5.1.1 变化率问题 学案-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.1.1　变化率问题

1. 了解平均速度和瞬时速度的含义．

2. 通过瞬时速度理解极限的思想．

3. 初步体会极限的思想．

活动一　了解物理中的平均速度

探究　在一次跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋2.8t＋11.请描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度．

 

 

 

思考1►►►

运动中的快慢程度用什么量来刻画？

 

 

 

思考2►►►

计算运动员在0≤t≤这段时间里的平均速度时，你发现了什么？你有什么想法？

 

 

活动二　瞬时速度　

思考3►►►

平均速度只能反映在极小时间段内的大致运动状态，用什么量来精确刻画运动员的运动状态？

 

 

 

瞬时速度的定义：

思考4►►►

如何用平均速度来理解瞬时速度？

 

 

例1　请计算探究1中运动员在t＝1之后或之前，任取一个时刻1＋Δt的时间段的平均速度，同时利用计算工具，分别计算Δt＝0.1，0.01，0.001，0.000 1，…及Δt＝－0.1，－0.01，－0.001，－0.000 1，…所对应的平均速度.当Δt无限趋近于0时，平均速度有什么变化趋势？

 

 

 

 

 

当Δt无限趋近于0时的平均速度就是该运动员在t＝1s时的瞬时速度，符号记为 ＝－7，理解为运动员在t＝1s时的瞬时速度v(1)＝－7m/s.注意这里的Δt可以为正，也可以为负．

一个做直线运动的物体，其位移S与时间t的关系是S(t)＝3t－t2（S的单位：m，t的单位：s）.

(1) 求此物体的初速度；

(2) 求此物体在t＝2s时的瞬时速度．

 

 

活动三　抛物线的切线的斜率　

思考5►►►

利用所学的圆锥曲线的知识，如何求抛物线f(x)＝x2在点P0(1，1)处的切线方程？

 

 

 

 

 

 

思考6►►►

类比瞬时速度是由平均速度演变而来的，如何求抛物线f(x)＝x2在点P0(1，1)处的切线方程？

 

 

 

 

 

 

 

例2　求曲线y＝x3－2x＋1在点(1，0)处的切线方程．