专题01 三角形的有关概念7重难点题型（专项训练）数学新教材沪教版五四制七年级下册

专题01 三角形的有关概念 目录 A题型建模・专项突破 题型一、构成三角形的条件 1 题型二、确定第三边的取值范围 2 题型三、三角形三边关系的应用 2 题型四、画三角形的高 3 题型五、与三角形的高有关的计算问题 4 题型六、根据三角形中线求长度 5 题型七、根据三角形中线求面积 5 B综合攻坚・能力跃升 题型一、构成三角形的条件 1．（24-25七年级下·上海普陀·月考）下列长度的三条线段能组成三角形的是（   ） A．1，2，1 B．2，7，8 C．4，6，11 D．1.5，2.5，4 2．（24-25七年级下·上海长宁·期末）下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（　　） A．2，3，5 B．3、5、9 C．3，6，9 D．3、7、9 3．（25-26七年级下·上海宝山·月考）已知四条线段的长度分别是、、、，任意选择其中三条线段，能构成的三角形有______个． 4．（24-25七年级下·上海普陀·期中）已知四条线段的长度分别为厘米、厘米、厘米、厘米，任取其中三条线段，能构成的三角形的个数是(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25七年级下·上海闵行·期末）在中，厘米，那么的长度有可能是（    ） A．8厘米 B．7.2厘米 C．6厘米 D．5.4厘米 6．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）下列各组条件中，不能组成三角形的是（   ） A．2，， B．3厘米，8厘米，10厘米 C．三条线段之比为 D．6厘米，6厘米，6厘米 7．（24-25七年级下·上海闵行·期中）下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（   ） A．1、2、3 B．6、3、2 C．2、2、3 D．4、2、1 8．（24-25七年级下·上海·月考）若一个三角形的两条边分别是和，则第三边的长度不可以取（   ） A．5 B．7 C．9 D．10 9．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如果一个三角形的两边长分别为2cm和7cm，那么这个三角形第三边的长可能是（   ） A．2cm B．4cm C．5cm D．6cm 10．（24-25七年级下·上海·月考）若三角形三边的长分别为、、，则应满足的条件是______． 题型二、确定第三边的取值范围 11．（24-25七年级下·上海·月考）三角形的三边分别为、、，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级下·上海长宁·期末）三角形的三边分别为5，，9，则a的取值范围是_______． 13．（24-25七年级下·上海崇明·期中）已知的三边长为a、b、c，其中，则边长c的取值范围是___________． 14．（24-25七年级下·上海金山·期中）如果的两边长分别为和，那么第三边的取值范围是______． 15．（25-26七年级下·上海杨浦·月考）按要求完成下列计算： (1)已知在中，，，求第三边的取值范围． (2)已知在中，，，求这个三角形周长的取值范围． 题型三、三角形三边关系的应用 16．（24-25七年级下·上海·期中）已知三边长分别为、、，可判断表达式的符号为（   ） A．正 B．负 C．零 D．不能判断 17．（24-25七年级下·上海·期中）已知的三边长分别是、、，化简：______． 18．（24-25七年级下·上海闵行·期末）定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形中，，边是特征边，那么边的长为_______． 19．（24-25七年级下·上海青浦·月考）定义：一个三角形的一边长是另一边长的倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为和，则第三条边的长为___________． 20．（24-25七年级下·上海宝山·期中）a、b、c为三角形的三边，化简： 21．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如图，如图四边形中，是与的交点，试说明：与的和小于四边形的周长． 题型四、画三角形的高 22．（23-24七年级下·上海·月考）分别在第（1）、（2）、（3）图中，画出 的一条中线，一条角平分线和一条高，并用文字指出你所画的中线、角平分线和高． 23．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，根据下列要求作图并回答问题： (1)作边上的高； (2)过点作直线的垂线，垂足为； (3)点到直线的距离是线段_______的长度； (4)线段的长度表示点_____到直线_______的距离．（不要求写画法，只需写出结论即可） 24．（22-23七年级下·上海普陀·期中）如图，在°．    (1)画出边上的中线； (2)点到直线的距离是线段 的长； (3)画出边上的高； (4)点到直线的距离是线段 的长．（不需写画法和结论） 题型五、与三角形的高有关的计算问题 25．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，，分别是的边，的高线，，，，则的长为________． 26．（24-25七年级下·上海·月考）如图，在等腰中，，其一腰上的高为h，M是底边上的任意一点，M到腰的距离分别为，，则_______ 27．（24-25七年级下·上海·月考）如图，在中，，D为中点，过点D作，，E为上一点，过点E作，，，则________． 28．（23-24七年级下·上海静安·期中）如图，，的面积为，，则点到直线的距离为________cm． 29．（24-25七年级上·上海闵行·月考）如图，与是两个形状、大小完全相同的直角三角形，B、C、D、F在同一条直线上，点与点重合，其中，，．将沿射线方向平移到的位置，连接，若，则的面积是______． 题型六、根据三角形中线求长度 30．（25-26七年级下·上海宝山·月考）如图，是的一条中线，的周长是10，的周长是12，那么_________． 31．（25-26七年级下·上海杨浦·月考）在等腰三角形中，，周长为，边上的中线把分成周长差为的两个三角形，求底边的长______． 题型七、根据三角形中线求面积 32．（24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，已知是边上任意一点，点在上，，点在上，，连接、．如果的面积是，那么的面积是（　　）    A． B． C． D． 33．（24-25七年级下·上海·期末）如图，、是的中线，连接，的面积是10，则的面积是______． 34．（24-25六年级下·上海·期中）如图所示，在中，，求阴影部分面积是三角形面积的______（几分之几）． 35．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）如图，在中，、分别为、的中点，，如果阴影部分的面积为2，那么的面积是________ 36．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，已知是中边上的中线，点、分别在、的延长线上，，如果的面积是8，那么的面积等于___________． 一、单选题 1．（22-23七年级下·上海奉贤·期中）下列长度的三根木棒首尾相接，不能做成三角形框架的是（    ） A．5cm 7cm 14cm B．7cm 9cm 13cm C．5cm 7cm 10cm D．5cm 11cm 13cm 2．（25-26九年级下·上海宝山·月考）如图，在中，已知点D、E、F分别为边、、的中点，若的面积为16，则图中阴影部分的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 3．如图，加油站和商店在马路的同一侧，到的距离大于到的距离，米．一个行人在马路上行走，当到的距离与到的距离之差最大时，这个差等于______米． 4．如图：欲将一块四边形的耕地中间一条折路MPN改直，但不影响道路两边的耕地面积，请在图中画出这条直线（保留作图痕迹）______（写结论） 5．如图，在△ABC中，已知点D、点E分别为BC、AD的中点，且△BDE的面积为3，则△ABC的面积是_____． 6．（22-23七年级下·上海奉贤·期中）已知一个三角形的两边长分别为和，且第三边长为整数，那么第三边长的最小值为______． 7．（23-24七年级下·上海静安·期中）如图所示，，，相交于点，若面积为2，面积为3，则的面积为_________．    8．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，，如果，，的面积为18，那么的面积为 ___________． 9．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，，点A、E在直线上，点B，C，D在直线上，如果，是边上的中线，的面积为30，那么的面积是________． 10．（2023七年级下·上海·专题练习）如图，在中，，点E是的中点，动点P从A点出发，先以每秒2cm的速度沿A→C运动，然后以1cm/s的速度沿C→B运动．若设点P运动的时间是t秒，那么当________，的面积等于6． 三、解答题 11．（24-25七年级上·上海·月考）设三角形三边长为a、b、c，且三边长满足方程组，试求的值． 12．如图，已知AD∥BC． (1)找出图中所有面积相等的三角形，并选择其中一对说明理由． (2)如果BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E、F，＝，求的值．（直接写出答案） 13．如图，由16个相同的小正方形组成的一个大正方形ABCD，其中点A、点E、点F均在图中的格点上（即图中小正方形的顶点）． (1)三角形AEF的面积（即图中阴影部分的面积）占整个大正方形ABCD面积的 ；（填“几分之几”） (2)如果三角形AEF的面积是28平方厘米，那么图中每个小正方形的面积是 平方厘米； (3)如备用图，若点G也在图中的格点上，且三角形AFG的面积是大正方形ABCD面积的，那么符合要求的点G有    个． 14．（22-23七年级下·上海宝山·期中）如图，在中，按下列要求画图并填空：    (1)画边上的高； (2)在上，连接，使得，请画出点； (3)已知，，，那么点到直线的距离为_______，的面积为_______． 15．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，，根据下列要求画图并回答问题： (1)画边上的高； (2)点到直线的距离是线段______的长度； (3)边上有一点，连接，如果，那么线段是的______；（填“高”、“中线”或“角平分线”），并在图中画出． (4)在（1）（3）的条件下，如果，，那么______． 16．（24-25七年级下·上海青浦·月考）在中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分） 【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明． 【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________ 【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________； 17．（22-23七年级下·上海松江·期中）如图，已知的面积是，请完成下列问题： (1)如图，中，若是边上的中线，则的面积______的面积填“”、“”或“”； (2)如图，若、分别是的、边上的中线，求四边形的面积可以用如下方法： 连接，由得， 同理，可得． 设，，则，． 由题意得，． 可列方程组，解得______， 通过解这个方程组可得四边形的面积为______； (3)如图，，，请直接写出四边形的面积______不用书写过程 18．解答下列各题 (1)如图1，已知直线，点、在直线上，点、在直线上，当点在直线上移动时，总有______与的面积相等． (2)解答下题． ①如图2，在中，已知，且边上的高为5，若过作，连接、，则的面积为______． ②如图3，、、三点在同一直线上， ，垂足为．若，，，，求的面积． (3)如图4，在四边形中，与不平行，，且，过点画一条直线平分四边形的面积（简单说明理由）． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形的有关概念 目录 A题型建模・专项突破 题型一、构成三角形的条件 1 题型二、确定第三边的取值范围 4 题型三、三角形三边关系的应用 5 题型四、画三角形的高 7 题型五、与三角形的高有关的计算问题 8 题型六、根据三角形中线求长度 12 题型七、根据三角形中线求面积 13 B综合攻坚・能力跃升 题型一、构成三角形的条件 1．（24-25七年级下·上海普陀·月考）下列长度的三条线段能组成三角形的是（   ） A．1，2，1 B．2，7，8 C．4，6，11 D．1.5，2.5，4 【答案】B 【详解】解：A. 1，2，1：较短边之和，等于最长边2，不能组成三角形． B. 2，7，8：较短边之和，满足条件，能组成三角形． C. 4，6，11：较短边之和，不能组成三角形． D. 1.5，2.5，4：较短边之和，等于最长边4，不能组成三角形． 故选B． 2．（24-25七年级下·上海长宁·期末）下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（　　） A．2，3，5 B．3、5、9 C．3，6，9 D．3、7、9 【答案】D 【详解】A．2，3，5：最小两边和为，等于最大边5，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； B．3，5，9：最小两边和为，小于最大边9，不满足条件，不能组成三角形； C．3，6，9：最小两边和为，等于最大边9，不满足条件，不能组成三角形； D．3，7，9：最小两边和为，大于最大边9，满足条件，能组成三角形． 故选D． 3．（25-26七年级下·上海宝山·月考）已知四条线段的长度分别是、、、，任意选择其中三条线段，能构成的三角形有______个． 【答案】1 【详解】从长度是、、、的线段中任选三条，共有以下种组合： ① ，，；② ，，；③ ，，；④ ，，． 根据三角形三边关系逐一判断： ① 因为 ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形； ② 因为 ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形； ③ 因为 ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形； ④ 因为 ，，，满足三角形任意两边之和大于第三边，能构成三角形． 综上，能构成三角形的组合只有个． 4．（24-25七年级下·上海普陀·期中）已知四条线段的长度分别为厘米、厘米、厘米、厘米，任取其中三条线段，能构成的三角形的个数是(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：共有以下4种取法： 、、；、、；、、；、、． ，不能构成三角形， ，不能构成三角形， ，不能构成三角形， ，能构成三角形， ∴能构成的三角形的个数是1个． 故选：A． 5．（24-25七年级下·上海闵行·期末）在中，厘米，那么的长度有可能是（    ） A．8厘米 B．7.2厘米 C．6厘米 D．5.4厘米 【答案】D 【详解】解： 在中，，由大角对大边定理可知，的对边大于的对边，已知厘米，因此厘米， 所以只有D选项5.4厘米满足此条件． 故选：D． 6．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）下列各组条件中，不能组成三角形的是（   ） A．2，， B．3厘米，8厘米，10厘米 C．三条线段之比为 D．6厘米，6厘米，6厘米 【答案】C 【详解】解：A．由得，能构成三角形，故此选项不合题意； B．，能构成三角形，故此选项不合题意； C．设最小边为a，则剩余两边是，．，不能构成三角形，故此选项符合题意； D．因为，能构成三角形，故此选项不合题意． 故选：C． 7．（24-25七年级下·上海闵行·期中）下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（   ） A．1、2、3 B．6、3、2 C．2、2、3 D．4、2、1 【答案】C 【详解】解：A、∵， ∴长为1，2，3的三条线段不能组成三角形，不符合题意； B、∵， ∴长为6，3，2的三条线段不能组成三角形，不符合题意； C、∵， ∴长为2，2，3的三条线段能组成三角形，符合题意； D、∵， ∴长为1，2，4的三条线段不能组成三角形，不符合题意； 故选：C． 8．（24-25七年级下·上海·月考）若一个三角形的两条边分别是和，则第三边的长度不可以取（   ） A．5 B．7 C．9 D．10 【答案】A 【详解】设第三边长度为，根据三角形三边关系得：， 求得， 故四个选项里面，A不满足． 故选：A． 9．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如果一个三角形的两边长分别为2cm和7cm，那么这个三角形第三边的长可能是（   ） A．2cm B．4cm C．5cm D．6cm 【答案】D 【详解】解：由题意，得：第三边， ∴第三边； 故选D． 10．（24-25七年级下·上海·月考）若三角形三边的长分别为、、，则应满足的条件是______． 【答案】 【详解】解：由三角形三边关系定理得到：， ． 故答案为：． 题型二、确定第三边的取值范围 11．（24-25七年级下·上海·月考）三角形的三边分别为、、，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由三角形三边关系可得，， 解得， 故选：． 12．（24-25七年级下·上海长宁·期末）三角形的三边分别为5，，9，则a的取值范围是_______． 【答案】 【详解】解：根据题意得：， 即． 故答案为：． 13．（24-25七年级下·上海崇明·期中）已知的三边长为a、b、c，其中，则边长c的取值范围是___________． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为：． 14．（24-25七年级下·上海金山·期中）如果的两边长分别为和，那么第三边的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：根据三角形的三边关系可得： ， 解得：． 故答案为：． 15．（25-26七年级下·上海杨浦·月考）按要求完成下列计算： (1)已知在中，，，求第三边的取值范围． (2)已知在中，，，求这个三角形周长的取值范围． 【详解】（1）解：由三角形的三边关系可得， ， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， 同理（1）可得，， ∴， 解得， ∵的周长， ∴． 题型三、三角形三边关系的应用 16．（24-25七年级下·上海·期中）已知三边长分别为、、，可判断表达式的符号为（   ） A．正 B．负 C．零 D．不能判断 【答案】B 【详解】解： ， 因为为三角形三边长，所以，， 所以原式小于零． 故选：B． 17．（24-25七年级下·上海·期中）已知的三边长分别是、、，化简：______． 【答案】 【详解】解：∵的三边长分别是a、b、c， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为：． 18．（24-25七年级下·上海闵行·期末）定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形中，，边是特征边，那么边的长为_______． 【答案】3 【详解】解：由题意得，， ∴， 若，则（舍）； 若，则， ∴边的长为3， 故答案为：3． 19．（24-25七年级下·上海青浦·月考）定义：一个三角形的一边长是另一边长的倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为和，则第三条边的长为___________． 【答案】或 【详解】解：设第三边的长为， 则，即， ∵是“倍长三角形”，则： ①若，则（不符合题意，舍去）； ②若，则； ③若，则； ④若，则（不符合题意，舍去）； 综上所述，第三条边的长为或． 故答案为：或． 20．（24-25七年级下·上海宝山·期中）a、b、c为三角形的三边，化简： 【答案】 【详解】解：∵a、b、c为三角形的三边， ∴， 即， ∴ ． 21．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如图，如图四边形中，是与的交点，试说明：与的和小于四边形的周长． 【详解】证明：在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ， ， ， 与的和小于四边形的周长． 题型四、画三角形的高 22．（23-24七年级下·上海·月考）分别在第（1）、（2）、（3）图中，画出 的一条中线，一条角平分线和一条高，并用文字指出你所画的中线、角平分线和高． 【详解】如图为中线， 为角平分线，为高 23．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，根据下列要求作图并回答问题： (1)作边上的高； (2)过点作直线的垂线，垂足为； (3)点到直线的距离是线段_______的长度； (4)线段的长度表示点_____到直线_______的距离．（不要求写画法，只需写出结论即可） 【详解】（1）解：如下图所示， 线段即为边上的高； （2）解：如下图所示， （3）解：点到直线的距离是线段的长度， 故答案为：； （4）解：线段的长度表示点到直线的距离， 故答案为：，； 24．（22-23七年级下·上海普陀·期中）如图，在°．    (1)画出边上的中线； (2)点到直线的距离是线段 的长； (3)画出边上的高； (4)点到直线的距离是线段 的长．（不需写画法和结论） 【详解】（1）如图，线段即为所求； （2）点到直线的距离是线段的长． 故答案为：； （3）如图，线段即为所求； （4）点到直线的距离是线段的长． 故答案为：．    题型五、与三角形的高有关的计算问题 25．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，，分别是的边，的高线，，，，则的长为________． 【答案】 【详解】解：，分别是的边，的高线， ， ，，， ， 解得， 故答案为：． 26．（24-25七年级下·上海·月考）如图，在等腰中，，其一腰上的高为h，M是底边上的任意一点，M到腰的距离分别为，，则_______ 【答案】 【详解】解：∵， ，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 27．（24-25七年级下·上海·月考）如图，在中，，D为中点，过点D作，，E为上一点，过点E作，，，则________． 【答案】 【详解】解：如图，连接，， ，D为中点， ∴， ∴， ∵，， ， ∴， ∵，， ∴， 解得：． 故答案为：． 28．（23-24七年级下·上海静安·期中）如图，，的面积为，，则点到直线的距离为________cm． 【答案】6 【详解】解：如图，作于，    的面积等于，， ，即， ， ， 点到直线的距离为， 故答案为：6． 29．（24-25七年级上·上海闵行·月考）如图，与是两个形状、大小完全相同的直角三角形，B、C、D、F在同一条直线上，点与点重合，其中，，．将沿射线方向平移到的位置，连接，若，则的面积是______． 【答案】或 【详解】解：如图，过点作, 与是两个形状、大小完全相同的直角三角形，，，． ∴，，，， ∵ ∴， ∴， 当在线段上时，， 的面积， 当在线段延长线上时，， 的面积， 答案为或 . 题型六、根据三角形中线求长度 30．（25-26七年级下·上海宝山·月考）如图，是的一条中线，的周长是10，的周长是12，那么_________． 【答案】2 【详解】解：∵是的一条中线， ∴． ∵的周长为，的周长为， ∴， ， 即． 31．（25-26七年级下·上海杨浦·月考）在等腰三角形中，，周长为，边上的中线把分成周长差为的两个三角形，求底边的长______． 【答案】 【详解】解：设，， 由周长为，得 ， 是边上的中线， ， 又是和的公共边， 两个三角形的周长差为，即， 分两种情况讨论： （1）当时，， 联立方程组， 两式相加得，解得， 代入得， 此时三边长为，，，满足三角形三边关系，符合题意. （2）当时，， 联立方程组， 解得， 此时三边长为，，，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，故舍去. 综上，底边的长为. 题型七、根据三角形中线求面积 32．（24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，已知是边上任意一点，点在上，，点在上，，连接、．如果的面积是，那么的面积是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 33．（24-25七年级下·上海·期末）如图，、是的中线，连接，的面积是10，则的面积是______． 【答案】2.5 【详解】解：∵、是的中线，连接，的面积是10， ∴， ∴， 故答案为：2.5． 34．（24-25六年级下·上海·期中）如图所示，在中，，求阴影部分面积是三角形面积的______（几分之几）． 【答案】 【详解】解：，， 面积：面积， 设的面积为， 面积：， 面积， 面积面积， 面积， 同理，面积：面积， 面积：， 面积， 面积面积， 面积， 阴影面积， 阴影部分面积是三角形面积的． 故答案为：． 35．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）如图，在中，、分别为、的中点，，如果阴影部分的面积为2，那么的面积是________ 【答案】 【详解】解：∵，的面积为2， ∴， ∵、分别为、的中点， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 36．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，已知是中边上的中线，点、分别在、的延长线上，，如果的面积是8，那么的面积等于___________． 【答案】 【详解】解：连接， ∵是中边上的中线，的面积是8， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 一、单选题 1．（22-23七年级下·上海奉贤·期中）下列长度的三根木棒首尾相接，不能做成三角形框架的是（    ） A．5cm 7cm 14cm B．7cm 9cm 13cm C．5cm 7cm 10cm D．5cm 11cm 13cm 【答案】A 【详解】解：，，不符合； B，，符合； C，，符合； D，，符合． 故选：． 2．（25-26九年级下·上海宝山·月考）如图，在中，已知点D、E、F分别为边、、的中点，若的面积为16，则图中阴影部分的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：点为的中点， ， 点为的中点， ， ， ， 点为的中点， ， 即图中阴影部分的面积为． 二、填空题 3．如图，加油站和商店在马路的同一侧，到的距离大于到的距离，米．一个行人在马路上行走，当到的距离与到的距离之差最大时，这个差等于______米． 【答案】700 【详解】当、、三点不在同一直线上时，此时三点构成三角形． ∵两边与的差小于第三边， 、、在同一直线上，到的距离与到的距离之差最大， ∵此时， ∴当到的距离与到的距离之差最大时，这个差等于700米 故答案为：700． 4．如图：欲将一块四边形的耕地中间一条折路MPN改直，但不影响道路两边的耕地面积，请在图中画出这条直线（保留作图痕迹）______（写结论） 【答案】见解析 直线MF即为所求 【详解】解：如图，连接MN，过P作MN的平行线，分别交AD、BC于点E、F， ∵平行线间的距离相等，∴△MNP的高与△MNF的高相等， ∴△MNP的面积=△MNF的面积， 故答案为：直线MF即为所求． 5．如图，在△ABC中，已知点D、点E分别为BC、AD的中点，且△BDE的面积为3，则△ABC的面积是_____． 【答案】 【详解】解：∵点E为AD的中点，△BDE的面积为3， ∴△ABD的面积为3×2＝6， ∵点D为BC的中点， ∴△ABC的面积为6×2＝12． 故答案为：12． 6．（22-23七年级下·上海奉贤·期中）已知一个三角形的两边长分别为和，且第三边长为整数，那么第三边长的最小值为______． 【答案】 【详解】解：设第三边为， 根据三角形的三边关系，得：， 即， 为整数， 的最小值为． 故答案为：． 7．（23-24七年级下·上海静安·期中）如图所示，，，相交于点，若面积为2，面积为3，则的面积为_________．    【答案】 【详解】面积为2，面积为3， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 8．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，，如果，，的面积为18，那么的面积为 ___________． 【答案】27 【详解】解：过点作， ，的面积， ， ， ， 点到的距离等于的长度， 的面积． 故答案为：27． 9．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，，点A、E在直线上，点B，C，D在直线上，如果，是边上的中线，的面积为30，那么的面积是________． 【答案】5 【详解】解：如图，连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴． 故答案为：5． 10．（2023七年级下·上海·专题练习）如图，在中，，点E是的中点，动点P从A点出发，先以每秒2cm的速度沿A→C运动，然后以1cm/s的速度沿C→B运动．若设点P运动的时间是t秒，那么当________，的面积等于6． 【答案】或5或9 【详解】解：如图1，当点P在上， ∵中，，点E是的中点， ∴． ∴， ∴； 如图2，当点P在线段上， ∵E是的中点， ∴． ∴， ∴， ∴， 如图3，当P在线段上， 同理：， ∴， ∴， 综上所述，t的值为或5或9； 故答案为：或5或9． 三、解答题 11．（24-25七年级上·上海·月考）设三角形三边长为a、b、c，且三边长满足方程组，试求的值． 【答案】3 【详解】解：， 得：， 即， ∴， 分解因式得：， ∴或， ∴或； ∵三角形三边长为a、b、c， ∴， ∴不符合题意， ∴． 12．如图，已知AD∥BC． (1)找出图中所有面积相等的三角形，并选择其中一对说明理由． (2)如果BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E、F，＝，求的值．（直接写出答案） 【详解】（1）解：①△ABC与△BCD，②△ADB与△ADC，③△AMB与△DMC； 选择①说明：设AD、BC间的距离为h， 则S△ABC＝，S△BCD＝， ∴△ABC与△DBC的面积相等； 同理：△ADB与△ADC的面积相等． ∵△ABC与△DBC的面积相等， ∴S△ABC﹣S△BCM＝S△DBC﹣S△BCM，即，S△AMB＝S△DMC． （2）解：∵S△ABC＝S△BCD， ∴AC•BE＝BD•CF， ∴， ∵ ∴． 13．如图，由16个相同的小正方形组成的一个大正方形ABCD，其中点A、点E、点F均在图中的格点上（即图中小正方形的顶点）． (1)三角形AEF的面积（即图中阴影部分的面积）占整个大正方形ABCD面积的 ；（填“几分之几”） (2)如果三角形AEF的面积是28平方厘米，那么图中每个小正方形的面积是 平方厘米； (3)如备用图，若点G也在图中的格点上，且三角形AFG的面积是大正方形ABCD面积的，那么符合要求的点G有    个． 【详解】（1）解：∵S△AEF＝4×4﹣， ∴三角形AEF的面积（即图中阴影部分的面积）占整个大正方形ABCD面积的； （2）解：∵三角形AEF的面积是28平方厘米， ∴大正方形ABCD面积＝28＝64， ∴每个小正方形的面积＝64÷16＝4； （3）解：如备用图，符合要求的点G有5个， 故答案为：（1）十六分之七；（2）4，；（3）5． 14．（22-23七年级下·上海宝山·期中）如图，在中，按下列要求画图并填空：    (1)画边上的高； (2)在上，连接，使得，请画出点； (3)已知，，，那么点到直线的距离为_______，的面积为_______． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；    （2）解：如图所示，点E即为所求；    （3）解：∵，， ∴点到直线的距离为4； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，，根据下列要求画图并回答问题： (1)画边上的高； (2)点到直线的距离是线段______的长度； (3)边上有一点，连接，如果，那么线段是的______；（填“高”、“中线”或“角平分线”），并在图中画出． (4)在（1）（3）的条件下，如果，，那么______． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：点到直线的距离是线段的长度， 故答案为：； （3）解：如图， ∴线段是的中线， 故答案为：中线； （4）解：， ， 故答案为：． 16．（24-25七年级下·上海青浦·月考）在中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分） 【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明． 【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________ 【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________； 【详解】解：（1）依题意，边上的高如下图所示： ，，之间的数量关系：． 证明：∵，，，， ∴， ∴， ∴； （2）与的数量关系为：． 理由：如图，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，点为中点时， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：； （3），，之间的数量关系：． 理由：如图，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（22-23七年级下·上海松江·期中）如图，已知的面积是，请完成下列问题： (1)如图，中，若是边上的中线，则的面积______的面积填“”、“”或“”； (2)如图，若、分别是的、边上的中线，求四边形的面积可以用如下方法： 连接，由得， 同理，可得． 设，，则，． 由题意得，． 可列方程组，解得______， 通过解这个方程组可得四边形的面积为______； (3)如图，，，请直接写出四边形的面积______不用书写过程 【详解】（1）解：如图，过作于， 是的边上的中线， ， ，， ， 故答案为：； （2）解：， 由得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 所以原方程组的解为， ， ， 故答案为：，； （3）解：如图，连接， ， ， ， ， 设，，则，， 由题意得：，， 可列方程组为：， 解得：， ． 故答案为：． 18．解答下列各题 (1)如图1，已知直线，点、在直线上，点、在直线上，当点在直线上移动时，总有______与的面积相等． (2)解答下题． ①如图2，在中，已知，且边上的高为5，若过作，连接、，则的面积为______． ②如图3，、、三点在同一直线上， ，垂足为．若，，，，求的面积． (3)如图4，在四边形中，与不平行，，且，过点画一条直线平分四边形的面积（简单说明理由）． 【详解】（1）解：∵， ∴和同底等高， 则与的面积相等； （2）解：①∵，且边上的高为5， ∴， ∵， ∴△ABC和△BAE是同底等高的两个三角形， ∴； ②∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴∠EBG=120°， ∴∠EBF=60°， ∴∠EBF=∠BAC， ∴AC∥BF， ∴； （3）解： 如图，过点B作BE∥AC交DC延长线于点E，连接AE，取DE的中点F，作直线AF，则直线AF即为所求，理由如下： ∵BE∥AC， ∴△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴所以面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $