 所以在上区域可作条切线，区域可作条切线， 根据对称性，区域和区域在的“凹面”， 所以在必不可作切线，区域在下方，区域在上方， 所以在上，区域可作条切线，区域不可作切线， 同理，区域在，的“凸面”，又在上侧，上侧， 所以在可作条切线，在可作条切线， 所以区域可作条切线，由对称性知区域仅在作条切线， 最后，区域在可作条切线，在可作条切线， 对于A选项，因为，， 所以区域内可作一条切线，而区域可作条切线，故A错误； 对于B选项，因为，， 所以在区域，可作条切线，故B正确； 对于C选项，因为，， 所以在区域上，可作条切线，故C正确； 对于D选项，因为，， 所以在区域上，可作条切线，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：本题关键在于灵活运用数形结合的方法并得出普适性结论. 29．（23-24高二下·河北张家口·期末）过点作两条直线与曲线（e是自然对数的底数）相切，切点的横坐标分别为，，则的值为（    ） A．e B．e C．3 D．3 【答案】C 【分析】根据过一点作函数图象的切线问题，设切点，得切线方程，再代入定点求解即可. 【详解】由，得， 设切点坐标为，则切线斜率为，所以切线方程为. 因为点在切线上，所以，即， 结合题意，则，是上述方程的根，所以根据韦达定理得. 故选：. 30．（23-24高二下·山东青岛·期末）已知函数，若过点可作曲线两条切线，求a的取值范围. 【答案】 【分析】求出函数的导数，设出切点坐标，求出切线方程，结合切线过的点构造函数，讨论函数有两个零点的a的取值范围. 【详解】依题意，， 设过点的直线与曲线相切时的切点为， 则斜率， 所以切线方程为： 又点在切线上， 所以 ， 即有， 由过点可作曲线两条切线，得方程 有两个不相等的实数根， 令，则函数有2个零点， 求导得， 若， 由，得或， 由，得， 即函数在， 上单调递增，在 上单调递减， 所以当时，取得极大值，当时，取得极小值， 又， 当 时，恒成立 ，所以函数最多1个零点，不合题意； 若恒成立，函数在上单调递增， 因此函数最多1个零点，不合题意； 若，由，得或 ， 由， 得， 即函数在上单调递增，在 上单调递减， 则当时，取得极大值， 当时，取得极小值， 又， 显然当时，恒成立， 所以函数最多1个零点，不合题意； 若， 显然， 当时， ， 当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得最大值， 要函数有2个零点，必有，得 ， 当时，， 而函数在(0,1)上的值域为 ， 因此在上的值域为， 当时，令，求导得， 所以函数在上单调递减， 则， ， 而函数在上单调递减，值域为， 因此函数在上的值域为， 于是当时，函数有两个零点， 所以过点可作曲线两条切线时， 所以的取值范围是 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据切点构造出切线方程，然后分类讨论，求解零点个数. 考点07 方程的根与切线问题 31．（2025高二·全国·专题练习）设函数，若函数有三个零点，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用数形结合，对进行分类讨论求解即可． 【详解】函数有三个零点，等价于函数与图象有3个交点， 且图象恒过点，作出函数的图象如图： 如图，当时，与的图象有且只有一个交点， 当时，与的图象有2个交点， 当直线过时，，此时与的图象有2个交点， 当时，与的图象有3个交点， 当时，与的图象有1个交点， 当时，， 对求导得，令，解得， 所以在处的切线方程为， 故是的切线， 此时与的图象有2个交点， 由图，当时，与的图象有3个交点， 综上，， 故选：D． 32．（24-25高三下·河北·月考）已知函数，若方程恰有四个不同实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，作出函数的图象，然后求得与相切时的值，然后分，以及讨论两函数图像交点个数，即可得到结果. 【详解】如图所示，作出函数的图象， 易知， 先求与相切时的值， 设切点为，则切线方程为， 将代入，化简得，易知函数单调递增，，所以， 所以当时，与有两个交点； 当时，与有一个交点， 当时，与没有交点. 易知两函数图象均关于对称，可联立 得，，则， 此时切点横坐标为， 当过点时，， 所以当时，与有两个交点； 当时，与没有交点； 当时，与有三个交点. 综上，若与有四个交点， 则， 故选：D. 33．（24-25高三上·北京朝阳·期中）已知函数若直线与函数的图象有且只有一个公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过导数求出直线与分段函数各段相切对应的值，并结合图象即可求解. 【详解】当时，函数，则， 令，解得， 故直线与相切，即. 当时，函数，则， 令，解得， 故直线与相切，即. 如图所示，当或时，直线与分段函数有且仅有一个公共点. 故实数的取值范围为或. 故选：B. 34．（23-24高三上·广东湛江·月考）已知函数，若方程有两个不同根，则实数的取值范围是____. 【答案】 【分析】作出函数的图象，平移直线，数形结合可得到的取值范围. 【详解】解：先作出函数的图象： 由图可知，当时，与有两个交点，有两个不同的根， 当时，与有一个交点，有一个根， 当时， 因为当时，，， 故的图象与直线有且只有一个交点，此时有且只有一个实数根， 综上，所以的取值范围为， 故答案为：. 35．（22-23高二下·福建泉州·期中）已知函数，若的图像与轴有3个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先将题意等价于与有3个交点，分别画出和的图象，再利用导数的几何意义，即可得到答案. 【详解】的图像与轴有3个不同的交点， 等价于与有3个交点. 画出和的图象，如图所示：      因为过， 当与在相切时， ，设切点为， ，切线，即， 因为切线过， 所以，解得 此时，此时与有2个交点. 当时，，即， 当过时，，解得， 设，， ，，为增函数，所以，即 此时与有三个交点. 因为与有3个交点， 所以. 故选：A 考点08 切线的综合应用 36．（2024·安徽合肥·一模）已知点，定义为的“镜像距离”．若点在曲线上，且的最小值为2，则实数的值为_______________. 【答案】 【分析】依题意求出的反函数，将“镜像距离”转化成一对反函数图象上两点之间的距离，利用导函数的几何意义求出切线方程即可求得结果. 【详解】由函数可得，即, 所以的反函数为, 由点在曲线上可知点在其反函数上， 所以相当于上的点到曲线上点的距离， 即， 利用反函数性质可得与关于对称， 所以可得当与垂直时，取得最小值为2， 因此两点到的距离都为1， 过点的切线平行于直线，斜率为1，即， 可得，即， 点到的距离，解得， 当时，与相交，不合题意； 因此， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用反函数性质将“镜像距离”问题转化为两函数图象上两点距离的最值问题，再由切线方程可解得参数值. 37．（24-25高三上·上海闵行·期中）已知，，则的最小值为_________． 【答案】2 【分析】设，把问题转化为求与图象上两点距离的平方的最小值，再利用导数的几何意义求解即可； 【详解】， 设，则在函数的图象上，在函数的图象上，且与关于直线对称， 所以问题转化为求与图象上两点距离的平方的最小值， ，令，则，由对称性可得最小时，， ， 所以的最小值为. 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够把所求代数式转化为求与图象上两点距离的平方的最小值. 38．（23-24高三上·山东日照·期末）已知函数的图象上存在三个不同的点，使得曲线在三点处的切线重合，则此切线的方程为__________.（写出符合要求的一条切线即可） 【答案】（或） 【分析】先求导，设切线方程，然后根据切线重合列方程，由此进行分类讨论求解切线方程. 【详解】设存在三个不同点在曲线上， 则，且互不相同， 由题可得，， 故在的切线方程分别为：，，， 根据题意可得 由①可知，， 由②，令， 则， 即， 平方可得，， 即， 由于互不相同，则， 则可得，故，则， 由此可得其切线方程为：， 故答案为：（或） 39．【多选题】（22-23高三下·广东广州·月考）已知函数，过点作曲线的切线，下列说法正确的是（    ） A．当，时，有且仅有一条切线 B．当时，可作三条切线，则 C．当，时，可作两条切线 D．当时，可作两条切线，则b的取值为或 【答案】AD 【分析】分点为切点、不为切点两种情况，求出切线方程可判断A；设切点坐标为，利用导数求出切线方程为，当时，，设，利用导数求出单调性，结合图象可判断B；当时，求出，设，利用导数求出单调性，结合图象可判断C；当时，由切线方程为得则，设，利用导数判断出 单调性，结合图象可判断D. 【详解】A：当时，点在上，， 若为切点，则切线斜率为，所以切线方程为， 若不为切点，设切点坐标为，所以， 切线斜率为，所以，，即切点为原点，所以时，有且仅有一条切线，正确； B：设切点坐标为，所以，， 则切线的斜率为，切线方程为， 当时，，则， 设，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以时有极小值，为，时有极大值，为， 时，画出的图象， 当时，若有三条切线，则与有3个交点，由图得，错误； C：当时，由切线方程得，则， 设，则， 所以单调递减，且， 如图， 所以当，时，与有且只有一个交点，所以只能作一条切线，错误； D：当时，由切线方程为得，则， 设，则， 因为，所以当时，单调递增， 所以当时，单调递减， 所以当时，单调递减， 时，有极小值为， 时，有极大值为， 的图象为 若有两条切线，则的取值为或，正确. 故选：AD. 【点睛】方法点睛：利用导数研究含参函数零点问题主要有两中方法： （1）利用导数研究函数的最（极）值，转化为函数图象与轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想，其本质就是在含参函数单调性的基础上再判断函数零点个数问题； （2）分离参变量，即由分离参变量，得，研究与图象交点问题. 40．【多选题】（2023·全国·模拟预测）已知函数，，直线分别与曲线和曲线相切于点，，且直线也与曲线，都相切，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】选项A，B：先利用导数的几何意义分别写出曲线与过点 ，的切线方程，并与直线比较，即可得到，之间的关系，判断A，B选项． 选项C，D：根据对称性得到与曲线的切点与点之间的关系，即可判断C，D选项． 【详解】选项A，B：易知，，所以，则， 则曲线在点处的切线方程为，即， 则． 曲线在点处的切线方程为， 即，则，所以， 所以，，故A正确，B错误； 选项C，D：曲线与曲线关于直线对称，根据对称性可知，关于直线的对称点是与曲线的切点，则，， 所以，则，，故C错误，D正确． 故选：AD 【点睛】与切线有关的问题的求解策略 一是会利用导数的几何意义，即曲线在点处的切线的斜率为； 二是注意切点坐标的“一拖三”（切点与斜率相关、切点在切线上、切点在曲线上）． 解决两曲线的公切线问题的关键是分别求出切线，然后利用方程思想解题. 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 导数的概念及其几何意义 考点01 导数的概念与极限的计算 考点02 求在某点处的切线方程 考点03 过某点的切线问题 考点04 由切线的平行垂直求参数 考点05 共切线问题 考点06 切线条数问题 考点07 方程的根与切线问题 考点08 切线的综合应用 考点01 导数的概念与极限的计算 1．（25-26高二下·广东佛山·月考）已知函数满足，则（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．（25-26高二下·山东青岛·月考）已知函数的导函数为，且，则（    ） A．2 B．－2 C．4 D．－4 3．（25-26高三下·上海虹口·月考）若函数在处的切线斜率为2，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·河南周口·月考）已知函数在处可导，若，则（ ） A．4 B．8 C．12 D．16 5．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知函数的导函数为，若，则________. 考点02 求在某点处的切线方程 6．（2026·湖南·三模）已知，则曲线在点处的切线方程为______． 7．（新疆维吾尔自治区2026届高三四月适应性检测数学试卷）若曲线在点处的切线与圆相切，则__________. 8．（2026·云南·模拟预测）若函数 的图象与直线相切于点，则实数（   ） A． B．2 C． D．3 9．【多选题】（25-26高二上·河北张家口·期末）（多选）已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，求a的值（    ） A．0 B． C． D．2 10．（25-26高三上·广西·期末）曲线在点处的切线斜率为______． 考点03 过某点的切线问题 11．（25-26高三上·辽宁·月考）过原点作曲线的两条切线，，切点分别为，，则的面积为（    ） A．16 B．15 C．10 D．5 12．（24-25高二下·江西吉安·期末）已知过原点的直线与函数的图像相切，则直线的方程为__________. 13．（24-25高二下·北京通州·期中）过点作曲线的切线，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高二下·江西南昌·月考）已知曲线，则曲线过点的切线方程为________. 15．（24-25高三上·江西吉安·期末）过点作曲线的切线的斜率为______． 考点04 由切线的平行垂直求参数 16．（25-26高二下·河南新乡·月考）已知直线与曲线在处的切线垂直，则________． 17．（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）设直线分别是函数图像上点处的切线，与垂直相交于点P，且分别与轴相交于点，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高二上·云南曲靖·期末）已知直线与曲线在处的切线垂直，则________． 19．（25-26高二下·全国·课堂例题）（1）设（为常数），曲线与直线在点相切.求的值. （2）曲线在处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程. 20．（25-26高二下·全国·课堂例题）设曲线在点处的切线与直线垂直，求曲线的切线与坐标轴围成的三角形的面积. 考点05 共切线问题 21．（2026·河南焦作·一模）已知曲线与的公切线为，则在轴上的截距为___________． 22．（2026·浙江·模拟预测）已知倾斜角为的直线l与曲线和都相切，则实数__________. 23．（25-26高三上·广西南宁·开学考试）若曲线在处的切线也是曲线的切线，则______. 24．（25-26高三上·陕西西安·月考）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A． B．2 C． D．2 25．（25-26高三上·山东聊城·开学考试）两条直线的夹角指的是两条直线所形成的小于或等于的角.若曲线与曲线的两条公切线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 考点06 切线条数问题 26．（25-26高三上·山西长治·开学考试）过坐标原点作曲线的切线，若切线有且只有一条，那么（    ） A．-2 B．-4 C．2 D．4 27．（24-25高二下·江西·月考）若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．【多选题】（24-25高三上·重庆·月考）记函数的图象为曲线，点不在曲线上，过点作曲线的切线，则下列说法正确的是（   ） A．若，，可作1条切线 B．若，，可作0条切线 C．若，，可作3条切线 D．若，，可作2条切线 29．（23-24高二下·河北张家口·期末）过点作两条直线与曲线（e是自然对数的底数）相切，切点的横坐标分别为，，则的值为（    ） A．e B．e C．3 D．3 30．（23-24高二下·山东青岛·期末）已知函数，若过点可作曲线两条切线，求a的取值范围. 考点07 方程的根与切线问题 31．（2025高二·全国·专题练习）设函数，若函数有三个零点，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 32．（24-25高三下·河北·月考）已知函数，若方程恰有四个不同实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 33．（24-25高三上·北京朝阳·期中）已知函数若直线与函数的图象有且只有一个公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 34．（23-24高三上·广东湛江·月考）已知函数，若方程有两个不同根，则实数的取值范围是____. 35．（22-23高二下·福建泉州·期中）已知函数，若的图像与轴有3个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点08 切线的综合应用 36．（2024·安徽合肥·一模）已知点，定义为的“镜像距离”．若点在曲线上，且的最小值为2，则实数的值为_______________. 37．（24-25高三上·上海闵行·期中）已知，，则的最小值为_________． 38．（23-24高三上·山东日照·期末）已知函数的图象上存在三个不同的点，使得曲线在三点处的切线重合，则此切线的方程为__________.（写出符合要求的一条切线即可） 39．【多选题】（22-23高三下·广东广州·月考）已知函数，过点作曲线的切线，下列说法正确的是（    ） A．当，时，有且仅有一条切线 B．当时，可作三条切线，则 C．当，时，可作两条切线 D．当时，可作两条切线，则b的取值为或 40．【多选题】（2023·全国·模拟预测）已知函数，，直线分别与曲线和曲线相切于点，，且直线也与曲线，都相切，则（    ） A． B． C． D． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $