5.1.1 变化率学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

学案1 5.1.1 变化率问题学案 【学习目标】 1.通过对实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程. 2.理解割线的斜率与切线的斜率之间的关系. 3.体会极限思想. 【新知初探】 1. 平均速度：设物体运动的位移与时间的关系是 ，则从 到 时间段内的平均速度为 . 思考1：上式中的 为正值还是负值？能为0吗？ 2.瞬时速度：做变速运动的物体在不同的时刻，速度是不同的．我们把物体在____________的速度称为瞬时速度． 若物体运动的位移与时间的关系式是s＝f(t)，当Δt趋近于0时函数f(t)在t0与t0＋Δt之间的平均变化率趋近于某个常数，我们把这个常数叫做物体在t0时刻的瞬时速度即：＝________________________． 思考2：物体在时间段 的平均速度与在时刻 的瞬时速度有什么关系？ 3. 割线斜率与切线斜率 P0P是过点P0（x0，f（x0））与点P（x0+Δx，f（x0+Δx））的一条割线，此割线的斜率是＝　 　．当点P沿曲线趋近于点P0时，割线P0P绕点P0转动，它的极限位置为直线P0T，这条直线P0T叫做此曲线在点P0处的 　 　．于是，当Δx→0时，割线P0P的斜率无限趋近于过点P0的切线P0T的斜率k，即k＝　 　． 预习检测 判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)Δx趋近于零时表示Δx＝0.(　　) (2)平均变化率与瞬时变化率可能相等．(　　) (3)瞬时速度是刻画物体在区间[t0，t0＋Δt](Δt>0)上变化快慢的物理量. (4)瞬时变化率刻画某函数在某点处变化快慢的情况．(　　) (5)函数y＝f (x)在某x＝x0的切线斜率可写成k＝.(　　) (6)曲线在某点处的切线是过该点的割线的极限位置. 题型一 平均速度 例1、 质点的运动规律为s＝t2＋3(t表示时间，s表示位移)，则在时间[3，3＋Δt]中，质点的平均速度等于 变式1、 已知和在区间上的平均变化率分别为a和b，则 题型二 瞬时速度 例二、(1)竖直向上发射的火箭熄火后的位移（单位：m）与时间（单位：s）近似满足函数关系，则火箭在时的瞬时速度为 . 变式2、一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(s表示位移大小，单位：m；t表示时间，单位：s)．若质点M在t＝2 s时的瞬时速度大小为8 m/s，则常数a为________． 【方法总结】 求运动物体瞬时速度的三个步骤 题型三 抛物线的切线斜率 例三、已知P(－1，1)为曲线上的一点，PQ为曲线的割线，当Δx→0时，若kPQ的极限为－2，则在点P处的切线方程为(　　) A.y＝－2x＋1 B.y＝－2x－1 C.y＝－2x＋3 D.y＝－2x－2 变式3、求抛物线y＝2x2＋4x在点(3，30)处的切线方程． 变式4、 【方法总结】 求抛物线在某点处的切线方程的一般步骤 学案1答案 5.1.1 变化率问题学案答案 【新知初探】1.;Δt是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0. 2.某一时刻； 3.；切线；(1)×　(2)√　(3) ×(4)√(5)√(6)√ 例一、平均速度为＝＝6＋Δt． 变式1、【详解】由题意，， ，故． 例二、(1)∵【答案】【详解】， 则火箭在时的瞬时速度为. 故答案为：. (2)求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度．∵＝＝＝3Δt＋8，∴ (3Δt＋8)＝8，∴物体在t＝0时的瞬时速度为8 m/s，即物体的初速度为8 m/s． 变式2、a＝2.因为Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，所以＝4a＋aΔt.当t＝2时，瞬时速度大小为li ＝4a，可得4a＝8，所以a＝2. 例三、B 由题意可知，曲线在点P处的切线方程为y－1＝－2(x＋1)，即y＝－2x－1．故选B． 变式4、Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx. ∴＝＝2Δx＋16.∴k＝＝＝16.∴在点(3，30)处的切线方程为：y－30＝16(x－3)即：16x－y－18＝0. 变式5 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $