5.1.1 变化率问题 学案-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.1.1　变化率问题 1. 了解平均速度和瞬时速度的含义． 2. 通过瞬时速度理解极限的思想． 3. 初步体会极限的思想． 活动一　了解物理中的平均速度 探究　在一次跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋2.8t＋11.请描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度． 思考1►►► 运动中的快慢程度用什么量来刻画？ 思考2►►► 计算运动员在0≤t≤这段时间里的平均速度时，你发现了什么？你有什么想法？ 活动二　瞬时速度　 思考3►►► 平均速度只能反映在极小时间段内的大致运动状态，用什么量来精确刻画运动员的运动状态？ 瞬时速度的定义： 思考4►►► 如何用平均速度来理解瞬时速度？ 例1　请计算探究1中运动员在t＝1之后或之前，任取一个时刻1＋Δt的时间段的平均速度，同时利用计算工具，分别计算Δt＝0.1，0.01，0.001，0.000 1，…及Δt＝－0.1，－0.01，－0.001，－0.000 1，…所对应的平均速度.当Δt无限趋近于0时，平均速度有什么变化趋势？ 当Δt无限趋近于0时的平均速度就是该运动员在t＝1s时的瞬时速度，符号记为 ＝－7，理解为运动员在t＝1s时的瞬时速度v(1)＝－7m/s.注意这里的Δt可以为正，也可以为负． 一个做直线运动的物体，其位移S与时间t的关系是S(t)＝3t－t2（S的单位：m，t的单位：s）. (1) 求此物体的初速度； (2) 求此物体在t＝2s时的瞬时速度． 活动三　抛物线的切线的斜率　 思考5►►► 利用所学的圆锥曲线的知识，如何求抛物线f(x)＝x2在点P0(1，1)处的切线方程？ 思考6►►► 类比瞬时速度是由平均速度演变而来的，如何求抛物线f(x)＝x2在点P0(1，1)处的切线方程？ 例2　求曲线y＝x3－2x＋1在点(1，0)处的切线方程． 设曲线y＝x2在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为　　　　． 1. （2023北京丰台区期中）设某质点的位移S（单位：m）与时间t（单位：s）的关系式为S(t)＝－t2，则质点在第1 s时的瞬时速度等于(　　) A. 2 m/s B. 1 m/s C. －1 m/s D. －2 m/s 2. 已知曲线y＝x2和这条曲线上的一点P，Q是曲线上点P附近的一点，则点Q的坐标为(　　) A. B. C. D. 3. （多选）已知物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况如图所示，则下列说法中正确的是(　　) A. 在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B. 在t0时刻，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度 C. 在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 D. 在0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 4. 已知一物体的运动方程为S＝7t2＋8，则其在t＝　　　　时的瞬时速度为1. 5. 已知曲线y＝x3上一点P，求： (1) 点P处的切线的斜率； (2) 点P处的切线方程． 5.1.1　变化率问题 【活动方案】 探究：运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动得越来越慢，在下降阶段运动得越来越快． 思考1：用运动员在每段时间内的平均速度近似地描述他的运动状态． 思考2：＝0，用平均速度来刻画运动的快慢不是很合适，如果前后时间间隔特别小，平均速度不能准确刻画其运动快慢． 思考3：要用瞬时速度来精确刻画某一时刻的运动状态． 瞬时速度的定义：我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度． 思考4：要让时间间隔特别小，即Δt(时间改变量)无限趋近于0的平均速度的值就是瞬时速度． 例1　当Δt>0时，＝＝＝－4.9Δt－7， 则当Δt＝0.1时，＝－7.49； 当Δt＝0.01时，＝－7.049； 当Δt＝0.001时，＝－7.004 9； 当Δt＝0.000 1时，＝－7.000 49；… 同理可得当Δt＝－0.1时，＝－6.51； 当Δt＝－0.01时，＝－6.951； 当Δt＝－0.001时，＝－6.995 1； 当Δt＝－0.000 1时，＝－6.999 51；… 当Δt无限趋近于0时，平均速度无限趋近于－7. 跟踪训练　(1) 因为＝＝3－Δt， 所以 ＝3， 即此物体的初速度为3m/s. (2) ＝＝－Δt－1， 所以 ＝－1， 所以此物体在t＝2s时的瞬时速度为－1m/s. 思考5：设切线方程为y－1＝k(x－1) (要考虑斜率是否存在)，再把直线方程与抛物线方程联立，用Δ＝0去解决． 思考6：我们通常在点P0(1，1)的附近取一点P(x，x2)，考察抛物线f(x)＝x2的割线P0P的斜率，再用逼近的思想求其切线的斜率． 例2　因为 ＝ ((Δx)2＋3Δx＋1)＝1， 所以所求的切线的方程为y＝x－1. 跟踪训练　　设点P的坐标为(x0，y0).因为 ＝ ＝ (2x0＋Δx)＝2x0.由题意，得2x0＝3，所以x0＝，将x0＝代入y＝x2，得y0＝，则点P的坐标为. 【检测反馈】 1. D　质点在第1 s时的瞬时速度为 ＝ ＝ (－2－Δt)＝－2(m/s). 2. C　由题意，得点Q的横坐标应为1＋Δx，所以其纵坐标为f(1＋Δx)＝(Δx＋1)2. 3. CD　在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为 ＝，故A错误；瞬时速度为切线斜率，所以甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度，故B错误；在t0到t1范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为，因为s2－s0>s1－s0，t1－t0>0，所以>，故C正确； 同理D正确．故选CD. 4. 　由题意，得＝＝7Δt＋14t0，故 ＝ (7Δt＋14t0)＝14t0.令14t0＝1，可得t0＝，即在t＝时的瞬时速度为1. 5. (1) 由y＝x3， 得 ＝ ＝ ＝4， 所以点P处的切线的斜率为4. (2) 点P处的切线方程为y－＝4(x－2)， 即12x－3y－16＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$